吳思思，羅文強(qiáng)

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院， 武漢 430074)

1 研究背景

固結(jié)理論反映了土體中不同位置超靜孔隙水壓力隨時(shí)間的消散過(guò)程，與土的變形、強(qiáng)度具有緊密聯(lián)系，因而Terzaghi提出固結(jié)理論后得到廣泛運(yùn)用。傳統(tǒng)固結(jié)理論假定固結(jié)系數(shù)為常數(shù)，實(shí)際工程中固結(jié)系數(shù)會(huì)隨著固結(jié)進(jìn)程發(fā)生改變，Duncan[1]認(rèn)為假定固結(jié)系數(shù)不變是傳統(tǒng)固結(jié)理論的局限之一。

許多學(xué)者提出估算固結(jié)系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，如采用作圖形式確定固結(jié)系數(shù)的時(shí)間平方根法、時(shí)間對(duì)數(shù)法。使用作圖法確定固結(jié)系數(shù)時(shí)，人為主觀因素對(duì)結(jié)果影響較大。此外，Abuel-Naga等[2]采用傳統(tǒng)固結(jié)理論的固結(jié)方程，假定固結(jié)系數(shù)與超靜孔隙水壓力存在線(xiàn)性關(guān)系，獲得無(wú)量綱化的孔壓解答。通過(guò)這些固結(jié)系數(shù)的求解方法，很大程度上提高了傳統(tǒng)固結(jié)理論的計(jì)算精度，但這些確定固結(jié)系數(shù)的方法具有很強(qiáng)的經(jīng)驗(yàn)性，并且沒(méi)有從機(jī)理上解釋固結(jié)系數(shù)變化的原因。

實(shí)際上，土體孔隙由于超靜孔隙水的排出而不斷被壓縮，并伴隨著土體滲透性和壓縮性的變小，因此土的壓縮系數(shù)及滲透系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中具有很強(qiáng)的非線(xiàn)性。壓縮系數(shù)及滲透系數(shù)的改變導(dǎo)致固結(jié)系數(shù)的改變，固結(jié)系數(shù)的變化又進(jìn)一步影響到土體固結(jié)進(jìn)程?；谝陨险J(rèn)識(shí)，眾多學(xué)者[3-9]采用不同的土體非線(xiàn)性模型，從機(jī)理上研究了固結(jié)系數(shù)隨時(shí)間變化的土體固結(jié)問(wèn)題。Davis和Raymond[3]基于孔隙比e與有效應(yīng)力σ′的e-lgσ′關(guān)系，通過(guò)假定豎向滲透系數(shù)kv與體積壓縮系數(shù)mv在固結(jié)過(guò)程中同步變化，最先獲得考慮土體非線(xiàn)性的一維固結(jié)解析解?；贒avis和Raymond[3]的假定，不同學(xué)者分別考慮變荷載[4]、地基成層性[5-6]及排水邊界[7]等因素獲得了相應(yīng)情況下的一維非線(xiàn)性固結(jié)解析解答。需要說(shuō)明的是，Davis和Raymond[3]非線(xiàn)性假定下的固結(jié)系數(shù)為一固定值，不能反映固結(jié)系數(shù)隨著固結(jié)過(guò)程而不斷變化這一特點(diǎn)。Barden和Berry[8]假定孔隙比與有效應(yīng)力為對(duì)數(shù)關(guān)系以及滲透系數(shù)與超靜孔隙水壓力為冪函數(shù)關(guān)系建立一維非線(xiàn)性固結(jié)方程，采用有限差分法獲得了一維非線(xiàn)性問(wèn)題的解答。Mesri和Rokhsar[9]提出最經(jīng)典的e-lgσ′和e-lgkv非線(xiàn)性模型。在Mesri和Rokhsar[9]的基礎(chǔ)上，李冰河等[10-11]進(jìn)一步獲得了瞬時(shí)荷載下的非線(xiàn)性固結(jié)問(wèn)題的差分解和半解析解。黃朝煊[12]通過(guò)引入權(quán)重因子，將固結(jié)方程中非線(xiàn)性項(xiàng)線(xiàn)性化，推導(dǎo)出簡(jiǎn)化后土體一維非線(xiàn)性固結(jié)的解析解。此外，不同學(xué)者基于該非線(xiàn)性模型考慮變荷載[13-14]、地基成層性[15-16]及非達(dá)西滲流[17-18]等因素，進(jìn)一步推廣了該非線(xiàn)性模型的運(yùn)用。魏汝龍[19]通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)軟黏土壓縮特征更符合雙曲線(xiàn)模型，而e-lgσ′模型在應(yīng)力較小時(shí)并不符合直線(xiàn)關(guān)系，且運(yùn)用時(shí)需要確定先期固結(jié)壓力。施建勇等[20]引入雙曲線(xiàn)型非線(xiàn)性壓縮關(guān)系，獲得了該模型下的土體一維固結(jié)解析解。由于土體自身特性及應(yīng)力歷史等因素的影響，不同區(qū)域的軟土非線(xiàn)性特性可能不一致。Li等[21]根據(jù)試驗(yàn)提出孔隙比e與壓縮系數(shù)av為e-lgav關(guān)系的非線(xiàn)性壓縮模型，并給出了瞬時(shí)荷載下該非線(xiàn)性固結(jié)問(wèn)題的顯式漸近解，但推導(dǎo)固結(jié)方程時(shí)未對(duì)滲透系數(shù)求導(dǎo)，因此有一定的局限性。e-lgav模型消除了初始有效應(yīng)力為0時(shí)對(duì)孔隙比造成的奇異性影響，而且避免了在實(shí)際工況中初始有效應(yīng)力不易測(cè)得的問(wèn)題。

實(shí)際工程中土體往往在變荷載作用下固結(jié)，因此，本文基于Li等[21]提出的e-lgav壓縮模型和e-lgkv滲透模型，推導(dǎo)出瞬時(shí)荷載及變荷載下一維非線(xiàn)性固結(jié)方程。首先，利用有限差分法得到該非線(xiàn)性模型下的一維固結(jié)問(wèn)題的解答；隨后，通過(guò)與半解析法結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證差分法解答的合理性；最后，詳細(xì)討論了荷載及土體參數(shù)取值對(duì)土體固結(jié)特性的影響。

2 固結(jié)計(jì)算模型

地基固結(jié)模型如圖1所示，圖中H為飽和黏土的厚度。av0和kv0分別為初始?jí)嚎s系數(shù)和初始滲透系數(shù)。q(t)為施加于土層表面的變荷載，其表達(dá)式為

圖1 地基固結(jié)模型Fig.1 Consolidation model of foundation

(1)

式中：q0為初始荷載；qu為恒載階段荷載，也是最終荷載；t0為加載階段完成時(shí)刻，t0之前為加載階段，t0之后為恒載階段；t為時(shí)間。當(dāng)q0=qu時(shí)，該變荷載退化為瞬時(shí)荷載。

采用Li 等[21]提出的非線(xiàn)性壓縮模型及經(jīng)典非線(xiàn)性滲透模型[9]，可得如下孔隙比與壓縮系數(shù)及滲透系數(shù)的非線(xiàn)性關(guān)系：

(2)

(3)

式中：e和e0分別為土的孔隙比和初始孔隙比；av和av0分別為土的壓縮系數(shù)和初始?jí)嚎s系數(shù)；Cc為土的壓縮指數(shù)；kv和kv0分別為土的滲透系數(shù)和初始滲透系數(shù)；Ck為土的滲透指數(shù)。

根據(jù)壓縮系數(shù)的定義[21-22]可知

(4)

式中σ′為土的有效應(yīng)力。

結(jié)合式(2)和式(4)，可求得孔隙比和有效應(yīng)力的關(guān)系為

(5)

式中σ′0表示初始有效應(yīng)力。

由式(3)和式(5)可求得滲透系數(shù)表達(dá)式為

(6)

固結(jié)過(guò)程中土體單元體積的變化為[21-22]

(7)

式中ε表示應(yīng)變。

假定土體中的滲流規(guī)律服從達(dá)西定律[3]，因此有

(8)

式中：v表示滲透流速；u表示超靜孔隙水壓力；γw表示水的重度。

由式(8)可得土體單元滲流的變化為[3]

(9)

式中z為土體深度方向。

根據(jù)土體單元體積的變化等于土體單元滲流的變化這一連續(xù)性假定[10,21]，可得

(10)

根據(jù)有效應(yīng)力原理，有效應(yīng)力表達(dá)式為

σ′=σ′0+q(t)-u。

(11)

由式(2)、式(6)和式(11)可求得固結(jié)系數(shù)表達(dá)式為

式中cv0為初始固結(jié)系數(shù)，cv0=kv0(1+e0)/(γwav0)。

將式(5)、式(6)和式(11)代入式(10)，可得變荷載下土體一維非線(xiàn)性固結(jié)方程，即

(13)

固結(jié)方程(式(13))求解的初始條件為

u(z,0)=q0。

(14)

邊界條件為：

u(0,t)=0 ；

(15)

(16)

為便于方程的求解及固結(jié)特性的分析，引入如下無(wú)量綱參數(shù)：U=u/qu，Z=z/H，Tv=cv0t/H2，Tv0=cv0t0/H2，Q=q(t)/qu，Q0=q0/qu。

將無(wú)量綱參數(shù)代入固結(jié)方程，則固結(jié)方程式(13)變?yōu)?/p>

(17)

其中,

(18)

無(wú)量綱化后相應(yīng)的求解條件為：

U(Z,0)=Q0；

(19)

U(0,t)=0 ；

(20)

(21)

3 固結(jié)方程求解

固結(jié)方程(式(17))為復(fù)雜的非線(xiàn)性偏微分方程，很難求得解析解。因此本文采用差分法求其數(shù)值解。對(duì)于非線(xiàn)性擴(kuò)散方程，一般采用無(wú)條件穩(wěn)定的擬線(xiàn)性隱式格式建立差分方程。對(duì)土層進(jìn)行空間和時(shí)間離散，i、j分別表示空間和時(shí)間節(jié)點(diǎn)，i=0,1,2,…,n；j=0,1,2,…,N?？臻g節(jié)點(diǎn)0表示土層的頂面位置，時(shí)間節(jié)點(diǎn)0表示初始時(shí)刻。時(shí)間步長(zhǎng)用τ表示，空間步長(zhǎng)用h表示，從而可得如下差分方程，即

(22)

其中：

(25)

相應(yīng)的求解條件為：

(26)

(27)

(28)

式(22)可寫(xiě)為如下矩陣形式,即

Aj-1Uj=Bj-1。

(29)

其中：A為三對(duì)角矩陣；U為j時(shí)刻沿深度方向待求無(wú)量綱孔壓組成的數(shù)組；B為j-1時(shí)刻沿深度方向無(wú)量綱孔壓組成的數(shù)組，元素表達(dá)式為：

(30)

(31)

(33)

Bi=Ui+Qj-Qj-1，i=1,2,3,…,n。(34)

由于式(29)關(guān)于未知數(shù)是線(xiàn)性的，其中矩陣A為三對(duì)角矩陣，可采用追趕法進(jìn)行求解。本文在利用追趕法求解時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)τ取0.000 001，空間步長(zhǎng)h取0.01，由于擬線(xiàn)性具有無(wú)條件穩(wěn)定性，且隨著固結(jié)的發(fā)展，當(dāng)土體中變量的變化較小時(shí)，可將時(shí)間步長(zhǎng)適當(dāng)增大，從而減少計(jì)算時(shí)間。因此根據(jù)式(29)可得到無(wú)量綱化超靜孔隙水壓力U的值。

進(jìn)一步可求得按沉降定義的平均固結(jié)度為

(35)

其中：

(36)

(37)

式中：εf表示最終應(yīng)變；ef表示最終孔隙比。

土體沉降s(z,t)的表達(dá)式為

(38)

4 解答對(duì)比

采用李冰河等[11-12]提出的半解析解法對(duì)本文非線(xiàn)性固結(jié)問(wèn)題進(jìn)行求解，并將差分法所得結(jié)果和半解析解答所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證本文差分法解答的可靠性。

采用表1中的土體參數(shù)，固定參數(shù)q0=0，qu=100 kPa，Tv0=0.1，Cc/Ck=0.56，分析了時(shí)間因數(shù)Tv對(duì)超靜孔隙水壓力的影響，并將差分法所得超靜孔隙水壓力解答與半解析解法所得超靜孔隙水壓力解答進(jìn)行了對(duì)比(見(jiàn)圖2)。從圖2可以看出，在參數(shù)取值相同的情況下，差分法和半解析解法得到的超靜孔隙水壓力曲線(xiàn)完全重合，從而驗(yàn)證了差分法解答的正確性。Tv>Tv0時(shí)，外荷載處于恒載階段，此時(shí)超靜孔隙水壓力隨時(shí)間的增大而逐漸消散，因此表現(xiàn)出超靜孔隙水壓力隨著Tv的增大而逐漸減小。

表1 采用Li[21]獲得的土體參數(shù)Table 1 Soil parameters adopted from Li[21]

圖2 差分法與半解析法所得超靜孔隙水壓力曲線(xiàn)對(duì)比Fig.2 Comparison of excess pore water pressure curves obtained by difference method and semi-analytical method

5 固結(jié)性狀分析

采用表1中的土體參數(shù)，分析Cc/Ck及外荷載對(duì)固結(jié)系數(shù)、超靜孔隙水壓力和平均固結(jié)度的影響。

5.1 固結(jié)系數(shù)分析

固結(jié)過(guò)程中孔隙比變化很小，因此由式(12)可知固結(jié)系數(shù)隨時(shí)間因數(shù)的變化趨勢(shì)主要由Cc/Ck值決定。圖3反映了瞬時(shí)荷載作用下本文非線(xiàn)性模型和李冰河等[10]非線(xiàn)性模型所得土層中間位置的固結(jié)系數(shù)隨時(shí)間因數(shù)的變化(σ′=50 kPa,q0=qu)。在同一時(shí)刻下，李冰河等[10]采用的非線(xiàn)性模型所得固結(jié)系數(shù)和本文得到的固結(jié)系數(shù)均隨Cc/Ck值的增大而減小。當(dāng)Cc/Ck<1時(shí)，cv隨超靜孔隙水壓力的消散而增大，表現(xiàn)出cv隨時(shí)間因數(shù)的增大而增大。當(dāng)Cc/Ck=1時(shí)，李冰河等[10]解答下cv不變，而本文解答下cv隨時(shí)間的增大略微減小。當(dāng)Cc/Ck>1時(shí)，cv隨超靜孔隙水壓力的消散而減小，表現(xiàn)出cv隨時(shí)間因數(shù)的增大而減小。此外，外荷載的大小對(duì)固結(jié)系數(shù)也有影響，當(dāng)Cc/Ck<1時(shí)，李冰河等[10]解答及本文解答下cv均隨外荷載q0值的增大而增大；反之，當(dāng)Cc/Ck>1時(shí)，cv均隨著外荷載q0值的增大而減小。因此固結(jié)系數(shù)受Cc/Ck和q0影響，并且本文解答下固結(jié)系數(shù)在固結(jié)過(guò)程中會(huì)隨時(shí)間不斷改變。

圖3 固結(jié)系數(shù)隨時(shí)間因數(shù)變化曲線(xiàn)Fig.3 Curves of consolidation coefficient varying with time factor

5.2 孔壓及平均固結(jié)度分析

固定參數(shù)q0=0，qu=100 kPa，Tv0=0.1，Tv=0.3，分析了Cc/Ck對(duì)超靜孔隙水壓力曲線(xiàn)的影響，見(jiàn)圖4。由圖4可以看出超靜孔隙水壓力隨Cc/Ck值的增大而增大，表明Cc/Ck值越大則土體中超靜孔隙水壓力消散越慢。由式(12)或圖3可知，cv隨Cc/Ck取值的增大而減小，而cv值的減小使土體固結(jié)更慢。因此Cc/Ck值通過(guò)對(duì)cv值產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響到土體超靜孔隙水壓力的消散。

圖4 Cc/Ck對(duì)超靜孔隙水壓力的影響Fig.4 Effect of Cc/Ck value on excess pore water pressure

圖5分析了瞬時(shí)荷載下Cc/Ck對(duì)土體平均固結(jié)度的影響(q0=qu)。由圖3的分析可知，當(dāng)Cc/Ck<1時(shí)，固結(jié)系數(shù)cv隨外荷載的增大而增大，因此圖5表現(xiàn)出外荷載越大，土體平均固結(jié)度Us越大，土體固結(jié)速率越快。當(dāng)Cc/Ck=1時(shí)，由圖3可知，cv隨時(shí)間因數(shù)的增大略微減小，而圖5表現(xiàn)出Us曲線(xiàn)幾乎不隨外荷載變化，并且此時(shí)Us曲線(xiàn)與Terzaghi固結(jié)度曲線(xiàn)基本重合，說(shuō)明Cc/Ck=1時(shí)，固結(jié)系數(shù)的略微減小對(duì)土體固結(jié)度沒(méi)有影響，此時(shí)不需要考慮土體非線(xiàn)性特性的影響。當(dāng)Cc/Ck>1時(shí)，cv隨外荷載的增大而減小，因此圖5表現(xiàn)出外荷載越大，土體平均固結(jié)度越小，土體固結(jié)速率越慢。

圖5 瞬時(shí)荷載下Cc/Ck對(duì)平均固結(jié)度的影響Fig.5 Influence of Cc/Ck on average degree of consolidation under transient loading

固定參數(shù)e0=2.11，Cc=0.34，Cc/Ck=0.5，圖6分析了瞬時(shí)荷載下初始?jí)嚎s系數(shù)av0對(duì)平均固結(jié)度Us的影響(q0=qu)。av0值越大，不同荷載下得到的Us曲線(xiàn)差距越大，即外荷載值對(duì)土體平均固結(jié)度的影響越大；而隨著av0值的變小，不同荷載所得Us曲線(xiàn)差距變小，即外荷載值對(duì)土體平均固結(jié)度的影響變小。當(dāng)av0取值很小時(shí)，外荷載對(duì)Us曲線(xiàn)幾乎沒(méi)有影響，并且此時(shí)本文所得固結(jié)度曲線(xiàn)與Terzaghi固結(jié)度曲線(xiàn)重合，這是由于av0值很小時(shí)，土體壓縮性越小，土體越接近于彈性，說(shuō)明av0取值很小時(shí)，可以忽略土體非線(xiàn)性特性的影響，此時(shí)可直接采用Terzaghi固結(jié)解答進(jìn)行計(jì)算。

圖6 瞬時(shí)荷載下av0對(duì)Us的影響Fig.6 Influence of av0 on Us under transient loading

5.3 沉降分析

采用表2[23]中的土體參數(shù)，固定Cc/Ck=0.5，q0=qu，圖7分析了瞬時(shí)荷載下外荷載對(duì)土體沉降的影響，并與李冰河等[10]一維非線(xiàn)性固結(jié)差分解答進(jìn)行了對(duì)比?？梢钥闯?種解答下土體沉降均隨外荷載的增大而增大。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，李冰河解答受初始有效應(yīng)力的影響非常大，當(dāng)初始有效應(yīng)力較小時(shí)，土體沉降值更大；而當(dāng)初始有效應(yīng)力σ′0=100 kPa時(shí)，本文得到的土體沉降曲線(xiàn)與李冰河解答得到的沉降曲線(xiàn)幾乎重合。在實(shí)際工程中，地基土的初始有效應(yīng)力并不容易確定，并且可能隨深度變化，相比李冰河非線(xiàn)性解答，本文采用的非線(xiàn)性模型不需要測(cè)定初始有效應(yīng)力，因此更便于工程運(yùn)用。

表2 沉降計(jì)算采用的土體參數(shù)[23]Table 2 Soil parameters used in settlement calculation[23]

圖7 荷載大小對(duì)土體沉降的影響Fig.7 Influence of load q0 on soil settlement

采用表2中的土體參數(shù)，固定參數(shù)q0=0，qu=100 kPa，Cc/Ck=0.5，圖8分析了變荷載下加載速率對(duì)土體沉降的影響。Tv0越小，則加載階段時(shí)間越短，說(shuō)明加載速率越大。從圖8可以看出土體沉降速率隨Tv0的減小而增大，說(shuō)明加載速率越快，地基沉降越快。此外，Tv0的變化對(duì)土體最終沉降量沒(méi)有影響。

圖8 加載速率對(duì)土體沉降的影響Fig.8 Influence of loading rate on soil settlement

采用表2中的土體參數(shù)，固定參數(shù)q0=qu=100 kPa，σ′0=22.5 kPa，圖9反映了瞬時(shí)荷載下不同解答所得土體沉降曲線(xiàn)。其中李冰河解答及Davis解答采用的初始有效應(yīng)力值為22.5 kPa，而本文解答及Terzaghi解答在計(jì)算土體沉降時(shí)均不需要考慮初始有效應(yīng)力的影響?？梢钥闯霰疚慕夂屠畋咏獯鸬耐馏w沉降速率均隨Cc/Ck的增大而減小，但Cc/Ck并不影響土體最終沉降。此外，本文解答得到的沉降曲線(xiàn)與Terzaghi解答得到的沉降曲線(xiàn)更為接近，而李冰河解答與Davis解答得到的沉降曲線(xiàn)更為接近。

圖9 不同固結(jié)解答所得土體沉降曲線(xiàn)Fig.9 Settlement curves of soil obtained by different consolidation solutions

6 結(jié) 論

(1)Cc/Ck值越大則土體中超靜孔隙水壓力消散越慢，土體固結(jié)速率越慢。

(2) 當(dāng)Cc/Ck<1時(shí)，固結(jié)系數(shù)cv隨外荷載的增大而增大，土體固結(jié)速率隨外荷載的增大而增大；當(dāng)Cc/Ck=1時(shí)，cv隨時(shí)間變化非常小，此時(shí)可以忽略土體的非線(xiàn)性的影響；當(dāng)Cc/Ck>1時(shí)，cv隨外荷載的增大而減小，土體固結(jié)速率隨外荷載的增大而減小。

(3) 初始?jí)嚎s系數(shù)av0取值較大時(shí)，外荷載對(duì)土體固結(jié)速率的影響較大；而當(dāng)av0取值很小時(shí)，土體壓縮性很小而接近彈性，此時(shí)本文解答與Terzaghi解答基本一致，因此av0取值很小時(shí)可以不考慮土體的非線(xiàn)性特性。

(4) 土體沉降速率隨加載速率的增大或Cc/Ck值的減小而增大。與李冰河等[10]所得固結(jié)解答相比，本文采用的非線(xiàn)性模型不需要考慮土體初始有效應(yīng)力，工程運(yùn)用時(shí)相對(duì)更簡(jiǎn)單。