白 云，陳國強(qiáng)

(1.重慶工商大學(xué) 管理科學(xué)與工程學(xué)院，重慶 400067； 2.重慶市北碚區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會(huì)，重慶 400700)

1 研究背景

城市供水量預(yù)測在水管理和調(diào)度中起著重要作用。尤其是面對(duì)城市缺水，迫切需要精確的供水量預(yù)測模型用于水資源規(guī)劃和管理。目前供水量預(yù)測模型有很多，如多元線性回歸模型[1]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[2]、關(guān)聯(lián)向量機(jī)[3]、支持向量機(jī)(SVM)[4]以及灰色模型[5]等。然而此類單回歸器的建模訓(xùn)練可能會(huì)出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，所以集成學(xué)習(xí)[6]提供了一個(gè)思路。Breiman[7]將他在1996年提出的Bagging集成學(xué)習(xí)理論與Ho[8]在1995年提出的隨機(jī)子空間理論結(jié)合而提出隨機(jī)森林(random forest,RF)。RF是隨機(jī)選擇多個(gè)樹的特性集的子集，以此構(gòu)造成簇的森林，利用每棵樹投票打分的模式進(jìn)行決策分類或回歸。RF模型具有執(zhí)行速度高、計(jì)算量小、計(jì)算精度高等特點(diǎn)，可以處理非線性、交互、非穩(wěn)態(tài)的問題。與其他模型相比[9-10]，RF體現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性。

由于日用水量的非平穩(wěn)性和耦合特征的復(fù)雜性，在應(yīng)用預(yù)測模型前，如果對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行尺度特性提取，將有助于提高預(yù)測精度。例如，Odan等[11]將ANN和傅里葉級(jí)數(shù)組合、Shafaei等[12]將小波分解與自適應(yīng)回歸模型組合、佟長福等[13]構(gòu)建小波組合模型、郝麗娜等[14]提出小波廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合模型。這些基于尺度分解的模型結(jié)果均表明其預(yù)測精度優(yōu)于單一模型，也表明小波變化在時(shí)域和頻域方面具有較強(qiáng)的尺度特性提取能力[15]。

基于以上介紹，本文提出基于尺度特征融合的隨機(jī)森林模型(SF-RF)對(duì)城市日供水量開展預(yù)測。首先，利用離散小波變換對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行尺度轉(zhuǎn)化和細(xì)節(jié)特征提??；然后，根據(jù)各尺度信息的混沌特性構(gòu)建RF模型的輸入輸出結(jié)構(gòu)，其中對(duì)于包含隨機(jī)因子最多的高頻信息予以舍去；最后，疊加各尺度的結(jié)果獲得最終預(yù)測值。將預(yù)測結(jié)果與RF、經(jīng)典神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FFNN)以及融合模型(RF-FFNN)的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

2 模型介紹

2.1 離散小波變換

小波變換是由一系列的數(shù)學(xué)函數(shù)構(gòu)成，它將非平穩(wěn)時(shí)間序列分解為多個(gè)子序列，利用基波(如本文使用的Daubechies小波基)在不同的時(shí)頻域上進(jìn)行轉(zhuǎn)化。離散小波變化(DWT)因?qū)崿F(xiàn)簡易且計(jì)算量小而被廣泛應(yīng)用[16]。圖1為DWT分解示意圖(以2層分解為例)，其中時(shí)間序列x=[xi|i=1, 2,…,N]，N代表時(shí)間長度。

圖1 DWT分解示意圖Fig.1 Decomposition of discrete wavelet transformation

根據(jù)圖1，對(duì)時(shí)間序列x進(jìn)行采樣，利用低通濾波器LP獲得近似因子ak，利用高通濾波器HP獲得細(xì)節(jié)因子dk，則原始時(shí)間序列x的DWT轉(zhuǎn)換形式為

式中k=1, 2, …,K代表分解尺度。

2.2 隨機(jī)森林模型

隨機(jī)森林是由一系列決策樹組成，每棵樹從訓(xùn)練數(shù)據(jù)集中隨機(jī)抽樣單獨(dú)構(gòu)建，并用“if-then”的策略來更新替換，從而形成自上而下的樹狀結(jié)構(gòu)[17]。決策樹使用在所有輸入特征值中最好的特性值進(jìn)行分裂，并在每個(gè)終端節(jié)點(diǎn)處，自上向下添加隨機(jī)預(yù)測節(jié)點(diǎn)。即輸入變量對(duì)應(yīng)于根和輸出可以描述實(shí)際的樹的葉子[18]。從本質(zhì)上講，RF方法是基于分裂節(jié)點(diǎn)的特定區(qū)域搜索最佳值的預(yù)測模式。RF有兩個(gè)參數(shù)，即Ntree(樹木生長的數(shù)量)和s(在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上隨機(jī)取樣的變量數(shù))。隨機(jī)森林回歸執(zhí)行程序如下：

(1)在原始數(shù)據(jù)集中進(jìn)行Bootstrap采樣。

(2)生成初始回歸樹并更新Bootstrap采樣：每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，隨機(jī)選取樣本的輸入特性，并在這些樣本特性中選擇最佳的分割，而不是在所有輸入特性中選擇最佳的分割。

(3)利用out-of-bag理論計(jì)算誤差并評(píng)估更新后的樣本誤差值。

2.3 基于尺度特征融合的隨機(jī)森林模型

基于尺度特征融合的隨機(jī)森林模型(SF-RF)流程如圖2所示。

圖2 SF-RF預(yù)測模型流程Fig.2 Flowchart of the proposed SF-RF model

建模步驟總結(jié)如下：

第一步，日供水量時(shí)間序列分組，80%數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，20%作為測試集。

第二步，對(duì)不同數(shù)據(jù)集分別執(zhí)行DWT程序，此程序在Matlab 2018a中執(zhí)行。

(1)本文選擇’db4’小波。

(2)小波變換過程中，尺度K過大原始數(shù)據(jù)失真，而尺度過小近似部分中包含較多隨機(jī)事件或噪聲。本文采用實(shí)驗(yàn)法確定。

第三步，對(duì)各尺度因子序列分別建立RF回歸模型。

(1)對(duì)于第k個(gè)細(xì)節(jié)因子序列，其輸入為[dk(i-τ), dk(i-2τ), …, dk(i-(m-1)τ)]，期望輸出為[dk(i)]。類似的，第K個(gè)近似因子序列的輸入-輸出結(jié)構(gòu)為[aK(i-τ), aK(i-2τ), …, aK(i-(m-1)τ); aK(i)]。其中，m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時(shí)間。本文采用C-C法來確定[19]。

(2) RF模型由Matlab工具箱實(shí)現(xiàn)，其中兩個(gè)主要參數(shù)Ntree和s由經(jīng)驗(yàn)值確定[20]。

第四步，利用測試集數(shù)據(jù)和訓(xùn)練好的各尺度RF模型，用來預(yù)測下一時(shí)段各因子序列。

第五步，根據(jù)式(1)，線性融合各尺度特征的預(yù)測值，則輸出最終結(jié)果，即

(2)

式中字母帶有符號(hào)“∧”代表預(yù)測值。

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 數(shù)據(jù)描述

本文研究數(shù)據(jù)來源于重慶某水廠，該水廠建設(shè)于2011年，核定供水能力為20萬t/d，主要供給居民生活用水和工業(yè)用水。2013年第一個(gè)方向的供水管網(wǎng)正式使用，第一方向的日用水量數(shù)據(jù)從2013年1月21日至2016年1月20日，共1 095個(gè)數(shù)據(jù)。歷史記錄見圖3。

圖3 原始數(shù)據(jù)集Fig.3 Historical records

歷史數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性見表1。根據(jù)最小值、最大值和均值統(tǒng)計(jì)，可以得出訓(xùn)練集包含了測試集中所有信息，說明數(shù)據(jù)分組是合理的。另外，峭度值均>3(一般的，正態(tài)分布的峭度值為3)，說明原始數(shù)據(jù)中大幅值的概率密度增加，幅值的分布偏離正態(tài)分布，體現(xiàn)出數(shù)據(jù)演變的復(fù)雜性。

表1 供水量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)學(xué)特性Table 1 Statistical characteristics of water supply data

3.2 評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文采用2個(gè)指標(biāo)進(jìn)行模型評(píng)價(jià)，相關(guān)系數(shù)(R)和標(biāo)準(zhǔn)均方誤差(NRMSE)。根據(jù)表1中統(tǒng)計(jì)值，數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍較大，為了便于不同數(shù)值區(qū)間的誤差比較，采用標(biāo)準(zhǔn)化的均方誤差。

(1) 相關(guān)系數(shù)的表達(dá)式為

(3)

式中x帶有符號(hào)“-”代表平均值。

(2)標(biāo)準(zhǔn)均方誤差的表達(dá)式為

(4)

4 結(jié)果和討論

4.1 預(yù)測結(jié)果

根據(jù)SF-RF建模步驟，訓(xùn)練所得模型參數(shù)見表2。

表2 模型參數(shù)設(shè)定匯總
Table 2 Definition of model parameters

建模環(huán)節(jié)參數(shù)設(shè)定尺度分解(DWT)’db4’母波, K=4特性重構(gòu)(C-C)a4(m=3, τ=25), d4(m=13, τ=6), d3(m=19, τ=4), d2(m=6, τ=7), d1(m=3, τ=4)回歸建模(RF)Ntree=1 000, s=m/3 (即a4取1,d4取4,d3取1,d2取2,d1取1)

根據(jù)表2模型參數(shù)設(shè)定，對(duì)測試集(2015年5月27日到2016年1月21日)進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果見圖4。

圖4 各尺度隨機(jī)森林模型預(yù)測結(jié)果Fig.4 Forecast results using RF model in each scale

由圖4可知，近似序列a4的預(yù)測效果最好，預(yù)測趨勢完全模擬了真實(shí)演變。細(xì)節(jié)序列的預(yù)測表現(xiàn)出如下規(guī)律，即隨頻率的增大，預(yù)測效果變差(尤其是在峰值點(diǎn))。例如，細(xì)節(jié)序列d4預(yù)測趨勢與觀察序列一致，但隨著頻率增高，細(xì)節(jié)序列d1預(yù)測能力在極值突變處表現(xiàn)最差。

近似序列a4可以看成是原始序列的趨勢提取項(xiàng)，其幅值是最大的，所以是影響預(yù)測精度的重要尺度特征。細(xì)節(jié)序列d1的高頻信息含有過多噪聲(真實(shí)系統(tǒng)中的隨機(jī)事件干擾導(dǎo)致)，可以看成是原始序列的隨機(jī)提取項(xiàng)，而尺度越小(頻率越高)預(yù)測精度越低，所以在尺度特征融合時(shí)不考慮細(xì)節(jié)序列d1的預(yù)測結(jié)果。此處理既減少了高頻噪聲信號(hào)的干擾，也盡可能保留了原始時(shí)間序列的有效信息。

圖5(a)為SF-RF模型的最終預(yù)測圖，與觀測值相比，其趨勢、拐點(diǎn)、峰值等均能夠較好擬合，NRMSE=0.056。圖5(b)為預(yù)測值與觀測值的散點(diǎn)圖，兩組數(shù)據(jù)呈現(xiàn)聚集趨勢，R=0.913。與全尺度特征的融合結(jié)果相比(不刪除d1尺度，NRMSE=0.067，R=0.87)，不考慮高頻信號(hào)d1的融合策略，對(duì)削弱時(shí)間序列的隨著機(jī)干擾有顯著作用。然而，SF-RF模型對(duì)于極大值的預(yù)測也體現(xiàn)出不足，主要原因有以下兩個(gè)方面：① 高頻信息的隨機(jī)效應(yīng)，特別是對(duì)高峰突變值的預(yù)測干擾，通過誤差累積影響了尺度融合結(jié)果；② 根據(jù)文獻(xiàn)[19]，m和τ也會(huì)受到隨機(jī)事件的影響(例如，圖3中2015年2個(gè)突變點(diǎn))，從而導(dǎo)致模型輸入結(jié)構(gòu)的適宜性，即局部相空間特性學(xué)習(xí)不足影響了映射關(guān)聯(lián)度。整體而言，本文提出的SF-RF模型可以較好地模擬日供水量預(yù)測。

圖5 SF-RF模型預(yù)測結(jié)果Fig.5 Forecast results using the proposed SF-RF model

4.2 對(duì)比分析

為了比較本文提出的SF-RF模型性能，2個(gè)獨(dú)立模型RF和FFNN、1個(gè)尺度特性融合的SF-FFNN模型對(duì)相同數(shù)據(jù)集進(jìn)行建模和預(yù)測。

3個(gè)對(duì)比模型的預(yù)測結(jié)果見圖6。從圖6可以發(fā)現(xiàn)，尺度融合模型SF-FFNN預(yù)測性能優(yōu)于其他2種獨(dú)立模型，而與本文提出的SF-RF模型相比，極值擬合效果一般。表3匯總了4種模型的評(píng)價(jià)結(jié)果。

圖6 對(duì)比模型預(yù)測結(jié)果Fig.6 Forecast results of comparative models

表3 模型性能評(píng)估結(jié)果Table 3 Results of model performance evaluation

表3顯示：① 尺度特性融合模型(SF-RF和SF-FFNN)預(yù)測性能均優(yōu)于獨(dú)立模型(RF和FFNN)，說明考慮尺度特征的建模，既減少了隨機(jī)干擾(高頻信息)，又降低了模型學(xué)習(xí)難度(將復(fù)雜單尺度時(shí)間序列轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵味喑叨纫蜃有蛄?，從而提高了獨(dú)立建模的預(yù)測精度;② 樹結(jié)構(gòu)模型(SF-RF和RF)預(yù)測性能均優(yōu)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(FFNN和SF-FFNN)，驗(yàn)證了RF模型在預(yù)測領(lǐng)域的優(yōu)勢。所以，本文提出的SF-RF模型獲得了最低的NRMSE值和最高的R值，預(yù)測效果最好。

5 結(jié) 論

本文提出基于尺度特征融合的隨機(jī)森林模型來預(yù)測城市日供水量。首先，利用小波分解技術(shù)將單尺度時(shí)間序列的耦合特征轉(zhuǎn)化為多尺度的低、高頻特征；然后，利用混沌特性確定各尺度的隨機(jī)森林映射關(guān)系；最后，利用線性融合將各尺度特性預(yù)測結(jié)果集成。研究表明，尺度特征融合有利于提高預(yù)測精度，且預(yù)測精度隨頻率的增加而降低。

對(duì)比3種模型，本文提出的SF-RF模型獲得了最好的精度，適用于短期預(yù)測，為日供水量預(yù)測提出了一種新的思路。

本文以去除一個(gè)高頻信號(hào)(細(xì)節(jié)因子)為融合策略，提高了日供水量預(yù)測精度。而如何進(jìn)一步分解高頻信號(hào)、識(shí)別高頻信號(hào)中有效特征、構(gòu)建信息高利用率和高精度的預(yù)測模型是下一步的研究方向。