黃國(guó)慶， 范宇航， 姜 言

(1. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400045; 2. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院， 重慶 400715)

隨著鋼材等輕質(zhì)高強(qiáng)材料的廣泛使用，使得高層建筑朝著高聳、輕柔的方向快速發(fā)展。由于結(jié)構(gòu)剛度和阻尼的不斷減小，結(jié)構(gòu)風(fēng)敏感性的逐漸增加，抗風(fēng)性能已成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的控制性因素[1]。一方面，風(fēng)荷載作用下的過大變形或振動(dòng)，嚴(yán)重影響了結(jié)構(gòu)的安全性和舒適性。另一方面，當(dāng)風(fēng)荷載長(zhǎng)期、往復(fù)地作用在結(jié)構(gòu)上時(shí)，盡管循環(huán)應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料極限應(yīng)力，但結(jié)構(gòu)內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生疲勞損傷，待損傷累積到一定程度，結(jié)構(gòu)會(huì)發(fā)生疲勞破壞。不同于強(qiáng)度破壞，疲勞破壞是一種長(zhǎng)期效應(yīng)，具有強(qiáng)隱蔽性[2]。因此，評(píng)估高層建筑的疲勞損傷對(duì)其耐久性研究至關(guān)重要。

目前，結(jié)構(gòu)疲勞損傷分析方法主要有時(shí)域法和頻域法。其中，時(shí)域法需獲得結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置處的應(yīng)力時(shí)程，之后通過循環(huán)計(jì)數(shù)方法得到該應(yīng)力時(shí)程的應(yīng)力幅值分布、平均應(yīng)力以及循環(huán)次數(shù)等，最后結(jié)合疲勞損傷理論和材料S-N曲線來進(jìn)行疲勞損傷估計(jì)[3]。常用的時(shí)域法為雨流法[4]。該方法精度高且應(yīng)用范圍廣，故常被作為評(píng)價(jià)其他方法準(zhǔn)確性的基準(zhǔn)[5]。然而隨著應(yīng)力時(shí)程的不斷增加，該方法計(jì)算效率逐漸降低。

不同于時(shí)域法，頻域法是根據(jù)荷載作用下結(jié)構(gòu)關(guān)鍵位置處應(yīng)力時(shí)程的統(tǒng)計(jì)特性來描述應(yīng)力幅值以及循環(huán)次數(shù)等信息，并結(jié)合疲勞損傷理論和材料S-N曲線估計(jì)疲勞累積損傷。該方法能夠避免繁瑣的時(shí)程分析，因而具有良好的工程應(yīng)用前景。常用的頻域法有窄帶法[6]、等效窄帶法[7]、等效應(yīng)力法[8]、Dirlik疲勞計(jì)算公式[9]、Zhao-Baker疲勞損傷公式[10]和Tovo-Benasciutti譜方法(T-B譜方法)等[11]。其中，T-B譜方法具有廣泛的適用范圍和較好的理論基礎(chǔ)。該方法不僅形式簡(jiǎn)便，而且可以給出明確的循環(huán)分布信息，甚至可以應(yīng)對(duì)非高斯應(yīng)力響應(yīng)過程所引起的疲勞損傷問題[12]。

然而隨著反映材料疲勞特性曲線(S-N曲線)的斜率參數(shù)增加，T-B譜方法與雨流法的差異逐漸增加。鑒于此，本文首先以高層建筑順風(fēng)向、橫風(fēng)向以及耦合風(fēng)振疲勞損傷為研究對(duì)象，并以時(shí)域雨流法為基準(zhǔn)，評(píng)價(jià)了原有兩種T-B譜方法的計(jì)算精度；其次，基于該方法關(guān)鍵參數(shù)的分析結(jié)果，并利用數(shù)值模擬，給出了關(guān)鍵參數(shù)的包絡(luò)值；最后，基于該包絡(luò)值提出了改進(jìn)的T-B譜方法，同時(shí)驗(yàn)證了其有效性。

1 高斯隨機(jī)過程下疲勞損傷的分析方法

1.1 時(shí)域法

時(shí)域內(nèi)計(jì)算疲勞損傷最直接的手段就是利用循環(huán)計(jì)數(shù)法統(tǒng)計(jì)出應(yīng)力幅值分布、平均應(yīng)力以及循環(huán)次數(shù)等關(guān)鍵信息，再結(jié)合材料S-N曲線和疲勞損傷理論來估計(jì)疲勞損傷[13]。目前，常用的循環(huán)計(jì)數(shù)法主要包括峰值計(jì)數(shù)法、界限計(jì)數(shù)法、幅值平均計(jì)數(shù)法以及雨流計(jì)數(shù)法等。其中，Matsuishi和Endo提出的雨流計(jì)數(shù)法具有最好計(jì)算精度。該方法能較好地反映隨機(jī)加載的全過程，其特點(diǎn)是識(shí)別響應(yīng)時(shí)程曲線的每個(gè)回轉(zhuǎn)點(diǎn)，并記下完整的滯回環(huán)，進(jìn)而得到一個(gè)振幅為行、均值為列的矩陣。分析每個(gè)均值和振幅，可得對(duì)應(yīng)的滯回環(huán)數(shù)目，從而獲得各應(yīng)力幅下結(jié)構(gòu)的實(shí)際循環(huán)次數(shù)[13]。

材料S-N曲線表示了應(yīng)力幅與循環(huán)次數(shù)之間關(guān)系。常用的S-N曲線為冪函數(shù)形式[14]

N(p)=Cp-m

(1)

式中：N(p)為常幅疲勞荷載p下，材料達(dá)到疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)；m為斜率參數(shù)；C為參考疲勞強(qiáng)度。

基于材料的S-N曲線，結(jié)合Miner線性累積損傷法則[15]，則累積疲勞損傷可表示為

(2)

式中：D為累積損傷值(D≤1)，D=1表明結(jié)構(gòu)處于疲勞破壞臨界狀態(tài)；nu為應(yīng)力幅pu所對(duì)應(yīng)的循環(huán)次數(shù)；Nu為常幅疲勞荷載pu作用下，材料疲勞破壞的循環(huán)次數(shù)，可由式(1)獲得；n為總的循環(huán)次數(shù)。

通過實(shí)測(cè)或者數(shù)值模擬得到疲勞破壞控制點(diǎn)的應(yīng)力時(shí)程后，利用雨流計(jì)數(shù)法可得相應(yīng)的應(yīng)力循環(huán)幅值等信息。如果不考慮平均應(yīng)力的影響，可得該時(shí)程內(nèi)的累積疲勞損傷為

(3)

1.2 頻域法

對(duì)于零均值的窄帶隨機(jī)過程X(t)，其響應(yīng)應(yīng)力幅值p的概率密度函數(shù)服從瑞利分布，即[16]

(4)

(5)

(6)

式中:0≤α1≤α2≤1，當(dāng)α1=α2=0時(shí)表示相應(yīng)的響應(yīng)過程為白噪聲，而當(dāng)α1=α2=1時(shí)響應(yīng)過程為嚴(yán)格的窄帶隨機(jī)過程；λv為功率譜SX(f)的v階統(tǒng)計(jì)矩。

結(jié)合疲勞Miner線性損傷理論和材料的S-N曲線，可得窄帶高斯過程的疲勞損傷率為

(7)

相比而言，寬帶高斯過程的應(yīng)力幅分布形式復(fù)雜，目前尚無理論結(jié)果。為了準(zhǔn)確地評(píng)估寬帶高斯過程的疲勞損傷，許多學(xué)者提出了一系列經(jīng)驗(yàn)公式來近似表達(dá)該過程下的應(yīng)力幅分布，如T-B譜方法等。通常，利用線性損傷準(zhǔn)則估算寬帶高斯隨機(jī)過程的疲勞損傷存在以下關(guān)系

E[DRM]≤E[DRF]≤E[DLC]=E[DNB]

(8)

式中:E[DRM]、E[DRF]和E[DLC]分別為幅值平均法、雨流法和界限法估計(jì)的疲勞損傷率；T-B譜方法將雨流法結(jié)果近似表示為E[DRM]和E[DLC]的線性組合，即：

E[DRF]≈E[DTB]=bE[DLC]+(1-b)E[DRM]=

(9)

式中，b為待定系數(shù)，其反映了上述三種方法之間的關(guān)系。明顯地，如何確定參數(shù)b是利用該方法的關(guān)鍵。其現(xiàn)有結(jié)果主要為數(shù)值模擬得到的擬合解，包括Tovo和Benasciutti提出的擬合結(jié)果

(α1+α2))e2.11α2]

(10)

以及Ding和Chen根據(jù)高層建筑風(fēng)致結(jié)構(gòu)疲勞響應(yīng)獲得的擬合解等

(11)

2 高層建筑風(fēng)致疲勞損傷分析

本節(jié)以高層建筑順風(fēng)向、橫風(fēng)向以及耦合風(fēng)振響應(yīng)(結(jié)構(gòu)基底應(yīng)力響應(yīng))產(chǎn)生的疲勞損傷為例。其中，耦合響應(yīng)為順風(fēng)向響應(yīng)和橫風(fēng)向響應(yīng)的矢量和，且僅考慮一階線性模態(tài)作用。該結(jié)構(gòu)位于城市當(dāng)中，高度H為200 m，寬度B和深度D均為0.2H，且假定質(zhì)量沿高度均勻分布；結(jié)構(gòu)頂端平均風(fēng)速的取值范圍為5～50 m/s，間隔為5 m/s；結(jié)構(gòu)順風(fēng)向和橫風(fēng)向基頻分別為0.230 Hz和0.276 Hz；結(jié)構(gòu)材料為Q345鋼材，材料彈性模量為206 GPa、泊松比為0.3；材料S-N曲線參數(shù)m的取值為3～5[17]，C的取值1.28×1011(MPa)3[18]，且不隨m變化；結(jié)構(gòu)的阻尼比分別取0.01、0.02和0.05，未考慮瑞利阻尼。

需要說明的是，鋼材S-N曲線可能存在一條水平漸近線，即材料疲勞極限強(qiáng)度。當(dāng)構(gòu)件荷載小于疲勞極限時(shí)，理論上該構(gòu)件不會(huì)產(chǎn)生疲勞破壞。由于高層建筑在設(shè)計(jì)服役期內(nèi)的循環(huán)次數(shù)遠(yuǎn)大于疲勞極限循環(huán)次數(shù)，為計(jì)算方便，往往不考慮材料疲勞極限，且認(rèn)為所有應(yīng)力循環(huán)都會(huì)產(chǎn)生疲勞損傷。顯然，上述假設(shè)是偏安全的。

2.1 荷載響應(yīng)譜及其特性

由于僅考慮一階線性模態(tài)下的響應(yīng)，該結(jié)構(gòu)廣義荷載Q(t)可通過其基底彎矩M(t)計(jì)算獲得，即Q(t)=M(t)/H。本研究采用了日本建筑學(xué)會(huì)所(AIJ)提出的方法[19]，通過歸一化的基底彎矩即基底彎矩系數(shù)來計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)譜，具體過程如下：

對(duì)于順風(fēng)向響應(yīng)來說，其基底彎矩系數(shù)功率譜可表示為

(12)

其中，

(13)

(14)

(15)

對(duì)于橫風(fēng)向響應(yīng)來說，基底彎矩系數(shù)功率譜可表示為

(16)

(17)

β2=0.28η-0.34

(18)

(19)

(20)

式中:ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比；M為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量。

就本文所述結(jié)構(gòu)而言，當(dāng)阻尼比ζ為0.01時(shí)，結(jié)構(gòu)頂端風(fēng)速(最大為50 m/s)滿足不等式(16)的約束。結(jié)合式(17)，可知當(dāng)阻尼比為0.02和0.05時(shí)，臨界風(fēng)速取值更大，因此本文所述結(jié)構(gòu)無需驗(yàn)算渦激共振。

根據(jù)上述基底彎矩系數(shù)譜，可得廣義力荷載譜，進(jìn)而結(jié)合結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)獲得位移響應(yīng)譜。將位移響應(yīng)乘以常數(shù)系數(shù)M1(2πf1)2Hφs(M1為廣義質(zhì)量；φs為單位彎矩下的基底應(yīng)力)，可得最終的應(yīng)力響應(yīng)。由于僅考慮一階線性模態(tài)下的響應(yīng)，則結(jié)構(gòu)頂端位移響應(yīng)特性與基底應(yīng)力響應(yīng)特性一致。圖1～3分別給出順風(fēng)向、橫風(fēng)向以及耦合風(fēng)振作用下相應(yīng)的疲勞響應(yīng)帶寬參數(shù)結(jié)果。

圖1 順風(fēng)向響應(yīng)帶寬參數(shù)

圖2 橫風(fēng)向響應(yīng)帶寬參數(shù)

圖3 耦合響應(yīng)帶寬參數(shù)

由圖1～3可知，帶寬參數(shù)隨風(fēng)速增加逐漸增大趨近于1，阻尼比的減少又會(huì)加劇上述變量的變化程度。換而言之，隨著風(fēng)速的增加和阻尼比的減少，響應(yīng)過程越來越趨近于窄帶隨機(jī)過程。其中，順風(fēng)向響應(yīng)具有最寬的帶寬參數(shù)。

2.2 改進(jìn)的T-B譜方法

基于上述荷載響應(yīng)譜，本節(jié)以時(shí)域雨流法為基準(zhǔn)來評(píng)估T-B譜方法的性能。首先，利用經(jīng)典譜表示法模擬廣義力譜所對(duì)應(yīng)的廣義力時(shí)程(以風(fēng)速為20 m/s、阻尼比取0.01為例，給出了順風(fēng)向結(jié)果，如圖4所示)，采樣頻率為10 Hz，模擬時(shí)距為8 000 s；采用8 000 s時(shí)距的原因見附錄；其次，將廣義力荷載加載在結(jié)構(gòu)上，通過Newmark法計(jì)算得到應(yīng)力響應(yīng)時(shí)程(即名義應(yīng)力時(shí)程)；最后，利用雨流法估計(jì)該段時(shí)程所產(chǎn)生的平均疲勞損傷DRF。上述過程進(jìn)行1 000次，取平均值并記為E[DRF]。

圖4 順風(fēng)向廣義力時(shí)程圖

圖5 應(yīng)力循壞次數(shù)和應(yīng)力幅的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

圖6 應(yīng)力幅分布

(a) 順風(fēng)向

為了進(jìn)一步評(píng)估T-B譜方法的計(jì)算精度，圖8以阻尼比取0.01為例，給出了m取值分別為3、4和5時(shí)，雨流法和T-B譜方法計(jì)算結(jié)果間的誤差結(jié)果。該誤差被定義為

(21)

由圖8可知，隨著m的增加，雨流法和T-B譜方法間的誤差越來越明顯，甚至超過了20%。其中，對(duì)于帶寬較寬的高斯隨機(jī)過程來說(即風(fēng)速較小處)，采用b=bTB計(jì)算方法具有較好的預(yù)測(cè)精度；而對(duì)于帶寬較窄的高斯隨機(jī)過程來說(即風(fēng)速較大處)，采用b=bDC估計(jì)方法具有更高的精度。因此，需要對(duì)參數(shù)b展開進(jìn)一步研究，來更好地估計(jì)疲勞損傷。

(a) bTB順風(fēng)向

圖9給出了三種b值的結(jié)果，即雨流法確定的bsim和基于T-B譜方法的兩種擬合值(分別為bTB和bDC)。由圖9可知，bsim與bTB和bDC之間的最大值較為接近?；诖?，給出了參數(shù)b的新擬合結(jié)果

(a) 順風(fēng)向

bsim≈bnew=max(bTB,bDC)

(22)

表1～3分別給出了m取3、4、5的情況下，原有T-B譜方法及改進(jìn)方法分別與雨流法之間的誤差。由表可知，改進(jìn)方法的精度相較原有方法均有一定程度的提高且最大誤差不超過20%。其中在m為3時(shí)，改進(jìn)方法與雨流法間的誤差均小于2.5%(最大誤差為2.48%)。以橫風(fēng)向結(jié)果為例，其平均誤差僅為0.96%，而原有T-B譜方法的平均誤差分別為4.25%和2.14%。為了進(jìn)一步分析，表4給出了阻尼比為0.01時(shí)，改進(jìn)方法的平均誤差相對(duì)原有T-B譜方法的降低程度，以橫風(fēng)向結(jié)果為例，m為3時(shí)其降低程度分別為77.49%和55.38%；m為4時(shí)其降低程度分別為53.89%和16.72%；m為5時(shí)其降低程度分別為46.36%和14.98%。此外，當(dāng)阻尼比為0.02和0.05時(shí)，所得結(jié)果與上述類似，故不再贅述。

表1 T-B譜方法及其改進(jìn)方法與雨流法誤差(m=3, ζ=0.01)

表2 T-B譜方法及其改進(jìn)方法與雨流法誤差(m=4, ζ=0.01)

表3 T-B譜方法及其改進(jìn)方法與雨流法誤差(m=5, ζ=0.01)

由表1～表4可知，T-B譜方法的關(guān)鍵是確定參數(shù)b。研究通過數(shù)值模擬獲得了新的b值表達(dá)式，結(jié)果表明其能更好地預(yù)測(cè)風(fēng)致疲勞損傷。

表4 改進(jìn)方法相對(duì)原有T-B譜方法平均誤差的降低 程度(ζ=0.01)

3 結(jié) 論

本文以高層建筑順風(fēng)向、橫風(fēng)向以及耦合風(fēng)振疲勞損傷為研究對(duì)象，并以時(shí)域雨流法為基準(zhǔn)，首先評(píng)價(jià)了原有兩種T-B譜方法的計(jì)算精度；其次，基于該方法關(guān)鍵參數(shù)的分析結(jié)果，并結(jié)合數(shù)值模擬，給出了該參數(shù)的包絡(luò)值；最后，基于該包絡(luò)值提出了改進(jìn)的T-B譜方法，同時(shí)驗(yàn)證了其有效性。通過上述研究，得出以下結(jié)論：

(1) 相比時(shí)域雨流法而言，原有兩種頻域T-B譜方法依舊有效。然而，隨著反映材料疲勞特性曲線(S-N曲線)的斜率參數(shù)增加，其與雨流法之間的誤差越來越明顯，甚至超過20%；

(2) 相比原有兩種T-B譜方法，改進(jìn)方法更接近雨流法計(jì)算結(jié)果，以橫風(fēng)向且材料S-N曲線斜率參數(shù)m=3的結(jié)果為例，其平均誤降低程度分別為77.49%和55.38%；

(3) 值得說明的是，根據(jù)各國(guó)規(guī)范可知，鋼材S-N曲線的斜率參數(shù)取值主要為3[18]。此時(shí)，改進(jìn)T-B譜方法計(jì)算所得疲勞損傷與雨流法之間的誤差均在2.5%的范圍內(nèi)。由此可知，該方法在實(shí)際工程中具有一定的意義。

附錄A

文獻(xiàn)[20]表明響應(yīng)的時(shí)距對(duì)雨流法計(jì)算結(jié)果影響較大，其中，由于順風(fēng)向響應(yīng)具有最寬的帶寬參數(shù)(見圖1)，因此其要求的合理時(shí)距最長(zhǎng)，如圖A1所示。同時(shí)，相比常規(guī)建筑物而言，高層建筑阻尼比較小，因而其達(dá)到振動(dòng)穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間更長(zhǎng)。為保證雨流法的準(zhǔn)確性且避免瞬態(tài)響應(yīng)的干擾，本文模擬樣本的總時(shí)距取8 000 s。其中，樣本有效時(shí)距長(zhǎng)度為6 000 s。

圖A.1 順風(fēng)向響應(yīng)下保證雨流法正確性的合理時(shí)距