胡嘉豪 ， 蔣 沐 ， 方 沙 ， 劉成志

（湖南人文科技學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，湖南 婁底 417000）

0 引言

2021年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題中，需要確定“FAST”望遠(yuǎn)鏡主動反射面的理想拋物面使得其在接收天體電磁波時具有最佳接收效果。FAST是中國500 m口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡（Fivehundred-meter Aperture Spherical radio Telescope）的簡稱，也稱中國天眼。FAST是當(dāng)今世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡。題目需要在反射面板調(diào)節(jié)約束下，確定一個理想拋物面，使其工作拋物面盡可能地貼近理想拋物面。

關(guān)于望遠(yuǎn)鏡的工作原理有學(xué)者做了一些研究。早在2006年，陳憶就對FAST的主動主反射面進(jìn)行了相關(guān)研究。通過理論分析和模型研究了每個單元球面塊在望遠(yuǎn)鏡跟蹤過程中的拋物面的運(yùn)動[1]。文獻(xiàn)[2]根據(jù)FAST主動反射面的結(jié)構(gòu)和工作原理，基于反射面單元動態(tài)面形精度分析，研究了FAST瞬時拋物面的擬合精度。文獻(xiàn)[3]在縮小的射電天文望遠(yuǎn)鏡模型上對FAST的主動反射面測量控制方案進(jìn)行驗證試驗、分析，并給出了優(yōu)化方案。文獻(xiàn)[4]根據(jù)FAST反射面系統(tǒng)的要求及特點(diǎn)，提出了一個新的反射面結(jié)構(gòu)體系方案——全球面整體張拉結(jié)構(gòu)方案；并針對該結(jié)構(gòu)體系給出目標(biāo)位置成形分析的計算方法；最后采用支座位移法模擬FAST反射面由球面張拉擬合成拋物面的過程。文獻(xiàn)[5]根據(jù)FAST主動反射面和饋源索支撐的方式，精確推導(dǎo)了主動反射面和饋源運(yùn)動的數(shù)學(xué)方程，并分析了饋源節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動范圍、速度和定位精度要求。文獻(xiàn)[6]指出空域極化特性是焦徑比和偏饋角的函數(shù)，并根據(jù)單偏饋拋物面天線設(shè)計中的約束設(shè)定了天線模型的參數(shù)。

本研究利用解析幾何的相關(guān)知識，建立了主動反射面理想拋物面的數(shù)學(xué)模型，為后面問題的研究提供參考依據(jù)。

1 理想拋物面模型的建立

理想拋物面模型需要考慮反射面板調(diào)節(jié)等因素。首先需根據(jù)天體方位角與焦徑比的關(guān)系確定拋物面中心點(diǎn)坐標(biāo)，然后再建立理想拋物線的數(shù)學(xué)模型以確定理想拋物面的方程。

該問題涉及天體方位角與焦徑比的關(guān)系公式，首先給出焦徑比與輻射方向角的關(guān)系[7]：

其中，焦徑比是指拋物面的焦距與口徑之比，即：P/D1。P為拋物面的焦距，D1為拋物面在垂直于軸線的面上投影的口徑直徑。焦徑比與饋源的方向角γ的關(guān)系如圖1所示。

圖1 焦徑比P/D1與方向角γ的關(guān)系圖

通過剖解FAST的主動反射面，得到剖面示意圖如圖2所示。圖2中，記觀測天體S到球心C的距離為SC，SC與工作拋物面邊界的夾角為δ，饋源倉到工作拋物面口徑中點(diǎn)的長度為L。從而可根據(jù)基準(zhǔn)球面的半徑R、口徑D1與半徑差F來求解SC與工作拋物面邊界的夾角δ得到長度L，然后再求解方向角γ得到焦距P，據(jù)此寫出拋物線方程后即可求解出理想拋物面方程。理想拋物面方程的求解流程如圖3所示。

圖2 α=0°、β=90°時主動反射面的剖面圖

圖3 理想拋物面方程的求解流程圖

2 理想拋物面模型的求解

為了進(jìn)一步求解拋物面的理想方程，首先以球心C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖4所示。

圖4 以球心為原點(diǎn)建立的空間直角坐標(biāo)系

根據(jù)題目中已知的數(shù)據(jù)，有基準(zhǔn)球面球心C的半徑R=300 m，F(xiàn)=0.466R，D1=300 m。題中說明了饋源艙所在的焦面與主動反射面為同一個球心。題目一中給出了α與β的角度，由題目中所給出的調(diào)節(jié)基準(zhǔn)球面上的部分反射面形成以被觀測物體到焦點(diǎn)的直線為對稱軸，可以得出D1被直線CP平分，則有：

因此δ= 30°，于是：

由題可知CP=R-F，從而：

將式（2）和式（3）代入式（1）可得拋物面的焦距P=1.398 3×102。

設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px。根據(jù)文獻(xiàn)[8-9]中關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦問題、拋物面的坐標(biāo)變換、坐標(biāo)軸平移、拋物面方程回歸等一系列問題的研究可知，p為焦距P的兩倍。理想拋物線應(yīng)在z軸的負(fù)半軸，而由于觀測天體方位角與仰角分別為：α=0°，β=90°。即觀測天體位于主動反射面的正上方，所以拋物線的頂點(diǎn)將平移至基準(zhǔn)球面最低點(diǎn)，從而理想拋物線的方程可寫成：

這里的z0即為基準(zhǔn)球面的最低點(diǎn)，即z0=300.033 9。

將焦距P和z0代入式（4）可得到主動反射面的理想拋物線方程：

由旋轉(zhuǎn)拋物面知識[10]，根據(jù)理想拋物線的方程可寫出理想拋物面的方程：

當(dāng)觀測天體方位角和仰角分別為α=0°、β=90°時，理想拋物面的三維立體圖如圖5所示。為了進(jìn)行比較，根據(jù)題目所給的FAST基準(zhǔn)球面的信息繪出其相應(yīng)的三維立體圖如圖6所示。為了更清晰地進(jìn)行對比，圖7中將這兩個三維立體圖放入一個坐標(biāo)系中進(jìn)行比對，不難看出，理想拋物面與FAST基準(zhǔn)球面的擬合程度較高。

圖5 α=0°、β=90°時理想拋物面的三維圖

圖6 基準(zhǔn)球面的三維圖

圖7 在α=0°、β=90°的情況下理想拋物面在基準(zhǔn)球面中的三維圖

3 結(jié)論

為使得FAST望遠(yuǎn)鏡在接收觀測天體的電磁波時達(dá)到最佳效果，本研究通過分析FAST的剖解面，利用解析幾何的知識探討了當(dāng)觀測天體方位角和仰角分別為0°、90°時FAST 望遠(yuǎn)鏡的主動反射面的理想形狀。該模型計算方便，計算得出的理想拋物面較為精準(zhǔn)。模型的提出為后續(xù)問題的求解打下基礎(chǔ)。當(dāng)然，關(guān)于理想拋物面的計算，還有其他方法。如文獻(xiàn)[11]在沒有焦距、焦徑比的情況下，根據(jù)天體的仰角與方位角計算拋物線的焦距與焦徑比。相比而言，本研究的計算方式容易理解且更為簡單有效，求解得到的結(jié)果的準(zhǔn)確度更高。