王 一，鄧 強，牛伯欽，危浩彬，郭 祥

(貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

“Fast”望遠鏡是國際上具有極高靈敏度的500 m口徑球反射面射電望遠鏡，通過主動反射面的調(diào)節(jié)來觀察天體。主動反射面調(diào)節(jié)技術(shù)是提高射電望遠鏡觀測精度的重要技術(shù)手段。為建立主動面板移動模型以得到觀測效果最佳的工作拋物面，需要在獲得理想拋物面的基礎(chǔ)上通過在約束條件下移動主索點使工作拋物面盡可能貼合理想拋物面，獲得最大光線接收比。為此，我們首先做出如下幾條基本假設(shè)：

1)理想拋物面底點與工作拋物面底點重合且均在基準球面上；

2)天體光線為平行光；

3)主索點位置僅有其對應(yīng)促動器決定，不受其余索點運動影響；

4)反射板為平面，表面光滑且各向反射性一致；

5)電磁信號在空間、反射面均無損耗，饋源艙接收面可完全接收射入的信號。

1 旋轉(zhuǎn)拋物面模型

對于旋轉(zhuǎn)拋物面模型，首先建立理想拋物面模型，再先后將所得理想拋物面分別繞z軸、x軸旋轉(zhuǎn)得到繞原點旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)拋物面模型，最后代入對應(yīng)方位角度和焦距求解模型。

1.1 模型建立

首先得拋物面方程：

其中，p為兩倍焦距長，即p=2F，再經(jīng)過兩次繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)后拋物面方程。

設(shè)θ為逆時針旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)二維坐標軸旋轉(zhuǎn)公式將xOy二維坐標軸旋轉(zhuǎn)，z軸在此次旋轉(zhuǎn)中不變。

(1)

(2)

(3)

由式(2)、式(3)得到新拋物面的坐標x″y″z″對于原坐標xyz的變換公式，再進行矩陣求逆即可得到在原坐標系中拋物面的坐標表示：

(4)

1.2 模型求解

首先需要確定拋物面的焦距，從而確定拋物面的幾何方程，已經(jīng)假設(shè)拋物面底點在基準面上，因此需得出基準球面上主索點到球心的距離[2-3]。隨機均勻抽取12個主索點位置計算這些主索點到球心(原點)的距離，見表1。

表1 主索點到原點距離Tab.1 Distance from main cable points to the origin

可以看出，由于反射面受重力向下拉伸使基準面實際位置下移產(chǎn)生與題中所給標準300 m球面半徑的誤差。由于促動機的伸縮范圍為±0.6 m，因此實際基準球面與理想300 m半徑球面之間產(chǎn)生的0.4 m誤差不可忽略。根據(jù)題中所給焦徑比為0.466，代入實際球面半徑為300.4 m，可以得出焦距F=139.9864 m。

根據(jù)假設(shè)中拋物面底點在基準球面上，將得到的拋物面方程整體向z軸負方向平移300.4 m就可以得到理想拋物面方程：

z=1.786·10-3(x2+y2)-300.4 m

(5)

要求拋物面的口徑為300 m，將拋物面方程的x、y軸坐標限制在-150～+150 m范圍內(nèi)得出口徑為300 m的理想拋物面，見圖2、圖3。

圖1 拋物面三維坐標旋轉(zhuǎn)Fig.1 Three dimensional coordinate rotation of the paraboloid

圖2 基準球面與拋物面俯視圖Fig.2 Top view of the reference sphere and the paraboloid

圖3 基準球面與拋物面正視圖Fig.3 Front view of the reference sphere and the paraboloid

其中散點曲面為理想拋物面，實心曲面構(gòu)成基準球面。通過可視化可以看出，理想拋物面部分存在于基準球面外側(cè)而部分處于內(nèi)側(cè)。

結(jié)合反射面板調(diào)節(jié)因素，即在基準狀態(tài)下，促動器頂端徑向伸縮范圍為-0.6～0.6 m，故可做出促動器頂端伸縮至極限的基準面方程：

x2+y2+z2=300.4±0.6

(6)

則由此式(6)，即可判斷工作拋物面能否實際貼合到構(gòu)造出的理想拋物面。

接下來計算在固定天體方位角、仰角α=36.795°，β=78.169°時的旋轉(zhuǎn)拋物面方程[1，4]。將式(4)代入原拋物線式(5)中得理想拋物面方程為：

[(6.000×10-1x+7.838×10-1y-1.642×10-1z)2+(8.008×10-1x-5.862×10-1y+1.228×10-1z)2]×1.786×10-5-2.050×10-1y-9.788×10-1z-30040=0

(x，y，z單位均為cm)

(7)

原拋物面頂點坐標為(0，0，-30040)，代入坐標轉(zhuǎn)換公式(4)即得到理想拋物面頂點坐標為：(49.3200，36.8894，-294.0185)(m)。

如圖4所示，水平面點集為基準球面，傾斜面點集為理想拋物面。

圖4 理想拋物面與基準球面對比圖Fig.4 Comparison between the ideal paraboloid andthe reference sphere

2 饋源艙接收比評估模型

對于饋源艙接收比評估模型，首先建立面板反射方程，根據(jù)饋源艙位置得到反射光投影面模型，再計算反射板的板光密度得到反射光強模型，最后在對應(yīng)反射板投影面內(nèi)利用蒙特卡洛法得到饋源艙接收比評估模型[5～6]。

圖5 反射面板投影示意圖Fig.5 Schematic diagram of reflector projection

因為天體光線是平行光源，先根據(jù)每塊反射面板的三個頂點位置得出該反射面板的法向向量，再由入射光向量與反射板法向向量得到入射點為反射板三個主索點的三個反射向量。以焦點位置為面上一點，平行光方向為目標面法向量得到饋源艙圓環(huán)所在的目標平面方程，將各反射面板的三個反射光向量延長直至到達目標平面，得到反射光在目標平面上的投影點位置，此時每個反射板的三個投影點構(gòu)成一個投影面，該投影面容納了所有來自對應(yīng)反射板的反射光線。

由于每塊反射板在垂直平行光方向的有效面積不同，我們定義第i個反射板在垂直平行光方向上的有效面積與反射板的實際面積之比為板光密度ρi。利用蒙特卡洛法在反射板的投影面上隨機生成10000×ρi個點作為反射板反射的光線，計算10000×ρi個點到饋源艙的距離L，其中L≤0.5 m的點為反射到饋源艙內(nèi)部的點，饋源艙內(nèi)部點與蒙特卡洛法生成點個數(shù)之比為饋源艙對該反射面板的接收比，饋源艙對所有反射面板接收比之和為最終饋源艙接收比。

2.1 建立反射光向量求解模型

圖6 入射光在平面反射光線的求解Fig.6 Solution of incident light reflected on the plane

(8)

在入射直線l在α上半部分任取一點P(p1,p2,p3)，可知P滿足l方程；再過P點作平行于α的平面β，過A點的法線n方程與平面β方程為：

(9)

式(9)聯(lián)立可得法線n與平面β的交點D坐標D(d1,d2,d3)，由幾何關(guān)系可得若點P以點PD延長至反射線m，可交于一點Q(q1,q2,q3)，D即為線段PQ的中點：

(10)

(11)

2.2 計算板光密度

圖7 光強占比投影Fig.7 Light intensity ratio projection

(12)

則平面β面積為：

(13)

可以得出光強占比為：

(14)

3 模型在最優(yōu)化中的應(yīng)用

對于主索點移動優(yōu)化模型，首先確定約束條件：

1)促動器結(jié)構(gòu)僅能朝球心徑向方向移動；

2)相鄰主索點距離變化不超過0.07%；

3)主索點最大位移不超過0.6 m。

以所有主索點離理想拋物面距離之和最小為目標函數(shù)，基于軟約束用搜索法進行目標優(yōu)化，得到搜索優(yōu)化工作拋物面的逆向搜索模型。

首先需要確定當主動反射面調(diào)整時主索點的可移動方向。

理想拋物面模型建立中證明了基準球面上的主索點到球心距離相同即處在徑向上，因此用主索點坐標與球心相連得到的向量作為徑向向量。再將促動機的上下端點坐標轉(zhuǎn)換為向量形式表示促動機的伸縮方向，將徑向單位向量與促動機朝向方向的單位向量進行比較。

圖8中每一個圓圈表示促動機伸縮方向的單位向量端點，每一個五角星表示沿徑向方向的單位向量端點。

圖8 促動機向量及徑向向量Fig.8 Actuator vector and radial vector

圖9中叉、點、線分別表示x、y、z方向上偏離值。根據(jù)圖8中圓圈與五角星絕大部分完全重合小部分貼合和圖9中只在極少數(shù)點存在小于0.1 mm的位移偏離，我們可以一般地認為所有主索點只會從當前位置沿著徑向移動。接下來將球心坐標減去各主索點坐標得到徑向向量(Δxi，Δyi，Δzi)，其中i表示不同主索點，則主索點在三個方向上的位移為：

圖9 促動機伸縮方向與徑向方向偏離值Fig.9 Deviation value between telescopic direction andradial direction of actuator

(15)

其中h為每一次移動的步長。不考慮相鄰點距離變化小于0.07%，僅考慮主索點位移量小于0.6 m，得到一個正向?qū)?yōu)的極限拋物面，對位置不滿足相鄰點距離變化小于0.07%主索點進行反向?qū)?yōu)來縮小與相鄰點之間的距離，得到最終的工作拋物面主索點位置。

逆向?qū)?yōu)過程如圖10。

圖10 逆向?qū)?yōu)流程圖Fig.10 Reverse optimization flow chart

4 結(jié)束語

本文基于光學(xué)和反射板空間幾何關(guān)系建立了理想反射面的計算模型和約束條件下的多目標優(yōu)化反射板動作策略模型，同時利用蒙特卡洛法計算饋源艙接收比評估模型。該模型可移植性高，可以靈活應(yīng)用到主動反射射電望遠鏡的反射策略場景。

進一步研究中，可嘗試使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替搜索法實現(xiàn)多目標優(yōu)化過程，提高目標優(yōu)化的拓展性。此外，設(shè)計更為簡便的饋源艙的接收比評估模型，有效減少蒙特卡洛法帶來的巨大計算量。