陳云富

(浙江省樂清中學)

1 問題背景及提出

“曹沖稱象”的故事大家都很熟悉，利用等效替代的方法，稱量出大象的質量，但測量過程比較煩瑣.我們猜想質量一定的小船(含大象)，在振動過程中周期為定值.如果能找到周期和質量的對應關系，則稱量船體質量，只需用手機Phyphox中的加速度傳感器測量周期即可.

為了簡化問題，我們建立一個簡單的浮筒模型.如圖1所示，以浮筒平衡時，底部中央位置為坐標軸原點，豎直向下為正方向建立一維坐標系，設質量為m的浮筒平衡時，浸在水里的高度為x0，已知水的密度為ρ，圓筒的橫截面積為S，則

圖1

浸入水中的高度為x＋x0時，浮筒受到的回復力為

浮筒運動的動力學方程為

由初始條件t＝0，x＝A，v＝0，解得

可知浮筒的運動為簡諧運動，振動周期

筆者用一個底面直徑為12cm 的塑料圓柱形浮筒，將手機放入浮筒內展開實驗.浮筒置于裝著水的水桶內，實驗實物裝置如圖2所示.實驗過程中浮筒加速度隨時間變化如圖3所示.

圖2

圖3

由圖3的實驗測量結果可知，n＝7次振動的時間為t＝2.6505718s，則周期代入公式，得m＝402.6g.而用天平測量浮筒和手機的總質量為172g，這顯然超出了實驗誤差的范圍.

筆者猜想由于水桶的橫截面不大，液面高度變化引起模型與實驗不吻合，或者水波碰到水桶內壁回彈，回彈波對實驗結果有重要影響.

于是，將實驗浮筒移至濕地湖中進行，由于水域遼闊，水面高度幾乎不變，也不存在水波回彈.但是實驗測得周期與在水桶內測得相近，所以排除了場地因素的影響.

2 實驗過程與數(shù)據(jù)

為了進一步深入探究浮筒質量與振動周期的關系，筆者采用控制變量法，在浮筒里加入砝碼，用膠帶將其固定在浮筒上，從而改變浮筒的質量，測量不同質量下振動的周期，如表1所示.

實驗初始狀態(tài)為將浮筒下壓至合適位置，由于除了上下振動外，還有左右搖晃，為了實驗數(shù)據(jù)更加可靠，每組實驗均測量5次周期，再取平均值.記錄原始數(shù)據(jù)為表1中的第二列和第三列，其余數(shù)據(jù)為基于原始數(shù)據(jù)的計算值，在后續(xù)作圖中使用.

表1 實驗過程中各物理量的測量值和其他量的計算結果

按上述理論推導，可知T2與m是正比關系，但是繪制的圖4顯示，兩者并沒有成正比關系.筆者用一次函數(shù)做線性回歸，相關系數(shù)平方R2＝0.9413，與理論推導表達式不符，于是筆者從理論上重新審視其中的問題.

圖4 T2 與m 圖像及擬合結果

3 實驗分析與結論

在上述問題分析中，筆者觀察到浮筒的振動為阻尼振動，振動七八次后，振幅就比較小了，因此把浮筒振動視為簡諧振動存在問題.查閱相關資料可知，水的密度是空氣密度的773倍，則對應的阻力也是空氣阻力的幾百倍，在分析過程中不能忽略水的阻力.

設水對浮筒的阻力方向與速度方向相反，阻力的大小與速度大小成正比，即f＝－kv，則回復力可表示為

浮筒運動的動力學方程

由初始條件t＝0，x＝A，v＝0，解得

由上式可知，振動周期表達式為

根據(jù)表格數(shù)據(jù)，以T－2為縱軸，以m－1為橫軸，繪制圖像如圖5所示.與通過坐標原點的二次函數(shù)進行擬合，相關系數(shù)平方R2＝0.9726，非常接近1，說明實驗與理論高度契合.

圖5 T-2與m-1圖像及擬合結果

由于水的密度為103kg·m－3(溫度t＝4 ℃)，浮筒直徑d＝12cm，g取9.8m·s－2，可以計算出m－1前系數(shù)理論值為2.8074，這與擬合結果系數(shù)2.7966基本吻合.

4 結果應用和意義

利用上述的周期與質量對應關系，實現(xiàn)曹沖稱象.將陶瓷小貓放入浮筒中，如圖6所示，通過手機傳感器軟件(如圖7)測得n＝3 次振動的時間為t＝1.3603745s，則周期.代入擬合公式可以得到浮筒的總質量為448.9g，由于手機和浮筒的質量為172g，所以可以知道陶瓷小貓的質量為276.9g.將小貓放在天平上，如圖8所示，稱量知道它的實際質量為272g，與根據(jù)周期測量的結果誤差僅為1.80%.

圖6

圖7

圖8

實驗應用1:可以復制上述方法檢測船舶是否超載.將船舶駛入相對平靜的水域，將手機置于船舶上，測量船舶的振動周期，粗略估計船舶的整體質量.由于船舶不是圓形，模型建立會更加復雜.

實驗應用2:由于m－1前的系數(shù)包含密度ρ，因而可以通過振動實驗測量介質密度.

反思:我們意識到在建立物理量對應關系時，既要考慮理論模型，也要根據(jù)實際結果修正理論模型，當實驗結果和理論比較吻合的時候，就可以應用結果進行預測和指導實際.

(完)