許宏飛 唐亞林

摘 要：引入學(xué)校干預(yù)機(jī)制建立帶有非單調(diào)傳染率的大學(xué)生戒網(wǎng)絡(luò)游戲模型.研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)參數(shù)b1，b2，b3跨過臨界值時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生改變，系統(tǒng)發(fā)生跨臨界分岔.最后，應(yīng)用Dulac判斷證明了系統(tǒng)不存在周期軌道.

關(guān)鍵詞：非單調(diào)傳染率;平衡點(diǎn);跨臨界分岔;周期軌道

中圖分類號(hào)：TB 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2022.05.079

隨著電子及信息化技術(shù)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)游戲?yàn)橥婕覙?gòu)建了一個(gè)虛實(shí)交織的別樣世界，玩家在其中可以有互動(dòng)交流、競(jìng)技比賽、探索冒險(xiǎn)等行為.這些緊張刺激，自由競(jìng)爭(zhēng)的游戲體驗(yàn)很容易使大學(xué)生入迷，造成學(xué)業(yè)成績(jī)下滑，甚至導(dǎo)致一系列的心理障礙。這種癡迷游戲的行為在大學(xué)生之間具有很明顯的“傳染性”.潛在的癡迷游戲者在與癡迷游戲者接觸后有一定的概率成為癡迷游戲者.這種傳播類似于動(dòng)物種群的傳染病傳播，可以用微分動(dòng)力系統(tǒng)來刻畫其傳播機(jī)制。

1 模型的假設(shè)與建立

假設(shè)考慮某高校一學(xué)期中癡迷游戲者與潛在癡迷游戲者的變化情況.學(xué)生群體中潛在癡迷游戲率為P，癡迷游戲率為S，由于兩類學(xué)生接觸后，潛在癡迷游戲者向癡迷游戲人群轉(zhuǎn)化是復(fù)雜的，因此采用非單調(diào)傳染率b1PS1+aS2。學(xué)校通過制定一系列制度防止大學(xué)生癡迷玩游戲.假設(shè)學(xué)校制度的預(yù)防和干預(yù)強(qiáng)度由小到大連續(xù)變化，學(xué)生從入校開始學(xué)校的預(yù)防措施已經(jīng)起效，當(dāng)學(xué)校癡迷游戲?qū)W生的比率達(dá)到Sc時(shí)，學(xué)校制度的預(yù)防和干預(yù)強(qiáng)度增長(zhǎng)速度達(dá)到最大，學(xué)校的干預(yù)強(qiáng)度逐漸接近1.根據(jù)這些特點(diǎn)引入類sigmoid函數(shù)，設(shè)預(yù)防和干預(yù)強(qiáng)度函數(shù)為φ（S）=11+eSc-S。在學(xué)校的預(yù)防和干預(yù)措施下，癡迷游戲者轉(zhuǎn)向潛在癡迷游戲者的轉(zhuǎn)化率為b2。以上討論的b1，b2，a均為非負(fù)數(shù).

根據(jù)以上的假設(shè)和說明可得到如下模型：

3 跨臨界分岔

記σ=b2b1，根據(jù)定理2，當(dāng)σ<1+eSc時(shí)，系統(tǒng)（2）有一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)S=0和一個(gè)穩(wěn)定的S=S*.當(dāng)σ>1+eSc時(shí)，系統(tǒng)（2）只有一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)S=0。

圖1顯示了系統(tǒng)（2）的跨臨界分岔，其中實(shí)線代表穩(wěn)定的平衡點(diǎn)曲線，短橫虛線代表不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)曲線.隨著σ的增大，癡迷游戲平衡點(diǎn)逐漸下降靠近無癡迷游戲平衡點(diǎn)，達(dá)到臨界值σ0=1+eSc時(shí)，兩個(gè)平衡點(diǎn)“碰撞”之后，兩平衡點(diǎn)穩(wěn)定性交換。

注：系統(tǒng)（2）的跨臨界分岔沒有發(fā)生平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)的改變，只發(fā)生了平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的改變.由于S0，事實(shí)上，如果在σ跨過σ0后，繼續(xù)考察癡迷游戲平衡點(diǎn)，會(huì)得到不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)曲線，即圖1點(diǎn)虛線部分。

4 周期軌道不存在性

由于無法得到系統(tǒng)（2）的解析解，對(duì)其周期軌道的討論比較困難?？梢酝ㄟ^研究系統(tǒng)（1）的極限環(huán)的存在性，得到系統(tǒng)（2）的周期性。

定理3 系統(tǒng)（1）不存在極限環(huán)，系統(tǒng)（2）不存在周期軌道。

由系統(tǒng)（1）的參數(shù)全為正值，（4）式在平面上不變號(hào)，由Dulac判斷知系統(tǒng)（1）不存在極限環(huán)，因此系統(tǒng)（2）不存在周期軌道。

5 結(jié)論

提出一類學(xué)校干預(yù)的大學(xué)生戒網(wǎng)絡(luò)游戲模型，分析了一個(gè)學(xué)期內(nèi)癡迷游戲?qū)W生受學(xué)校干預(yù)影響轉(zhuǎn)向無癡迷游戲?qū)W生的動(dòng)態(tài)變化過程.通過定性分析得到系統(tǒng)有一個(gè)無癡迷游戲平衡點(diǎn)和唯一的癡迷游戲平衡點(diǎn)，且系統(tǒng)不存在周期軌道.意味著無癡迷游戲?qū)W生與癡迷游戲?qū)W生不存在周期轉(zhuǎn)化行為.當(dāng)b1（1+eSc）b2時(shí)，即使有學(xué)校的干預(yù)，無癡迷游戲?qū)W生依然向癡迷游戲?qū)W生轉(zhuǎn)化，但這個(gè)過程不會(huì)一直持續(xù)下去，癡迷游戲?qū)W生最終會(huì)穩(wěn)定到癡迷游戲平衡點(diǎn)處.因此學(xué)校應(yīng)制定措施，盡可能使參數(shù)滿足b1（1+eSc）

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