王世輝

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一.有關(guān)函數(shù)奇偶性問題的常見命題形式有：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的值；等等.其中，判斷函數(shù)的單調(diào)性問題側(cè)重于考查函數(shù)奇偶性的定義、簡單基本函數(shù)的性質(zhì)和圖象.下面，結(jié)合實例，重點談一談如何判斷函數(shù)的奇偶性.

一、根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷

定義法是判斷函數(shù)奇偶性的基本方法，也是比較常用的方法.若一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，即可令 x =- x，求得 f（-x）的表達式，若 f（- x）=f（x），那么就可以判定該函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；若 f（- x）=-f（x），就可以判定該函數(shù)為奇函數(shù).

例1.判斷函數(shù) f（x）=|x +1|-|x -1|的奇偶性.

該函數(shù)的定義域為 R，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，將 f（-x）的表達式進行化簡，并與 f（x）、- f（x）相比較，即可根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義得出結(jié)論.值得注意的非奇非偶函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱.

二、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷

函數(shù)的性質(zhì)有很多，如（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（2）奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù).在判斷函數(shù)的奇偶性時，可巧妙運用簡單基本函數(shù)的這些性質(zhì)來判斷函數(shù)的奇偶性.也可先根據(jù)題意，將函數(shù)式進行合理的拆分，將其化為兩個函數(shù)的和、差、積、商；再根據(jù)簡單基本函數(shù)的這些性質(zhì)來判斷函數(shù)的奇偶性.

例2.已知 g（x）為偶函數(shù)，試判斷 f（x）= g（x）?的奇偶性.

將函數(shù)式 f（x）看成定義域相同的兩個函數(shù) g（x）與 f（x）的積，并分別判斷出這兩個函數(shù)的奇偶性，便可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)：偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，判斷出 f（x）的奇偶性.

三、根據(jù)函數(shù)的圖象判斷

根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性可以出判斷函數(shù)的奇偶性.首先根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象；然后仔細觀察函數(shù)在原點左右兩部分的圖象、在 y 軸左右兩部分圖象的特點，并作出判斷.圖象法較為簡單、直觀，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的函數(shù)圖象.在解題時，根據(jù)已知的函數(shù)解析式畫出函數(shù)的圖象，觀察圖形的特點，就可以判斷出函數(shù)的奇偶性.

例3.請判斷分段函數(shù) f（x）=〈的奇偶性.

解：分別作出函數(shù)在 x >0和 x <0時的圖象，如圖所示.通過觀察圖象可知：該函數(shù)關(guān)于 y 軸對稱，所以該函數(shù)是偶函數(shù).

對于一些較為復雜的復合函數(shù)和抽象函數(shù)，我們很難畫出其圖象，那么此時就無法根據(jù)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可見，圖象法的適用范圍較小，往往只能用來解答較簡單的函數(shù)以及分段函數(shù)的奇偶性問題.

值得說明的是，第二種途徑主要適用于解答由幾個簡單函數(shù)復合而成的函數(shù)問題，第三種途徑適用于求解能夠畫出函數(shù)圖象的問題，而第一種途徑的適用范圍就較為廣泛，對于大部分的函數(shù)奇偶性問題，都可以通過該途徑進行求解.（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學）