楊飛飛， 姜艷萍， 湯振朋

(東北大學(xué) 工商管理學(xué)院， 遼寧 沈陽(yáng) 110167)

醫(yī)療檢查分為常規(guī)檢查和急診檢查.常規(guī)檢查主要服務(wù)于常規(guī)患者，包括住院患者、門診患者和體檢患者；常規(guī)患者又可分為預(yù)約和未預(yù)約兩大類.急診檢查主要服務(wù)于急診患者，隨時(shí)用于危重患者搶救或應(yīng)急狀態(tài)，其他時(shí)間處于備用狀態(tài).為醫(yī)療檢查設(shè)計(jì)合理有效的預(yù)約能力分配策略可以有效提高醫(yī)院資源效率和整體服務(wù)水平[1-3].

常規(guī)檢查和急診檢查的運(yùn)作往往是相互獨(dú)立的，所以存在一些問題：一方面，急診檢查不常發(fā)生，因此急診檢查設(shè)備時(shí)常處于閑置狀態(tài)，使用率一般為60%～70%[4]；另一方面，因?yàn)樾枨罅烤薮螅Ｒ?guī)檢查往往供不應(yīng)求[5].同時(shí)，未預(yù)約常規(guī)患者的隨機(jī)到達(dá)使當(dāng)天的服務(wù)需求激增，可能影響常規(guī)檢查的正常運(yùn)營(yíng).如果考慮將空閑時(shí)的急診檢查作為一種臨時(shí)服務(wù)，和常規(guī)檢查一起服務(wù)于預(yù)約和未預(yù)約常規(guī)患者，可以適當(dāng)緩解需求沖突，提高醫(yī)療設(shè)備整體運(yùn)作效率.然而，若簡(jiǎn)單將這些臨時(shí)服務(wù)完全用于隨機(jī)到達(dá)的未預(yù)約患者，會(huì)造成不必要的浪費(fèi)，原因如下：一方面，預(yù)留服務(wù)過多，可能產(chǎn)生設(shè)備空閑的成本和預(yù)約常規(guī)患者請(qǐng)求延遲的成本，從而降低醫(yī)療資源的利用率；另一方面，預(yù)留服務(wù)過少，會(huì)產(chǎn)生拒絕未預(yù)約常規(guī)患者的成本和設(shè)備加班的成本，從而降低患者滿意度，進(jìn)而對(duì)醫(yī)院收益造成負(fù)面影響.因此，考慮未預(yù)約患者和臨時(shí)服務(wù)能力的醫(yī)療檢查預(yù)約能力分配是一個(gè)值得研究的課題.

目前，關(guān)于預(yù)約能力分配的研究處于起步階段，解決方法各有不同[6-7].Kolisch等[8]考慮兩臺(tái)CT設(shè)備提供放射服務(wù)的問題，針對(duì)預(yù)約門診患者、非預(yù)約住院患者和隨機(jī)急診患者三類患者建立了馬爾可夫決策過程，目標(biāo)是使醫(yī)院的期望收益最大化.Kortbeek等[9]為提供未預(yù)約和預(yù)約服務(wù)的CT設(shè)備設(shè)計(jì)了一種有效預(yù)約系統(tǒng)，以平衡未預(yù)約患者的等待時(shí)間和預(yù)約患者的訪問時(shí)間.Zhou等[10]研究急診患者具有非強(qiáng)占優(yōu)先權(quán)的CT檢查能力分配策略，構(gòu)建了以總成本最小化為目標(biāo)的馬爾可夫決策過程模型，給出了設(shè)備產(chǎn)能在不同類提前預(yù)約患者之間的合理預(yù)約分配.此外，還有部分關(guān)于其他醫(yī)療設(shè)備檢查能力分配研究和關(guān)于考慮未預(yù)約患者的預(yù)約調(diào)度研究與本文間接相關(guān).針對(duì)前一類問題的主要研究包括：Green等[1]針對(duì)大型醫(yī)療診斷設(shè)備服務(wù)不同類患者的調(diào)度問題，構(gòu)建有限維動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型，通過性質(zhì)分析證明了每個(gè)時(shí)間槽存在住院患者數(shù)量最優(yōu)臨界值.在此背景下，Akhavizadegan等[11]研究了患者具有爽約行為的核素診療中心醫(yī)療能力分配排程問題，并構(gòu)建了一種新算法來求解模型.Patrick等[12]研究針對(duì)多優(yōu)先權(quán)患者的診療資源調(diào)度問題，構(gòu)建了動(dòng)態(tài)馬爾可夫決策過程，給出了在各個(gè)時(shí)間槽可接受的最優(yōu)患者數(shù)量.姜博文等[13]研究了可增加號(hào)源策略下高需求門診的預(yù)約能力分配問題，聯(lián)合決策加號(hào)數(shù)和分配給預(yù)約患者的掛號(hào)數(shù)，使醫(yī)院凈收益期望最大.Qu等[14]針對(duì)提前預(yù)約和當(dāng)天預(yù)約兩類患者的檢查能力分配進(jìn)行決策，給予提前預(yù)約患者最優(yōu)檢查能力.對(duì)第二類問題的研究主要包括：Wang等[15]采用數(shù)據(jù)分析方法，研究存在未預(yù)約患者情景下的最優(yōu)預(yù)約調(diào)度問題，構(gòu)建了以醫(yī)院總成本最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示最優(yōu)預(yù)約調(diào)度依賴于未預(yù)約患者的到達(dá)方式.Izady[16]研究了基于提前預(yù)約請(qǐng)求和當(dāng)日請(qǐng)求的需求能力規(guī)劃問題.Yang等[17]通過考慮未預(yù)約患者、患者爽約和季節(jié)性需求變動(dòng)等可變因素，為醫(yī)療服務(wù)制定合理的需求能力策略.Braaksma等[18]為評(píng)估實(shí)施未預(yù)約和預(yù)約相結(jié)合的設(shè)備檢查服務(wù)系統(tǒng)，提出一個(gè)離散時(shí)間仿真模型，并結(jié)合智能優(yōu)化算法進(jìn)行預(yù)約調(diào)度優(yōu)化，結(jié)果表明該系統(tǒng)能縮短患者檢查軌跡，減少就醫(yī)次數(shù).

雖然關(guān)于醫(yī)療檢查預(yù)約能力分配的研究已經(jīng)取得一些成果，但仍存在一些值得進(jìn)一步研究的問題.例如，目前關(guān)于醫(yī)療檢查預(yù)約能力分配的研究大多考慮預(yù)約患者會(huì)取消預(yù)約和爽約的情景[4-5,17]，而考慮服務(wù)當(dāng)天接收未預(yù)約患者的能力分配研究并不多見.雖然文獻(xiàn)[9,18]考慮了同時(shí)為預(yù)約患者和當(dāng)天未預(yù)約患者進(jìn)行醫(yī)療檢查，但沒有考慮增加臨時(shí)服務(wù)下的能力分配問題.鑒于此，本文考慮未預(yù)約患者和臨時(shí)服務(wù)能力的醫(yī)療檢查預(yù)約能力分配問題，以醫(yī)院的期望收益最大為目標(biāo)，建立醫(yī)療檢查預(yù)約問題的能力分配模型，通過分析模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)，證明存在使服務(wù)當(dāng)天期望收益最大的最優(yōu)預(yù)約限額，并給出最優(yōu)預(yù)約限額滿足的條件.

1 問題描述

本文重點(diǎn)研究?jī)深惢颊?預(yù)約和未預(yù)約常規(guī)患者)和兩種服務(wù)能力(常規(guī)服務(wù)能力和臨時(shí)服務(wù)能力，服務(wù)能力指能夠得到醫(yī)療檢查服務(wù)的患者數(shù)量).預(yù)約常規(guī)患者按照預(yù)約時(shí)間于某工作日到達(dá)醫(yī)院接受醫(yī)療檢查服務(wù)，未預(yù)約常規(guī)患者會(huì)在工作日當(dāng)天隨機(jī)到達(dá)，這兩類患者接受常規(guī)醫(yī)療設(shè)備服務(wù)；急診患者隨機(jī)到達(dá)，由急診設(shè)備進(jìn)行服務(wù).急診設(shè)備處于空閑狀態(tài)時(shí)，將作為臨時(shí)服務(wù)加入到常規(guī)服務(wù)中，一起為預(yù)約和未預(yù)約常規(guī)患者服務(wù).常規(guī)服務(wù)能力是已知的，臨時(shí)服務(wù)能力由于急診患者到達(dá)的隨機(jī)性而具有不確定性.值得注意的是，醫(yī)院考慮增加臨時(shí)服務(wù)能力時(shí)，預(yù)約常規(guī)患者數(shù)量可能會(huì)高于常規(guī)服務(wù)能力.本文要解決的問題是醫(yī)院在考慮未預(yù)約患者和增加臨時(shí)服務(wù)時(shí)，如何在預(yù)約和未預(yù)約常規(guī)患者之間配置常規(guī)服務(wù)能力，即制定一個(gè)合理預(yù)約限額，從而使得醫(yī)院服務(wù)當(dāng)天收益最大化.

根據(jù)本文研究問題的特點(diǎn)作如下基本假設(shè)：①根據(jù)醫(yī)院運(yùn)行特點(diǎn)和相關(guān)文獻(xiàn)[10,14,15]，假設(shè)每天正常接診能力有限，對(duì)各類患者的檢查時(shí)間固定，為一個(gè)時(shí)間槽；②假設(shè)急診醫(yī)療設(shè)備利用率低于常規(guī)利用率；③由于醫(yī)院加班會(huì)帶來各項(xiàng)支出(例如，醫(yī)療設(shè)備和醫(yī)護(hù)人員等)，假設(shè)醫(yī)院加班的單位成本大于拒絕當(dāng)天未預(yù)約患者的成本；④由于病情未知，假設(shè)醫(yī)院接收預(yù)約患者和未預(yù)約患者收益相同.

符號(hào)說明：

b：預(yù)約期預(yù)約患者數(shù)量的限額；

N：常規(guī)服務(wù)能力，即當(dāng)天可以得到常規(guī)醫(yī)療設(shè)備服務(wù)的患者總數(shù)；

Dr：預(yù)約期間提出預(yù)約請(qǐng)求的常規(guī)患者數(shù)量，是一個(gè)隨機(jī)變量；

Dw：當(dāng)天到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約常規(guī)患者數(shù)量，是一個(gè)隨機(jī)變量；

Xr：當(dāng)天能得到服務(wù)的預(yù)約患者數(shù)量；

Xw：當(dāng)天能得到服務(wù)的未預(yù)約患者數(shù)量；

pr：服務(wù)一個(gè)預(yù)約患者的平均收益；

pw：服務(wù)一個(gè)未預(yù)約患者的平均收益；

π：加班服務(wù)一個(gè)預(yù)約患者的平均費(fèi)用；

τr：拒絕一個(gè)預(yù)約患者請(qǐng)求的平均損失；

τw：拒絕一個(gè)未預(yù)約患者請(qǐng)求的平均損失；

γ：空閑一個(gè)時(shí)間槽的平均損失.

2 期望收益模型

(1)

當(dāng)常規(guī)服務(wù)能力和臨時(shí)服務(wù)能力大于或等于Xr時(shí)，余下的服務(wù)能力可以提供給隨機(jī)到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約患者；因此，未預(yù)約患者沒有加班成本.當(dāng)常規(guī)服務(wù)能力和臨時(shí)服務(wù)能力小于Xr時(shí)，醫(yī)院不為未預(yù)約患者提供服務(wù)，故得到服務(wù)的未預(yù)約患者數(shù)量為零；而當(dāng)天剩下的尚未得到服務(wù)的預(yù)約患者需要醫(yī)院利用加班時(shí)間提供服務(wù).可見，當(dāng)天需要加班服務(wù)的預(yù)約患者的數(shù)量為

(2)

(3)

(4)

令MI表示服務(wù)當(dāng)天醫(yī)療檢查設(shè)備空閑時(shí)間槽數(shù)量，則

(5)

綜上，服務(wù)當(dāng)天醫(yī)院的期望收益為

進(jìn)一步可以整理為

(6)

3 模型結(jié)構(gòu)性質(zhì)分析

為了證明考慮未預(yù)約患者并增加臨時(shí)服務(wù)的醫(yī)療檢查能力存在最優(yōu)預(yù)約限額，本文對(duì)目標(biāo)函數(shù)V(b)進(jìn)行結(jié)構(gòu)性質(zhì)分析，從而找到最優(yōu)的能力分配策略.

令

手術(shù)結(jié)束時(shí)已是凌晨1點(diǎn)05分，陳正副院長(zhǎng)將患兒抱進(jìn)新生兒科進(jìn)行監(jiān)護(hù)治療，并安排好一切有關(guān)事宜后，這才換了衣服回宿舍，在回宿舍的路上，陳正副院長(zhǎng)在便利店買了兩盒方便面，作為犒勞自己這驚心動(dòng)魄的一天的獎(jiǎng)勵(lì)。他說：“忙碌是難免的，但作為新生兒的守護(hù)者，一定要做到忙而不亂，看到轉(zhuǎn)危為安的孩子們，作為一名醫(yī)者，我感到很值得?！?/p>

則

式中P表示概率.

定理1當(dāng)η(b)>0時(shí)，醫(yī)院服務(wù)當(dāng)天期望收益函數(shù)V(b)是關(guān)于預(yù)約患者限額b的凹函數(shù).

證明 根據(jù)式(6)，可以計(jì)算服務(wù)當(dāng)天期望收益的增量函數(shù)ΔV(b)=V(b+1)-V(b)，則

ΔV(b)=V(b+1)-V(b)=

(7)

由定義可知

將上式整理得

因?yàn)閜w=pr且π≥τw，故(pw+τw)-(pw+τw+γ)·P{Dw=0}-(pr+π)≤0，所以η(b+1)-η(b)≤0.可知，η(b)是關(guān)于b的非增函數(shù).

由式(7)可得

ΔV(b+1)-ΔV(b)=

P{Dr>b+1}·η(b+1)-P{Dr>b}·η(b)=

P{Dr=b+1}·η(b).

當(dāng)η(b)>0時(shí)，由于η(b+1)-η(b)≤0，故ΔV(b+1)-ΔV(b)≤0；即V(b+1)-V(b)為關(guān)于b的非增函數(shù).也就是，V(b)是關(guān)于b的凹函數(shù).證畢.

推論1 當(dāng)η(b)≤0時(shí)，醫(yī)院服務(wù)當(dāng)天期望收益函數(shù)V(b)是關(guān)于預(yù)約患者限額b的非增函數(shù).

證明 由于ΔV(b)=P{Dr>b}·η(b)，故當(dāng)η(b)≤0時(shí)，ΔV(b)≤0，即V(b)是關(guān)于b的非增函數(shù).證畢.

定理2預(yù)約患者存在最優(yōu)預(yù)約限額b*，醫(yī)療檢查服務(wù)當(dāng)天期望收益函數(shù)V(b)最大化.

證明 由定理1可知，當(dāng)η(b)>0時(shí)，V(b)是關(guān)于b的增函數(shù).由推論1可知，當(dāng)η(b)≤0時(shí)，V(b)是關(guān)于b的非增函數(shù).故存在預(yù)約患者最優(yōu)預(yù)約限額b*，使得醫(yī)療檢查服務(wù)當(dāng)天期望收益最大化.證畢.

定理3若b>N且η(N)≤0，則臨時(shí)服務(wù)能力將全部提供給當(dāng)天未預(yù)約患者；若b≥0且η(0)<0，則醫(yī)院無預(yù)約患者，常規(guī)服務(wù)能力和臨時(shí)服務(wù)能力將全部提供給當(dāng)天未預(yù)約患者.

證明 根據(jù)定理1，若預(yù)約患者數(shù)量b>N且η(N)≤0，則η(b)<η(N)≤0，即ΔV(b)≤0，也就是醫(yī)療檢查服務(wù)當(dāng)天期望收益函數(shù)遞減.為使收益最大化，應(yīng)使b*≤N，即臨時(shí)服務(wù)能力全部提供給當(dāng)天到達(dá)的未預(yù)約患者.若η(0)<0，且b≥0，則η(b)<η(0)<0，即ΔV(b)<0，也就是醫(yī)療檢查服務(wù)當(dāng)天期望收益函數(shù)隨著b增大而減少.此情況下，醫(yī)院應(yīng)取消預(yù)約患者，將常規(guī)服務(wù)能力和臨時(shí)服務(wù)能力全部提供給當(dāng)天未預(yù)約患者.證畢.

由定理3可得如下推論.

推論2 使醫(yī)院服務(wù)當(dāng)天期望收益最大的最優(yōu)預(yù)約限額可由下式確定：

特別地，若對(duì)于任意的預(yù)約患者限額b，均有ΔV(b)≤0，則b*=0.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

圖1表示各函數(shù)隨預(yù)約患者數(shù)b增大的變化趨勢(shì).可以看出，Δη(b)≤0，η(b)是關(guān)于b的非增函數(shù)；ΔV(b)先隨預(yù)約患者數(shù)b增大而減少，當(dāng)降至負(fù)值后隨預(yù)約患者數(shù)b增大而增大，但始終為負(fù)值；ΔV(b+1)-ΔV(b)隨預(yù)約患者數(shù)b增大先負(fù)值后轉(zhuǎn)為正值，與定理1結(jié)論一致.

圖2和圖3表示b*分別隨著τr和τw增大的變化趨勢(shì).從圖中可以看出，b*隨τr的增大而上升，隨τw的增大而下降.這是因?yàn)榫芙^預(yù)約請(qǐng)求成本增大，表明醫(yī)院系統(tǒng)更傾向于為預(yù)約患者服務(wù)，故醫(yī)院應(yīng)該提高預(yù)約限額，這樣既可以提高患者預(yù)約滿意度，又降低拒絕預(yù)約請(qǐng)求給醫(yī)院帶來的負(fù)面影響.同理，拒絕未預(yù)約請(qǐng)求成本增大，也就是說當(dāng)患者病情更緊急時(shí)，醫(yī)院應(yīng)該減少預(yù)約限額，保留更多的CT檢查能力來保障未預(yù)約患者的服務(wù)，從而提高醫(yī)院整體收益.

圖1 各函數(shù)隨預(yù)約患者數(shù)b的變化趨勢(shì)

圖2 拒絕預(yù)約請(qǐng)求成本τr對(duì)能力分配方案的影響

圖3 拒絕未預(yù)約請(qǐng)求成本τw對(duì)能力分配方案的影響

圖4 E[Dr]/E[Dw]和E[Dr]對(duì)能力分配方案的影響

圖4表示E[Dr]/E[Dw]在不同比例下，b*隨E[Dr]增大的變化趨勢(shì).從圖中可以看出，b*隨E[Dr]增大而逐漸降低，且在不同需求期望比例下，E[Dr]/E[Dw]越小，b*下降越快.這個(gè)結(jié)果說明，當(dāng)提出預(yù)約請(qǐng)求的常規(guī)患者數(shù)量遠(yuǎn)高于到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約患者數(shù)量時(shí)(例如，E[Dr]/E[Dw]=8∶1)，無論提出預(yù)約請(qǐng)求的常規(guī)患者數(shù)量如何變化，醫(yī)院都應(yīng)該把可用能力全部分配給預(yù)約患者，以減少拒絕預(yù)約患者請(qǐng)求給醫(yī)院帶來的負(fù)面影響；當(dāng)提出預(yù)約請(qǐng)求的常規(guī)患者數(shù)量低于到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約患者數(shù)量時(shí)(例如，E[Dr]/E[Dw]=1∶3)，即提出預(yù)約請(qǐng)求的常規(guī)患者數(shù)量較少時(shí)，醫(yī)院應(yīng)該按照一定參數(shù)分配適量檢查能力給預(yù)約患者，再將其余的檢查能力分配給未預(yù)約患者，以保證滿足當(dāng)天未預(yù)約患者的高服務(wù)需求.

圖和E[Dr]對(duì)能力分配方案的影響

圖和對(duì)能力分配方案的影響

5 結(jié) 語(yǔ)

一些醫(yī)院的常規(guī)醫(yī)療檢查由于同時(shí)為預(yù)約和未預(yù)約常規(guī)患者提供服務(wù)而引發(fā)擁堵，而服務(wù)于急診患者的醫(yī)療檢查設(shè)備利用率低.本文針對(duì)這一現(xiàn)狀，將處于空閑狀態(tài)下的急診醫(yī)療檢查作為臨時(shí)服務(wù)加入到常規(guī)檢查，在考慮預(yù)約、未預(yù)約常規(guī)患者且增加臨時(shí)服務(wù)能力的情形下，提出并求解醫(yī)療檢查預(yù)約能力分配模型.通過分析期望收益模型的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，證明了存在對(duì)應(yīng)于提前預(yù)約常規(guī)患者的最優(yōu)預(yù)約限額，給出了求解最優(yōu)預(yù)約限額滿足的條件.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，最優(yōu)預(yù)約限額隨著拒絕預(yù)約請(qǐng)求成本的減小、未預(yù)約請(qǐng)求成本的增大而減小；同時(shí)，最優(yōu)預(yù)約限額受到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約患者數(shù)量和臨時(shí)服務(wù)能力加入的期望影響較大.與已有的醫(yī)療檢查能力分配情景不同的是，本文考慮的檢查能力分配方案考慮了隨機(jī)到達(dá)醫(yī)院的未預(yù)約患者并加入了臨時(shí)服務(wù)能力，這樣可以有效緩解系統(tǒng)擁堵，減少調(diào)度工作量，提高醫(yī)療檢查設(shè)備整體利用率.本文為同時(shí)考慮預(yù)約和未預(yù)約患者的醫(yī)療檢查預(yù)約能力配置提供了理論依據(jù)和支撐，對(duì)于醫(yī)療檢查的日?？茖W(xué)管理有一定的指導(dǎo)作用.