張?zhí)祢U 陳顯露 孟 瑩 王曉燁

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

1 引言

直接序列擴頻（Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS）技術(shù)因其將信號的頻譜展開使得信號功率譜密度較低，在通信中不易受噪聲干擾和不易被非合作方截獲，因此在軍事通信以及民用通信方面都得到了廣泛應(yīng)用［1-4］。為了充分利用信道資源，同時提高信號的抗干擾和抗衰落能力，發(fā)射端往往會對待發(fā)信號進行載波調(diào)制。常用的數(shù)字調(diào)制方式包括幅度鍵控（Amplitude Shift Keying，ASK）、頻移鍵控（Frequency Shift Keying，F(xiàn)SK）、相移鍵控（Phase-Shift Keying，PSK）和正交幅度調(diào)制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）。其中PSK 是其廣泛采用的調(diào)制方式。在合作通信中，接收端根據(jù)發(fā)射端提供的信息可以較容易的實現(xiàn)信號解調(diào)和解擴從而得到原始信息。然而，在非合作通信中，發(fā)送端沒有提供任何信息，若想獲取傳輸信號中的有用信息需先估計出偽碼序列，因此需要估計出載頻、偽碼速率以及偽碼周期等先驗信息以便進一步恢復(fù)偽碼序列。

針對基帶DSSS 信號或者二相相移鍵控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）調(diào)制DSSS 信號的參數(shù)估計，目前已有較多的研究。文獻［5］提出利用信號時域延遲相關(guān)的方法檢測DSSS信號，同時實現(xiàn)偽碼速率的估計。文獻［6］首先對信號進行分段，組成數(shù)據(jù)矩陣，再利用其自相關(guān)矩陣的主分量特征向量結(jié)合時域延遲相關(guān)法實現(xiàn)了DSSS 信號偽碼碼片速率的估計。1986年W.A.Gardner提出循環(huán)譜密度函數(shù)的概念，并推導(dǎo)了常用的模擬調(diào)制和數(shù)字調(diào)制信號的循環(huán)譜［7-9］。循環(huán)譜密度函數(shù)含有功率譜中不存在的表征信號特征的譜線。而高斯噪聲不具備任何循環(huán)特征，故其在循環(huán)頻率軸上沒有譜線輸出，因此利用循環(huán)譜理論對信號的載頻和偽碼碼片速率進行估計可以很好地抑制噪聲對估計性能的影響。文獻［10］根據(jù)BPSK-DSSS 的二階循環(huán)平穩(wěn)特性，利用循環(huán)譜在非零循環(huán)頻率截面譜峰的位置和幅值大小對信號碼片速率、載頻和幅度等參數(shù)進行了估計。文獻［11］利用循環(huán)統(tǒng)計量實現(xiàn)了BPSK-DSSS 信號的檢測，同時根據(jù)信號二階循環(huán)統(tǒng)計量的關(guān)系式選取合適的時間間隔，由對應(yīng)的二階循環(huán)統(tǒng)計量切片對載頻和偽碼速率進行估計。此外載頻估計的常用方法還有倍頻法，可實現(xiàn)對載頻的粗略估計。文獻［12］利用小波變換實現(xiàn)了偽碼碼片速率的估計。

針對偽碼周期的估計，文獻［13］提出了波動相關(guān)法，可實現(xiàn)基帶DSSS信號的偽碼周期估計。文獻［14］提出了對基帶DSSS信號的功率譜進行二次處理的方法，文獻［15］證明了該方法在帶殘余頻偏的BPSKDSSS信號偽碼周期估計中仍然適用。文獻［16］和文獻［17］通過信號的四階累積量的二維切片實現(xiàn)了載頻和偽碼周期的盲估計。文獻［18］提出了一種適用于基帶DSSS信號偽碼周期估計的相關(guān)熵法。

目前的研究對象基本都是基帶DSSS 信號和BPSK-DSSS 信號，對正交相移鍵控（Quadrature Phase Shift Keying，QPSK）調(diào)制DSSS 信號的參數(shù)估計研究較少。文獻［19］對QPSK-DSSS 信號進行平方，再延遲相乘，所得信號的實部含有表征偽碼碼片速率和偽碼周期等信息的離散譜線，利用此特性可實現(xiàn)QPSKDSSS信號的參數(shù)估計，原理簡單但該方法的估計性能較差。同時，在非合作通信中，接收端對載頻的估計往往存在誤差，而且為了使有用信號能夠避開諸如1/f等低頻脈沖噪聲，接收端下變頻處理后信號是帶殘余頻偏的。目前對帶殘余頻偏的QPSK-DSSS信號參數(shù)估計還沒有研究。因此，本文對其展開了研究。（1）將二次譜應(yīng)用到帶殘余頻偏的QPSK-DSSS 信號偽碼周期估計中，研究表明，該方法對于偽碼周期的估計性能不受殘余頻偏大小的影響。（2）利用循環(huán)譜截面實現(xiàn)帶殘余頻偏的QPSK-DSSS信號殘余頻偏大小和偽碼碼片速率估計。首先推導(dǎo)出帶殘余頻偏的QPSK-DSSS 信號的循環(huán)譜表達式，根據(jù)該信號循環(huán)譜在不同頻率和循環(huán)頻率處所呈現(xiàn)的特性，實現(xiàn)殘余頻偏大小和偽碼碼片速率的估計。

2 系統(tǒng)模型

QPSK-DSSS通信系統(tǒng)發(fā)送端模型如圖1所示。

信息序列經(jīng)過串并轉(zhuǎn)換器后進入同相（Inphase，I）和正交（Quadrature，Q）兩條支路，而后兩條支路利用具有相同周期和相同偽碼碼片寬度的不同偽碼序列對進入支路的信息序列進行擴頻調(diào)制，再利用相互正交的載波對擴頻信號進行載波調(diào)制后送入帶通濾波器，最后相加形成QPSK-DSSS 信號。QPSK-DSSS信號表示為：

其中A為信號幅度，φ0為調(diào)制的隨機初始相位，c(t)=∈{±1}，分別為I 路和Q 路的信息序列，其碼元寬度為T0。g（t）為切普脈沖。PNi(t)=，(i=1，2)，為I、Q 兩路的偽碼序列。其中pi(t)=g()t-kTc，pi(k)∈{±1}，為一周期偽碼序列。N為一周期偽碼序列長度，Tc為偽碼碼片寬度，故偽碼序列的周期為NTc（本文擴頻調(diào)制采用一周期偽碼序列調(diào)制一位信息碼，所以T0=NTc）。I(t)=Ac(t)PN1(t)，Q(t)=Ad(t)PN2(t)?？紤]工程實際情況，I（t）和Q（t）滿足：

QPSK-DSSS系統(tǒng)接收端模型如圖2所示。

接收到的信號表示為：

式中Tx（0≤Tx＜T0）表示接收信號的隨機初始相位，θ=-2πfcTx。w（t）是標(biāo)準(zhǔn)差為σw的零均值高斯白噪聲。本文假設(shè)信號與噪聲相互獨立。

利用本地載波f0對r（t）分兩路進行下變頻。因為有f0≠fc，fc=f0+fΔ，且f0＞＞fΔ，其中fΔ表示殘余頻偏。所以：

其中Δθ(t)=2πfΔt+φ0+θ。

因此，經(jīng)過圖2處理后輸出：

3 偽碼周期估計

信號的功率譜可通過信號的自相關(guān)函數(shù)再傅氏變換得到。根據(jù)公式（2），推得信號x（t）的自相關(guān)函數(shù)為：

由于w（t）是高斯白噪聲，其實部與虛部相互獨立。故：

由文獻［15］可得c（t）和PN1（t）的自相關(guān)函數(shù)分別為：

分別對公式（9）和公式（10）作傅氏變換即可得到c（t）和PN1（t）的功率譜密度：

從而可得有用信號的功率譜密度為：

在工程上，有T0?Tc，即N?1，引用δ(x)=，化簡式（13）為：

因為|exp(-j2πefΔ)|2=1，所以

由式（17）可得，帶殘余頻偏的QPSK-DSSS 信號二次譜周期性的出現(xiàn)一些尖銳三角形脈沖，此周期即為偽碼周期。同時由式（16）可以看到，在對進行傅里葉變換并取模平方處理后消除了殘余頻偏項，因此利用信號的二次譜進行偽碼周期估計不受殘余頻偏的影響。

由公式（8）可得噪聲的功率譜密度Sw(f)=，從而有：

從式（18）可以看到，高斯噪聲的二次譜不具有任何周期性。利用有用信號的二次譜和噪聲的二次譜的不同特性，可提取到偽碼的周期信息，具體步驟如下：

a.取一段時間的信號，求其功率譜；

b.再對功率譜進行傅氏變換，對結(jié)果取模的平方，即得二次譜；

c.取下一段相同持續(xù)時間的信號，重復(fù)步驟a和b，將所得的二次譜進行累加；

d.當(dāng)累加后的二次譜保持穩(wěn)定時，在一定范圍內(nèi)搜索二次譜的局部最大值，局部最大值對應(yīng)的二次譜頻率的相鄰間隔即為偽碼周期的估計。

4 殘余頻偏和偽碼速率估計

4.1 循環(huán)譜的基本理論

在數(shù)字信號處理中，大多都默認(rèn)信號具有統(tǒng)計平穩(wěn)特性。但實際中，多數(shù)人為信號（比如ASK、FSK、PSK 等調(diào)制信號）的參數(shù)隨時間呈現(xiàn)周期性的變化，稱這類信號為循環(huán)平穩(wěn)信號。假設(shè)隨機信號x（t）是二階循環(huán)平穩(wěn)的，則其自相關(guān)函數(shù)是時間的周期函數(shù)。將其展開為傅里葉級數(shù)，所得系數(shù)稱為循環(huán)自相關(guān)函數(shù)，記為。通常x（t）是周期遍歷的，可用時間平均代替統(tǒng)計平均計算，即：

其中α為循環(huán)頻率，滿足α∈{≠0}。T為信號持續(xù)時間。如果x（t）是平穩(wěn)信號，則當(dāng)且僅當(dāng)α=0時，≠0。若≠0當(dāng)且僅當(dāng)α=，m為整數(shù)，則x（t）是純循環(huán)平穩(wěn)信號，周期為T0。若≠0，其中α不全等于，則x（t）是循環(huán)平穩(wěn)信號。

信號x（t）通過線性時不變系統(tǒng)的輸出為：

其中“?”表示卷積，h（t）為系統(tǒng)沖擊響應(yīng)，此時輸入-輸出信號的循環(huán)譜的關(guān)系為：

其中H（f）是系統(tǒng)函數(shù)h（t）的傅氏變換。

4.2 偽碼速率估計

式（6）給出了接收到的帶有殘余頻偏的QPSKDSSS信號為：

其中

其中q（t）是持續(xù)時間為Tc的切普脈沖。式b（t）可看作是隨機過程I(t)+jQ(t)通過線性時不變系統(tǒng)的輸出，系統(tǒng)沖激響應(yīng)函數(shù)為：

其系統(tǒng)函數(shù)為：

其中K(f)=。將式（26）代入式（22）可得：

由于擴頻序列的特性且I（t）和Q（t）是均衡的，則當(dāng)且僅當(dāng)k=0和α=時，不為零，其值為。進一步，可求得序列{I(nTc)+jQ(nTc)}的循環(huán)譜為：

其中m∈Z。直擴信號由周期的偽碼序列調(diào)制而成，且偽碼序列具有偽噪聲的特點，因此=RI(0)=1，RI(0)是I(t)自相關(guān)函數(shù)RI(τ)在τ=0 處的值。

因為F(t)=exp[jΔθ(t)]的循環(huán)譜為：

從而可得有用信號的循環(huán)譜為：

由于高斯噪聲是平穩(wěn)噪聲，當(dāng)且僅當(dāng)α=0 時，其循環(huán)譜不為零，因此x（t）的循環(huán)譜為：

利用循環(huán)譜估計殘余頻偏和偽碼碼片速率的步驟為：

a.對接收信號進行采樣，取長度為L（L至少包含兩偽碼周期的采樣點數(shù)）的數(shù)據(jù)，計算其循環(huán)譜；

b.取出下一段長度為L的信號，重復(fù)步驟a，將求得的循環(huán)譜進行累加；

5 計算機仿真及結(jié)果分析

實驗說明：實驗加入的噪聲均為零均值的高斯白噪聲。

實驗一不同殘余頻偏下信號的功率譜與二次譜。采樣頻率fs=4000 Hz。設(shè)f1=fΔ/fs，表示歸一化殘余頻偏。仿真分別取f1=0、f1=0.25和f1=0.375。I路和Q路的信息碼均為20 bit。一周期偽碼序列長度N=127 bit，偽碼碼片速率Rc=500 Hz，即碼元寬度Tc=0.002 s。Tx=35Tc。信噪比SNR=-5 dB。功率譜與二次譜均進行100次累加。仿真結(jié)果如圖3～圖8所示。

圖3～圖8 展示了不同頻偏下信號的功率譜和二次譜，從中可以看到，無論殘余頻偏是否存在，信號的二次譜都會周期性的出現(xiàn)一些尖銳的脈沖，根據(jù)這些脈沖對應(yīng)的頻率間隔即可估計出偽碼周期。

實驗二分析二次譜估計偽碼周期的性能與頻偏大小的關(guān)系。采樣頻率fs=4000 Hz，歸一化殘余頻偏分別取f1=0、f1=0.1、f1=0.25。I路和Q 路的信息碼均為10 bit。一周期偽碼序列長度N=127 bit，偽碼碼片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=35Tc。信噪比取-13 dB～0 dB。二次譜做100次累加。進行500次蒙特卡洛仿真，偽碼周期估計性能曲線如圖9所示。

從圖9 可以看到，利用二次譜估計偽碼周期的估計性能不受殘余頻偏影響。當(dāng)信噪比為-8 dB時，偽碼周期估計正確率達到了1。

實驗三帶殘余頻偏的QPSK-DSSS 信號的循環(huán)譜三維圖以及α=0 的頻率截面圖和f=fΔ的循環(huán)頻率截面圖。在無噪聲干擾的理想情況下進行實驗。采樣頻率fs=4000 Hz，歸一化殘余頻偏f1=0.25，即fΔ=1000 Hz。I 路和Q 路的信息碼均為10 bit。一周期偽碼序列長度N=127 bit，偽碼碼片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=56Tc。數(shù)據(jù)分段長L=2048。仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10（a）是信號循環(huán)譜的三維圖，可以看到，信號的循環(huán)譜在α=0 這一平面有一個最大峰，取此平面，結(jié)果如圖10（b）所示，根據(jù)前面的理論分析可知，峰值位置對應(yīng)的頻率即為殘余頻偏的估計。從圖10（a）可以看到，循環(huán)譜關(guān)于α=0 平面對稱，隨著循環(huán)頻率的改變間斷性的出現(xiàn)一些小山峰，由理論推導(dǎo)可知相鄰山峰的間隔即為Rc，取f=fΔ時的循環(huán)譜截面可以更清晰的觀察到，結(jié)果如圖10（c）所示。

實驗四殘余頻偏估計性能仿真。采樣頻率分別為fs=4000 Hz、fs=8000 Hz，殘余頻偏取fΔ=1000 Hz，即對應(yīng)的歸一化殘余頻偏分別為f1=0.25、f1=0.125。一周期偽碼序列長度取N=63 bit、N=127 bit、N=255 bit。偽碼碼片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。則過采樣率分別為Sa=8 bit/chip、Sa=16 bit/chip。Tx=22Tc。數(shù)據(jù)分段長度分別為2048、4096。信噪比取-20 dB～0 dB。進行500 次蒙特卡洛，正確估計出殘余頻偏所需的頻域平均累積次數(shù)結(jié)果如圖11所示。

從圖11可以看到，一周期偽碼序列長度N相同時，正確估計出殘余頻偏所需的平均累積次數(shù)隨著分段長度的增加和采樣頻率的提高而減小。分段長度L和過采樣率相同時，N在一定范圍內(nèi)的增加對殘余頻偏估計性能的影響較小，但隨著N的不斷增加，正確估計出殘余頻偏所需的平均累積次數(shù)也隨之增加，這是因為在L一定時，N越大，長度為L的數(shù)據(jù)內(nèi)含有的偽碼序列信息越少，因此需要更多的數(shù)據(jù)累積。當(dāng)f1=0.125，Sa=16 bit/chip，L=4096 時，信噪比為-20 dB，循環(huán)譜累積6 次（向上取整）即可實現(xiàn)殘余頻偏的正確估計。

實驗五偽碼碼片速率估計性能仿真。采樣頻率fs=4000 Hz，歸一化殘余頻偏f1=0.25、f1=0.125。一周期偽碼序列長度N=127 bit，偽碼碼片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=53Tc。數(shù)據(jù)長度分別為2048、4096。信噪比取-20 dB～0 dB。進行500 次蒙特卡洛，正確估計出偽碼碼片速率所需的頻域平均累積次數(shù)結(jié)果如圖12所示。

從圖12可以看到，正確估計出偽碼碼片速率所需的平均累積次數(shù)隨著分段長度的增加而減小。當(dāng)f1=0.25，L=4096 時，信噪比為-13dB，循環(huán)譜累積8次即可實現(xiàn)偽碼碼片速率的正確估計。

6 結(jié)論

本文對帶殘余頻偏的QPSK-DSSS 信號參數(shù)估計展開了研究。首先推導(dǎo)了信號的二次譜，理論分析和仿真表明在低信噪比下利用二次譜能夠正確估計偽碼周期，且不受殘余頻偏大小的影響。再結(jié)合信號的循環(huán)平穩(wěn)特征，提出利用循環(huán)譜的頻率截面和循環(huán)頻率截面進行殘余頻偏以及偽碼碼片速率的估計。研究表明，本文采用的方法可以實現(xiàn)帶殘余頻偏的QPSK-DSSS信號參數(shù)估計。