馬立斯 何培宇 崔 敖 喻偉闖
(四川大學(xué)電子信息學(xué)院,四川成都 610065)
自適應(yīng)波束形成是陣列信號(hào)處理中的一項(xiàng)基本技術(shù),廣泛地應(yīng)用于雷達(dá)、聲吶、射電天文學(xué)和無(wú)線通信等領(lǐng)域[1-4]。在實(shí)際中,由于接收信號(hào)快拍數(shù)的限制、期望信號(hào)角度失配、以及期望信號(hào)包含在接收數(shù)據(jù)中等原因,自適應(yīng)波束形成器的性能會(huì)下降[5]。因此,增加自適應(yīng)波束形成器的魯棒性是很有必要的。
嵌套陣和互質(zhì)陣是最具代表性的兩種非均勻線陣(Nonuniform Linear Array,NLA),因?yàn)樗鼈儾粌H能夠有效地增加陣列孔徑和自由度,還能夠提供計(jì)算陣元位置的閉式表達(dá)式[6-8]。然而,由于嵌套陣中包含一個(gè)密集的均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA),對(duì)于物理陣元間的互耦效應(yīng)較為敏感[9]?;ベ|(zhì)陣的物理陣元位置比嵌套陣更稀疏,但差分優(yōu)化陣中存在“孔洞”,導(dǎo)致差分優(yōu)化陣中連續(xù)陣元數(shù)的降低。最大陣元間距約束(Maximum Inter-element Spacing Constraint,MISC)陣列結(jié)合了互質(zhì)陣與嵌套陣的優(yōu)勢(shì),提供更大自由度的同時(shí),物理陣元位置更加稀疏,進(jìn)而有效的減小了互耦的影響[10]。因此,本文選擇MISC 陣列進(jìn)行自適應(yīng)波束形成器的設(shè)計(jì)。
目前的自適應(yīng)波束形成主要集中在ULA 中,對(duì)于NLA 的自適應(yīng)波束形成研究較少。文獻(xiàn)[11]中提出了一種基于互質(zhì)陣列的自適應(yīng)波束形成方法,通過(guò)互質(zhì)陣虛擬差分優(yōu)化陣的Capon 空間譜,估計(jì)入射信號(hào)的角度及功率,最后利用積分或者求和重建干擾加噪聲協(xié)方差矩陣(Interference plus Noise Covariance Matrix,INCM),進(jìn)而設(shè)計(jì)出兩種波束形成器。然而使用差分優(yōu)化陣的Capon空間譜來(lái)進(jìn)行估計(jì)并不夠準(zhǔn)確,導(dǎo)致輸出信干噪比有了一定的損失。文獻(xiàn)[12]中提出了一種基于互質(zhì)陣的自適應(yīng)波束形成算法,通過(guò)將互質(zhì)陣分解為兩個(gè)稀疏均勻子陣來(lái)進(jìn)行入射信號(hào)波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)和功率的估計(jì),然后重構(gòu)INCM。然而將互質(zhì)陣進(jìn)行分解,減少了原本陣列的自由度,可以利用的自由度受到子陣的傳感器數(shù)量的限制。文獻(xiàn)[13]中也提出了一種基于互質(zhì)陣重建INCM 的波束形成算法,但需要知道每個(gè)干擾的入射角度所在區(qū)域。文獻(xiàn)[14]通過(guò)對(duì)互質(zhì)陣虛擬差分優(yōu)化陣的協(xié)方差矩陣進(jìn)行插值,從而填補(bǔ)差分陣“孔洞”中的信息,能夠充分的利用差分優(yōu)化陣的自由度,進(jìn)而更加準(zhǔn)確地重建INCM。
然而,以上方法都是基于均勻噪聲設(shè)計(jì)的。當(dāng)每個(gè)傳感器上的噪聲功率不一樣時(shí),會(huì)導(dǎo)致以上方法對(duì)噪聲功率估計(jì)不準(zhǔn)確。這是因?yàn)橐陨戏椒ǘ际且詤f(xié)方差矩陣的最小特征值作為噪聲功率的估計(jì),在非均勻噪聲存在的情形中,這種估計(jì)會(huì)帶來(lái)一定的誤差,從而導(dǎo)致INCM 的重建不夠準(zhǔn)確,最終影響波束形成器的性能。
因此,本文在各傳感器噪聲功率非均勻的背景下,提出了一種基于MISC 陣列的自適應(yīng)波束形成算法。通過(guò)矩陣補(bǔ)全技術(shù)得到無(wú)噪聲協(xié)方差矩陣的估計(jì),從而確定非均勻噪聲協(xié)方差矩陣。然后,對(duì)信號(hào)的導(dǎo)向矢量和功率進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而重建INCM。得益于估計(jì)的非均勻噪聲協(xié)方差矩陣和MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供的高自由度,本文算法能夠在非均勻噪聲環(huán)境下,更加準(zhǔn)確地重建INCM。仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果驗(yàn)證了所提算法能夠優(yōu)于所有對(duì)比算法,獲得更高的輸出信干噪比。
MISC 陣列是基于給定陣元間距為任意數(shù)量的傳感器構(gòu)建的。設(shè)Pd表示最大的陣元間距,Ad表示陣元間距集,d=,λ表示入射信號(hào)的波長(zhǎng)。則MISC 陣列傳感器的位置可以由P和A 決定。MISC陣列P和A的表達(dá)式如下[10]:
MISC 陣列的陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示。因此,對(duì)于任意給定的陣元數(shù)M(M≥5),可以算出對(duì)應(yīng)的P,進(jìn)而確定陣列的SMISC。
MISC陣列的差分優(yōu)化陣位置集DMISC定義為:
假設(shè)有K+1 個(gè)非相關(guān)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)陣元組成的MISC 陣列。其中,期望信號(hào)的入射角度為θ0,K個(gè)干擾的入射角度分別為{θk,k=1,2,…,K}。則t時(shí)刻MISC陣列的接收信號(hào)為:
式中,xs(t)=a(θ0)s0(t),xi(t)=,以及n(t)∈CM×1分別表示統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的期望信號(hào)成分、干擾信號(hào)成分和噪聲成分。sk(t)表示第k個(gè)入射信號(hào),a(θk)∈CM×1表示對(duì)應(yīng)的信號(hào)導(dǎo)向矢量,n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T表示不相關(guān)的零均值復(fù)高斯噪聲矢量,即n(t)~CN(0,Q),噪聲協(xié)方差矩陣Q為:
式中,E[·]表示求統(tǒng)計(jì)期望,(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置,q=表示第m個(gè)陣元上的噪聲功率,diag{·}表示由括號(hào)內(nèi)元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣。
MISC 陣列輸出信干噪比(Signal to Interference plus Noise Ratio,SINR)為:
該最小化問(wèn)題的解為[15]:
本文提出了一種非均勻噪聲情況下,基于MISC陣列的自適應(yīng)波束形成算法。從波束形成器權(quán)矢量表達(dá)式(9)可以看出,權(quán)矢量w取決于Ri+n和a(θ0)。在知道具體陣列結(jié)構(gòu)的前提下,a(θ0)取決于期望信號(hào)的DOA 估計(jì)θ0;根據(jù)Ri+n的計(jì)算公式(7),重建INCM 需要干擾信號(hào)的DOA 估計(jì)θk(k=1,2,…,K),對(duì)應(yīng)的干擾功率,以及Q。
因此,本文通過(guò)估計(jì)無(wú)噪聲協(xié)方差矩陣,得到Q;然后,基于估計(jì)的無(wú)噪聲協(xié)方差矩陣,對(duì)各信號(hào)的入射角度和功率進(jìn)行估計(jì),進(jìn)而得到期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量,重建INCM;最后計(jì)算出波束形成器的權(quán)矢量。
陣列接收信號(hào)協(xié)方差矩陣為:
式中,R0定義為無(wú)噪聲協(xié)方差矩陣:
式中,A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θK)]∈CM×(K+1),Ps=∈R(K+1)×(K+1)分別表示陣列流形矩陣和入射信號(hào)協(xié)方差矩陣。
對(duì)于一個(gè)低秩矩陣,知道矩陣中的部分元素,可以通過(guò)矩陣補(bǔ)全精確的恢復(fù)出未知的元素[16-17]。而當(dāng)我們知道R時(shí),就幾乎知道了R0除了對(duì)角元素以外的元素。因此,R0的估計(jì)可以看作一個(gè)矩陣補(bǔ)全問(wèn)題。然而,要將R0準(zhǔn)確的從R中恢復(fù)出來(lái),要求K+1 比M小很多。為了保證能夠準(zhǔn)確的從R中獲得R0和Q,需要滿足[18]:
根據(jù)以上分析,R0的估計(jì)可以通過(guò)求解一下秩最小優(yōu)化問(wèn)題[19]:
式中,A(·)表示矩陣的所有主對(duì)角元素由0 代替,其余元素不變,rank(·)表示求括號(hào)內(nèi)矩陣的秩。由于矩陣秩的優(yōu)化問(wèn)題是NP-hard 問(wèn)題,通常使用核范數(shù)最小化來(lái)近似求解[16-17]。又因?yàn)镽0是半正定Hermitian矩陣:
式中,‖·‖*表示矩陣的核范數(shù),trace(·)表示矩陣的跡。同時(shí)考慮到實(shí)際中,由于快拍數(shù)的限制,通常使用采樣協(xié)方差矩陣代替R,式(13)中的等式約束難以滿足,故式(13)可以等效為[19]:
式中,‖·‖F(xiàn)表示Frobenius 范數(shù),⊕表示Hadamard積運(yùn)算,J是一個(gè)M×M的矩陣,主對(duì)角線全為0,其余元素都是1,ξ>0是一個(gè)常數(shù)。
式中,D(·)表示由括號(hào)內(nèi)矩陣主對(duì)角元素組成的對(duì)角矩陣。
式中,∑s∈C(K+1)×(K+1)和Us∈分別表示由Rv的K+1個(gè)大特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣和其對(duì)應(yīng)的K+1 個(gè)特征向量構(gòu)成的矩陣,∑n∈和Un∈分別表示由Rv的-K個(gè)小特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣和其對(duì)應(yīng)的-K個(gè)特征向量構(gòu)成的矩陣。
因此,MUSIC空間譜為:
式中,v(θ)是虛擬差分優(yōu)化陣的導(dǎo)向矢量:
因此,可以通過(guò)尋找空間譜PMUSIC的譜峰來(lái)估計(jì)入射信號(hào)的DOA。假設(shè)期望信號(hào)的入射角度位于角度范圍Θ中,而是Θ以外的所有角度區(qū)域。則Θ中的最大譜峰為期望信號(hào)的DOA 估計(jì),而中最大的K個(gè)譜峰分別為K個(gè)干擾信號(hào)的DOA 估計(jì)。
入射信號(hào)功率的估計(jì),可以通過(guò)求解如下的最小二乘問(wèn)題:
然后,干擾加噪聲協(xié)方差矩陣可以重建為:
本文提出算法的主要步驟如下:
5)通過(guò)譜峰搜索,獲得所有信號(hào)的DOA 估計(jì),進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)的信號(hào)導(dǎo)向矢量。
6)求解最小二乘問(wèn)題式(24),得到信號(hào)的功率估計(jì)Γ。
本節(jié)通過(guò)輸出SINR 的比較來(lái)評(píng)估本文所提方法的性能。在所有仿真實(shí)驗(yàn)中,均采用陣元數(shù)M=10 的MISC 陣列,即各物理陣元分別位于[0,1,4,10,16,22,28,30,33,35]d。假設(shè)期望信號(hào)的入射角度θ0=5°,兩個(gè)干擾信號(hào)的入射角度分別假設(shè)為θ1=-50°,θ2=-20°。噪聲在空間上是非均勻的,協(xié)方差矩陣Q=diag{q},其中:
信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)與干噪比(interferenceto-noise ratio,INR)分別定義為:
每個(gè)傳感器上的INR為30 dB。對(duì)于輸出SINR的比較,當(dāng)輸入SNR 變化時(shí),快拍數(shù)固定為500;當(dāng)快拍數(shù)變化時(shí),輸入SNR 固定為20 dB。對(duì)于情況3,輸入SNR 固定為20 dB,快拍數(shù)固定為500。每一種情況均進(jìn)行了500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。
本文算法與對(duì)角加載波束形成算法[21],基于特征子空間的波速形成算法[22],求和重構(gòu)波束形成算法[11],插值重構(gòu)波束形成算法[14]進(jìn)行對(duì)比。需要指出的是,雖然所有方法都使用了MISC 陣列的接收信號(hào),但每一個(gè)對(duì)比算法還是采用它們各自的方法獲取對(duì)應(yīng)的權(quán)矢量。此外,由于DMISC沒(méi)有“孔洞”,故對(duì)于插值重構(gòu)算法,省去了插值步驟。對(duì)于本文算法與[11,14]中的算法,假設(shè)期望信號(hào)入射角度所在范圍Θ=[θ0-5°,θ0+5°],則=[-90°,θ0-5°)∪(θ0+5°,90°],參數(shù)ξ=1。對(duì)于對(duì)角加載算法,對(duì)角加載因子為。CVX 工具箱[20]用于求解所有算法中的優(yōu)化問(wèn)題。
在第一種情況中,假設(shè)準(zhǔn)確知道期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量。每一種算法的輸出SINR 與輸入SNR 和快拍數(shù)的關(guān)系分別如圖2和圖3所示。
從圖2可以看出,所有算法的輸出SINR 均隨著輸入SNR 的增加而增加,但對(duì)角加載算法和特征子空間算法在高SNR 時(shí)輸出SINR 逐漸趨向平緩,這是由于算法所采用的采樣協(xié)方差矩陣中包含有期望信號(hào)成分,出現(xiàn)了信號(hào)自相消現(xiàn)象,導(dǎo)致輸出SINR 有了一定的損失,并且隨著輸入SNR 的增加,輸出SINR 的損失變得更加明顯。剩下的三種算法基于重建的思想,去除了INCM 中的期望信號(hào)成分,所以能夠有效的克服信號(hào)自相消問(wèn)題,即使在高SNR 時(shí)也能獲得較好的結(jié)果。相較于求和重構(gòu)算法和插值重構(gòu)算法,本文算法由于通過(guò)矩陣補(bǔ)全算法對(duì)非均勻噪聲的功率進(jìn)行了準(zhǔn)確的估計(jì),以及MISC陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了高自由度,能夠更加準(zhǔn)確地重建INCM,所以能夠在整個(gè)輸入SNR 變化范圍內(nèi)得到最優(yōu)的結(jié)果。從圖3 可以看出,當(dāng)快拍數(shù)在100 到1000 之間時(shí),本文算法能夠優(yōu)于其他所有對(duì)比算法,輸出SINR更高。
在第二種情況中,假設(shè)所有入射信號(hào)的觀測(cè)方向誤差在[-4°,4°]中均勻分布。期望信號(hào)的真實(shí)入射角度為[1°,9°]中的任意值,兩個(gè)干擾信號(hào)的真實(shí)入射角度分別為[-54°,-46°]和[-24°,-16°]中的任意值。信號(hào)的入射角度在不同的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中變化,但在每一次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)中固定不變。每一種算法的輸出SINR 與輸入SNR 和快拍數(shù)的關(guān)系分別如圖4和圖5所示。
從圖4 可以看出,由于采樣協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)成分,以及信號(hào)觀測(cè)方向存在的誤差,對(duì)角加載算法和特征子空間算法在高信噪比時(shí)產(chǎn)生了較大的性能損失。由于MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了更高的自由度,本文算法能夠更加準(zhǔn)確地估計(jì)信號(hào)導(dǎo)向矢量和功率;同時(shí),還對(duì)非均勻噪聲的協(xié)方差矩陣進(jìn)行了準(zhǔn)確估計(jì),從而能夠更加準(zhǔn)確地重建INCM。因此,本文算法所得結(jié)果優(yōu)于求和重構(gòu)算法和插值重構(gòu)算法。從圖5 可以看出,當(dāng)快拍數(shù)在100 到1000 之間時(shí),本文算法能夠優(yōu)于其他所有對(duì)比算法。
在情況3中,比較了不同非均勻噪聲環(huán)境下,各算法的輸出性能。定義最差噪聲功率比WNPR=,其中分別表示各傳感器中的最大和最小噪聲功率。假設(shè)各傳感器上的噪聲功率從1 到線性增加,即第m個(gè)傳感器上的噪聲功率,隨著從1 到100 變化,WNPR 也從1 到100 變化,當(dāng)=1時(shí),陣列上的噪聲功率相等。準(zhǔn)確知道期望信號(hào)導(dǎo)向矢量、觀測(cè)方向存在[-4°,4°]隨機(jī)誤差兩種情況下,每一種算法的輸出SINR 與WNPR 的關(guān)系分別如圖6(a)和(b)所示。
從圖6(a)和(b)可以看出,對(duì)于這兩種情況,由于通過(guò)矩陣補(bǔ)全估計(jì)了噪聲協(xié)方差矩陣,準(zhǔn)確估計(jì)了非均勻噪聲的功率,同時(shí)MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供了更高的自由度,對(duì)入射信號(hào)的DOA 與功率估計(jì)更加準(zhǔn)確,本文算法能夠在非均勻噪聲情形中更加準(zhǔn)確地重建INCM。因此,從圖中能夠看到,當(dāng)1<WNPR≤100 時(shí),本文算法能夠獲得比其他對(duì)比算法更好的結(jié)果。
本文在非均勻噪聲背景下,提出了一種基于MISC 陣列的自適應(yīng)波束形成算法。由于通過(guò)矩陣補(bǔ)全技術(shù),對(duì)非均勻噪聲功率進(jìn)行了準(zhǔn)確的估計(jì),以及MISC 陣列虛擬差分優(yōu)化陣提供的更高自由度,本文算法能夠在非均勻噪聲情形中更加準(zhǔn)確地重建干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。仿真實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了本文所提算法能夠在存在非均勻噪聲和信號(hào)觀測(cè)方向隨機(jī)誤差時(shí),優(yōu)于對(duì)比算法,輸出SINR 更高。然而,本文算法引入矩陣補(bǔ)全技術(shù)估計(jì)噪聲功率,限制了入射信號(hào)的個(gè)數(shù),當(dāng)入射信號(hào)個(gè)數(shù)多于陣元個(gè)數(shù)的一半時(shí),估計(jì)性能將有所下降。如何在入射信號(hào)較多時(shí),準(zhǔn)確地估計(jì)出非均勻噪聲的功率還有待未來(lái)進(jìn)一步的研究。