鐘志華 李善良

摘? 要：回歸是一種十分重要的教學(xué)策略，是探明“學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么”的最有效途徑. 從理論上對(duì)回歸的本質(zhì)、目的、類型及基本途徑等方面進(jìn)行系統(tǒng)探討.

關(guān)鍵詞：回歸;教學(xué)策略;認(rèn)知起點(diǎn)

一、什么是回歸

回歸，《漢語(yǔ)大辭典（三）》給出的解釋是“回還，返回”. 而在西方，回歸最早來(lái)自拉丁文recurrere（跑回來(lái)），它由再次發(fā)生（recur）的詞義而來(lái). 美國(guó)著名教育學(xué)家布魯納認(rèn)為，如果沒(méi)有回歸性，任何關(guān)于思想的理論都是無(wú)用的. 一門(mén)課程在它的教學(xué)進(jìn)展中，應(yīng)反復(fù)地回到這些基本觀念，以這些觀念為基礎(chǔ)，直到學(xué)生掌握了與這些觀念相適應(yīng)的完全形式的體系為止. 杜威則認(rèn)為，每一個(gè)終點(diǎn)就是一個(gè)新的起點(diǎn)，每一個(gè)起點(diǎn)來(lái)自前一個(gè)終點(diǎn). 從聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看，回歸，是一個(gè)尋找并識(shí)別新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)并從中生成新知識(shí)的過(guò)程. 具體來(lái)說(shuō)，它是把一個(gè)新知識(shí)或新問(wèn)題放到學(xué)習(xí)者的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，利用已有知識(shí)來(lái)給予表征、解釋，或讓新知識(shí)、新方法從認(rèn)知起點(diǎn)生長(zhǎng)出來(lái)的過(guò)程.

二、為什么要回歸

1. 回歸可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

長(zhǎng)期以來(lái)，很多人對(duì)數(shù)學(xué)存在偏見(jiàn)，認(rèn)為數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué). 這種錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)觀對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)非常有害，它像腐蝕劑一樣不斷銷(xiāo)蝕著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和自信心. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的首要任務(wù)就是充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 孔子認(rèn)為，好學(xué)者不如樂(lè)學(xué)者. 因此，只有采取各種行之有效的方法讓抽象、枯燥的數(shù)學(xué)變得生動(dòng)、有趣，學(xué)生才能好學(xué)、樂(lè)學(xué). 而要激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，關(guān)鍵在于教師要將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)回歸具體，讓學(xué)生看得見(jiàn)、聽(tīng)得到、摸得著，能讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程中充分激起探究興趣、激發(fā)數(shù)學(xué)思考、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 只有這樣，學(xué)生的抽象才不會(huì)成為無(wú)源之水、無(wú)本之木.

例如，在講授蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）“對(duì)數(shù)的概念”這一節(jié)課時(shí)，教師將教材上的問(wèn)題“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的84%，若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，則經(jīng)過(guò)[x]年該物質(zhì)的剩留量為[y=0.84x]，若知道該物質(zhì)的剩留量[y，]求所經(jīng)歷的時(shí)間”改編成了“某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過(guò)1年，這種物質(zhì)剩留的質(zhì)量是原來(lái)的84%，若該物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，同學(xué)們能提出什么問(wèn)題？”這樣一個(gè)更具開(kāi)放性的問(wèn)題. 由于它為學(xué)生準(zhǔn)確揭示了指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算這三個(gè)概念的共同認(rèn)知起點(diǎn)——如何從[ab=N]中知二求一？從而產(chǎn)生一石激起千層浪的效果，它不僅讓學(xué)生更深刻地認(rèn)識(shí)到指數(shù)運(yùn)算、冪運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算之間的區(qū)別與聯(lián)系，還為學(xué)生準(zhǔn)確找到新知識(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知起點(diǎn)，讓學(xué)生在教師精心預(yù)設(shè)的教學(xué)情境中激發(fā)出主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的強(qiáng)烈欲望，收到舉一反三之功效.

2. 回歸可以更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，抽象性是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象. 但是，數(shù)學(xué)的抽象性不是憑空產(chǎn)生的，它需要借助一定的直觀才能達(dá)到. 數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程充分表明，數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展是一個(gè)不斷從具體到抽象循環(huán)往復(fù)、不斷上升的過(guò)程. 而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解則需要從抽象回歸具體，要以具體作為理解的基礎(chǔ)，作為新知識(shí)、新思路、新方法的生長(zhǎng)點(diǎn). 這正如波利亞所言，抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見(jiàn)、摸得著，即在理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，要通過(guò)回歸這一策略來(lái)實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的升華. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家李大潛院士特別指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要讓抽象成為一種意識(shí)，讓探究成為一種習(xí)慣，讓回歸成為一種理念. 這不僅指明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)——抽象，而且進(jìn)一步指明了達(dá)到這一目標(biāo)的途徑與方法——探究和回歸. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要善于充分利用圖形所具有的幾何直觀，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)對(duì)象簡(jiǎn)明化，而且要善于恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)情境，將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系具體化，還要善于通過(guò)直觀調(diào)動(dòng)學(xué)生的直覺(jué)思維以獲得數(shù)學(xué)猜想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合方法實(shí)現(xiàn)抽象與具體之間的轉(zhuǎn)變.

例如，在講授教材上的“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”這一內(nèi)容時(shí)，教師播放“夜間汽車(chē)在山坡上行駛”的動(dòng)畫(huà)，并提問(wèn)學(xué)生：如何根據(jù)汽車(chē)的燈光來(lái)判定汽車(chē)究竟是在上坡還是下坡？這種生活化問(wèn)題情境，瞬時(shí)激起了學(xué)生強(qiáng)烈的探究欲望，為學(xué)生深入理解運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性奠定了良好的生活基礎(chǔ)，讓學(xué)生通過(guò)將山坡抽象為一條曲線，將汽車(chē)抽象為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將汽車(chē)的燈光抽象為過(guò)曲線上動(dòng)點(diǎn)的切線而很快地發(fā)現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)系.

3. 回歸可以為新知識(shí)找到生長(zhǎng)點(diǎn)

眾所周知，高度的抽象性一直被認(rèn)為是數(shù)學(xué)的重要特點(diǎn)，但現(xiàn)在已經(jīng)逐漸演變?yōu)閿?shù)學(xué)難學(xué)的代名詞. 數(shù)學(xué)固然抽象，但再抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論總能找到相對(duì)直觀的表征和解釋. 學(xué)生之所以覺(jué)得數(shù)學(xué)抽象，最關(guān)鍵的是教師沒(méi)有為學(xué)生找到新知識(shí)賴以產(chǎn)生的源頭，這樣，新知識(shí)就很難從已有知識(shí)的基礎(chǔ)上自然而然地生長(zhǎng)出來(lái)，于是很多教師只能把知識(shí)從外部硬塞到學(xué)生頭腦中. 由于新知識(shí)缺乏理解基礎(chǔ)，學(xué)生自然會(huì)覺(jué)得新知識(shí)抽象.

例如，在教學(xué)教材上的“直線與平面平行的判定定理”這一內(nèi)容時(shí)，很多教師只會(huì)告訴學(xué)生如果平面外的一條直線與該平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就與該平面平行，但不會(huì)給學(xué)生解釋為什么要在平面內(nèi)找這樣的平行線. 由于不能真正理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生只能死記硬背知識(shí)點(diǎn). 事實(shí)上，如果從回歸的觀點(diǎn)來(lái)看，線面平行的認(rèn)知基礎(chǔ)是線線平行，注意到這一點(diǎn)，就比較容易理解為什么要在平面內(nèi)找已知直線的平行線. 因?yàn)?，兩條直線平行的實(shí)質(zhì)是將一條直線平移以后能與另外一條直線重合，類比到直線與平面的平行，就是將直線適當(dāng)平移以后一定能夠落在該平面內(nèi)，換種說(shuō)法就是在平面內(nèi)存在一條直線與已知直線平行.

像這樣，在教學(xué)時(shí)如果能讓學(xué)生充分回歸到新知識(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知起點(diǎn)，并讓新知識(shí)在教師的循循善誘下從認(rèn)知起點(diǎn)自然而然地生長(zhǎng)出來(lái)，那么學(xué)生就不會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，也不會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無(wú)味. 杜威指出，有時(shí)思想的紛繁相續(xù)，常常會(huì)使思考者離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)十分遙遠(yuǎn)，以致不能回溯到出發(fā)點(diǎn)，但細(xì)究起來(lái)，總是有一個(gè)直接經(jīng)驗(yàn)的情境在背后，是你所施的、所受的、所享的、所忍的，而決不單是所想的. 思維即為此情境而起. 這里的情境就是知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，讓思維回歸到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，不僅可以使這一知識(shí)更好地固定在已經(jīng)熟悉的知識(shí)點(diǎn)上，加強(qiáng)與已有知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，縮短與已有知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系路徑，減少信息提取的時(shí)間，有助于知識(shí)更好地被保持，還可以豐富由知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)所構(gòu)成的概念網(wǎng)絡(luò)，建立更為豐富的意義家族相似網(wǎng)絡(luò)，從而達(dá)到深化理解之目的. 它可以避免由于思維序列過(guò)長(zhǎng)或思維層次比較復(fù)雜而導(dǎo)致的思維困難. 問(wèn)渠那得清如許？為有源頭活水來(lái). 總之，只有真正找準(zhǔn)學(xué)生的思維之源，才能充分激發(fā)學(xué)生的思維、激活學(xué)生的思路，才能在教師的精心啟發(fā)下，讓學(xué)生迸發(fā)出無(wú)窮的創(chuàng)造力.

4. 回歸可以促進(jìn)知識(shí)的深度理解

眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處. 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人常有這樣的體會(huì)，有時(shí)候遇到一個(gè)難題苦思冥想總是不得要領(lǐng)，但當(dāng)我們跳出這個(gè)問(wèn)題回歸到這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生的源頭時(shí)卻會(huì)豁然開(kāi)朗. 之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，是因?yàn)椋阂环矫?，?wèn)題的源頭盡管比較簡(jiǎn)單，但卻蘊(yùn)含了理解新知識(shí)的鑰匙和解決復(fù)雜問(wèn)題所需要的基本思想方法;另一方面，問(wèn)題的源頭可以讓解題者去除遮蔽、返璞歸真，真正把握問(wèn)題的本質(zhì)，促進(jìn)深度理解. 斯萊爾馬赫認(rèn)為，只有返回到思想產(chǎn)生的根源，這些思想才可能得到真正的理解. 人工智能理論認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是通過(guò)組合低層特征形成更加抽象的高層特征的過(guò)程. 這說(shuō)明，要深度理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)必須先回歸到這些知識(shí)產(chǎn)生的源頭.

例如，很多高中生在剛學(xué)習(xí)函數(shù)的對(duì)應(yīng)定義時(shí)經(jīng)常有這樣的困惑：既然初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，為什么高中還要再學(xué)？初、高中函數(shù)定義之間到底存在什么區(qū)別與聯(lián)系？如果學(xué)生不能真正弄清這些問(wèn)題，那么他們不僅很難真正理解高中函數(shù)概念的本質(zhì)，而且還常常會(huì)混淆初、高中函數(shù)定義. 而解決這一問(wèn)題的有效策略是采用HPM教學(xué)法，讓學(xué)生充分回歸函數(shù)概念的起源與發(fā)展歷史，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中函數(shù)定義存在不完善之處，如變量的變化范圍不明確、缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言等，而高中函數(shù)定義正是為了解決初中函數(shù)定義的不完善之處而引入的，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到初中函數(shù)定義與高中函數(shù)定義之間的區(qū)別與聯(lián)系（見(jiàn)下表），避免初中函數(shù)定義對(duì)高中函數(shù)定義的負(fù)遷移，從而讓學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到高中函數(shù)定義由于建立在集合理論基礎(chǔ)上而變得嚴(yán)格這一數(shù)學(xué)本質(zhì).

5. 回歸也是一種重要的解題策略

眾所周知，解決問(wèn)題時(shí)既可以從已知出發(fā)向目標(biāo)前進(jìn)，也可以反其道而行之，從要達(dá)到的目標(biāo)出發(fā)，思考達(dá)到目標(biāo)應(yīng)具備什么條件，已知條件是否支持這些條件？這種思想方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用十分普遍，我們?cè)跀?shù)學(xué)解題中常用的分析法、倒推法、以退為進(jìn)法、特殊化法等本質(zhì)上就是一種回歸方法. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)指出，要善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅. 又說(shuō)，先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認(rèn)透了，鉆深了，然后由此向前推進(jìn). 這充分說(shuō)明回歸思想在數(shù)學(xué)解題中的重要性.

例如，在解決“已知正數(shù)[a，b，c]滿足[5c-3a≤][b≤4c-a]，[clnb≥a+clnc]，則[ba]的取值范圍? ? ? ”（2012年江蘇卷理科第14題）這道題時(shí)，如果采用回歸方法，通過(guò)作變量代換[bc=x]，[ac=y]，將已知條件中的字母[c]消去，并將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“已知[x，y]均為正數(shù)，且滿足[5-3y≤][x≤4-y]，[lnx≥y]，求[xy]的取值范圍”這樣一個(gè)常規(guī)問(wèn)題，則不僅可以促進(jìn)學(xué)生深刻把握問(wèn)題本質(zhì)，而且可以幫助學(xué)生迅速找到解決問(wèn)題的思路與方法.

三、回歸的常見(jiàn)類型

1. 回歸定義

這是一些有經(jīng)驗(yàn)的教師經(jīng)常采用的一種教學(xué)策略，這種策略運(yùn)用得恰到好處可以產(chǎn)生柳暗花明之效果. 美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞在總結(jié)“回到定義”這一數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)時(shí)說(shuō)道，回到定義去是一項(xiàng)重要的思維活動(dòng). 如果我們想明白為什么用文字表達(dá)的定義是如此重要，我們就應(yīng)該先認(rèn)識(shí)到文字是很重要的. 要是不使用文字、標(biāo)記或某種符號(hào)，我們就幾乎不能應(yīng)用我們的思維. 通過(guò)回到定義去，數(shù)學(xué)家尋求掌握隱藏在專業(yè)術(shù)語(yǔ)背后的數(shù)學(xué)對(duì)象間的真正聯(lián)系. 盡管許多教師平時(shí)也經(jīng)常使用這一教學(xué)策略，但可能僅僅停留于經(jīng)驗(yàn)層面，然而如果能夠真正認(rèn)識(shí)到這一策略的本質(zhì)卻可以更加自覺(jué)、更加理性地運(yùn)用它. 因?yàn)椤盎氐蕉x”可以讓解題者回到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，可以從知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)去更深刻地理解問(wèn)題的本質(zhì)并找到解決問(wèn)題的思路與方法. 回歸定義既是一種最基本的辦法，也是一種沒(méi)有辦法時(shí)的辦法. 如果在解題時(shí)，實(shí)在沒(méi)有其他辦法可用了，那么嘗試一下回歸定義，也許可以豁然開(kāi)朗.

例如，（1）如圖1，分別以[△ABC]的邊[AB，AC]為邊向外作正方形[ABDE]和正方形[ACFG]，連接[EG]，試判斷[△ABC]與[△AEG]之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）園林小路，曲徑通幽，如圖2，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成. 已知中間的所有正方形的面積之和是[a]平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是[b]平方米，這條小路一共占地多少平方米？

對(duì)于剛學(xué)習(xí)全等三角形證明的學(xué)生來(lái)說(shuō)，第（1）小題的困難是可想而知的，因?yàn)樗粌H需要學(xué)生從直觀上猜想[S△ABC=S△AEG]，而且還需要采用非常規(guī)的方法證明這兩個(gè)三角形面積相等. 許多學(xué)生盡管能夠猜想出[S△ABC=S△AEG]，但卻不知道如何去證明這一結(jié)論. 這時(shí)，回歸定義的“威力”就顯現(xiàn)出來(lái)了，因?yàn)橐C明這兩個(gè)三角形面積相等，首先需要將這兩個(gè)三角形的面積表示出來(lái)，而要表示就需要用到三角形面積的定義. 當(dāng)然，在運(yùn)用定義的過(guò)程中需要具有一定的靈活性，許多學(xué)生一開(kāi)始會(huì)受圖形條件的干擾去作線段[BC]和[EG]的高，但最后卻無(wú)功而返，因?yàn)榧葻o(wú)法證明[BC=EG]，也無(wú)法證明其邊上的高相等. 這就需要結(jié)合具體圖形靈活運(yùn)用回歸定義方法. 事實(shí)上，只要注意到[△ABC]與[△AEG]有一條邊相等（[AC=AG]），就容易想到分別作[AC，AG]邊上的高[BQ，EP]，然后再證明[BQ=EP]，如圖3所示.

至于第（2）小題的求解，可以通過(guò)回歸第（1）小題而獲得解決.

需要注意的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多學(xué)生常常會(huì)因?yàn)榭菰餆o(wú)味、考試不考而忽視定義的價(jià)值. 其實(shí)，在思路的探求、方法的產(chǎn)生及問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等方面，定義有著其他方法無(wú)法取代的作用. 因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要牢牢抓住定義并引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)回歸定義，這樣既能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，又能充分激發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利解決.

2. 回歸原型

心理學(xué)認(rèn)為，原型（Prototype）不是某一個(gè)特定對(duì)象的內(nèi)部復(fù)本，而是一類客體的內(nèi)部表征，它反映一類客體具有的基本特征，原型的最大特點(diǎn)是它能較其他樣例更容易發(fā)現(xiàn)這類模式的本質(zhì)特征. 事實(shí)上，無(wú)論一個(gè)問(wèn)題多么復(fù)雜，它都是簡(jiǎn)單問(wèn)題通過(guò)多次變式以后得到的，我們總可以從中找到構(gòu)成復(fù)雜問(wèn)題的基本要素——原型. 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)及基本思想方法中有很多都可以作為解決復(fù)雜問(wèn)題的原型，如勾股定理是余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等諸多數(shù)學(xué)公式的原型;拋硬幣、擲骰子的經(jīng)驗(yàn)是理解許多概率問(wèn)題的基礎(chǔ)——活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)原型;化歸方法、數(shù)形結(jié)合思想方法是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法原型. 因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該善于識(shí)別復(fù)雜問(wèn)題中的原型，并及時(shí)將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本問(wèn)題——原型，然后再?gòu)幕締?wèn)題（原型）中找到解決復(fù)雜問(wèn)題的思路與方法.

例如，對(duì)于題目“在[△ABC]中，已知[∠ACB=90°]，[AC=2，BC=23，E，F(xiàn)]是邊[AB]上異于[A，B]的兩點(diǎn)，[EF=1]，如圖4所示. 求[CE · CF]的范圍”，如果采用常規(guī)方法（建立平面直角坐標(biāo)系）求解，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 但是如果解題者知道極化恒等式[a · b=14a+b2-a-b2]這一原型，那么求解就變得非常容易. 事實(shí)上，令[M]為[EF]的中點(diǎn)，則有[CE · CF=14CE+CF2-CE-CF2=][142CM2-EF2=CM2-14]. 這樣，只需要求出[CM2]的取值范圍即可.

極化恒等式不僅在解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)非常有效，而且在數(shù)學(xué)發(fā)展史上也有重要地位. 在對(duì)數(shù)產(chǎn)生以前，人們?yōu)榱私鉀Q生產(chǎn)實(shí)際中出現(xiàn)的大量計(jì)算問(wèn)題，常常利用極化恒等式將兩個(gè)大數(shù)的乘積先表示為這兩個(gè)數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)的平方差之差的四分之一，然后再通過(guò)查平方表進(jìn)行計(jì)算. 在近幾年的高考試題中，也經(jīng)常會(huì)見(jiàn)到極化恒等式的影子.

例如，對(duì)于下面兩道高考試題，如果采用極化恒等式解題就非常簡(jiǎn)便.

（2010年福建卷文科第11題）若點(diǎn)[O]和點(diǎn)[F]分別為橢圓[x24+y23=1]的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)[P]為橢圓上的任意一點(diǎn)，則[OP · FP]的最大值為（? ? ）.

（A）2? ? （B）3? ? ?（C）6? ? ?（D）8

（2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第12題）已知[△ABC]是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，[P]為平面[ABC]內(nèi)一點(diǎn)，則[PA · PB+PC]的最小值是（? ? ）.

（A）-2? ?（B）[-32]? ?（C）[-43]? ?（D）-1

3. 回到核心觀點(diǎn)和核心概念

約翰·D.布蘭思福特和安·L.布朗等人在研究中發(fā)現(xiàn)，專家的知識(shí)不僅僅是對(duì)相關(guān)領(lǐng)域的事實(shí)和公式的簡(jiǎn)單羅列，相反它是圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”（big idea）來(lái)組織的，這些概念和觀點(diǎn)引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎甲约旱念I(lǐng)域. 根據(jù)這一研究，他提出教學(xué)要圍繞“大概念”或“大觀點(diǎn)”來(lái)聯(lián)系和組織……有效的學(xué)習(xí)要求教師必須了解他們所教學(xué)科的結(jié)構(gòu)（貫穿于其中的思想），并以此作為認(rèn)知路標(biāo)來(lái)指導(dǎo)學(xué)生的作業(yè)，來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的進(jìn)步. 這一研究結(jié)果與上面所提到的回歸性策略不謀而合，回歸的目的是回到知識(shí)產(chǎn)生的生長(zhǎng)點(diǎn)，并從此出發(fā)產(chǎn)生和發(fā)現(xiàn)新的知識(shí). 而核心概念和“大觀點(diǎn)”正是新知識(shí)得以產(chǎn)生的重要生長(zhǎng)點(diǎn)，回歸到核心概念或“大觀點(diǎn)”是為了更好地促進(jìn)知識(shí)的發(fā)生和生長(zhǎng).

下面以“一元微積分”的教學(xué)為例來(lái)具體說(shuō)明如何圍繞核心概念或“大觀點(diǎn)”來(lái)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，如圖5所示.

①→②，極限概念起源于函數(shù)概念，它研究的是函數(shù)的自變量在一個(gè)無(wú)限變化過(guò)程中因變量變化的趨勢(shì)，屬于函數(shù)性質(zhì)方面的內(nèi)容.

②→①，從極限返回研究函數(shù). 一方面，可以借助極限定義的概念——連續(xù)來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行重新分類，即把函數(shù)分成連續(xù)函數(shù)與非連續(xù)函數(shù);另一方面，可以利用極限更加深入地研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，如通過(guò)研究函數(shù)圖象的漸近線可以更好地了解函數(shù)圖象無(wú)限伸展的趨勢(shì).

②→③④，既是極限概念的進(jìn)一步深化與應(yīng)用，也是函數(shù)性質(zhì)的進(jìn)一步拓廣.

③→①，利用導(dǎo)數(shù)返回研究函數(shù). 這不僅可以更好地了解函數(shù)的本質(zhì)，如可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)、拐點(diǎn)、漸近線，求曲線的切線和法線等，而且可以更好地了解函數(shù)圖象的性態(tài)，如可導(dǎo)函數(shù)在作圖時(shí)只要用平滑的曲線把有限個(gè)點(diǎn)連接起來(lái)就可以基本反映圖象的大體形狀.

③→②，利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的極限，如利用洛必達(dá)法則求不定式極限，利用泰勒公式求極限等，這讓極限計(jì)算如虎添翼.

③→④，主要解決如何求一個(gè)函數(shù)原函數(shù)的問(wèn)題，它是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算.

④→①，利用積分返回研究函數(shù)，可以進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，如可以求封閉曲線所圍圖形的面積、可以討論函數(shù)的可積性等，而變上限函數(shù)的出現(xiàn)則進(jìn)一步開(kāi)闊了我們對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí).

④→②，由定積分可以研究函數(shù)的極限，如用定積分定義求數(shù)列極限等.

④→③，不僅可以更好地認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)與積分之間的關(guān)系，而且利用導(dǎo)數(shù)可以更好地解決定積分的計(jì)算問(wèn)題. 利用變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推得的牛頓-萊布尼茲公式不僅把定積分與不定積分有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，而且簡(jiǎn)化了定積分的計(jì)算.

由圖5可以看出，一方面，一元函數(shù)微積分學(xué)的7個(gè)基本概念——函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分、定積分（函數(shù)概念除外）都可以從函數(shù)這一核心概念生成，如導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量比極限，定積分是函數(shù)積分和極限等;另一方面，通過(guò)回歸式教學(xué)又可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類，可以研究函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、最值、極值等各種性質(zhì)，從而促進(jìn)對(duì)函數(shù)的深度理解. 這樣，上面的7個(gè)基本概念（函數(shù)概念除外）都可以統(tǒng)一在函數(shù)這一核心概念之下，一元微積分學(xué)最終歸結(jié)為利用極限研究一元函數(shù)的學(xué)問(wèn).

4. 回歸生活

數(shù)學(xué)來(lái)自生活，生活中處處包含著數(shù)學(xué). 著名教育家陶行知先生曾說(shuō)過(guò)，生活教育是給生活以教育，用生活來(lái)教育，為生活的向上、向前的需要而教育. 數(shù)學(xué)存在于我們生活的方方面面，在平時(shí)，教師應(yīng)處處留心生活情境，觀察生活事實(shí)，挖掘潛藏在生活現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)知識(shí)，并將其帶入數(shù)學(xué)課堂.

生活點(diǎn)滴不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的助力點(diǎn)，也是教師創(chuàng)設(shè)生活情境的借力點(diǎn). 隨著課程改革的逐步實(shí)施，“滿堂灌”在數(shù)學(xué)課堂中日漸式微，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂更強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主探索，而這需要教師創(chuàng)設(shè)具有豐富生活背景的數(shù)學(xué)情境來(lái)引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，進(jìn)而分析與解決問(wèn)題. 因此，教師應(yīng)注重觀察生活點(diǎn)滴、積累生活經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中以生活原型為背景，讓學(xué)生充分回歸生活，在生活中“找”數(shù)學(xué)，“想”數(shù)學(xué). 例如，有的教師在講授“確定圓的條件”這一內(nèi)容時(shí)就針對(duì)學(xué)生畫(huà)圓不完整這一普遍現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)了這樣一種教學(xué)情境：教師在黑板上畫(huà)圓時(shí)由于不小心手抖了一下，圓心找不到了，怎樣才能把剩下的部分畫(huà)完？然后自然而然想到在已有的圓弧上取一點(diǎn)、兩點(diǎn)直至三點(diǎn)才能確定圓心. 學(xué)生十分熟悉這一情境，不僅容易引起學(xué)生的共鳴，而且能充分激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

四、回歸的基本途徑

1. 善于進(jìn)行新、舊聯(lián)想

回歸，是一個(gè)尋找并識(shí)別新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)的過(guò)程. 因此，進(jìn)行回歸時(shí)要先努力尋求所學(xué)的新知識(shí)或面臨的新問(wèn)題與學(xué)習(xí)者頭腦中已有知識(shí)之間的聯(lián)系，然后思考是否可以利用已有知識(shí)來(lái)表征或解釋這些新知識(shí)或新問(wèn)題. 在這方面，波利亞曾經(jīng)提出了許多好的策略，他指出，遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，首先要思考：這是什么類型的問(wèn)題？你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？它與某個(gè)已知的問(wèn)題有關(guān)嗎？它像某個(gè)已知問(wèn)題嗎？你見(jiàn)過(guò)同樣的題目以一種不同的形式出現(xiàn)嗎？你見(jiàn)過(guò)一個(gè)類似的問(wèn)題嗎？你見(jiàn)過(guò)一個(gè)條件類似、結(jié)論類似、圖形類似或方法類似的問(wèn)題嗎？你見(jiàn)過(guò)一個(gè)更特殊的問(wèn)題嗎？你見(jiàn)過(guò)一個(gè)更一般的問(wèn)題嗎？例如，在教學(xué)“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃”這一新知識(shí)時(shí)，教師就可以將其與“二元一次不等式（組）與平面區(qū)域”“一元函數(shù)的最值問(wèn)題”“特殊二元函數(shù)的最值問(wèn)題”“向量的數(shù)量積”等諸多知識(shí)建立聯(lián)系.

2. 準(zhǔn)確識(shí)別認(rèn)知起點(diǎn)

奧蘇貝爾在其名著《教育心理學(xué)——認(rèn)知觀點(diǎn)》的扉頁(yè)上這樣寫(xiě)道：“假如讓我把全部教育心理學(xué)僅僅歸結(jié)為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學(xué)習(xí)的唯一重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么. 要探明這一點(diǎn)，并應(yīng)據(jù)此進(jìn)行教學(xué).”這說(shuō)明，只有準(zhǔn)確地把握認(rèn)知起點(diǎn)，才能為新知識(shí)的學(xué)習(xí)找到生長(zhǎng)點(diǎn)和固著點(diǎn)，才能更好地認(rèn)識(shí)新知識(shí)的本質(zhì)，新知識(shí)才能學(xué)得深、記得牢.

例如，在解決“求[z=2x+3y]的最大值，使[x，y]滿足約束條件[x+2y≤8，x≤4，y≤3，x≥0，y≥0]”這一問(wèn)題時(shí)，如果將“一元函數(shù)的最值問(wèn)題”或“特殊二元函數(shù)的最值問(wèn)題”作為認(rèn)知起點(diǎn)，就不僅可以使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)到該問(wèn)題是“求二元函數(shù)最值問(wèn)題”這一實(shí)質(zhì)，而且可以從學(xué)生熟悉的知識(shí)入手，通過(guò)類比自然而然找到解決問(wèn)題的方法.

3. 巧用啟發(fā)理解新知

回歸不是目的，而是為了更好地前進(jìn). 找到了新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)和新、舊知識(shí)之間的聯(lián)系僅完成了回歸的第一步，只有把認(rèn)知起點(diǎn)作為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)或新思想的生發(fā)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用各種啟發(fā)策略讓學(xué)生從這些認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)生成新知識(shí)、新思想、新方法，才算真正達(dá)到了回歸的目的.

例如，在解決問(wèn)題時(shí)，教師可以這樣啟發(fā)學(xué)生：我們以前有沒(méi)有遇到過(guò)這類問(wèn)題？如果學(xué)生回答“沒(méi)有”，教師就可以進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生：我們以前有沒(méi)有遇到過(guò)類似問(wèn)題？提出這一問(wèn)題的目的是引導(dǎo)學(xué)生回憶過(guò)去所學(xué)過(guò)的特殊二元函數(shù)的最值問(wèn)題（如“已知函數(shù)[x，y]滿足等式[x-22+y2=3]，求[yx]的最大值”等），如果學(xué)生能夠回憶起以前所學(xué)過(guò)的特殊二元函數(shù)的最值問(wèn)題，教師就可以進(jìn)一步追問(wèn)學(xué)生：我們當(dāng)時(shí)是怎么解決這一問(wèn)題的？其中的數(shù)學(xué)思想方法是什么？提出這兩個(gè)問(wèn)題的目的：一是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決這一問(wèn)題的關(guān)鍵是找到目標(biāo)函數(shù)[yx]的幾何意義，并把它轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問(wèn)題;二是為即將解決的線性規(guī)劃問(wèn)題找到類比對(duì)象和新方法的生長(zhǎng)點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生把這些問(wèn)題弄清楚以后，教師可以順勢(shì)提問(wèn)學(xué)生：這與我們現(xiàn)在要求的問(wèn)題有什么關(guān)系？你能從中獲得什么啟發(fā)？提出這兩個(gè)問(wèn)題的目的：一方面，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這兩類問(wèn)題之間具有特殊與一般的關(guān)系，并啟發(fā)學(xué)生類比舊問(wèn)題解決新問(wèn)題;另一方面，希望將學(xué)生的思維導(dǎo)向求二元函數(shù)最值問(wèn)題的關(guān)鍵——找出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，并將二元函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題. 如果學(xué)生能認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，教師就可以很自然地提出“你能說(shuō)出表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義嗎？”“看到[2x+3y]，你能聯(lián)想到什么？”等問(wèn)題，通過(guò)這樣的啟發(fā)讓學(xué)生自然地將[2x+3y]與兩個(gè)向量[x，y]，[2，3]的數(shù)量積聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到表達(dá)式[2x+3y]的幾何意義就是動(dòng)向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影與定向量[2，3]的長(zhǎng)度的乘積，從而將求目標(biāo)函數(shù)[z=2x+3y]這一二元函數(shù)的最值問(wèn)題成功轉(zhuǎn)化為求動(dòng)向量[x，y]在定向量[2，3]上的投影這一一元函數(shù)的最值問(wèn)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]小威廉姆，E.多爾. 后現(xiàn)代課程觀[M]. 王紅宇，譯. 北京：教育科學(xué)出版社，2003.

[2]JEROME BRUNER. Actual Minds，Possible Worlds[M]. Cambridge MA：Harvard University Press，1986.

[3]布魯納. 教育過(guò)程[M]. 邵瑞珍，譯. 北京：文化教育出版社，1982.

[4]張萍.“對(duì)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（4）：28-30，33.

[5]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[6]秦霞，鐘志華. 生活中抽象，合作中探究，數(shù)學(xué)中回歸：“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”教學(xué)實(shí)踐與評(píng)析[J]. 教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（1）：75-82.

[7]約翰·杜威. 思維與教學(xué)[M]. 孟獻(xiàn)承，俞慶堂，譯. 上海：商務(wù)印書(shū)館，1936.

[8]漢斯-格奧爾格·加達(dá)默爾. 真理與方法[M]. 洪漢鼎，譯. 上海：上海譯文出版社，2005.

[9]波利亞. 怎樣解題[M]. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上海科技教育出版社，2004.

[10]王甦，汪安圣. 認(rèn)知心理學(xué)[M]. 北京：北京大學(xué)出版社，2004.

[11]張玉虎. 一個(gè)活躍在高考中的恒等式[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（4）：56-57.

[12]約翰·D.布蘭思福特，安·L.布朗，羅德尼·R.科金，等. 人是如何學(xué)習(xí)的：大腦、心理、經(jīng)驗(yàn)及學(xué)校[M]. 程可拉，孫亞玲，王旭卿，譯. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2003.

[13]潘書(shū)林. 返回式框圖學(xué)習(xí)法[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，5（2）：36-37.