胡敏

古今中外有不少著名的悖論，激發(fā)了人們探究的興趣.在解決悖論難題的過(guò)程中，人們有了許多新的認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn).

一、悖論的定義

所謂悖論，從字面上講就是荒謬的理論.那么，為什么要用“悖論”這樣一個(gè)晦澀古怪的名詞呢？按照美國(guó)柯朗數(shù)學(xué)研究所美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因（M.Kline）教授的說(shuō)法，那是為了不把自相矛盾的真相擺在桌面上，才采用了這樣一個(gè)婉轉(zhuǎn)的措辭.當(dāng)然，克萊因教授是針對(duì)Paradox（矛盾的人或事物、情況）才這樣說(shuō)的，并不是針對(duì)“悖論”.然而，時(shí)間一長(zhǎng)，人們也習(xí)慣了悖論這一詞匯，其真實(shí)涵義就人人皆知了.

所以，我們主張采用著名邏輯學(xué)家弗蘭克爾（A.A. Fraenkel）與巴-希勒爾（Y.Bar-Hillel）的說(shuō)法，如果某一理論的公理和推理原則看上去是合理的，但由這個(gè)理論卻推出了兩個(gè)互相矛盾的命題，或者證明了這樣一個(gè)復(fù)合命題，它表現(xiàn)為兩個(gè)互相矛盾的命題的等價(jià)式，那么，我們就說(shuō)這個(gè)理論中包含了一個(gè)悖論.這樣來(lái)定義悖論較為全面而且合理.因?yàn)樵谶@里，首先指明了任何一個(gè)悖論總是相對(duì)于某一理論系統(tǒng)而言的；其次又指出了一個(gè)悖論可以表現(xiàn)為某一理論系統(tǒng)中兩個(gè)互相矛盾的命題的形式；最后才指出，悖論也可集中地表現(xiàn)為“肯定等價(jià)于否定”的復(fù)合命題.這樣看來(lái)，只是抽取了弗蘭克爾陳述中的最后兩句話作為悖論的定義，這當(dāng)然是不夠全面的，也不合理.另外，弗蘭克爾陳述中的第一句話，不僅是指明了任一悖論總相對(duì)于某一系統(tǒng)這一點(diǎn)，還強(qiáng)調(diào)了該系統(tǒng)的公理和推理原則看上去是合理的.如果不強(qiáng)調(diào)指出這一點(diǎn)，那么我們就可以輕而易舉地把一些明顯的矛盾命題湊合在一起，將其算作一個(gè)系統(tǒng)，然后宣布在這個(gè)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多悖論.

二、悖論的起源

關(guān)于悖論的起源，可以追溯到古希臘和我國(guó)先秦時(shí)期，但在那個(gè)時(shí)代及其往后的一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的歷史時(shí)期中，悖論往往泛指那些推理過(guò)程看上去是合理的，但推理的結(jié)果卻又違背客觀實(shí)際的說(shuō)法.例如，著名的芝諾悖論：希臘神話中善跑的英雄阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領(lǐng)先于他的烏龜，因?yàn)楫?dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那一點(diǎn)，烏龜又向前爬動(dòng)了.阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無(wú)限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜.

在歷史上，還有另一種與之相反的情形，也稱之為悖論，那就是由于新概念的引入而違背了具有歷史局限性的傳統(tǒng)觀念，這也被稱為悖論.這就不是看上去推理好像合理的問(wèn)題，而是傳統(tǒng)觀念貌似真實(shí)的事了.例如意大利數(shù)學(xué)家伽利略（Galilei）發(fā)現(xiàn)了對(duì)平方數(shù)與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)，但全體自然數(shù)與部分自然數(shù)不是一一對(duì)應(yīng)的，這就產(chǎn)生矛盾了，在歷史上這也稱為伽利略悖論.這不是推理上的問(wèn)題，而是由于“全體”大于“部分”的原則是從有限數(shù)量的事物關(guān)系中抽象出來(lái)的，自然不適用于無(wú)窮集合的情形了.諸如此類的悖論還可列舉，例如，鱷魚的二難論：有一天，一條鱷魚從一位母親的手中搶走了她的孩子.這位母親苦苦地哀求鱷魚：“我只有這么一個(gè)孩子，求求你千萬(wàn)不要傷害他，你提出什么條件我都答應(yīng)你.”鱷魚聽了非常得意，就對(duì)這位母親說(shuō)：“那好，我向你提一個(gè)問(wèn)題，讓你猜，如果你答對(duì)了，我就不傷害你的孩子，并把孩子還給你；如果你答錯(cuò)了，我就要吃掉你的孩子.”鱷魚問(wèn)這位母親：你猜我會(huì)不會(huì)吃掉你的孩子？這位聰明的母親仔細(xì)地琢磨了片刻，說(shuō)：“鱷魚先生，我想你是要吃掉我的孩子的.”鱷魚冷笑著說(shuō)：“你猜對(duì)了，我當(dāng)然會(huì)吃掉你的孩子，哈，哈……可是，如果我把孩子還給了你，那我就沒(méi)吃掉你的孩子，你就猜錯(cuò)，那我就可以吃掉你的孩子了.”說(shuō)著，就要吃小孩.這時(shí)母親急忙說(shuō)：“慢著！你剛才不是說(shuō)，我答對(duì)了，你就不吃孩子了嗎？現(xiàn)在如果你吃掉了我的孩子，那我就答對(duì)了，你就必須把孩子還給我.”鱷魚驚呆了，心想：“對(duì)呀，如果我吃了小孩，她就答對(duì)了.不行，看來(lái)這個(gè)小孩不能吃.”“那么，我應(yīng)該怎么辦呢？”鱷魚碰到了難題：它既要吃掉小孩，同時(shí)又得把小孩還給他的母親.不過(guò)，鱷魚又想：“如果我把孩子還給她，那么，她就答錯(cuò)了.所以，我就應(yīng)該吃掉小孩.”這樣一想，鱷魚堅(jiān)持不把小孩交給他的母親.然而，這位母親仍然堅(jiān)持說(shuō)：“你必須把小孩還給我.因?yàn)?，如果你吃了我的小孩，我就說(shuō)對(duì)了，你就得把孩子還給我.”

這時(shí)鱷魚便陷入一個(gè)矛盾當(dāng)中，無(wú)論鱷魚怎樣做，都無(wú)法兌現(xiàn)自己的許諾.因?yàn)轺{魚的諾言有兩項(xiàng)內(nèi)容：

A.如果媽媽猜對(duì)，我就釋放小孩；

B.如果媽媽猜錯(cuò)，我就吃掉小孩.

在媽媽表達(dá)了猜測(cè)之后，鱷魚的行為只有兩種選擇，而這兩種選擇都與鱷魚原先的諾言相違背.

鱷魚的第一種選擇是把小孩吃掉.這種選擇的結(jié)果是那位媽媽的猜測(cè)是正確的，按照鱷魚原先的許諾（A），此時(shí)鱷魚應(yīng)該把小孩“毫發(fā)無(wú)傷”地歸還！但是鱷魚卻把小孩吃掉了，所以鱷魚違背了自己的諾言.

公元前六世紀(jì)，克里特哲學(xué)家埃庇米尼得斯（Epi？ menides）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不是真正意義上的悖論，即一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有的克里特人所說(shuō)的每一句話都是謊話.”試問(wèn)這句話是真是假.如果它是真話，則因這句話也出自一個(gè)克里特人之口，故按此話可推知這句話是假的.因?yàn)?，由這句話是真的可導(dǎo)致它是假的.但反過(guò)來(lái)，若設(shè)這句話是假的，則并不導(dǎo)致任何矛盾.但僅由它是真的可導(dǎo)致它是假的這一點(diǎn)而言，就足以引人注目了.

上述那個(gè)不是真正意義上的悖論，卻被誤認(rèn)為是悖論，其實(shí)是一種誤解或疏忽.因?yàn)榧俣ㄟ@句話是假的，它并不引起矛盾，更推不出它是真的，至多說(shuō)，并非每個(gè)克里特人總在說(shuō)謊.在歷史上，這個(gè)原來(lái)被認(rèn)為是悖論，而實(shí)際上不是悖論這一點(diǎn)，也早已為人們所覺(jué)察，并設(shè)法修正它.最先是埃庇米尼得斯（于公元前4世紀(jì)）把上述命題改述為：現(xiàn)在我說(shuō)的是一句假話.羅素指出，如果假定在此克里特人說(shuō)這句話之前，每個(gè)克里特人所說(shuō)的每句話皆為假話，那么上述原始命題便構(gòu)成悖論.因由原始命題為真命題推導(dǎo)出它是假命題，現(xiàn)假定原始命題為假命題，則至少有一個(gè)克里特人說(shuō)過(guò)一句真話，但因?yàn)橛辛巳缟线@樣一個(gè)前提，有且僅有這一原始命題是真話，故又由它推導(dǎo)出它為真命題.這就構(gòu)成了一個(gè)悖論.

這些例子都存在著一個(gè)概念自指或自相關(guān)的問(wèn)題：如果從肯定命題入手，就會(huì)得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會(huì)得到它的肯定命題.由概念自指引發(fā)的悖論和引進(jìn)無(wú)限帶來(lái)的悖論有很多，再舉一個(gè)例子，一個(gè)人說(shuō)：“上帝是全能的，全能就是勝過(guò)一切.”試問(wèn)此話的真假性如何？設(shè)其為真命題，則可問(wèn)：“上帝能否創(chuàng)造一個(gè)對(duì)手來(lái)?yè)魯∩系勰?？”如果能，那么上帝就要被上帝自己?chuàng)造出來(lái)的對(duì)手擊敗，故上帝并非全能.如果不能，就說(shuō)明上帝還有事情做不到，即并非全能.不論怎么說(shuō)，均導(dǎo)致“上帝全能”這句話為假命題.但是，反過(guò)來(lái)設(shè)這句話為假命題，則并不導(dǎo)致任何矛盾，因?yàn)槿艿纳系郾緛?lái)就不存在.

以上兩例均不構(gòu)成悖論，卻指明了一個(gè)邏輯推理，即當(dāng)否定者自身被包括在被否定的對(duì)象中時(shí)，則必然可推導(dǎo)出它的反面.因?yàn)樯系圩约阂仓蒙碛谶@一切之中，否定“上帝全能”就必然否定了上帝自身.前例中那個(gè)克里特人也是一樣，由于他自身就是克里特人，必然導(dǎo)致他自身說(shuō)謊.

后來(lái)，人們順著埃庇米尼得斯的原始命題，構(gòu)造了等價(jià)于上述埃庇米尼得斯命題的悖論：永恒性說(shuō)謊者悖論，即：在本頁(yè)本行里所寫的那句話是謊話.

由于除了這句話本身之外別無(wú)任何其他的話，若設(shè)該話為真命題，則要承認(rèn)該話的結(jié)論，從而導(dǎo)出該話為謊話.若設(shè)該話為謊話，則應(yīng)肯定該話的結(jié)論為真命題，因之推出該話為真命題.這就構(gòu)成了真正意義的悖論.

問(wèn)題出在什么地方？這是由于語(yǔ)言層次的混亂造成的，被論斷是真是假的話，與去論斷它的話混為一談.如果在下一行寫上一句話：

（A）現(xiàn)在在下雨.

然后再在下一行寫一句話：

（B）前一行里寫的那句話是謊話.

這就不能構(gòu)成悖論.話（B）是真是假，要看（A）的真假，而（A）的真假?zèng)Q定于現(xiàn)在是否下雨.在這里，話（A）是被論斷的話，而話（B）是對(duì)（A）去作論斷的話.故“撒謊者悖論”的癥結(jié)就在于作論斷的話與被論斷的話混為一談.

美國(guó)數(shù)理邏輯學(xué)家斯穆里安（Smullyan）寫了一本書，其書名為“這本書的書名叫什么？”現(xiàn)把這本書放在桌子上，并有甲、乙、丙三個(gè)人圍著它，因?yàn)榧撞蛔R(shí)字而指著該書問(wèn)：“這本書的書名叫什么？”而乙指著這本書說(shuō)：“這本書的書名叫什么？”這時(shí)丙在考慮，剛才乙講這句話算是回答甲的問(wèn)題呢？還是在重復(fù)甲的提問(wèn)呢？而且乙可以叫別人永遠(yuǎn)猜不著.因?yàn)檫@既是問(wèn)也是答.但是，如果乙誠(chéng)心想回答甲的問(wèn)題而又愿意把話說(shuō)得清楚些，說(shuō)：“這本書的書名就叫做《這本書的書名叫什么？》”，就不致于引起丙的煩惱了.在這里，同樣存在著語(yǔ)義上的問(wèn)題.

在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，由于出現(xiàn)了悖論，之前在邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)中被認(rèn)為是沒(méi)有問(wèn)題的基本概念、定義、推理的基本方法，都出現(xiàn)了問(wèn)題，特別是經(jīng)典集合論中被發(fā)現(xiàn)有自相矛盾的現(xiàn)象，這顛覆了人們的認(rèn)知，導(dǎo)致“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”的出現(xiàn).

悖論在現(xiàn)代邏輯學(xué)中有了新的作用，它們促使了新定理的發(fā)現(xiàn)（通常是負(fù)面的結(jié)果，例如不可證明性和不可判定性）.邏輯學(xué)中的很多基本概念之所以已經(jīng)發(fā)展到了目前的狀態(tài)，主要是得益于在解決悖論的各種嘗試中獲得的經(jīng)驗(yàn)和成果.研究悖論解決方案的副產(chǎn)品包括：集合論的公理化，類型論的系統(tǒng)發(fā)展，語(yǔ)義學(xué)的基礎(chǔ)，形式系統(tǒng)的理論.