張玉敏

解答數(shù)學問題，需要具備想象、觀察、判斷、分析、推理、運算等能力.而要有效地提升解題的效率，除了要掌握并運用基本的數(shù)學知識、方法外，還需增強聯(lián)想意識、目標意識、優(yōu)化解題方法的意識、反思意識這四種意識.

一、聯(lián)想意識

審題是解題的第一步，也是解題的關鍵.那么，怎樣才能審好題呢？我認為可嘗試聯(lián)想，即逐一分析題目的式子、圖形、條件、結論，根據(jù)其形式、結構、特點聯(lián)想到所學的公式、定理、性質、法則等，也可將問題與以前遇到的類似題目、解題方法相關聯(lián)，通過類比、延伸，找到兩個題目之間的聯(lián)系，從而尋找到解題的方案.

數(shù)與形是數(shù)學中不可分割的兩個部分，二者之間可以相互轉化，通過聯(lián)想，由“數(shù)”思“形”，進而構造出幾何圖形，利用幾何圖形的性質、位置關系，就能快速解題.

二、目標意識

解題是一種有目的的行為.解題時，需有目標意識，解題的每一步都是為了求得問題的答案，一旦失去方向，就很難達到目標.在解題時，需首先明確目標，即所要求得的式子、數(shù)值、范圍以及所要求證的結論，這樣才不會偏離正確的解題軌道.解題的每一步都要做到有理有據(jù)，且要明白進行這一步的目的是什么，這樣才能明確下一步該做什么，如，建立關系式的目的是為了化簡目標式；列方程的目的是為了應用韋達定理.

例2.已知P、Q是f（x）=x2+ax+b（-1≤x≤1）上兩個不同的點，且滿足f（0）=f（1）=0.

（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）求直線PQ的斜率的取值范圍；

三、優(yōu)化解題方法的意識

解題須講究方法，有了好的方法，則會事半功倍.若解題的方法選擇不當，則會導致解題過程太繁瑣，或者無法得到正確的答案.在解題時，同學們需仔細審題，將已知條件和所求目標關聯(lián)起來，尋找不同的解題方法，如設而不求、整體代換、數(shù)形結合等，然后將各種方法進行比較，選取最優(yōu)的方案，這樣有利于提升解題的效率.

例3.已知圓C的方程為（x-1）2+（y-2）2=25，直線l的方程為（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）.求證：不論實數(shù)m取何值，直線l總與圓C相交.

解析：若采用常規(guī)方法，利用方程思想，需將圓C的方程與直線l的方程聯(lián)立，然后消元，得到一元二次方程，最后驗證該方程的判別式是否恒大于0.但運用該方法求證，計算量頗大，且容易出錯.這時，我們要有優(yōu)化解題方法的意識，尋找更為簡便、有效的方法進行求解.對于含有參數(shù)的直線方程，應關注它是否經過某個定點，仔細研究直線l的方程，可發(fā)現(xiàn)這個定點在圓C內，那么結論就不言自明了.

則兩直線的交點為A（3，1），

而此點在圓的內部，故不論m為任何實數(shù)，直線l與圓C始終相交.

顯然，這種證法要簡捷多了，不僅運算量小，而且思路簡單，這樣可以節(jié)約大量的時間.

四、反思意識

解題完成后，能否保證得到的結果是正確的呢？能否保證這種解法是最好的解法呢？這時，我們就要有反思意識，通過反思，完善解題的過程，確保解題成功.那么，該反思什么呢？我認為可以從以下幾個方面入手：（1）反思答案的合理性；（2）反思解題過程的嚴謹性；（3）反思解題過程中的易錯點；（4）反思解題過程中用到了哪些思想方法；（5）反思能否從本題出發(fā)，得出相關的結論.通過反思，可以得到更多新的體會和收獲.

故所求直線的方程為y-3=±（x-1），即x-y+2=0或x+y-4=0.

在解答本題后，我們可以從兩個方面進行反思：一是重新審題.一般地，直線與拋物線有一個交點，則會出現(xiàn)兩種情形：（1）直線與拋物線相交于一點；（2）直線與拋物線相切.那么在該解法中，忽略了直線與拋物線相切的情形，因此上述解法中漏了一解：x=1；二是檢驗所得的結果是否滿足題意.

在解題時，同學們要根據(jù)題目進行聯(lián)想，確定每一步的目標，選擇最優(yōu)的解題方法，在解題后進行反思，有了聯(lián)想意識、目標意識、優(yōu)化意識、反思意識，才能有效地提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省常州市戚墅堰高級中學）