宋威震，何 勇

(東華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620)

0 引言

非圓齒輪能夠?qū)崿F(xiàn)兩軸間變速傳動(dòng)，是一種傳動(dòng)特性優(yōu)越的變速機(jī)構(gòu)[1]。由于非圓齒輪具有獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)用中往往需要非圓齒輪滿足特定的傳動(dòng)比要求，用來(lái)完成特殊的函數(shù)關(guān)系[2]或者改善機(jī)械的運(yùn)動(dòng)。

非圓齒輪節(jié)曲線是非圓齒輪創(chuàng)新的關(guān)鍵，很多學(xué)者都在研究非圓齒輪的節(jié)曲線，并且提出了一些新式非圓齒輪[3]。非圓齒輪的設(shè)計(jì)中，其傳動(dòng)比是在節(jié)曲線確定后得到的，即利用非圓齒輪封閉且共軛的條件構(gòu)造出節(jié)曲線，本文設(shè)計(jì)節(jié)曲線，用以實(shí)現(xiàn)特定的傳動(dòng)比函數(shù)。

有關(guān)非圓齒輪節(jié)曲線及傳動(dòng)比的分析，很多文獻(xiàn)做了研究，賀敬良等[4]研究了變性橢圓齒輪機(jī)構(gòu)，并做了速度的求解，但最后沒(méi)有對(duì)其進(jìn)行三維仿真。FIGLIOLINI等[5]設(shè)計(jì)了非圓齒輪，主要包括壓力角、節(jié)曲線和凹凸性等，但沒(méi)有建立非圓齒輪的三維模型。LIU等[6]進(jìn)行了高階非圓齒輪的設(shè)計(jì)，給出了具體的設(shè)計(jì)流程，但沒(méi)有進(jìn)行具體的實(shí)例分析。謝瑞雪等[7]研究了變性橢圓齒輪，使用MATLAB進(jìn)行了實(shí)例分析，但最后沒(méi)有進(jìn)行三維仿真分析。劉煬等[8]做了變性橢圓齒輪的研究，并做了三維建模，但沒(méi)有進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)研究。分析已有文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，非圓齒輪的設(shè)計(jì)大多基于二維軟件，非圓齒輪的齒廓點(diǎn)提取過(guò)程繁瑣而且時(shí)間較長(zhǎng)，多數(shù)論文對(duì)非圓齒輪僅做仿真分析，未涉及到理論分析，造成設(shè)計(jì)結(jié)果不嚴(yán)謹(jǐn)。本文完整的呈現(xiàn)非圓齒輪設(shè)計(jì)過(guò)程，為其它文章提供一個(gè)參考作用。

求解非圓齒輪傳動(dòng)的首要工作是確定節(jié)曲線，主要分為3種方式[1]，即：給定傳動(dòng)比函數(shù)和中心距；給定再現(xiàn)函數(shù)和中心距；給定主動(dòng)輪的節(jié)曲線方程和中心距。本文不選用上述傳統(tǒng)方式，采用另外一種新的方式——只給非圓齒輪傳動(dòng)比函數(shù)，不給中心距。采用這種方式來(lái)設(shè)計(jì)，具有更大的范圍性和更好的通用性。

已有論文提到的非圓齒輪設(shè)計(jì)過(guò)程和方法，比較繁瑣而且不太嚴(yán)謹(jǐn)[12]，另外，對(duì)于設(shè)計(jì)的非圓齒輪不進(jìn)行驗(yàn)證，設(shè)計(jì)結(jié)果不具有說(shuō)服力。為了解決這些問(wèn)題，本文提出一種非圓齒輪的設(shè)計(jì)方法，此方法設(shè)計(jì)非圓齒輪過(guò)程簡(jiǎn)單、通用性強(qiáng)、精度較高。論文整體步驟為：結(jié)合已知傳動(dòng)比條件，首先使用MATLAB求解非圓齒輪的中心距、節(jié)曲線和嚙合位置，接著，運(yùn)用包絡(luò)法包絡(luò)形成非圓齒輪齒廓，然后通過(guò)齒廓點(diǎn)的提取生成二維非圓齒輪，把生成的二維圖形，導(dǎo)入Pro/E中，拉伸成三維模型，并把齒輪副進(jìn)行裝配，最后把裝配的圖形導(dǎo)入到Adams中，完成動(dòng)力學(xué)分析，求齒輪副角速度曲線。同時(shí)為了結(jié)果的嚴(yán)謹(jǐn)性，對(duì)非圓齒輪副進(jìn)行了理論分析，并與運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真進(jìn)行對(duì)比。

1 非圓齒輪基礎(chǔ)理論

1.1 非圓齒輪傳動(dòng)比

非圓齒輪傳動(dòng)比是以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角為自變量的周期函數(shù)，它表示主從動(dòng)齒輪的速度變化關(guān)系。以外嚙合齒輪副為例，設(shè)給定的傳動(dòng)比為i12(φ1)=f(φ1)，由運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以推導(dǎo)得出：

(1)

式中，ω1為主動(dòng)輪角速度；ω2為從動(dòng)輪角速度。

從動(dòng)輪位置函數(shù)φ2(φ1)是φ1的函數(shù)，從動(dòng)輪節(jié)曲線封閉要求當(dāng)主動(dòng)輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，從動(dòng)輪是一個(gè)封閉的齒輪，須符合φ2(2π)=2π×n或φ2(2π)=2π/n，其中n為整數(shù)。

從動(dòng)輪位置函數(shù)計(jì)算公式為:

(2)

1.2 節(jié)曲線方程

設(shè)中心距為a，主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角為φ1，傳動(dòng)比表達(dá)式i12=f(φ1)，則主動(dòng)齒輪節(jié)曲線計(jì)算公式:

(3)

從動(dòng)齒輪節(jié)曲線r2(φ1)和轉(zhuǎn)角φ2計(jì)算公式為:

(4)

(5)

1.3 非圓齒輪中心距

因?yàn)橹鲝膭?dòng)輪能夠?qū)崿F(xiàn)整周旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程可以看成主從動(dòng)輪節(jié)曲線在做純滾動(dòng)。設(shè)主動(dòng)輪的齒數(shù)為z，模數(shù)為m，則弧長(zhǎng)為:

(6)

設(shè)r1a=r1/a，根據(jù)式(6)可得主從動(dòng)輪安裝中心距a的計(jì)算公式如下：

(7)

2 實(shí)例分析與求解

本文實(shí)例分析：要實(shí)現(xiàn)的傳動(dòng)比i12的方程如下:

i12(φ1)=1.118+0.5sin(φ1)

(8)

式中，傳動(dòng)比函數(shù)是以主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角φ1為自變量的函數(shù)，本文假設(shè)主動(dòng)輪模數(shù)m為2.5 mm，齒數(shù)z為19。

因?yàn)榉菆A齒輪設(shè)計(jì)的過(guò)程中需要考慮多種因素，比如是否根切、節(jié)曲線是否封閉和凸凹性檢驗(yàn)等，參照文獻(xiàn)[7]，本文給出非圓齒輪設(shè)計(jì)的過(guò)程圖，以便更清楚表達(dá)本文求解非圓齒輪過(guò)程，如圖1所示。

圖1 程序流程圖

下面根據(jù)流程圖進(jìn)行非圓齒輪的求解，首先確定主從動(dòng)輪的中心距，由式(3)、式(7)、式(8)可求得主從動(dòng)輪安裝中心距:

(9)

所以，可以求得主從動(dòng)齒輪安裝中心距a=48.17 mm。因?yàn)榉菆A齒輪的中心距已經(jīng)求出，聯(lián)立式(3)、式(6)、式(9)可以求出主動(dòng)輪節(jié)曲線的弧長(zhǎng)，由弧積分公式可得:

(10)

因此，可以求得主動(dòng)齒輪的弧長(zhǎng)為149.2 mm。

2.1 根切校驗(yàn)

因?yàn)榉菆A齒輪節(jié)曲線的曲率半徑是變化的，在加工過(guò)程中也許會(huì)造成根切，所以有必要驗(yàn)證是否根切，不發(fā)生根切為:

(11)

2.2 封閉性檢驗(yàn)

下面進(jìn)行從動(dòng)輪的封閉性檢驗(yàn)，根據(jù)從動(dòng)輪的位置函數(shù)，由式(5)、式(8)可得：

(12)

對(duì)該函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)φ1=2π時(shí)，φ2(2π)=2π，即主動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)一圏，從動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)一圈，符合節(jié)曲線封閉的要求。

2.3 凹凸性檢驗(yàn)

在加工非圓齒輪前，必須預(yù)先知道節(jié)曲線的凹凸性，所以進(jìn)行凹凸性計(jì)算，具體參照文獻(xiàn)[1]。

主動(dòng)輪節(jié)曲線不出現(xiàn)凹形的條件為:

(13)

從動(dòng)輪節(jié)曲線不出現(xiàn)凹形的條件為:

(14)

經(jīng)檢驗(yàn)后，主從動(dòng)輪節(jié)曲線都是外凸。

2.4 主從動(dòng)齒輪節(jié)曲線

已知式(8)的傳動(dòng)比函數(shù)，聯(lián)立式(3)、式(8)可以推出主動(dòng)齒輪節(jié)曲線為:

(15)

根據(jù)式(4)、式(8)可以求解從動(dòng)齒輪節(jié)曲線為:

(16)

根據(jù)式(15)、式(16)計(jì)算結(jié)果，然后根據(jù)式(9)計(jì)算出來(lái)的中心距，使用MATLAB可求得主從動(dòng)輪的節(jié)曲線。

2.5 非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心

下面求非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心(焦點(diǎn))，當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心的研究，一般都是關(guān)于橢圓齒輪，有關(guān)其他類型的非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心的研究目前鮮有介紹，本文依據(jù)橢圓齒輪的有關(guān)結(jié)論，對(duì)非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心進(jìn)行求解。根據(jù)主從動(dòng)輪節(jié)曲線和中心距可求得非圓齒輪的嚙合位置，得出圖2。下面求主動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心，從動(dòng)輪的數(shù)據(jù)可以參考主動(dòng)輪的計(jì)算過(guò)程。根據(jù)式(15)畫出主動(dòng)輪節(jié)曲線，可以求出非圓齒輪的“長(zhǎng)軸”為48.17 mm，如圖2所示中主動(dòng)輪的粗線所示，“短軸”為46.82 mm，如藍(lán)色線所示，最后可以求得“焦距”為5.67 mm，如圖中O1—C1所示，C1即嚙合傳動(dòng)時(shí)主動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心。同理，可以求得從動(dòng)輪的焦距O2—C2，從動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心為C2。下面進(jìn)行非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心正確性的驗(yàn)證，以主從動(dòng)輪的相切點(diǎn)為初始點(diǎn)，在主從動(dòng)輪上按照相同長(zhǎng)度的弧長(zhǎng)，找6個(gè)點(diǎn)，模擬非圓齒輪純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，非圓齒輪中心距分別為C1—1和C2—1的和、C1—2和C2—2，以此類推。求解得知：6個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的和都十分接近中心距48.17 mm，證明本節(jié)求出的回轉(zhuǎn)中心正確。

圖2 非圓齒輪節(jié)曲線和回轉(zhuǎn)中心

3 非圓齒輪建模

3.1 非圓齒輪齒廓的繪制

目前對(duì)非圓齒輪的求解多采用包絡(luò)法[9]和齒形折算法，但是齒形折算法精度低，過(guò)程復(fù)雜，所以用的越來(lái)越少，所有本文使用包絡(luò)法進(jìn)行非圓齒輪的設(shè)計(jì)，這種算法理論已經(jīng)非常成熟，故這里不再詳述。借鑒其他文獻(xiàn)[10]，標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒廓的插齒刀具包絡(luò)形成非圓齒輪齒廓，根據(jù)式(15)，包絡(luò)生成的主動(dòng)輪齒廓如圖3所示。同理可以生成從動(dòng)輪齒廓，這里不再顯示。使用圖像處理的方法[11]，可以快速提取齒廓點(diǎn)，把齒廓點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入到Autocad中可得到非圓齒輪圖形，如圖4所示。為了更好地表示兩個(gè)非圓齒輪的位置和嚙合情況，結(jié)合圖2求得的非圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心，畫出主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪的嚙合圖。

圖3 插齒刀具包絡(luò)非圓齒輪齒廓 圖4 主動(dòng)齒輪圖形

3.2 非圓齒輪裝配

把得到的非圓齒輪的二維圖形導(dǎo)入到Pro/E中，利用拉伸命令，拉伸厚度為40 mm，拉伸以后得到非圓齒輪三維模型，在圖2中得到的回轉(zhuǎn)中心位置處設(shè)置一個(gè)直徑為6 mm的孔洞作為安裝位置，在Pro/E軟件中進(jìn)行裝配和設(shè)置約束，以主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的安裝中心點(diǎn)設(shè)置齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)命令，裝配后如圖5所示。

圖5 非圓齒輪三維裝配圖

把主動(dòng)輪回轉(zhuǎn)中心處設(shè)置電機(jī)進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)，從動(dòng)輪會(huì)跟著主動(dòng)輪進(jìn)行相應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察發(fā)現(xiàn)，齒輪副在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中嚙合良好，轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn)，達(dá)到齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)要求。

4 非圓齒輪運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

利用Adams軟件，對(duì)非圓齒輪進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，驗(yàn)證非圓齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)輸出的傳動(dòng)比與理論傳動(dòng)比是否一致。運(yùn)動(dòng)學(xué)分析能夠使設(shè)計(jì)的產(chǎn)品進(jìn)行及時(shí)的驗(yàn)證和分析，這種驗(yàn)證不需要大量的人力和金錢，可以很容易的獲得結(jié)果，最主要的是可以減少產(chǎn)品的研發(fā)時(shí)間。

在Adams中定義材料的剛度是20 000 N/mm，力指數(shù)是2.2，最大阻尼是400 N·s/mm，在運(yùn)動(dòng)學(xué)過(guò)程中允許接觸在小距離內(nèi)的相互滲透。在主從動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心設(shè)置為轉(zhuǎn)動(dòng)副，接著在主動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心設(shè)置旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，如圖6所示。旋轉(zhuǎn)副驅(qū)動(dòng)為30 °/s，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為32 s，步數(shù)為320步，然后開(kāi)始進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，根據(jù)齒輪副的運(yùn)動(dòng)，得到主動(dòng)輪的角速度曲線如圖7所示，從動(dòng)輪的角速度曲線如圖8所示。

圖6 非圓齒輪在Adams中的裝配圖

圖7 主動(dòng)輪角速度圖

圖8 從動(dòng)輪角速度圖

在非圓齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩齒輪嚙合良好，滿足共軛齒輪傳動(dòng)要求，證明了設(shè)計(jì)的非圓齒輪是正確的。由圖7可以看出，在Adams運(yùn)動(dòng)仿真中，主動(dòng)輪角速度圖為一條直線，即主動(dòng)輪為勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。圖8曲線不光滑的原因可能是：由于非圓齒輪相對(duì)復(fù)雜，而且輪齒數(shù)量較多，導(dǎo)致其累積誤差更大，仿真曲線有地方發(fā)生失真現(xiàn)象。

5 非圓齒輪理論分析

把得到的主動(dòng)輪和從動(dòng)輪嚙合圖進(jìn)行每個(gè)齒的分析，給每個(gè)齒編號(hào)，如圖9所示，分別測(cè)量主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的回轉(zhuǎn)中心到每個(gè)齒的距離，從動(dòng)輪角速度[1]為ω2=ω1/i12，結(jié)果如表1所示。主動(dòng)輪的角速度與本文第4節(jié)相同，為30 °/s，這里為了表格簡(jiǎn)潔，僅列出了部分齒的數(shù)據(jù),注：這里主動(dòng)輪角速度和從動(dòng)輪角速度單位都為°/s。把表1中的傳動(dòng)比和從動(dòng)輪角速度與從動(dòng)輪齒的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行畫圖，結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖9 非圓齒輪傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性

表1 非圓齒輪理論數(shù)據(jù)求解

圖10 非圓齒輪傳動(dòng)比 圖11 從動(dòng)輪角速度

觀察圖10可以看出，把非圓齒輪的理論傳動(dòng)比與要實(shí)現(xiàn)的傳動(dòng)比i12(φ1)=1.118+0.5sin(φ1)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)圖形基本一致 。觀察圖11和圖8可以得出，從動(dòng)輪的理論角速度與Adams仿真得出的從動(dòng)輪角速度曲線基本一致。通過(guò)對(duì)圖10和圖11進(jìn)行分析，很好的證明本文設(shè)計(jì)非圓齒輪方法的正確性。

6 結(jié)論

針對(duì)非圓齒輪設(shè)計(jì)過(guò)程繁瑣，齒廓特征點(diǎn)提取時(shí)間長(zhǎng)，提出一種簡(jiǎn)單的非圓齒輪設(shè)計(jì)方法，通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例進(jìn)行分析，證明方法的正確性。結(jié)果表明，從動(dòng)輪的角速度曲線和理論傳動(dòng)比曲線極其接近，證明了本文方法的正確性。因此,只要給出了主從動(dòng)輪傳動(dòng)比函數(shù)，即使不給出中心距，也可以計(jì)算出非圓齒輪齒廓，使非圓齒輪設(shè)計(jì)更具有普遍性和通用性。對(duì)非圓齒輪回轉(zhuǎn)中心進(jìn)行精確求解并驗(yàn)證其正確性，使求解更加嚴(yán)謹(jǐn)。以MATLAB和Pro/E為工具，生成非圓齒輪三維模型，比傳統(tǒng)CAD軟件繪制非圓齒輪更加簡(jiǎn)單

快捷，提高了設(shè)計(jì)的效率和精度。本文提出的方法相比其他文獻(xiàn)的非圓齒輪設(shè)計(jì)方法更加簡(jiǎn)單省時(shí)，復(fù)現(xiàn)性強(qiáng)。