王 瑩

（南寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，南寧 530000）

0 引言

自2019年12月以來，新型冠狀病毒肺炎成為了最嚴(yán)重的疾病之一，在全世界造成了嚴(yán)重的流行病，對全世界的社會和經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生了巨大的影響。對此，各國政府一直在努力地監(jiān)督、觀察與控制本國的確診病例和死亡情況。并致力于通過相關(guān)醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)預(yù)測其對未來形勢產(chǎn)生的影響，根據(jù)數(shù)據(jù)評估當(dāng)下所作決策的有效性，以及公眾遵守相關(guān)政策與限制方案會發(fā)生什么，產(chǎn)生什么影響。

自從新冠肺炎發(fā)生以來，對新冠肺炎病例的估計(jì)、分析與預(yù)測一直是許多研究的主題。而在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用與人工智能預(yù)測領(lǐng)域，各種統(tǒng)計(jì)學(xué)與機(jī)器學(xué)習(xí)模型如：Box-Jenkins（ARIMA）［1］，Prophet［2］，Holt-Winters Additive Model（HWAAS）［3］和高斯模型等，已被用于預(yù)測與分析新型冠狀肺炎病例。ARIMA模型可以有效地利用自身組合方法擬合歷史數(shù)據(jù)，并有助于預(yù)測時(shí)間序列中的未來點(diǎn)。Box-Jenkins方法包含應(yīng)用于非平穩(wěn)序列的ARIMA模型，但通過對序列的差分運(yùn)算使其平穩(wěn)，廣泛用于時(shí)間序列分析［1］。Prophet的自動(dòng)預(yù)測程序是一種基于附加模型預(yù)測時(shí)間序列數(shù)據(jù)的方法，在其結(jié)構(gòu)中，它是一個(gè)具有可解釋參數(shù)的回歸過程。Prophet自動(dòng)預(yù)測程序?qū)θ狈?shù)據(jù)和趨勢變化具有魯棒性，通常能很好地執(zhí)行異常值［2］。通常為季度性數(shù)據(jù)提供準(zhǔn)確預(yù)測的方法是Holt-Winters，該方法具有衰減趨勢和乘法季節(jié)性［3］。高斯模型利用概率分布對歷史數(shù)據(jù)的軌跡進(jìn)行預(yù)測，能靈活調(diào)整參數(shù)從而調(diào)整高斯分量和擬合參數(shù)。

Hu等［4］開發(fā)了一種改進(jìn)的堆疊式自動(dòng)編碼器，致力于解決建模流行性的傳播動(dòng)力學(xué)方面的難題。將該模型用于實(shí)時(shí)預(yù)測2020年1月至4月中國新冠肺炎診斷的累計(jì)確診病例的曲線。使用多步預(yù)測，6步、7步、8步、9步和10步預(yù)測的估計(jì)平均誤差分別為1.64%、2.27%、2.14%、2.08%和0.73%。

Yonar等［5］使用曲線估計(jì)模型估計(jì)了2020年1月至3月期間選定的八個(gè)國家（德國、英國、法國、意大利、俄羅斯、加拿大、日本和土耳其）的新冠肺炎病例數(shù)量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示Box-Jenkins（ARIMA）和Brown／Holt線性指數(shù)平滑，誤差為2.578%。

Shaikh等［6］使用回歸模型分析了印度的新冠肺炎數(shù)據(jù)集，并提供了包括誤差分析和準(zhǔn)確性并置在內(nèi)的實(shí)證證據(jù)。此外，還使用了Tableau的時(shí)間序列預(yù)測方法預(yù)測了冠狀病毒病例在未來的趨勢，模型決定系數(shù)R2達(dá)到0.8721及以上。

高斯模型（Gauss model）是用高斯概率密度函數(shù)（正態(tài)分布曲線）對事物進(jìn)行精確量化，以高斯概率密度函數(shù)為基礎(chǔ)將一個(gè)事物分解成若干個(gè)模型而形成。以高斯函數(shù)為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的高斯模型在許多數(shù)據(jù)分析與預(yù)測領(lǐng)域都有著非常出色的表現(xiàn)，而在非線性曲線擬合研究中，使用高斯函數(shù)來進(jìn)行擬合，其各參數(shù)的物理意義都是清晰的。這能使計(jì)算積分十分簡單快捷，利用高斯擬合函數(shù)（Gaussian fitting）來描述或者擬合求出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析與預(yù)測，往往能起到意想不到的效果。

本研究實(shí)驗(yàn)利用高斯模型中優(yōu)秀的數(shù)學(xué)算法思想對2022年中國上海爆發(fā)的新冠肺炎疫情各項(xiàng)病例數(shù)據(jù)進(jìn)行周期性數(shù)據(jù)的預(yù)測與分析。通過使用高斯擬合函數(shù)和高斯模型，利用極大似然估計(jì)反推形成最優(yōu)預(yù)測擬合結(jié)果的參數(shù)，加以高斯—牛頓迭代法進(jìn)一步優(yōu)化估計(jì)參數(shù)算法過程，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果達(dá)到最優(yōu)擬合。在此基礎(chǔ)上對所有病例數(shù)據(jù)信息進(jìn)行整合，分析預(yù)測出本次上海新冠肺炎疫情的拐點(diǎn)，并擬合拐點(diǎn)值前某5天和后某5天，分別是2022年4月4日至4月8日和2022年4月28日至5月2日，共10天的上海每日新增陽性病例數(shù)進(jìn)行預(yù)測分析，用以證明本實(shí)驗(yàn)算法的價(jià)值。

1 相關(guān)工作

1.1 高斯函數(shù)

高斯函數(shù)，即正態(tài)分布（normal distribution）函數(shù)，也稱“常態(tài)分布”，是存在于自然界中數(shù)量眾多、分布形式最為普遍的一種函數(shù)，也是目前廣泛應(yīng)用于數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的常用變量分布模型。

概率密度函數(shù)一維高斯分布如下：

其中，μ和σ2分別是高斯分布的均值（期望）和方差。當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量x服從一個(gè)數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，則記為N（μ，σ2）。特別地，當(dāng)均值μ=0，σ=1時(shí)，正態(tài)分布則是標(biāo)準(zhǔn)的一元正態(tài)分布。

1.2 高斯擬合函數(shù)（Gaussian fitting）

本實(shí)驗(yàn)對數(shù)據(jù)點(diǎn)集進(jìn)行函數(shù)逼近的擬合方法使用高斯擬合。高斯擬合函數(shù)為指數(shù)函數(shù)模型，其二維曲線圖中峰位、峰高、峰寬都具有現(xiàn)實(shí)的物理意義，因此本實(shí)驗(yàn)研究使用高斯曲線進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合和表征，其公式為

其中，x為隨機(jī)變量，a，b，c為參數(shù)。

1.3 極大似然估計(jì)（maximum likelihood estimation，MLE）

用已知的樣本結(jié)果信息來反推最有可能，或者說最大概率導(dǎo)致這些樣本結(jié)果出現(xiàn)的模型參數(shù)值，這就是極大似然估計(jì)的通俗理解。極大似然估計(jì)提供了一種給定觀測樣本以評價(jià)模型參數(shù)的方法，可以說：“模型是既定的，參數(shù)是未知的”。

在本文實(shí)驗(yàn)中，假設(shè)一個(gè)一元高斯分布的數(shù)據(jù)集x服從均值為u，方差為σ的概率分布，它的概率密度函數(shù)是：

按照標(biāo)準(zhǔn)一元正態(tài)分布，也就是均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)一元正態(tài)分布對數(shù)據(jù)集x進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，根據(jù)似然函數(shù)定義—它是一個(gè)關(guān)于未知參數(shù)θ的函數(shù)，在給定聯(lián)合樣本x的前提下，表達(dá)如下：

其中，θ是未知參數(shù)，它屬于參數(shù)空間；f（x;θ）=P（x）是概率密度函數(shù)，似然函數(shù)和密度函數(shù)是兩個(gè)數(shù)學(xué)對象，兩者是完全不同的。公式的等號“=”寓意為函數(shù)值形式的等值，而非兩個(gè)函數(shù)本身為同一函數(shù)。按函數(shù)等值的定義則，函數(shù)等值，只等值于定義域，其對應(yīng)的關(guān)系是相等的。求：

其中n為樣本個(gè)數(shù)。對上式取對數(shù)ln(L(θ))，再對它進(jìn)行求導(dǎo)，令其導(dǎo)數(shù)為0求得其駐點(diǎn)，也就是令lnL(θ)'=0，最后求得參數(shù)?，如下式：

1.4 高斯-牛頓迭代法（Gauss-Newton iteration method）

如果用極大似然法求解擬合函數(shù)的參數(shù)，那么則通過求導(dǎo)數(shù)的方式求解參數(shù)值，但在這個(gè)過程中很多時(shí)候值是不可導(dǎo)的，這樣會影響求值結(jié)果和算法精確度。為了解決數(shù)值優(yōu)化問題，更進(jìn)一步提升算法性能與準(zhǔn)確率，收斂速度更快，使用高斯-牛頓法去進(jìn)行多次迭代，多次對返回參數(shù)進(jìn)行修正，使擬合函數(shù)參數(shù)不斷向指數(shù)模型的最佳擬合參數(shù)靠攏，最終使Gauss Model達(dá)到最小的誤差平方和。由式（2）可知，擬合曲線參數(shù)為a，b，c，擬合函數(shù)為F（x），那么該問題轉(zhuǎn)化為求解以下的優(yōu)化目標(biāo)：

求上式關(guān)于Δx的導(dǎo)數(shù)，并令其為零：

可以得到如下方程：

將上式變形為下面式子：

其中，函數(shù)g是F（x）的轉(zhuǎn)置一階導(dǎo)數(shù)。

2 算法流程

首先將從國家衛(wèi)健委官網(wǎng)收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行病例分類預(yù)處理，計(jì)算每日新增陽性病例，將結(jié)果可視化。

使用高斯擬合函數(shù)指數(shù)模型去擬合預(yù)測曲線，而解決問題中的高斯擬合曲線的最終值決定了曲線擬合的準(zhǔn)確率，所以高斯擬合函數(shù)的最終值由參數(shù)θ來決定。此時(shí)若要結(jié)果最優(yōu)，就必須使參數(shù)估計(jì)達(dá)到最優(yōu)。求最小二乘估計(jì)，在線性回歸的情況下，計(jì)算起來非常簡單。對于非線性函數(shù)，有幾種不同的方法來估計(jì)誤差的平方和系數(shù)的最小值。在這一實(shí)驗(yàn)研究中，最優(yōu)系數(shù)的求解選擇了極大似然估計(jì)法。用極大似然法求解指數(shù)模型參數(shù)，通過求導(dǎo)數(shù)的方式去求解參數(shù)值。

然而由于樣本等原因，在求解過程中很多時(shí)候是不可導(dǎo)的，同時(shí)，為了算法能更快收斂，提高算法性能和準(zhǔn)確率，需要采用其他迭代法則進(jìn)一步優(yōu)化算法。本實(shí)驗(yàn)使用高斯—牛頓法來對參數(shù)求解步驟進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。利用這樣的求解方法將函數(shù)擬合到數(shù)據(jù)集后，利用誤差平方和最小的法則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化選擇，可以獲得最佳參數(shù)。最后選用指數(shù)函數(shù)做曲線擬合（curve fitting），用以擬合觀測數(shù)據(jù)，分析各變量之間的關(guān)系。

最后得到誤差平方和最小的結(jié)果，擬合預(yù)測出周期對應(yīng)時(shí)間的每日新增陽性病例和疫情周期性拐點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)整個(gè)算法的應(yīng)用價(jià)值。算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 數(shù)據(jù)集描述

本實(shí)驗(yàn)使用2022年3月至6月的各項(xiàng)上海新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)，包括本次上海周期疫情的日期、地區(qū)、確診病例數(shù)、無癥狀感染者數(shù)、無癥狀轉(zhuǎn)確診病例數(shù)、死亡患者數(shù)。所有數(shù)據(jù)均來自國家衛(wèi)健委官方網(wǎng)站和上海市衛(wèi)健委官方網(wǎng)站。

3.2 數(shù)據(jù)處理

對于當(dāng)日產(chǎn)生的無癥狀轉(zhuǎn)確診病例，已經(jīng)在當(dāng)日之前的無癥狀感染者中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，為避免重復(fù)計(jì)算，按照“新增確診病例個(gè)數(shù)+新增感染無癥狀人數(shù)-由無癥狀轉(zhuǎn)為確診病例個(gè)數(shù)”來計(jì)算此段周期中每天新增新冠肺炎陽性病例數(shù)。

圖2 病例數(shù)據(jù)可視化

3.3 擬合精確度分析

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中對變量的線性回歸問題進(jìn)行分析時(shí)，決定系數(shù)R2屬于通用模型實(shí)現(xiàn)結(jié)果好壞程度的度量標(biāo)準(zhǔn)，可以用它來大致了解一個(gè)模型的性能。通常來說，R2值越大越好，數(shù)值越大，模型越精確，預(yù)測分析效果越顯著。R2在0～1之間，越接近1的模型擬合效果越好，一般認(rèn)為在0.8以上的模型更具有擬合的優(yōu)勢。

決定系數(shù)R2等于1減去RSS和TSS的商，RSS（residual square summary）對未擬合信息的總量大小作出解釋，TSS（total sum of squares）對樣本數(shù)據(jù)中信息總量的大小作出解釋。RSS TSS反映的是未擬合出來的信息量的比值（比率），1-R S S T SS反映的就是模型能夠擬合出來的信息量的比值（比率）。其中，y(i)為數(shù)據(jù)集中每日新增陽性病例，y(i)i為模型預(yù)測擬合出的每日新增陽性病例。

3.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對從國家衛(wèi)健委得到的新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理與分析，統(tǒng)計(jì)出每日新增陽性病例數(shù)，并利用高斯模型進(jìn)行下一步的數(shù)據(jù)預(yù)測與分析。在此基礎(chǔ)上對所有信息進(jìn)行整合，分析預(yù)測出本次上海新冠肺炎疫情的拐點(diǎn)，也就是指，病例曲線在出現(xiàn)拐點(diǎn)后會持續(xù)上升，但速度減慢，并在到達(dá)最高點(diǎn)峰位值后轉(zhuǎn)頭向下。使用高斯擬合函數(shù)利用數(shù)據(jù)集對2022年4月4日至4月8日和2022年4月28日至5月2日，共10天的上海每日新增陽性病例數(shù)進(jìn)行預(yù)測。

首先使用高斯擬合函數(shù)指數(shù)模型去擬合預(yù)測曲線，而解決問題中的高斯擬合曲線的最終值決定了曲線擬合的準(zhǔn)確率，所以高斯擬合函數(shù)的最終值由公式中的三個(gè)參數(shù):a，b，c來決定。此時(shí)為保證結(jié)果最優(yōu)，就必須參數(shù)估計(jì)達(dá)到最優(yōu)。參數(shù)的估測方法有很多，例如：最小二乘法，極大似然法，Bayes估計(jì)，最小風(fēng)險(xiǎn)法，極小化極大熵法。最小二乘法和極大似然法是其中最基本的方法。本實(shí)驗(yàn)使用與高斯函數(shù)有數(shù)學(xué)理論聯(lián)系的極大似然法進(jìn)行擬合預(yù)測，相輔相成。

由極大似然法求出的參數(shù)為a=2.46557555e+04，b=1.87437034e+01，c=2.05746588e+02，將 這三個(gè)求解出的參數(shù)值代入到高斯擬合函數(shù)中再次進(jìn)行計(jì)算，為了進(jìn)一步優(yōu)化算法，使得收斂更快，使用高斯—牛頓法來對參數(shù)求解步驟進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。這樣的求解方法將函數(shù)擬合到數(shù)據(jù)集后，再利用誤差平方和最小的法則進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化選擇，可以獲得最佳參數(shù)。本次實(shí)驗(yàn)中初始值x0設(shè)為83，迭代次數(shù)step設(shè)置為100，使用迭代方程公式進(jìn)行運(yùn)算。

根據(jù)本實(shí)驗(yàn)研究算法，預(yù)測出本次上海疫情周期性拐點(diǎn)將出現(xiàn)在從2022年3月23日開始計(jì)算的第18天，也就是2022年4月10日左右。如圖3所示。

圖3 周期性拐點(diǎn)預(yù)測圖

采用高斯模型擬合并預(yù)測，得出上海市2022年4月4日至4月8日和2022年4月28日至5月2日期間，共10天的新增陽性病例個(gè)數(shù)。經(jīng)過本文算法計(jì)算，其結(jié)果如表1所示，已經(jīng)十分接近真實(shí)數(shù)值。

表1 上海本周期中10天的新增陽性病例的真實(shí)數(shù)值與預(yù)測值的比較

利用曲線擬合將周期預(yù)測每日新增陽性病例結(jié)果可視化，其中擬合的最后參數(shù)設(shè)置為maxfev=10000，曲線擬合結(jié)果如圖4所示。

圖4 陽性病例每日新增預(yù)測擬合結(jié)果圖

為了驗(yàn)證本實(shí)驗(yàn)研究算法的準(zhǔn)確率與優(yōu)越性，對比實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃头椒ㄟx擇SVR（支持向量回歸）和最小二乘準(zhǔn)則（LSE）預(yù)測方法，結(jié)果表明本實(shí)驗(yàn)算法的擬優(yōu)度明顯比其他方法更高，擬合性能更優(yōu)越。

表2 對比實(shí)驗(yàn)決定系數(shù)R2

4 結(jié)語

將機(jī)器學(xué)習(xí)模型引入疾病防控的預(yù)測和數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域有助于政府當(dāng)局和衛(wèi)生健康委員會規(guī)劃并準(zhǔn)備應(yīng)對即將到來的突發(fā)狀況。本研究實(shí)驗(yàn)中，評估了高斯模型在預(yù)測分析新增新冠肺炎病例和周期拐點(diǎn)方面的價(jià)值。首先自收集數(shù)據(jù)并根據(jù)病例的統(tǒng)計(jì)信息進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，再進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，利用極大似然估計(jì)計(jì)算高斯擬合函數(shù)中的參數(shù)，加以高斯—牛頓迭代法去進(jìn)一步優(yōu)化擬合，能更高效地收斂擬合，最后得到誤差平方和最小的結(jié)果。對比其他的回歸模型，本算法的預(yù)測擬優(yōu)度R2達(dá)到最高，為0.9286，證明與其他模型相比，本文算法表現(xiàn)出了更為優(yōu)異的性能。