劉春華,曹海燕
(杭州電子科技大學(xué),浙江 杭州 310018)
大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)系統(tǒng)因天線數(shù)量級的提高獲得了更高的復(fù)用能效,具有可靠性高、系統(tǒng)容量大的特點(diǎn),已經(jīng)成為5G系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)。較準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息(Channel State Information,CSI)的獲取是充分發(fā)揮大規(guī)模MIMO優(yōu)勢的前提條件。在毫米波通信中[1],由于毫米波頻率較高、波長短、傳輸過程受到物體遮擋的部分和散射部分的損耗大,視距傳輸(Line-Of-Sight,LOS)為主要的傳播方式。數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)是,信道矩陣經(jīng)過奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)后呈現(xiàn)低秩特性,并且在角度域上是稀疏的。然而,由于信道矩陣維度的增大,傳統(tǒng)的估計方法如最小二乘(Least Squares,LS)估計、最小均方誤差(Minimum Mean Squared Error,MMSE)估計等因求逆過程的極高復(fù)雜度遇到了瓶頸[2]。為了充分利用信道矩陣的低秩特性,文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]將信道估計問題建模為低秩矩陣完整化問題,通過求解矩陣的核范數(shù)最小化問題進(jìn)行信道估計,該方法可以有效提高估計性能,但計算復(fù)雜度過高。文獻(xiàn)[5]提出了一種角度量化的信道估計模型,并通過正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)估計信道矢量,然而貪婪算法往往需要預(yù)先知道信道的稀疏度,實際通信系統(tǒng)中難以實現(xiàn)。理論分析表明[6],將毫米波MIMO通信系統(tǒng)中的信道估計問題轉(zhuǎn)化為稀疏線性求逆問題,并通過壓縮感知原理求解,可以高效準(zhǔn)確地估計結(jié)果,有效提高估計性能。
在信號處理領(lǐng)域中,利用壓縮感知模型求解欠定方程,從而基于較少的觀測值來重構(gòu)信號的方法獲得了廣泛的研究。壓縮感知理論通過開發(fā)信號的稀疏特性,在遠(yuǎn)小于Nyquist采樣率的條件下,用隨機(jī)的采樣矩陣得到離散樣本,然后通過非線性重構(gòu)算法完美地重建信號。文獻(xiàn)[7]提出了交替方向(Alternating Direction Method,ADM)搜索算法,文獻(xiàn)[8]提出了迭代閾值算法(Iterative Thresholding Algorithm,ISTA)。文獻(xiàn)[9]提出了一種快速的迭代閾值收縮算法(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm,F(xiàn)ISTA),加速了算法收斂過程。文獻(xiàn)[10]提出了L1范數(shù)正則化算法,文獻(xiàn)[11]提出了二次規(guī)劃梯度投影稀疏重建(Gradient Projection for Sparse Reconstruction,GPSR)算法。
上述稀疏求逆問題由于L1范數(shù)是無法直接求導(dǎo)的,因此設(shè)計的算法往往具有較高的復(fù)雜度。為了解決這個問題,Nesterov在1983年發(fā)表了一篇關(guān)于解決動量問題的論文[12],提出了Nestrov梯度加速法。該方法先根據(jù)之前的動量進(jìn)行大步跳躍,然后計算梯度進(jìn)行校正,從而實現(xiàn)參數(shù)更新。這種預(yù)更新方法能防止大幅振蕩,不會錯過最優(yōu)解,并在加速算法收斂的同時,保證了迭代結(jié)果始終在收斂域中。
本文利用Nesterov平滑過程將L1范數(shù)轉(zhuǎn)換為易于求導(dǎo)的形式,即用可直接求導(dǎo)的平滑函數(shù)代替L1范數(shù),并基于改進(jìn)梯度下降法提出一種可以快速收斂的迭代算法。
在單小區(qū)單用戶的MIMO系統(tǒng)中,采用如下參數(shù)化信道模型:
寫成矩陣的形式,則為:
式中:NT為發(fā)送天線數(shù);NR為接收天線數(shù)量;L為路徑數(shù);αl為第l條路徑的復(fù)高斯增益;其中,AR為接收角度矩陣,AT為發(fā)送角度矩陣,Ha為復(fù)高斯增益的對角矩陣;aR為接收陣列矢量;aT為發(fā)送陣列矢量;分別為第l條路徑的到達(dá)角(Angle of Arrival,AoA)和離開角(Angle of Departure,AoD)。假設(shè)采用的是均勻線性陣列(Uniform Linear Array,ULA),即:
式中:X=I為發(fā)送導(dǎo)頻其中,I為單位矩陣;N為高斯白噪聲,其均值為0,方差為σ2。
為了得到滿足稀疏特性的信道矩陣,需要對H進(jìn)行量化處理,通過構(gòu)建虛擬的到達(dá)角矩陣發(fā)射角矩陣,得到量化的信道矩陣為:
式中:h為矢量化信道矩陣;e為矢量化誤差矩陣;n為矢量化噪聲矩陣。
向量化的接收信號可以表示為:
式中:A為感知矩陣。
量化后的角度矩陣為:
對于任意的平滑凸函數(shù)f在凸集S上的最小化過程:
式中:S為原始可行集。f是連續(xù)可微的,梯度 ?f滿足Lipschitz條件[13],即:
Nesterov迭代過程見算法1。
壓縮感知問題可以通過優(yōu)化問題求解,考慮如式(11)中的二次約束l1范數(shù)最小化問題,即在誤差小于閾值的情況下最小化信道矢量的l1范數(shù)。
然而,l1范數(shù)是非平滑函數(shù),即在某點(diǎn)不連續(xù)。為了克服這個問題,Nesterov提出了Nesterov平滑操作[14],該方法通過平滑近似取代原始的非平滑函數(shù),將l1范數(shù)改寫成如下函數(shù):
式中:Sd={u:||u||∞}≤1;u為優(yōu)化變量。該函數(shù)的Nesterov平滑形式可以寫成如下函數(shù):
fμ是統(tǒng)計學(xué)中常用到的Huber損失函數(shù)[15],其梯度滿足Lipschitz條件,因此fμ符合Nesterov迭代過程的條件。這樣就完成了從壓縮感知優(yōu)化問題到Nesterov迭代過程的轉(zhuǎn)化。
算法1中的步驟2和步驟3可通過拉格朗日乘子法得到具體計算公式,每次迭代的常數(shù)αk,τk及μk將在仿真參數(shù)列表中給出。
在原始算法中,為了計算yk,需要求解如下優(yōu)化問題:
式中:xk為上一次迭代的結(jié)果。這個問題的拉格朗日形式是:
中國水利:進(jìn)入中國市場以來,ITT公司一直熱衷于各項公益事業(yè),并在許多方面作出積極努力,您如何理解企業(yè)的社會責(zé)任?
求解法問題的KKT條件是:
從穩(wěn)定性出發(fā),yk是如下線性系統(tǒng)的解:
顯然,式(18)中由于沒有矩陣求逆運(yùn)算,計算yk的計算量降低。同樣可以得到zk的更新過程為:
本文信道矢量重構(gòu)的誤差采用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error,NMSE)作為算法誤差的判斷方式,其表達(dá)式如下:
表1 實驗參數(shù)設(shè)置
發(fā)送端和接收端均采用統(tǒng)一線性陣列(Uniform Linear Array,ULAs),虛擬發(fā)射角和虛擬到達(dá)角的量化值為G,即對發(fā)射角(或到達(dá)角)θ=(0,π]的余弦值等間隔量化,間隔為1/G。復(fù)高斯增益αl~N(0,1),發(fā)射天線和接收天線數(shù)Nt=Nr=32,稀疏度L=5。仿真算法均在參數(shù)不變和概率分布一致的情況下取100次平均得出結(jié)果。
當(dāng)稀疏度固定為L=5時,分別采用FISTA算法、ADM算法、NESTA算法和貪婪OMP算法進(jìn)行對比,得到的仿真結(jié)果如圖1所示??梢钥吹絆MP算法在低信噪比(-10~5 dB)時,其NMSE估計性能與NESTA算法基本相同,并且優(yōu)于另外兩種迭代算法大約10 dB。此后OMP算法的NMSE估計性能基本保持不變,維持在-10 dB左右。3種迭代算法則一直保持直線趨勢下降,在高信噪比(大于5 dB的情況下)ADM和FISTA算法性能優(yōu)于OMP算法。NESTA算法性能則始終優(yōu)于另外兩種迭代算法3~10 dB,在低信噪比的情況下NESTA算法有著與OMP算法基本相同的性能。仿真結(jié)果表明,NESTA算法不僅在低信噪比條件下有著同貪婪算法相同的性能,而且在高信噪比條件下也能持續(xù)降低NMSE,相比于同類的迭代算法有著很大的性能提升。
圖1 不同信噪比下NESTA算法與其他算法的比較
當(dāng)稀疏度固定為L=5,信噪比固定為10 dB時,如圖2,對比不同的迭代算法達(dá)到預(yù)期NMSE性能所需要的迭代次數(shù)可以看到,F(xiàn)ISTA算法隨著性能的提升,所需要的迭代次數(shù)大幅度增加,這是因為該算法為避免過剩的迭代需要預(yù)先設(shè)置最大迭代次數(shù)。ADM算法采用牛頓迭代法,每次迭代重新計算更新方向和迭代步長,因此可以大幅度削減迭代次數(shù)。NESTA算法采用了分步驟更新修正的方法,同時前文分析表明,算法收斂的速度只與權(quán)重因子μ有關(guān),通過降低μ值可以加速算法收斂。
圖2 不同信噪比下NESTA算法與其他算法迭代次數(shù)的對比
圖3給出了在相同的信噪比條件下,當(dāng)稀疏度L變化時,不同算法的ENMSE。可以看出,在相同的稀疏度情況下,NESTA算法有著更好的性能。
圖3 不同稀疏度條件下算法性能比較
表2為稀疏度L=5的情況下,不同的信噪比條件下算法運(yùn)行時間的比較??梢钥吹剑珹DM算法隨著信噪比的增加,運(yùn)行時間不斷增大,這是因為ADM算法每次迭代更新方向時都要重新計算一次矩陣求逆過程,這種求逆在矩陣維度較大時復(fù)雜度很高。越是精確的結(jié)果,矩陣求逆過程計算時間越長。
表2 4種算法在不同信噪比下的運(yùn)算時間比較
本文研究了大規(guī)模MIMO系統(tǒng),運(yùn)用無線信道的低秩特性,提出了一種快速迭代的Nesterov平滑加速迭代算法。對比實驗表明,所提算法相較于正交匹配算法有很大的性能提升。此外,本文采用了合適的策略加快了算法收斂速度。下一步將研究投影梯度算法,進(jìn)一步優(yōu)化算法性能以及迭代算法在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用。