龔佑斌，劉金澎

（中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第29研究所，四川 成都 610036）

0 引言

粒子濾波（Partial Filter，PF）算法通過(guò)采樣點(diǎn)來(lái)近似表征狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)分布，可以應(yīng)用于各種非線性和非高斯系統(tǒng)，具有廣泛的適用性，因此在近幾年獲得了越來(lái)越多的關(guān)注[1-3]。然而標(biāo)準(zhǔn)的PF（Standard PF，SPF）算法會(huì)面臨不可避免的粒子退化[4]問(wèn)題，這會(huì)造成較為嚴(yán)重的計(jì)算資源浪費(fèi)。為了解決該問(wèn)題，一種常見(jiàn)的方法是增加重采樣步驟[5]，但這會(huì)導(dǎo)致粒子多樣性的丟失，從而造成粒子貧化問(wèn)題[5]。另一種方法是通過(guò)在建議分布中引進(jìn)量測(cè)信息，如擴(kuò)展粒子濾波（Extended PF，EPF）[6]、無(wú)跡粒子濾波（Unscented PF，UPF）[7]等。EPF和UPF等濾波算法可以以較高的計(jì)算代價(jià)來(lái)緩解粒子退化，但它們也面臨著在量測(cè)噪聲較大的系統(tǒng)中估計(jì)精度差的問(wèn)題[8]。

與SPF、EPF和UPF等從單一建議分布中選取粒子的方式不同，文獻(xiàn)[9]給出了一種多建議分布算法，其思路為從一系列不同的建議分布中選取樣本，并且為了節(jié)約計(jì)算成本，該算法將權(quán)值設(shè)為固定值，但這會(huì)導(dǎo)致估計(jì)精度低的問(wèn)題。為了獲得更精準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果，文獻(xiàn)[10]提出了一種多模型采樣粒子濾波（Multimode Sampling PF，MMSPF）算法，該算法的核心思想是采取多個(gè)基本建議分布混合的形式來(lái)表征建議分布。與文獻(xiàn)[9]提出的方法相比，MMSPF算法可以獲得更為精準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果，但也會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量大的問(wèn)題，且由于每個(gè)基本建議分布的粒子選取是基于建議分布權(quán)重的隨機(jī)選取，因此也會(huì)造成估計(jì)精度不穩(wěn)定的問(wèn)題。

為了在較低計(jì)算代價(jià)的前提下獲得精準(zhǔn)且穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果，本文基于多建議分布的思路，提出了基于預(yù)測(cè)和量測(cè)的多建議分布粒子濾波（Prediction-and-Measurement-based Multiple Proposal Distributions Particle Filter，MPDPF-PM）算法。該算法首先分別從預(yù)測(cè)和量測(cè)中選取粒子點(diǎn)，并求取每個(gè)粒子點(diǎn)的權(quán)值；其次依據(jù)權(quán)值選取粒子點(diǎn)，通過(guò)粒子點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定每個(gè)基本建議分布的權(quán)重；最后通過(guò)加權(quán)求和的形式獲得均值和協(xié)方差。仿真結(jié)果證明了所提算法在估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度方面的優(yōu)越表現(xiàn)。

本文其余內(nèi)容安排如下：第1節(jié)簡(jiǎn)略介紹粒子濾波算法；第2節(jié)給出所提的MPDPF-PM算法的細(xì)節(jié)；第3節(jié)將所提算法與傳統(tǒng)算法進(jìn)行仿真對(duì)比分析；第4節(jié)對(duì)本文進(jìn)行總結(jié)。

1 標(biāo)準(zhǔn)粒子濾波算法

考慮以下的狀態(tài)空間，其中狀態(tài)和量測(cè)方程分別表示為：

式中：xk為k時(shí)刻的狀態(tài)向量；zk為量測(cè)向量；f(·)和h(·)分別表示非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和非線性量測(cè)方程；wk-1和vk分別為過(guò)程和量測(cè)噪聲，且它們是概率密度函數(shù)已知的隨機(jī)變量。

給出k-1時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)，則k時(shí)刻狀態(tài)向量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)的計(jì)算式為：

給出k-1時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)，則k時(shí)刻的狀態(tài)向量的后驗(yàn)概率密度函數(shù)的計(jì)算式為：

式中：z1:k=(z1,…,zk)；p(x|xk-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率函數(shù)；g(zk|xk)為似然函數(shù)。

在粒子算法中，后驗(yàn)估計(jì)可以用N個(gè)帶權(quán)值的粒子點(diǎn)表示，所以式（5）可以表示為：

式中：δ(·)為狄利克雷函數(shù)；權(quán)值且

當(dāng)式（6）中的粒子數(shù)無(wú)窮大，即N→+∞時(shí)，等式右面可以完全表征后驗(yàn)密度函數(shù)。最優(yōu)的粒子點(diǎn)選取方式為從后驗(yàn)概率密度函數(shù)中直接進(jìn)行選取，然而真實(shí)的后驗(yàn)估計(jì)通常是無(wú)法獲取的。因此，需要構(gòu)建建議分布，并從其中選取粒子點(diǎn)。

SPF算法的建議分布選取簡(jiǎn)單，可以避免沉重的計(jì)算代價(jià)；但其同樣也會(huì)面臨著粒子退化問(wèn)題，即大部分粒子點(diǎn)的權(quán)值都過(guò)于小，而只有極少數(shù)的粒子點(diǎn)的權(quán)值大，從而造成了浪費(fèi)計(jì)算資源的問(wèn)題。重采樣步驟雖然可以解決粒子退化，但會(huì)導(dǎo)致大部分的子粒子點(diǎn)都來(lái)源于同一父粒子點(diǎn)，從而造成粒子貧化的問(wèn)題。相比于單一建議分布，由多個(gè)建議分布組成的混合建議分布可以更好地表征后驗(yàn)概率密度函數(shù)，因此在近幾年獲得了更多的關(guān)注。

2 基于預(yù)測(cè)和量測(cè)的多建議分布粒子濾波

假設(shè)混合建議分布由M個(gè)基本建議分布組成，則混合建議分布可以表示為：

式中：λk,j≥0，為第j個(gè)基本建議分布的權(quán)重，且有

對(duì)于多建議分布粒子濾波，兩個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題是如何確定基本建議分布，以及如何確定基本建議分布的權(quán)重。現(xiàn)有的基本建議分布通常是狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度函數(shù)或者非線性貝葉斯濾波得到的后驗(yàn)估計(jì)，這對(duì)于歷史信息有著較好的應(yīng)用，卻忽視了量測(cè)信息對(duì)于估計(jì)結(jié)果的影響?，F(xiàn)有的基本建議分布權(quán)重設(shè)計(jì)方法包括固定權(quán)值法和計(jì)算復(fù)雜度高的權(quán)值設(shè)計(jì)方法，但這分別會(huì)帶來(lái)估計(jì)精度低或計(jì)算量大的缺陷。因此如何設(shè)計(jì)基本建議分布以及如何確定每個(gè)基本建議分布的權(quán)重是本節(jié)主要研究的兩個(gè)問(wèn)題。

首先對(duì)于基本建議分布，為了充分利用歷史信息和量測(cè)信息，擬分別將預(yù)測(cè)和量測(cè)作為基本建議分布，并從中進(jìn)行粒子選取。給定系統(tǒng)的方程如式（1）和式（2）所示，則兩個(gè)基于預(yù)測(cè)和量測(cè)的基本建議分布可以表示為：

式中：h-1(·)為量測(cè)方程h(·)的反函數(shù)。

基于式（9）和式（10），多建議分布可以表示為：

對(duì)于式（11）中基本建議分布權(quán)重的確定，為了在保證融合精度的前提下盡可能地減少計(jì)算時(shí)間，擬直接通過(guò)每個(gè)基本建議分布中有效粒子的數(shù)目來(lái)確定。

假設(shè)在基于預(yù)測(cè)的基本建議分布中選取了N個(gè)粒子點(diǎn)。同樣地，在基于量測(cè)的基本建議分布中選取了N個(gè)粒子點(diǎn)。而后將分別從兩個(gè)建議分布中選取的粒子點(diǎn)求取其似然，即：

根據(jù)每個(gè)粒子點(diǎn)的似然大小來(lái)確定粒子點(diǎn)是否為有效粒子點(diǎn)。為了維持粒子點(diǎn)數(shù)目不變，可以從多建議分布的2N個(gè)粒子點(diǎn)中選取似然最大的N個(gè)粒子點(diǎn)作為有效粒子點(diǎn)，選取的粒子點(diǎn)定義為假設(shè)在選取的粒子點(diǎn)中有N1個(gè)粒子點(diǎn)來(lái)自基于預(yù)測(cè)的建議分布，N2個(gè)粒子點(diǎn)來(lái)自基于量測(cè)的建議分布，則每個(gè)基本建議分布的權(quán)重可以定義為：

對(duì)于選取的粒子點(diǎn)，若其來(lái)自預(yù)測(cè)，則其權(quán)值可以由上一時(shí)刻的權(quán)值確定，即對(duì)于來(lái)自量測(cè)的粒子，其權(quán)值可以定義為歸一化權(quán)值，即基于此，粒子點(diǎn)對(duì)應(yīng)的權(quán)值更新公式可以表示為：

因此，k時(shí)刻狀態(tài)估計(jì)的一階矩和二階矩可以分別表示為：

本文所提的粒子濾波算法的算法流程如算法1所示，由于粒子的選取基于最新量測(cè)，從而保證了濾波估計(jì)的精度。權(quán)值的設(shè)計(jì)采用計(jì)算有效的方法，可以避免繁重的計(jì)算量，從而具有較好的實(shí)際應(yīng)用效果。

3 仿真驗(yàn)證與分析

3.1 單維仿真

給出以下?tīng)顟B(tài)空間模型：

式中：wk-1服從均值為3、協(xié)方差為2的伽馬分布；vk服從均值為0、協(xié)方差為10-4的正態(tài)分布。

將本文所提的MPDPF-PM算法與SPF[1]、UPF[7]和MMSPF[10]算法在單維仿真場(chǎng)景中進(jìn)行對(duì)比分析。粒子數(shù)設(shè)為120，仿真時(shí)間為50 s，蒙特卡洛仿真次數(shù)為100次。

仿真結(jié)果如圖1所示?？梢钥闯?，相比于單一建議分布算法（SPF和UPF），多建議分布算法（MMSPF和MPDPF-PM）可以獲得更好的濾波估計(jì)精度，這證明多建議分布在近似后驗(yàn)概率密度方面的有效性。相比于MMSPF算法，本文提出的MPDPF-PM算法可以更好地表征后驗(yàn)估計(jì)，因此可以獲得更低的均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE），這證明了所提算法在單維仿真場(chǎng)景中在濾波估計(jì)精度方面的有效性。

圖1 4種算法的RMSE

各個(gè)算法的運(yùn)行時(shí)間如表1所示，可以看出SPF算法的計(jì)算代價(jià)最小，UPF的計(jì)算代價(jià)最大，這是因?yàn)樵赨PF算法中，每個(gè)粒子都需要運(yùn)行非線性濾波算法。相比于MMSPF算法，MPDPF-PM給出的粒子濾波算法計(jì)算復(fù)雜度更低，這是由于在MMSPF算法中，每個(gè)基本建議分布權(quán)重的計(jì)算占據(jù)了很大的計(jì)算內(nèi)存，而在MPDPF-PM中，權(quán)值的計(jì)算則基本可以忽略不計(jì)，這證明了所提算法在單維仿真場(chǎng)景中具有較高的計(jì)算效率。

表1 各個(gè)算法的運(yùn)行時(shí)間

3.2 多維仿真

考慮以下一個(gè)二維空間勻速直線運(yùn)動(dòng)的例子，運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

式中：采樣時(shí)間T=1 s。

量測(cè)方程表示為：

量測(cè)值z(mì)k=(rk,θk)T，rk表示目標(biāo)的徑向距，θk表示方位角，量測(cè)噪聲vk為混合高斯分布，其可以被表示為：

同樣地，將本文所提算法分別與SPF[1]、UPF[7]和MMSPF[10]算法在多維仿真場(chǎng)景中進(jìn)行對(duì)比分析。粒子數(shù)設(shè)為300，仿真時(shí)間為30 s，蒙特卡洛仿真次數(shù)為100次。

4種算法的仿真結(jié)果和仿真時(shí)間分別如圖2和表2所示?？梢钥闯?，本文所提的MPDPF-PM算法可以以較低的計(jì)算代價(jià)獲得最好的濾波估計(jì)結(jié)果，這與3.1節(jié)的結(jié)論基本一致，證明了本文算法在多維仿真場(chǎng)景中依然有較好的表現(xiàn)。

圖2 4種算法位置的RMSE

表2 各個(gè)算法單次運(yùn)行時(shí)間

4 結(jié)語(yǔ)

為了解決粒子濾波算法的粒子退化和貧化問(wèn)題，本文基于多建議分布，提出了一種新型粒子濾波算法。所提算法分別從基本建議分布選取和基本建議分布權(quán)重確定兩個(gè)角度進(jìn)行考慮。為了充分利用歷史和當(dāng)前信息，建議分布分別定義為預(yù)測(cè)和量測(cè)。為了減少計(jì)算代價(jià)，基本建議分布的權(quán)重通過(guò)粒子點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)確定。最后通過(guò)粒子點(diǎn)加權(quán)求和的形式獲得對(duì)于后驗(yàn)估計(jì)的一階矩和二階矩。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提算法在單維和多維場(chǎng)景中都有很好的表現(xiàn)。