徐友偉

(浙江省杭州市建德市壽昌中學，311612)

數(shù)學競賽中的復數(shù)數(shù)列問題,常以復數(shù)的遞推關系為載體出現(xiàn).求解這類問題既要用到復數(shù)的概念、性質及運算法則等知識,又要根據(jù)遞推數(shù)列的結構特點運用數(shù)列的有關解題技巧,因而綜合性較強.下面以近幾年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題為例,探究復數(shù)數(shù)列問題的常見解法.

一、直接遞推

分析依據(jù)遞推公式研究復數(shù)數(shù)列{zn}相鄰項之間的關系,明確求解方向.

所以z99=z1i50-1=z1i=(3+2i)i=-2+3i,z100=z2i50-1=z2i=(2+3i)i=-3+2i.進而z99+z100=-5+5i.

二、實部、虛部分別遞推

分析先設出復數(shù)的代數(shù)形式,然后將題設遞推公式轉化為代數(shù)形式,通過分別研究實部、虛部的遞推關系,將復數(shù)數(shù)列問題轉化為實數(shù)數(shù)列問題,從而獲解.

三、轉化為復數(shù)模進行遞推

證明由題意,利用反證法可知zn≠0(n∈N*).

綜上，得證.

評注本題將復數(shù)數(shù)列的遞推關系轉化為其模的遞推關系來研究,在對正整數(shù)m分奇偶性討論的基礎上,依據(jù)復數(shù)模的性質進行放縮法求解,充分考查了學生的化歸轉化能力和數(shù)學抽象、邏輯推理及數(shù)學建模等核心素養(yǎng).