彭光焰

(湖北省廣水市一中,432700)

這是江蘇省天一中學(xué)2019年10月份高三數(shù)學(xué)調(diào)研考試填空題最后一題,文[1][2]對這道試題進(jìn)行了深入研究,給出了多種精彩的解法,認(rèn)真學(xué)習(xí)后收獲頗多.但兩文給出的方法需要引入多個參數(shù)并多次放縮,比較獨(dú)特,操作性不強(qiáng),學(xué)生不易接受.文[3]給出的導(dǎo)數(shù)解法是由高中生提供的,盡管計算量很大,但對高一學(xué)生實(shí)屬不易,說明她自學(xué)了導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識.筆者在此介紹判別式法、基本不等式法、拉格朗日乘數(shù)法來解決此類問題,具有可操作性.

思路1分式的分子和分母最高次數(shù)都是二次,可以考慮用判別式法求解決.

解法1判別式法

思路2拉格朗日乘數(shù)法是解決二元函數(shù)最值的有效方法,可以考慮用拉格朗日乘數(shù)法來解決此問題.

解法2拉格朗日乘數(shù)法

在工程建設(shè)階段，應(yīng)根據(jù)工程的進(jìn)度和質(zhì)量，盡量控制施工成本。由于施工內(nèi)部結(jié)構(gòu)復(fù)雜，施工過程繁瑣，對施工過程的管理要求較高。選擇技術(shù)優(yōu)良、管理體系完善、信譽(yù)良好的施工單位和監(jiān)理單位。監(jiān)督資格需要更仔細(xì)地評估。選擇有影響力的建筑單位。完善的施工管理體系能有效實(shí)施施工企業(yè)流程控制，能順利完成施工成本動態(tài)管理。在選擇施工所需原材料時，需要對制造商和市場進(jìn)行詳細(xì)的市場調(diào)查，確定最合適的采購計劃，選擇合適的供應(yīng)商，加強(qiáng)對材料的檢驗(yàn)和管理。

思路3由拉朗日乘數(shù)法得到當(dāng)x=2,y=1時原式有最大值,啟發(fā)我們用基本不等式求最大值.

解法3基本不等式法

由x>0,y>0,得2x2+5y2+7=(x2+4y2)+(x2+4)+(y2+1)+2≥4xy+4x+2y+2=2(2xy+2x+y+1)>0,等號當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時成立.

下面用此方法來解決文[3]中的題2.

先視上式為關(guān)于x的一元二次不等式，得λx2-(y+1)x+λy2+λ≥0,由題意可知Δ1=(y+1)2-4λ(λy2+λ)≤0.

再視Δ1≤0為關(guān)于y的一元二次不等式,得(4λ2-1)y2-2y+4λ2-1≥0，由題意可知4λ2-1>0,且Δ2=4-4(4λ2-1)2≤0.

解法2由條件及基本不等式，可得