張曉君

（安徽大學(xué)哲學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

一、引言

亞氏三段論實(shí)則是表征了all、some、no和not all這四個(gè)亞氏量詞的推理性質(zhì)。在256個(gè)亞氏三段論中，只有24個(gè)有效三段論。張曉君和李晟[1]利用廣義量詞理論[2]，把第一格AAA式三段論（簡(jiǎn)稱AAA-1）和第一格EAE式三段論（簡(jiǎn)稱EAE-1）這兩個(gè)三段論作為基礎(chǔ)公理，推出了其他全部22個(gè)有效三段論，從而初步建立起亞氏三段論邏輯的形式化公理系統(tǒng)。在深入研究相關(guān)成果的基礎(chǔ)上，筆者發(fā)現(xiàn)：僅僅把AAA-1這一個(gè)三段論作為基礎(chǔ)公理，就可以推導(dǎo)出其余23個(gè)有效三段論，從而為亞氏三段論邏輯建立起極簡(jiǎn)的形式化公理系統(tǒng)。

其基本思路如下：（1）利用all與其內(nèi)否定量詞no的單調(diào)性之間的可轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以從AAA-1三段論推出第二格AEE式三段論（簡(jiǎn)稱AEE-2，其他簡(jiǎn)稱與此類似），如果再利用no的對(duì)稱性，從AEE-2三段論就可以推出EAE-1三段論。簡(jiǎn)言之：只把AAA-1這一個(gè)三段論作為基礎(chǔ)公理，就可以推導(dǎo)出其余23個(gè)有效三段論。而且，充分利用no和some這兩個(gè)亞氏量詞的對(duì)稱性，還可以對(duì)張曉君和李晟（2016）的相關(guān)證明進(jìn)行大大簡(jiǎn)化。

國(guó)內(nèi)外關(guān)于亞氏三段論的研究成果較多，例如：約翰遜（Johnson）[3]、莫斯（Moss）[4]、周北海等[5]，等等。利用廣義量詞理論研究亞氏三段論的成果并不多見(jiàn)，而且利用廣義量詞理論可以給出有效三段論簡(jiǎn)潔明了的證明。

二、相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)

在本文中，若無(wú)特別說(shuō)明，量詞都是指包含亞氏量詞在內(nèi)的廣義量詞。Q表示廣義量詞，X、Y、Z表示量詞所涉及的論元組成的集合，E表示論域，符號(hào)“^”表示“而且”，符號(hào)“?”表示“可推導(dǎo)出”；在不引起歧義或語(yǔ)境明了的情況下，為了表述簡(jiǎn)潔，形式化時(shí)就省略了論域E。

定義 11：四個(gè)亞氏量詞的真值定義

（1）all(X,Z)?X?Z （2）some(X,Z)?X∩Z≠?

（3）not all(X,Z)?X?Z （4）no(X,Z)?X∩Z=?

一個(gè)廣義量詞Q有三種否定形式[2]54-57，即，外否定（outer negation）﹁Q、內(nèi)否定（inner negation）Q﹁、對(duì)偶否定（dual negation）Qd，其定義如下：

定義 22：〈 11,, 11〉類型量詞的三種否定運(yùn)算

令E是任意的論域，且X，Z?E，對(duì)〈1,1〉類型量詞Q而言：

（1）(﹁Q)E(X,Z)?并非QE(X,Z)；（2）(Q﹁)E(X,Z)?QE(X,E-Z)；

（3）(Qd)E(X,Z)?﹁(QE﹁)(X,Z)?(﹁QE)﹁(X,Z)。

具體到亞氏量詞而言，如果令Q=all，那么﹁all=not all，﹁no=some；all﹁=no，some﹁=not all；alld=some；nod=not all。即：all與not all、no與some互為外否定量詞；no與all、some與not all互為內(nèi)否定量詞；some與all、no與not all互為對(duì)偶否定量詞。

單調(diào)性是廣義量詞最為重要的語(yǔ)義性質(zhì)，其次是對(duì)稱性。

定義 33：令Q是任意的〈1,1〉類型量詞，E是任意的論域，且X，Y，Z?E

（1）Q是右單調(diào)遞增的（記為Mon↑），當(dāng)且僅當(dāng)：若Z?Y?E，則Q(X,Z)?Q(X,Y)；

（2）Q是右單調(diào)遞減的（記為Mon↓），當(dāng)且僅當(dāng)：若Z?Y?E，則Q(X,Y)?Q(X,Z)；

（3）Q是左單調(diào)遞增的（記為↑Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若X?Y?E，則Q(X,Z)?Q(Y,Z)；

（4）Q是左單調(diào)遞減的（記為↓Mon），當(dāng)且僅當(dāng)：若X?Y?E，則Q(Y,Z)?Q(X,Z)。

實(shí)例 11：有些車跑得很快。?有些車跑得快。

令X表示論域E中所有的車組成的集合，Z表示論域E中所有跑得很快的個(gè)體組成的集合，Y表示論域E中所有跑得快的個(gè)體組成的集合，這一推理可以形式化為some(X,Z)?some(X,Y)，而且Z?Y?E，根據(jù)定義2的（1）可知：some是右單調(diào)遞增的量詞。其他單調(diào)性可以類似分析。

實(shí)例 22：有些紅色車跑得很快。?有些車跑得很快。

實(shí)例2說(shuō)明some是左單調(diào)遞增的量詞。實(shí)例1和實(shí)例2說(shuō)明：↑some↑。

廣義量詞的單調(diào)性與它的三種否定量詞﹁Q、Q﹁和Qd的不同單調(diào)性之間，具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系；具體的轉(zhuǎn)換關(guān)系可參見(jiàn)下面的單調(diào)性關(guān)系定理1，定理1的部分證明可以參見(jiàn)皮得斯(Peters)與魏斯特霍爾(Westerst?hl)[6]170-171。

單調(diào)性關(guān)系定理 11[7]：對(duì)于一個(gè)〈1,1〉類型量詞Q而言：

(1)Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，﹁Q是Mon↓； (2)Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，Q﹁是Mon↓；

(3)Q是Mon↑，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是Mon↑； (4)Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，﹁Q是Mon↑；

(5)Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，Q﹁是Mon↑； (6)Q是Mon↓，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是Mon↓；

(7)Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，﹁Q是↓Mon； (8)Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Q﹁是↑Mon；

(9)Q是↑Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是↓Mon； (10)Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，﹁Q是↑Mon；

(11)Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Q﹁是↓Mon； (12)Q是↓Mon，當(dāng)且僅當(dāng)，Qd是↑Mon。

即：對(duì)兩個(gè)〈1,1〉類型的廣義量詞而言，其單調(diào)性滿足“外否左右反、內(nèi)否左同右反、對(duì)偶左反右同”這一規(guī)律[7]。具體到亞氏量詞而言，令Q=some，則﹁Q=no，Q﹁=not all，Qd=all，根據(jù)實(shí)例1和實(shí)例2可知，↑some↑；根據(jù)這里定理1的（1）和（7）可知，其外否定量詞no的單調(diào)性是↓no↓；根據(jù)定理1的（2）和（8）可知，其內(nèi)否定量詞not all的單調(diào)性是↑not all↓；根據(jù)定理1的（3）和（9）可知，其對(duì)偶否定量詞all的單調(diào)性是↓all↑。由此可見(jiàn)，廣義量詞與其三種否定量詞之間具有可轉(zhuǎn)換關(guān)系。

定義 44：令Q是一個(gè)〈1,1〉類型的廣義量詞，Q是對(duì)稱的[6]206-214，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)所有論域E和所有的X，Z?E而言，Q(X,Z)?Q(Z,X)。

實(shí)例 33：有的保鏢是女人。?有的女人是保鏢。

令X表示論域中所有保鏢組成的集合，Z表示論域中所有女人組成的集合，由實(shí)例3可以看出：some(X,Z)?some(Z,X)。根據(jù)定義4可知：some具有對(duì)稱性。

實(shí)例 44：沒(méi)有人是狗。?沒(méi)有狗是人。

令X表示論域中所有人組成的集合，Z表示論域中所有狗組成的集合，由實(shí)例4可以看出：no(X,Z)?no(Z,X)。根據(jù)定義4可知：no具有對(duì)稱性。

本文還會(huì)用到命題邏輯中的反三段論推理規(guī)則：

反三段論推理規(guī)則 11：令p、q、r是命題變?cè)?，如?p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p。

反三段論推理規(guī)則 22：令p、q、r是命題變?cè)绻?p^q)→r，那么(﹁r^p)→﹁q。

這兩個(gè)推理規(guī)則是命題邏輯的基本推理規(guī)則。由于廣義量詞理論是一階邏輯的擴(kuò)展理論，因此命題邏輯的推理規(guī)則在廣義量詞理論中也成立。

由于全稱命題蘊(yùn)涵特稱命題，并且some和no具有對(duì)稱性，因此有：

事實(shí) 11：

（1）all(X,Z)?some(X,Z)； （2）no(X,Z)?not all(X,Z)；

（3）some(X,Z)?some(Z,X)； （4）no(X,Z)?no(Z,X)。

三、亞氏三段論的形式化

要對(duì)亞氏三段論邏輯進(jìn)行公理化，首先需要對(duì)其進(jìn)行形式化。根據(jù)廣義量詞理論可知：包含〈1,1〉類型量詞的量化語(yǔ)句都具有Q(X,Z)這樣的三分結(jié)構(gòu)，而all、some、no和not all這四個(gè)亞氏量詞是〈1,1〉類型量詞，因此僅僅包含亞氏量詞的直言命題都可以用Q(X,Z)這樣的三分結(jié)構(gòu)來(lái)表示。具體而言：（1）全稱肯定命題（簡(jiǎn)稱A）“所有X是Z”，形式化為all(X,Z)；（2）全稱否定命題（簡(jiǎn)稱E）“所有X不是Z”，意思是“沒(méi)有X是Z”，形式化為no(X,Z)；（3）特稱肯定命題（簡(jiǎn)稱I）“有X是Z”，形式化為some(X,Z)；（4）特稱否定命題（簡(jiǎn)稱O）：“有X不是Z”，意思是“并非所有X是Z”，形式化為not all(X,Z)。因此對(duì)于EIO-3三段論就可以形式化為no(Y,Z)^some(Y,X)?not all(X,Z)，其他三段論的形式化與此類似。

為了不重不漏地進(jìn)行推導(dǎo)，需要對(duì)三段論進(jìn)行編號(hào)，以下證明中的編號(hào)與此相同。

[01]AAA-1 [02]AAI-1 [03]AII-1 [04]EIO-1 [05]EAE-1 [06]EAO-1

[07]AEE-2 [08]AEO-2 [09]EAE-2 [10]EAO-2 [11]EIO-2 [12]AOO-2

[13]EIO-3 [14]OAO-3 [15]IAI-3 [16]AII-3 [17]AAI-3 [18]EAO-3

[19]IAI-4 [20]EIO-4 [21]AAI-4 [22]AEE-4 [23]AEO-4 [24]EAO-4

四、AAA-1三段論與其余23個(gè)有效三段論之間的化歸

利用亞氏量詞的真值定義，可以證明AAA-1三段論有效性。因?yàn)锳AA-1的形式化是：all(Y,Z)且all(X,Y)?all(X,Z)，據(jù)亞氏量詞的真值定義可知：all(Y,Z)?Y?Z；且all(X,Y)?X?Y，因此，由Y?Z且X?Y可得：X?Z，據(jù)亞氏量詞的真值定義可知：X?Z?all(X,Z)，故：all(Y,Z)^all(X,Y)?all(X,Z)，即：第一格AAA式三段論是有效的。因此，可以把AAA-1作為對(duì)亞氏三段論邏輯進(jìn)行公理化的基礎(chǔ)公理。

僅僅把AAA-1三段論作為基礎(chǔ)公理，就可以推出另外23個(gè)有效的三段論，即AAA-1與另外23個(gè)有效的三段論之間具有可化歸性?，F(xiàn)在對(duì)此加以逐一證明。本文盡量?jī)?yōu)先選擇利用no和some的對(duì)稱性，對(duì)張曉君和李晟（2016）[1]證明過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化的同時(shí)，盡量挖掘出不同三段論之間的可化歸性。

1.[01]AAA-1?[12]AOO-2

證明：由于AAA-1三段論有效，當(dāng)且僅當(dāng)，all是右單調(diào)遞增的，根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1的（1）可知，all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，其外否定量詞not all是右單調(diào)遞減的；根據(jù)定義3的（2）關(guān)于右單調(diào)遞減的定義可知：Z?Y且not all(X,Y)?not all(X,Z)，再根據(jù)all的真值定義“all(Z,Y)?Z?Y”可知：all(Z,Y)^not all(X,Y)?not all(X,Z)，即AOO-2三段論有效。證畢。

2.[01]AAA-1?[07]AEE-2

證明：此證明與1的有效性證明類似。由于AAA-1三段論有效，當(dāng)且僅當(dāng)，all是右單調(diào)遞增的，根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1的（2）可知，all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，其內(nèi)否定量詞no是右單調(diào)遞減的；根據(jù)定義3的（2）關(guān)于右單調(diào)遞減的定義可知：Z?Y且no(X,Y)?no(X,Z)，再根據(jù)all的真值定義“all(Z,Y)?Z?Y”可知：all(Z,Y)^no(X,Y)?no(X,Z)，即AEE-2三段論有效。證畢。

3.[01]AAA-1?[03]AII-1

證明：此證明與1的有效性證明類似。由于AAA-1三段論有效，當(dāng)且僅當(dāng)，all是右單調(diào)遞增的，根據(jù)單調(diào)性關(guān)系定理1的（3）可知，all是右單調(diào)遞增的，當(dāng)且僅當(dāng)，其對(duì)偶否定量詞some是右單調(diào)遞增的；根據(jù)定義3的（1）關(guān)于右單調(diào)遞增的定義可知：Y?Z且some(X,Y)?some(X,Z)，再根據(jù)all的真值定義“all(Y,Z)?Y?Z”可知：all(Y,Z)^some(X,Y)?some(X,Z)，即AII-1三段論有效。證畢。

4.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4

證明：根據(jù)2.[01]AAA-1?[07]AEE-2可知，AEE-2三段論有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)?no(X,Z)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Y)?no(Y,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)?no(X,Z)，AEE-4三段論有效。即AAA-1?AEE-2?AEE-4。證畢。

5.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1

證明：根據(jù)3.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4可知，AEE-4三段論有效，即all(Z,Y)^no(Y,X)?no(X,Z)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Z)?no(Z,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)?no(Z,X)，也即no(Y,X)^all(Z,Y)?no(Z,X)，因此EAE-1三段論有效。即AAA-1?AEE-2?AEE-4?EAE-1。證畢。

6.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[09]EAE-2

證明：根據(jù)2.[01]AAA-1?[07]AEE-2可知，AEE-2三段論有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)?no(X,Z)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Z)?no(Z,X)，即all(Z,Y)^no(X,Y)?no(Z,X)，也即no(X,Y)^all(Z,Y)?no(Z,X)，故EAE-2三段論有效。即AAA-1?AEE-2?EAE-2。證畢。

7.[01]AAA-1?[03]AII-1?[16]AII-3

證明：根據(jù)3.[01]AAA-1?[03]AII-1可知：AII-1三段論有效，即all(Y,Z)^some(X,Y)?some(X,Z)；又因?yàn)閟ome具有對(duì)稱性，因此some(X,Y)?some(Y,X)，即all(Y,Z)^some(Y,X)?some(X,Z)，AII-3三段論有效。即AAA-1?AII-1?AII-3。證畢。

8.[01]AAA-1?[03]AII-1?[16]AII-3?[15]IAI-3

證明：根據(jù)7.[01]AAA-1?[03]AII-1?[16]AII-3可知：AII-3三段論有效，即all(Y,Z)^some(Y,X)?some(X,Z)；又因?yàn)閟ome具有對(duì)稱性，因此some(X,Z)?some(Z,X)，即all(Y,Z)^some(Y,X)?some(Z,X)，也即some(Y,X)^all(Y,Z)?some(Z,X)，故IAI-3三段論有效。即AAA-1?AII-1?AII-3?IAI-3。證畢。

9.[01]AAA-1?[03]AII-1?[19]IAI-4

證明：根據(jù)3.[01]AAA-1?[03]AII-1可知：AII-1三段論有效，即all(Y,Z)^some(X,Y)?some(X,Z)；又因?yàn)閟ome具有對(duì)稱性，因此some(X,Z)?some(Z,X)，即all(Y,Z)^some(X,Y)?some(Z,X)，也即some(X,Y)^all(Y,Z)?some(Z,X)，故IAI-4三段論有效。即AAA-1?AII-1?IAI-4。證畢。

10.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[08]AEO-2

根據(jù)2.[01]AAA-1?[07]AEE-2和全稱命題蘊(yùn)涵特稱命題即可證明10。

11.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[08]AEO-2?[23]AEO-4

證明：根據(jù)10.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[08]AEO-2可知，AEO-2三段論有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)?not all(X,Z)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Y)?no(Y,X)，即all(Z,Y)^no(Y,X)?not all(X,Z)，AEO-4三段論有效。即AAA-1?AEE-2?AEO-2?AEO-4。證畢。

12.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1

根據(jù)5.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1和全稱命題蘊(yùn)涵特稱命題即可證明12。

13.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1?[10]EAO-2

證明：根據(jù)12.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1可知，EAO-1三段論有效，即no(Y,Z)^all(X,Y)?not all(X,Z)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(Y,Z)?no(Z,Y)，即no(Z,Y)^all(X,Y)?not all(X,Z)，EAO-2三段論有效。即 AAA-1?AEE-2?AEE-4?EAE-1?EAO-1?EAO-2。證畢。

14.[01]AAA-1?[12]AOO-2?[14]OAO-3

證明：根據(jù)1.[01]AAA-1?[12]AOO-2可知：AOO-2三段論有效，即：all(Z,Y)^not all(X,Y)?not all(X,Z)；再根據(jù)命題推理規(guī)則1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁not all(X,Z)^not all(X,Y)?﹁all(Z,Y)，因?yàn)棣鑞ot all=all且﹁all=not all，因此all(X,Z)^not all(X,Y)?not all(Z,Y)，即OAO-3三段論有效。即AAA-1?AOO-2?OAO-3。證畢。

15.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3

證明：根據(jù)2.[01]AAA-1?[07]AEE-2可知：AEE-2三段論有效，即all(Z,Y)^no(X,Y)?no(X,Z)；再根據(jù)命題推理規(guī)則1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁no(X,Z)^no(X,Y)?﹁all(Z,Y)；因?yàn)棣鑞o=some且 ﹁all=not all，因此 some(X,Z)^no(X,Y)?not all(Z,Y)，也即 no(X,Y)^some(X,Z)?not all(Z,Y)，因此EIO-3三段論有效。即AAA-1?AEE-2?EIO-3。證畢。

16.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3?[20]EIO-4

證明：根據(jù)15.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3可知，EIO-3三段論有效，即no(X,Y)^some(X,Z)?not all(Z,Y)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Y)?no(Y,X)，即no(Y,X)^some(X,Z)?not all(Z,Y)，即EIO-4三段論有效。即AAA-1?AEE-2?EIO-3?EIO-4。證畢。

17.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3?[04]EIO-1

證明：根據(jù)15.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3可知：EIO-3三段論有效，即no(X,Y)^some(X,Z)?not all(Z,Y)；又因?yàn)閟ome具有對(duì)稱性，因此some(X,Z)?some(Z,X)，也即no(X,Y)^some(Z,X)?not all(Z,Y)，故EIO-1三段論有效。即AA-1?AEE-2?EIO-3?EIO-1。證畢。

18.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3?[04]EIO-1?[11]EIO-2

證明：根據(jù)17.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[13]EIO-3?[04]EIO-1可知：EIO-1三段論有效，即no(X,Y)^some(Z,X)?not all(Z,Y)；又因?yàn)閚o具有對(duì)稱性，因此no(X,Y)?no(Y,X)，也即no(Y,X)^some(Z,X)?not all(Z,Y)，因此EIO-2三段論有效。即AAA-1?AEE-2?EIO-3?EIO-1?EIO-2。證畢。

19.[01]AAA-1?[02]AAI-1

根據(jù)全稱命題蘊(yùn)涵特稱命題即可證明19。

20.[01]AAA-1?[02]AAI-1?[18]EAO-3

證明：根據(jù)19.[01]AAA-1?[02]AAI-1可知：AAI-1三段論有效，即all(Y,Z)^all(X,Y)?some(X,Z)；再根據(jù)推理規(guī)則1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁some(X,Z)^all(X,Y)?﹁all(Y,Z)；又因?yàn)棣鑣ome=no且﹁all=not all，因此no(X,Z)^all(X,Y)?not all(Y,Z)，即EAO-3三段論有效。即AAA-1?AAI-1?EAO-3。證畢。

21.[01]AAA-1?[02]AAI-1?[21]AAI-4

證明：根據(jù)19.[01]AAA-1?[02]AAI-1可知：AAI-1三段論有效，即all(Y,Z)^all(X,Y)?some(X,Z)；又因?yàn)閟ome具有對(duì)稱性，因此some(X,Z)?some(Z,X)，即all(Y,Z)^all(X,Y)?some(Z,X)，即AAI-4三段論有效。即AAA-1?AAI-1?AAI-4。證畢。

22.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1?[10]EAO-2?[17]AAI-3

證明：根據(jù)13.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1?[10]EAO-2可知：EAO-2三段論有效，即no(Z,Y)^all(X,Y)?not all(X,Z)；再根據(jù)推理規(guī)則1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁not all(X,Z)^all(X,Y)?﹁no(Z,Y)；因?yàn)棣鑞ot all=all且﹁no=some，因此all(X,Z)^all(X,Y)?some(Z,Y)，即AAI-3三段論有效。即AAA-1?AEE-2?AEE-4?EAE-1?EAO-1?EAO-2?AAI-3。證畢。

23. [01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1?[10]EAO-2?[17]AAI-3?[24]EAO-4

證 明 ：根 據(jù) 22.[01]AAA-1?[07]AEE-2?[22]AEE-4?[05]EAE-1?[06]EAO-1?[10]EAO-2?[17]AAI-3可知：AAI-3三段論有效，即all(X,Z)^all(X,Y)?some(Z,X)；再根據(jù)推理規(guī)則1“如果(p^q)→r，那么(﹁r^q)→﹁p”可知：﹁some(Z,X)^all(X,Y)?﹁all(Y,Z)；又因?yàn)棣鑣ome=no且﹁all=not all，因此no(Z,X)^all(X,Y)?not all(Y,Z)，即EAO-4三段論有效。即AAA-1?AEE-2?AEE-4?EAE-1?EAO-1?EAO-2?AAI-3?EAO-4。證畢。

至此，筆者僅僅把第一格的AAA式三段論作為基礎(chǔ)公理，推出了其余23個(gè)有效的三段論，從而為亞氏三段論邏輯建立起了極其簡(jiǎn)的形式化公理系統(tǒng)；并在證明過(guò)程中，還揭示了多個(gè)三段論之間的可化歸性。三段論的有效性實(shí)則表征了所涉及的量詞的單調(diào)性、對(duì)稱性等語(yǔ)義性質(zhì)。不同三段論之間的可化歸關(guān)系表征了亞氏量詞的單調(diào)性與其三種否定量詞單調(diào)性之間的可轉(zhuǎn)換關(guān)系，或者表征了no和some的對(duì)稱性。這些可化歸性和可轉(zhuǎn)換性實(shí)則彰顯了“事物之間是普遍聯(lián)系”的辯證唯物主義思想。