劉鵬 李云伍 梁新成

（西南大學(xué)，重慶 400715）

主題詞：鋰電池 荷電狀態(tài) 等效電路模型 無跡卡爾曼濾波

1 前言

鋰電池荷電狀態(tài)（State of Charge，SOC）是電動汽車電池管理系統(tǒng)的核心參數(shù)之一，可為整車電池組的控制策略提供判斷依據(jù)。一般通過對鋰電池輸出電壓、負載電流和工作溫度等參數(shù)的實時監(jiān)測實現(xiàn)SOC估計，進而實現(xiàn)鋰電池充放電控制、熱管理等功能。同時，SOC估計精確與否直接影響著鋰電池輸出特性、使用壽命和安全性能等。

目前常用的SOC 估計方法分為2 種：一是根據(jù)鋰電池輸出參數(shù)（電流、電壓）直接計算得到，如安時積分法、開路電壓法等；二是基于鋰電池模型并結(jié)合預(yù)測算法得到，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、粒子濾波算法、卡爾曼濾波算法等。安時積分法需要獲得精確的SOC初值，在初值未知的情況下估計誤差大，不適用于實際車輛；開路電壓法需要將放電后的鋰電池擱置較長時間，不滿足SOC估計的實時性要求；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法需要大量不同工況下鋰電池試驗數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模型精度與模型大小不可兼得，實際應(yīng)用還存在一定困難；粒子濾波算法計算復(fù)雜，對硬件性能要求高；卡爾曼濾波算法是目前比較成熟且有效的一種方法，計算簡單且精度高，適用于SOC 的實時估計。因此本文在卡爾曼濾波算法的基礎(chǔ)上對鋰電池SOC估計進行研究。

傳統(tǒng)的卡爾曼濾波算法不適用于非線性系統(tǒng)，因此許多學(xué)者提出了擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）和無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）。EKF 利用泰勒級數(shù)展開將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性系統(tǒng)，忽略了高階項導(dǎo)致其用于高度非線性系統(tǒng)時算法精度降低且雅可比矩陣計算復(fù)雜；UKF 通過無跡變換獲得Sigma 點集，Sigma 點集通過非線性函數(shù)進行傳遞，再利用傳遞結(jié)果更新狀態(tài)均值與系統(tǒng)協(xié)方差。UKF 在估算SOC 時，假定系統(tǒng)噪聲為恒定的高斯白噪聲。但在實際工作過程中，鋰電池系統(tǒng)噪聲特性復(fù)雜多變，具有不確定性。

針對UKF估計鋰電池SOC時對不確定系統(tǒng)噪聲估計精度低的問題，本文提出基于自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波（Adaptive Untracked Kalman Filter，AUKF）的估計算法，在SOC 估計的同時不斷更新系統(tǒng)狀態(tài)噪聲協(xié)方差和測量噪聲協(xié)方差，以提高算法的精度和穩(wěn)定性。

2 建立等效電路模型

2.1 狀態(tài)空間方程

等效電路模型是依據(jù)鋰電池充放電試驗數(shù)據(jù)并利用電壓源、電阻、電容等電子元件而建立的模型。等效電路模型包括內(nèi)阻等效（Rint）模型、戴維南（Thevenin）模型、新一代汽車合作伙伴計劃（Partnership for a New Generation of Vehicles，PNGV）模型、非線性等效（General Nonlinear，GNL）模型等。

綜合考慮模型參數(shù)的計算難易程度與模型精度，本文選擇Thevenin模型，并考慮到模型需要充分反映鋰電池充放電特性，在Thevenin 模型基礎(chǔ)上增加1 個RC 網(wǎng)絡(luò)以提高模型精度，等效電路模型如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型

圖1中：為鋰電池開路電壓；為歐姆內(nèi)阻；、分別為電化學(xué)極化內(nèi)阻和濃差極化內(nèi)阻；、分別為電化學(xué)極化電容和濃差極化電容；、分別為電化學(xué)極化電壓和濃差極化電壓；為輸出電壓；為負載電流。電路物理量描述為：

式中，(0)、(0)分別為初始的電化學(xué)極化電壓和初始的濃差極化電壓；=、=分別為電化學(xué)極化時間常數(shù)和濃差極化時間常數(shù)。

利用卡爾曼濾波估計SOC時，要將鋰電池系統(tǒng)模型離散化，以SOC 與2 個極化電壓作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，電流作為輸入變量。根據(jù)安時積分法和式（1）得到鋰電池系統(tǒng)模型離散化狀態(tài)方程：

式中，為時刻鋰電池的SOC；為電流采樣周期；為庫倫效率，與鋰電池工作溫度、循環(huán)次數(shù)和放電倍率有關(guān)；為額定容量。

2.2 模型參數(shù)辨識

本文鋰電池試驗平臺由Neware BTS8000 電池檢測設(shè)備、多功能夾具、恒溫恒濕試驗箱和控制電腦組成。試驗對象為N18650CK三元鋰電池，其部分性能參數(shù)如表1所示。

表1 鋰電池性能參數(shù)

為獲得鋰電池開路電壓以及等效電路模型中參數(shù)與SOC的函數(shù)關(guān)系，需對鋰電池進行混合脈沖功率特性（Hybrid Pulse Power Characteristic，HPPC）試驗，試驗流程如圖2所示，部分試驗數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖2 鋰電池充放電試驗流程

圖3 鋰電池部分充放電試驗數(shù)據(jù)

根據(jù)上述試驗，獲得不同SOC狀態(tài)下對應(yīng)的開路電壓，利用MATLAB 對試驗數(shù)據(jù)進行多項式擬合，結(jié)果如圖4所示，所得到的六階多項式擬合函數(shù)為：

圖4 開路電壓與SOC的函數(shù)擬合曲線

系統(tǒng)參數(shù)辨識中，遞推最小二乘法因編程簡單、收斂速度快、計算量小等優(yōu)點被廣泛使用。與最小二乘法相比，遞推最小二乘法利用當(dāng)前時刻試驗數(shù)據(jù)和上一時刻辨識參數(shù)直接對當(dāng)前時刻辨識參數(shù)進行修正，用于在線參數(shù)辨識時可減小計算量，更適用于鋰電池SOC 的在線實時估計，但是遞推最小二乘法存在“數(shù)據(jù)飽和”問題，即舊數(shù)據(jù)的堆積導(dǎo)致遞推結(jié)果不能反映新數(shù)據(jù)的特性。故本文采用帶遺忘因子的遞推最小二乘（Forgetting Factor Recursive Least Square，F(xiàn)FRLS）算法辨識鋰電池模型中的參數(shù)。加入遺忘因子可以加強新數(shù)據(jù)的特性，逐漸削弱舊數(shù)據(jù)的作用，在一定程度上解決了數(shù)據(jù)飽和問題。FFRLS算法公式為：

鋰電池等效電路模型拉普拉斯方程與傳遞函數(shù)為：

式中，()為系統(tǒng)傳遞函數(shù)；為拉普拉斯算子。

雙線性變換公式為：

式中，為域變量。

利用式（7）對式（6）進行離散化并轉(zhuǎn)化為差分方程：

式中，～為待定系數(shù)。

將()轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

根據(jù)式（6）、式（8）可得到鋰電池模型參數(shù)計算公式：

利用上述公式和HPPC試驗數(shù)據(jù)，可辨識出等效電路模型參數(shù)。如圖5所示為荷電狀態(tài)=1時辨識參數(shù)變化過程。

分析圖5 可知，F(xiàn)FRLS 在辨識開始階段，模型參數(shù)變化較大，這是因為所設(shè)置的參數(shù)初值誤差大，隨著算法迭代次數(shù)增加，模型各參數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。其中<，<，表明電化學(xué)極化時間常數(shù)小于濃差極化時間常數(shù)，滿足鋰電池在放電過程中電化學(xué)極化響應(yīng)快于濃差極化響應(yīng)的特性。

圖5 SSOC=1時參數(shù)變化曲線

不同SOC 辨識結(jié)果如表2 所示，根據(jù)參數(shù)辨識結(jié)果，利用MATLAB 可擬合出各參數(shù)與SOC 的函數(shù)關(guān)系。

表2 等效電路模型參數(shù)表

2.3 模型驗證

本文利用脈沖放電試驗驗證二階RC等效電路模型與參數(shù)辨識的精確度。試驗電流與電壓曲線如圖6 所示，模型輸出電壓與試驗電壓的誤差如圖7所示。

圖6 脈沖放電曲線

分析圖7可知，模型輸出電壓與試驗電壓變化趨勢一致，隨著放電的進行，模型輸出電壓誤差逐漸增大，這是放電末期等效電路模型不能很好地表征鋰電池內(nèi)部實際的電化學(xué)反應(yīng)導(dǎo)致的。計算誤差結(jié)果可知，模型輸出電壓與試驗電壓相比，平均誤差為0.89%，最大誤差在3%以內(nèi)，所建立的模型具有較高精度，能反映鋰電池輸出特性。

圖7 試驗電壓與模型電壓誤差曲線

3 鋰電池SOC估算

鋰電池為高度非線性系統(tǒng)，輸出特性不僅與自身狀態(tài)（放電倍率、老化程度等）有關(guān)，還與外界環(huán)境（溫度、濕度等）有關(guān)。EFK的泰勒級數(shù)展開過程中忽略了高階項的影響，降低了SOC估計精度。UKF通過無跡變換對非線性函數(shù)的概率分布進行近似處理，保證了對高度非線性系統(tǒng)的預(yù)測精度。鋰電池系統(tǒng)真實狀態(tài)方程與觀測方程為：

式中，()為式（2）所述系統(tǒng)狀態(tài)變量；()為觀測變量（輸出電壓）；()為輸入變量（電流）；為鋰電池狀態(tài)方程函數(shù)；為觀測方程函數(shù)；()、()分別為狀態(tài)噪聲和觀測噪聲，均值均為零；()、()分別為()、()的協(xié)方差。

由于UKF 忽略了系統(tǒng)噪聲特性的變化，影響了估計精度，因此將UKF 與Sage-Husa 自適應(yīng)算法結(jié)合成AUKF，從而考慮系統(tǒng)噪聲協(xié)方差的變化。AUKF 估算鋰電池SOC流程如下：

a.初始化狀態(tài)變量均值與協(xié)方差：

b.產(chǎn)生Sigma點：

c.計算Sigma點的權(quán)值：

d.預(yù)測Sigma點：

式中，X(+1|)為(2+1)個預(yù)測Sigma點。

e.預(yù)測系統(tǒng)狀態(tài)變量及協(xié)方差：

f.再次進行無跡變換，產(chǎn)生新的Sigma點：

g.預(yù)測觀測變量及其均值：

h.計算卡爾曼增益：

i.更新狀態(tài)變量與變量協(xié)方差：

j.更新狀態(tài)噪聲協(xié)方差與觀測噪聲：

式中，()為自適應(yīng)因子；()為殘差；為遺忘因子，通常0.95≤≤1，本文取=0.97。

式（21）可以保證AUKF估計SOC時，實時更新鋰電池系統(tǒng)狀態(tài)噪聲與觀測噪聲特性，進而提高算法估計精度和穩(wěn)定性。但如果狀態(tài)變量協(xié)方差為非對稱正定矩陣，則無法進行楚列斯基（Cholesky）分解，導(dǎo)致算法無法估計，考慮到狀態(tài)噪聲協(xié)方差和觀測噪聲協(xié)方差會影響系統(tǒng)狀態(tài)協(xié)方差且兩者都為互不相關(guān)的高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣均為對角矩陣，因此對狀態(tài)噪聲協(xié)方差與觀測噪聲協(xié)方差進行修正：

4 結(jié)果驗證與分析

將FFRLS 辨識所得參數(shù)分別結(jié)合UKF 和AUKF 估計鋰電池SOC，其主要步驟如圖8所示。鋰電池在實際使用過程中，工作情況復(fù)雜，因此使用美國城市循環(huán)（Urban Dynamometer Driving Schedule，UDDS）工況對算法進行驗證。本文所用鋰電池最大放電電流為9 A，最大充電電流為3 A，將工況電流縮放到鋰電池安全適用范圍內(nèi)?？紤]到過度放電會損傷鋰電池甚至使其直接報廢，因此將UDDS 工況循環(huán)13 次后停止放電，假設(shè)放電電流方向為正，仿真電流如圖9所示。

圖8 鋰電池SOC估計流程

圖9 仿真電流數(shù)據(jù)

實際情況下SOC 初值未知，本文將算法的SOC 初值設(shè)置為0.8，將安時積分法計算所得SOC 設(shè)為參考值。UKF和AUKF的SOC估計結(jié)果如圖10所示，SOC估計誤差如圖11 所示。分析圖10、圖11 可知，UKF 和AUKF對鋰電池UDDS放電工況下的SOC估計都有著很好的跟蹤效果，在初值不準確的情況下，均能快速收斂于參考值并且AUKF 的波動情況明顯小于UKF。這是因為UKF忽略了系統(tǒng)噪聲特性的變化，而AUKF能實時更新系統(tǒng)噪聲特性并利用噪聲協(xié)方差的估計結(jié)果修正SOC估計值，從而減小了估計誤差。

圖10 參考曲線與算法估計曲線

圖11 算法估計誤差曲線

本文利用最大相對誤差和均方根誤差對比UKF和AUKF 的算法性能，最大相對誤差和均方根誤差越小，代表算法對SOC估計效果越好。不考慮前800 s算法收斂過程，兩者的誤差計算結(jié)果如表3所示。

表3 UKF和AUKF誤差計算結(jié)果

分析表3 可知，AUKF 的最大相對誤差與均方根誤差均小于UKF。相比于UKF，AUKF最大相對誤差減小了1.62 百分點，均方根誤差減小了0.001 3，AUKF 算法對鋰電池SOC估計結(jié)果更好。

5 結(jié)束語

本文基于鋰電池二階RC 等效電路模型，采用FFRLS參數(shù)辨識的方法得到鋰電池模型中的各參數(shù)，利用MATLAB將UKF與AUKF進行對比仿真。結(jié)果表明，鋰電池在噪聲復(fù)雜工況下工作時，相比于UKF，AUKF的最大相對誤差減小了1.62百分點，均方根誤差減小了0.001 3。AUKF能實時調(diào)整系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性，因此具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性。