衛(wèi)昱含， 及春寧， 許 棟， 陳威霖

(天津大學(xué) 水利工程仿真與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300072)

流體流經(jīng)柱體時(shí)會(huì)在柱體后方產(chǎn)生旋渦，進(jìn)而誘發(fā)柱體產(chǎn)生振動(dòng)。根據(jù)產(chǎn)生機(jī)理的不同，流致振動(dòng)可以分為渦激振動(dòng)和馳振兩種。渦激振動(dòng)是由脫渦和柱體相互作用引起的振動(dòng)，因此脫渦與振動(dòng)具有相同的頻率。渦激振動(dòng)具有自限性，大幅振動(dòng)僅在一定的流速范圍內(nèi)出現(xiàn)。根據(jù)研究參數(shù)的不同，對(duì)于低質(zhì)量比層流條件，當(dāng)柱體的振動(dòng)頻率與脫渦頻率一致并且接近柱體在真空中的固有頻率時(shí)，鎖定出現(xiàn)，此時(shí)柱體的振幅較大，而超出鎖定區(qū)間后，柱體的振動(dòng)將會(huì)受到顯著抑制。馳振則是由于流動(dòng)分離和旋渦脫落而產(chǎn)生的流體動(dòng)力負(fù)阻尼分量引起的振動(dòng)。馳振不具有自限性，表現(xiàn)為一種低頻高振幅響應(yīng)。隨著流速的增加，響應(yīng)振幅單調(diào)增大。一方面，流致振動(dòng)常常會(huì)引起像海洋立管、海底輸油管道、橋梁等結(jié)構(gòu)疲勞破壞，從而造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失。另一方面，流致振動(dòng)也可用于海流能的開發(fā)利用[1-2]。長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)者們對(duì)流致振動(dòng)響應(yīng)的研究多集中在圓柱上，并且得到了很多重要的結(jié)論[3-7]，然而馳振多發(fā)生于正方形、矩形、三角形等復(fù)雜不規(guī)則的非流線型截面結(jié)構(gòu)中[8-10]。由于三角柱截面具有尖角、固定的流體分離點(diǎn)以及分離尾流中的后體，使得其不再像圓柱具有絕對(duì)對(duì)稱性，同時(shí)也表現(xiàn)出了更多的振動(dòng)特性。防風(fēng)屏障和橋面都是容易發(fā)生馳振的細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)中都具有三角形截面，因此研究三角柱的流致振動(dòng)機(jī)理具有重要的科學(xué)和現(xiàn)實(shí)意義。

Wang等[11]對(duì)不同迎流攻角下Re=100和m*=2時(shí)三角柱流致振動(dòng)的研究發(fā)現(xiàn)α=60°(頂點(diǎn)迎流)、30°時(shí)三角柱發(fā)生了與圓柱類似的渦激振動(dòng)響應(yīng)模式，α=0°時(shí)出現(xiàn)了典型的低頻高振幅馳振響應(yīng)。此外，α=0°、30°時(shí)觀察到2S尾渦模式，α=60°出現(xiàn)了P+S和2P尾渦模式。類似地，Zhang等[12]在等邊三角柱(邊垂直迎流)的流致振動(dòng)試驗(yàn)中也觀察到渦振和馳振響應(yīng)模式，并且在渦振到馳振的過(guò)渡區(qū)域發(fā)現(xiàn)了渦振-馳振轉(zhuǎn)變分支，該分支發(fā)生在7.8

結(jié)合以上綜述可以發(fā)現(xiàn)，目前對(duì)三角柱流致振動(dòng)的系統(tǒng)研究仍比較少。本文對(duì)不同迎流攻角下正三角柱的流致振動(dòng)進(jìn)行數(shù)值模擬研究并對(duì)以下3個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題給出解答。①不同迎流攻角下三角柱振動(dòng)響應(yīng)和頻率隨折合流速將出現(xiàn)怎樣的變化。②為什么升力系數(shù)偶次諧波分量是對(duì)稱工況下結(jié)構(gòu)平衡位置偏移不為零的原因。③準(zhǔn)穩(wěn)定性理論能否準(zhǔn)確預(yù)測(cè)三角柱發(fā)生馳振響應(yīng)的迎流攻角范圍。

1 數(shù)值模擬方法

流致振動(dòng)的數(shù)值模擬方法采用浸入邊界法[23]，其控制方程如下

(1)

?·u=0

(2)

式中:u為速度;t為時(shí)間;p為壓強(qiáng);v為運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)；?為梯度算子；f為附加體積力矢量，代表流固耦合邊界條件。

對(duì)以上控制方程采用二階精度的Admas-Bashforth時(shí)間格式進(jìn)行離散，得到如下形式

(3)

?·un+1=0

(4)

式中:h=?·(-uu+ν(?u+?uT))由對(duì)流項(xiàng)與擴(kuò)散項(xiàng)組成;上標(biāo)T為矩陣轉(zhuǎn)置，附加體積力表示為

(5)

對(duì)于傳統(tǒng)浸入邊界法施加邊界條件精度不高的問(wèn)題，Ji等提出了基于嵌入式迭代的浸入邊界法，將浸入邊界法嵌入到壓強(qiáng)泊松方程的迭代求解中，利用壓強(qiáng)的中間解比初始值更接近真實(shí)值的特點(diǎn)，迭代修正附加體積力，在不顯著增加計(jì)算耗時(shí)的前提下，提高了整個(gè)算法的求解精度。

僅做橫流向振動(dòng)的彈性支撐剛性三角柱的運(yùn)動(dòng)方程如下

(6)

式中:m為三角柱質(zhì)量；c為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼；k為彈簧剛度系數(shù)；Fy為三角柱受到的橫向流體力。方程采用標(biāo)準(zhǔn)的Newmark-β法求解。

2 數(shù)值模型及其驗(yàn)證

2.1 問(wèn)題描述

對(duì)不同迎流攻角下正三角柱的流致振動(dòng)展開了數(shù)值模擬研究，其中三角柱僅在橫流向自由振動(dòng)。三角柱的邊長(zhǎng)為D=1，雷諾數(shù)為Re=UDe/v=100，De為三角柱迎流有效長(zhǎng)度，質(zhì)量比為m*=m/mf=5，m為柱體的質(zhì)量，mf為柱體排開水的質(zhì)量，迎流攻角為α=0°～60°，以其中一尖角迎流的情況為α=60°,如圖1所示，折合流速為Ur=U/fnD=2～20，fn為柱體的自然頻率。此外，為激發(fā)大振幅振動(dòng)結(jié)構(gòu)阻尼比c取為零。

圖1 三角柱的布置示意圖

2.2 模型設(shè)置

如圖2所示，采用的計(jì)算域?yàn)?0D×50D，在柱體周圍采用局部加密網(wǎng)格，網(wǎng)格大小為Δx=Δy=1/64D，其中加密區(qū)大小為4D×8D。柱體中心放置在距離入流邊界24D，距離上邊界25D的位置。邊界條件設(shè)置如下：入口邊界條件為均勻來(lái)流，u=U，v=0；出口邊界條件為Newmann型邊界，?u/?x=0，?v/?x=0；上下邊界為滑移邊界，?u/?y=0，v=0；柱體表面為無(wú)滑移邊界，u=0，v=dy/dt。

圖2 計(jì)算域與邊界條件設(shè)置

2.3 方法驗(yàn)證

表1 雷諾數(shù)Re=100條件下三角柱繞流結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)果和討論

3.1 振動(dòng)響應(yīng)

3.1.1 橫向振幅

圖3 不同迎流攻角下三角柱的振動(dòng)振幅隨折合流速變化情況

圖4 不同迎流攻角下三角柱的振動(dòng)頻率隨折合流速變化情況

3.1.2 振動(dòng)頻率

(a) α=0°

圖6 α=20°時(shí)升力和振幅的頻率譜隨折合流速的變化

3.1.3 水動(dòng)力系數(shù)

(a) 阻力均值

3.1.4 升力與位移的相位差

圖8 不同迎流攻角下三角柱的升力與位移的相位差隨折合流速變化情況

3.1.5 尾渦模式

圖9給出了不同折合流速和迎流攻角下三角柱的尾渦模式情況。按照柱體向下振動(dòng)脫渦個(gè)數(shù)(n)+向上振動(dòng)脫渦個(gè)數(shù)(m)的方式來(lái)命名脫渦模式(nS+mS)。由于三角柱出現(xiàn)了渦振-馳振聯(lián)合和渦振-馳振分離的響應(yīng)，所以在研究范圍內(nèi)出現(xiàn)了多種形式的尾渦模式。馳振分支內(nèi)三角柱在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)脫渦個(gè)數(shù)隨著折合流速的增加而增加。整體而言，振幅越大，脫渦個(gè)數(shù)越多。特別地，對(duì)于渦振響應(yīng)(α=25°～60°)，尾渦模式均為2S模式，僅在α=25°、Ur=5～6內(nèi)出現(xiàn)了S+2S脫渦模式。圖10為不同尾渦模式的示意圖。2S模式中兩個(gè)單獨(dú)的渦分別從三角柱兩邊脫落，S+2S模式中三角柱交替脫落一個(gè)單渦和一個(gè)渦對(duì)，與自激振動(dòng)圓柱的P+S尾渦模式相似，2S+2S模式中三角柱從兩側(cè)交替脫落兩個(gè)渦對(duì)，與自激振動(dòng)圓柱的2P尾渦模式相似。一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)，三角柱脫落更多數(shù)量的渦(n>2或m>2)僅在馳振模式下出現(xiàn)。

圖9 三角柱的尾渦模式

圖10 尾渦模式的示意圖

以α=0°和Ur=20時(shí)三角柱的尾渦模式5S+5S對(duì)馳振分支的尾流情況進(jìn)行說(shuō)明。圖11給出了該模式的渦量等值線時(shí)程變化情況。從渦量等值線圖來(lái)看，三角柱在向下過(guò)程中脫落2個(gè)逆時(shí)針渦(2、4)和3個(gè)順時(shí)針渦(1、3、5)，升力均值為負(fù)，而向上過(guò)程中對(duì)應(yīng)脫落2個(gè)順時(shí)針渦(2′、4′)和3個(gè)逆時(shí)針渦(1′、3′、5′)，升力均值為正?？梢钥闯?，在馳振分支內(nèi)，振動(dòng)周期明顯大于脫渦周期，與Zhao等對(duì)方柱馳振的研究結(jié)果一致。

(a)

3.2 平衡位置偏移

圖12 不同折合流速下三角柱的平衡位置偏移隨折合流速變化情況

表2 α=0°時(shí)不同折合流速下升力的頻率

為了進(jìn)一步說(shuō)明升力偶次諧波分量出現(xiàn)的原因，分別選取了平衡位置偏移為零和非零的兩個(gè)折合流速Ur=8、13進(jìn)行對(duì)比，如圖12所示。對(duì)比渦量等值線圖(圖13(a)和圖13(c)，A：三角柱位于振動(dòng)波峰，B：三角柱位于振動(dòng)波谷)可以發(fā)現(xiàn)：Ur=8工況中，三角柱位于波峰和波谷時(shí)的渦量不對(duì)稱，且逆時(shí)針渦占主導(dǎo)，所以平衡位置向上偏移；而Ur=13工況中，三角柱位于波峰和波谷時(shí)的渦量對(duì)稱，所以未發(fā)生平衡位置偏移，這說(shuō)明了脫渦在平衡位置偏移中起到了重要作用。

(a) Ur=8時(shí)三角柱的渦量等值線圖

根據(jù)Govardhan等[34]對(duì)升力的分解方法將升力分為渦力分量和勢(shì)能力分量

Ctotal(t)=Cvortex(t)+Cpotential(t)

(7)

Cpotential(t)=2π3(y(t)/D)/(Ur/f*)2

(8)

式中:Ctotal為總的升力系數(shù);Cvortex為渦力分量系數(shù)，Cpotential為勢(shì)能力分量系數(shù);f*為無(wú)量綱升力頻率。

如圖13(b)和圖13(d)所示，由Ur=8、13時(shí)升力的分解結(jié)果，可以看到勢(shì)能力分量在三角柱向上和向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中均對(duì)稱，而Ur=8時(shí)渦力分量在三角柱向上和向下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中出現(xiàn)了不對(duì)稱現(xiàn)象，這進(jìn)一步佐證了平衡位置偏移不為零是由脫渦引起的。

3.3 準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)分析

如圖3所示，三角柱在α=0°～22.5°時(shí)出現(xiàn)了馳振現(xiàn)象，本文通過(guò)準(zhǔn)穩(wěn)定性分析方法研究Re=100時(shí)三角柱發(fā)生馳振的迎流攻角范圍。該方法假設(shè)流體力與柱體振動(dòng)速度同相，將作用在運(yùn)動(dòng)物體上的瞬時(shí)力替換為相同迎流攻角(考慮來(lái)流速度和物體速度)的物體所受的靜態(tài)力[35]。

Cl=Cl|α′=0+[(?Cl/?α′)|α′=0]α′+…

(9)

(10)

(11)

式中:ζ為阻尼比;ωn為角頻率。方括號(hào)中的值為0是馳振響應(yīng)發(fā)生的臨界條件[37]，由此可以推得臨界流速Uc=4mωnζ/[ρD(?Cl/?α′)]，對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化得到臨界折合流速

(12)

當(dāng)Ur>Ucr時(shí)，馳振開始發(fā)生。由于本文數(shù)值模擬的c=0，即ζ=0，所以α=0°時(shí)，馳振發(fā)生于Ur=0。對(duì)于迎流不對(duì)稱的工況，由于升力均值不為0，即Cl|α′=0≠0，所以發(fā)生馳振時(shí)Ur>0，這一點(diǎn)與圖3結(jié)果是一致的。

根據(jù)Den Hartog[38]提出的橫向馳振判據(jù)，對(duì)于無(wú)阻尼系統(tǒng)將在下述條件成立時(shí)發(fā)生馳振失穩(wěn)現(xiàn)象

(13)

圖14為Re=100條件下，通過(guò)三角柱繞流的數(shù)值模擬結(jié)果得到的β隨α′的變化趨勢(shì)。其中，初始角度α0=0°?？梢钥闯觯寒?dāng)α′<24.4°時(shí)，β>0，所以在α<24.4°內(nèi)三角柱發(fā)生馳振響應(yīng)。對(duì)比3.1.1節(jié)對(duì)橫流向振動(dòng)振幅的分析，三角柱確實(shí)在α≤22.5°的攻角范圍內(nèi)出現(xiàn)了馳振分支，特別是當(dāng)α=22.5°時(shí)，僅在Ur=10處出現(xiàn)了一個(gè)小的馳振分支。整體來(lái)看，準(zhǔn)穩(wěn)定性理論對(duì)預(yù)測(cè)馳振發(fā)生的攻角范圍具有較好的效果。

圖14 三角柱的β隨α′的變化趨勢(shì)圖

4 結(jié) 論

應(yīng)用嵌入式迭代浸入邊界法研究了層流條件下不同迎流攻角時(shí)正三角柱的流致振動(dòng)現(xiàn)象，分析了各工況下三角柱的橫流向振幅、振動(dòng)頻率、水動(dòng)力系數(shù)、升力與位移的相位差以及尾渦模式隨迎流攻角和折合流速變化的情況，最后檢驗(yàn)了準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)分析對(duì)馳振現(xiàn)象的預(yù)測(cè)可靠性。

研究結(jié)果表明：

(1) 當(dāng)α=0°～15°時(shí)，三角柱的振動(dòng)為渦振-馳振聯(lián)合模式；當(dāng)α=20.0°～22.5°時(shí)，振動(dòng)為渦振-馳振分離模式；當(dāng)α=25°～60°時(shí)，振動(dòng)為渦振模式。由于三角柱的分離點(diǎn)固定，振動(dòng)頻率隨著折合流速線性增加，渦振響應(yīng)表現(xiàn)出非鎖定特性。

(2) 隨著迎流攻角和折合流速的變化，三角柱出現(xiàn)了多種尾渦模式。對(duì)于發(fā)生渦振的迎流攻角，其尾渦模式表現(xiàn)為和低質(zhì)量阻尼比時(shí)圓柱類似的2S模式。而對(duì)于具有馳振分支的迎流角度，其脫渦個(gè)數(shù)隨著振幅的增大而增大。

(3) 當(dāng)α=0°時(shí)三角柱出現(xiàn)了平衡位置偏移不為零的現(xiàn)象，通過(guò)快速傅里葉變換對(duì)升力進(jìn)行頻譜分析，發(fā)現(xiàn)該現(xiàn)象的出現(xiàn)是因?yàn)樯Υ嬖谂即沃C波分量，而偶次諧波分量的出現(xiàn)與脫渦相關(guān)。

(4) 準(zhǔn)穩(wěn)定分析預(yù)測(cè)的三角柱發(fā)生馳振的迎流攻角范圍與數(shù)值模擬結(jié)果一致，說(shuō)明準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)分析可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)馳振不穩(wěn)定性。