郭 璐，劉志芳，李世強，吳桂英

（太原理工大學機械與運載工程學院應用力學研究所, 山西 太原 030024）

在航空航天、交通運輸及軍事裝備等領域，蜂窩材料常被用于保護人員或結(jié)構(gòu)免受脈沖載荷的影響。晶格材料與蜂窩材料相似，具有超輕、高模量、高強度、延性好等特點，近年來得到了廣泛關注及研究[1-2]。與其他輕質(zhì)材料相比，晶格材料一般由精細、規(guī)則的單元結(jié)構(gòu)周期性排列而成，其力學性能高度依賴單元晶格的特性。光刻及增材制造技術可以實現(xiàn)對單元晶格結(jié)構(gòu)的小尺度幾何控制及精細制造[3]，從而獲得具有各種不同優(yōu)異力學性能的晶格材料。目前對晶格材料的研究大多集中于探索具有高比強度、高比剛度的晶格材料，并通過仿生、優(yōu)化等方法得到大量新型晶格結(jié)構(gòu)[4-6]。值得注意的是，晶格材料在能量吸收方面也具有巨大應用潛力。

受金屬微觀體心立方（BCC）和面心立方（FCC）晶體結(jié)構(gòu)的啟發(fā)，本研究提出一種兼顧材料剛度和能量吸收性能的316L 不銹鋼FCC 晶格材料，并與常見的BCC 晶格材料進行比較，利用 ABAQUS 有限元軟件對這兩種晶格材料進行準靜態(tài)和動態(tài)壓縮數(shù)值模擬，分析兩種晶格材料在不同沖擊速度下的變形模式及應力-應變響應，定量分析兩種晶格的能量吸收性能。

1 仿金屬材料晶體結(jié)構(gòu)的晶格

許多研究者對BCC 晶格材料（見圖1(a)）的彈塑性力學行為進行了較全面的研究[14]，但對其能量吸收性能的探討較少?；诮饘傥⒂^FCC 晶體結(jié)構(gòu)，考慮到單元晶格中豎直桿的存在將使低密度周期性晶格材料極易發(fā)生彈性屈曲而導致晶格材料整體破壞，故與Pham 等[15]的研究不同，本研究設計了一種無豎直支撐桿件的FCC 晶格單元。與常見的Octet 結(jié)構(gòu)[16]相比，該FCC 晶格內(nèi)部未嵌套八面體單元晶格，在相同晶格大小及桿件尺寸下具有較低的相對密度。

圖1 兩種仿金屬晶體結(jié)構(gòu)的單元晶格Fig. 1 Unit cells of two lattices inspired by metal crystal structures

根據(jù)Deshpande 等[17]給出的Maxwell 準則，BCC 晶格材料為彎曲主導型晶格，F(xiàn)CC 晶格材料為拉伸主導型晶格。

2 有限元模型及材料參數(shù)

2.1 有限元模型的建立

Cheng 等[18]的研究表明，當立方體晶格材料在任意特征尺寸上陣列的單元晶格數(shù)大于或等于6 時，晶格材料的力學性能趨于穩(wěn)定。為此，將圖1 所示的兩種晶格分別周期性排列為6×6×6的立方體晶格材料，利用SolidWorks 建立三維有限元模型后，導入HyperMesh 進行網(wǎng)格劃分及處理，最后利用ABAQUS 顯式算法對兩種晶格材料的單軸壓縮靜力學與動力學響應進行數(shù)值模擬計算。圖2 顯示了有限元模型及相應尺寸，晶格單元尺寸為5 mm×5 mm×5 mm。

圖2 有限元模型及模型尺寸Fig. 2 Finite element model and corresponding dimensions

為定量比較BCC 和FCC 晶格材料的能量吸收性能，取相同相對密度的BCC 和FCC 晶格材料進行分析。假設晶格材料結(jié)點為完整球體，則單元晶格相對密度的理論模型可表示為

取相對密度為10.5%～10.6%的BCC 和FCC晶格材料進行研究，即BCC 晶格材料的d/L=0.150，F(xiàn)CC 晶格材料的d/L=0.135。

Gümrük 等[14]通過數(shù)值模擬與實驗對比發(fā)現(xiàn)，當晶格材料的d/L＞0.087 時，細觀桿件的實體單元網(wǎng)格劃分較梁單元劃分能更好地復現(xiàn)實驗結(jié)果，且能更好地描述晶格材料的后屈服行為。為此，單元晶格桿件采用實體單元C3D4 進行劃分，通過網(wǎng)格敏感性分析，取網(wǎng)格尺寸為0.1 mm。如圖2 所示，在晶格材料頂部設置剛性板，通過剛性板的恒定速度加載來實現(xiàn)晶格的單軸壓縮。準靜態(tài)壓縮時，剛性面板速度v取1 m/s，下面板保持固定；動態(tài)壓縮時，剛性面板速度取10～100 m/s。

題目：圖書館門前建了兩個同樣大小的圓柱形花壇。花壇的底面直徑為6米，高為0.9米，往里裝泥土的高是0.7米，兩個花壇中共需要填土多少方？

圖3 相對密度理論模型與CAD 結(jié)果的比較Fig. 3 Comparison of the predictions of relative density between theoretical results and calculation with CAD models

2.2 材料參數(shù)

鑒于晶格材料制造工藝的特殊性，同時考慮到基體材料的選擇對晶格材料的變形模式等有較大影響[19]，金屬材料通常具有良好的韌性和較小的屈服應變，為此采用選擇性激光熔化（selective laser melting，SLM）法制備的316L 不銹鋼金屬材料作為晶格基體材料。目前，已有大量關于SLM 制備316L 不銹鋼材料力學性能的研究。例如，Li 等[20]采用數(shù)值模擬與實驗相結(jié)合的方法，研究了包括單軸拉伸、剪切等4 種不同工況下SLM 制備的316L 不銹鋼材料在準靜態(tài)及高應變率加載下的應力-應變響應，并建立了材料的Johnson-Cook 模型

表1 SLM 制備316L 不銹鋼材料參數(shù)[20]Table 1 Material parameters of 316L stainless steel manufactured by SLM[20]

3 有限元方法驗證

為評估ABAQUS 模擬晶格材料單軸壓縮響應的準確性，對模型中的相關能量進行了驗證，如圖4所示，其中：Et為總能，Ei為內(nèi)能，Ek為動能，Ea為偽變形能。首先驗證使用ABAQUS 顯式算法模擬材料準靜態(tài)壓縮的合理性，如圖4(a)所示，當上面板的速度v為1 m/s 時，BCC 和FCC 晶格材料主要通過晶格細觀桿件的彈塑性變形吸能，即內(nèi)能為材料吸能的主要形式，動能的占比很小，且均小于內(nèi)能的5%，可忽略不計。可以認為，當v=1 m/s 時，材料的壓縮過程是準靜態(tài)的。

動態(tài)加載下，應保證系統(tǒng)的偽變形能與系統(tǒng)內(nèi)能之比小于5%[22]。以v=75 m/s 時的FCC 晶格為例，圖4(c)給出了壓縮過程中的能量平衡情況，其偽應變能與系統(tǒng)內(nèi)能的比值遠遠小于極限值5%。可以認為，模型是有效的。

圖4 相對密度為10.5% 的BCC 和FCC 晶格材料的能量驗證Fig. 4 Energy verification of BCC and FCC lattice materials in case of relative density 10.5%

4 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

4.1 晶格材料的初始彈性模量

研究表明，晶格材料的數(shù)值模擬計算能較精準地預測材料的線彈性力學響應[14,21]，故本研究采用數(shù)值模擬初始加載曲線的斜率定義材料剛度。計算得到BCC 和FCC 晶格材料的初始彈性模量分別為0.388 和2.576 GPa，即對相對密度為10.5%～10.6%的晶格材料而言，F(xiàn)CC 晶格材料的初始彈性模量可達BCC 晶格材料的6.64 倍，這是由于拉伸主導型晶格的比剛度普遍比彎曲主導型晶格高[17]。

4.2 晶格材料的準靜態(tài)壓縮

4.2.1 晶格材料準靜態(tài)壓縮變形模式

相對密度為10.5%～10.6%的BCC 和FCC 晶格材料在單軸壓縮載荷作用下的變形模式如圖5 所示。

圖5 BCC 和FCC 晶格材料的準靜態(tài)壓縮變形模式Fig. 5 Quasi-static deformation modes for BCC and FCC lattice materials

從圖5 可以看出，BCC 晶格材料發(fā)生均勻變形，而FCC 晶格材料則發(fā)生45°剪切變形。分析認為，F(xiàn)CC 晶格材料由拉伸主導型晶格材料周期排列而成，各細觀桿件主要承受軸力作用，小變形下易導致材料局部失穩(wěn)。

4.2.2 晶格材料準靜態(tài)壓縮結(jié)果分析

對BCC 及FCC 晶格材料的準靜態(tài)能量吸收能力進行了分析，兩種晶格材料的準靜態(tài)單軸壓縮應力-應變響應如圖6 所示。與傳統(tǒng)蜂窩材料類似，定義材料的能量吸收效率f[2]

圖6 準靜態(tài)壓縮晶格材料的應力-應變響應Fig. 6 Stress-strain response curves of lattice materials under quasi-static compression

4.3 晶格材料的動態(tài)壓縮

4.3.1 晶格材料的動態(tài)壓縮變形模式

隨著壓縮速度的增大，晶格材料的變形模式會發(fā)生改變。圖7 顯示了BCC 和FCC 兩種晶格材料在v=75 m/s 的動態(tài)壓縮下的變形模式，此時晶格材料的應變率為2 500 s-1。在該應變率下，BCC 和FCC 晶格材料靠近受壓側(cè)單元晶格產(chǎn)生較大的橫向形變，晶格材料整體發(fā)生逐層壓潰。與此同時，F(xiàn)CC 晶格材料在變形過程中還伴隨著剪切變形的發(fā)生，如圖7(b)所示。

圖7 v=75 m/s 時晶格材料的變形模式Fig. 7 Deformation modes of lattice materials at v =75 m/s

4.3.2 晶格材料動態(tài)壓縮結(jié)果分析

晶格材料承受沖擊載荷作用時，隨著沖擊速度的提高，動能占總能量的比例呈上升趨勢。以v=75 m/s為例，在FCC 晶格材料被壓實之前約12%的能量存儲為動能。由圖8 可知，在1～100 m/s 速度范圍內(nèi)，F(xiàn)CC 晶格材料均可吸收更多的能量，該現(xiàn)象歸因于晶格材料內(nèi)能的增加而非動能的增加。同時，晶格材料的塑性耗散能在內(nèi)能中的占比始終大于85%。

圖8 相同相對密度下不同晶格材料在1～100 m/s 速度范圍內(nèi)的能量吸收特性對比Fig. 8 Comparison of energy absorption for different lattice with the same relative density at various velocities of 1-100 m/s

不同沖擊速度下BCC 和FCC 晶格材料的動態(tài)響應如圖9 所示。顯然，當沖擊速度為75 m/s 時，BCC 和FCC 晶格材料的應力-應變曲線均出現(xiàn)波動，且FCC 晶格的應力峰個數(shù)與晶格層數(shù)相同。上述數(shù)值模擬結(jié)果表明，當壓縮應變率大于或等于2 500 s-1時，SLM 制備的316L 不銹鋼BCC 和FCC 晶格材料的變形模式及平臺應力均具有一定的應變率敏感性。

圖9 不同沖擊速度下晶格材料的應力-應變響應Fig. 9 Stress-strain curves of lattice materials subjected to impact at different velocities

高速沖擊下材料會產(chǎn)生應力-應變波動，用承載能力波動U（ULC）來定量分析壓縮應力在平臺應力周圍的波動程度[23]

綜合上述兩種晶格在不同沖擊速度下的變形模式、動能比例及壓縮力效率，定義相對低速（0～15 m/s）、中速（15～75 m/s）和高速（大于75 m/s）3 種沖擊速度模式。例如：低速模式下，BCC 晶格材料的動能比例極小，如圖8(a)所示，其壓縮力效率在70%～80%之間；中速模式下，BCC 晶格材料的壓縮力效率在40%～70%之間，動能所占比例較低；高速模式下，BCC 晶格材料的變形模式有明顯改變，如圖8(b)所示，晶格材料的動能占比明顯增大，且壓縮力效率整體上小于40%。

此外，低速模式下FCC 晶格材料的壓縮力效率最高，可達90%。從低速模式向中速模式過渡時，壓縮力效率略有下降，在60%～80%區(qū)間，即隨著沖擊速度的提高，晶格材料應力-應變響應中峰值應力的出現(xiàn)導致壓縮力效率緩慢下降，如圖9 所示。當沖擊速度大于75 m/s 時，晶格材料進入高速模式，壓縮力效率有較大的下降。該現(xiàn)象可用承載能力波動解釋，表現(xiàn)出與壓縮力效率相反的趨勢，如圖10(a)所示。對BCC 晶格材料而言， 100 m/s 高速沖擊時壓縮力效率的增大僅為一個數(shù)值波動而不影響壓縮力效率的整體下降趨勢，如圖10(b)所示，且當沖擊速度為150 和200 m/s 時，對應的承載能力波動分別為0.275 和0.327，壓縮力效率分別為30.534%和24.732%，即兩種晶格材料的壓縮力效率大體上隨沖擊速度的提高呈下降趨勢。

圖10 承載能力波動及壓縮力效率與沖擊速度的關系Fig. 10 Trends of undulation of load-carrying capacity and CFE versus the impact velocity

4.3.3 晶格材料動態(tài)壓縮的沖擊波模型

圖11 密實化應變(a)、平臺應力(b)以及塑性能量耗散(c)與沖擊速度的關系Fig. 11 Trends of onset strain of densification (a), plateau stress (b), and plastic energy dissipation (c) versus the impact velocity

5 結(jié)果討論

5.1 晶格材料的歸一化彈性模量

負泊松比材料具有較好的能量吸收性能，但比剛度較低[26-33]，而桁架晶格則能夠?qū)崿F(xiàn)較高的比強度和比剛度，其中材料的比剛度被定義為歸一化彈性模量與相對密度的比值。圖12 對比了BCC 和FCC 兩種晶格材料與常見負泊松比材料及桁架晶格的歸一化彈性模量-相對密度（E*/Es- ρ*/ ρs）關系。顯然，在相同相對密度下，F(xiàn)CC 晶格材料的歸一化彈性模量大于大多數(shù)材料，即較其他大多數(shù)材料而言，F(xiàn)CC 晶格材料具有更高的比剛度。

5.2 晶格材料的能量吸收性能評估

由4.2.2 節(jié)可知，相同密度的FCC 晶格材料比BCC 晶格材料具有更高的歸一化比吸能，其歸一化比吸能可達BCC 晶格材料的2.6 倍。由圖12 可知，拉伸主導型FCC 晶格比彎曲主導型BCC 晶格具有更高的比剛度，即材料能夠在較小的應變下達到更高的強度，而且在準靜態(tài)壓縮載荷作用下316L 不銹鋼FCC 晶格材料雖然發(fā)生局部失穩(wěn)，但是未發(fā)生破壞，且有一段較平滑的應力平臺階段（見圖6(b)和圖9(b)），此外，相同相對密度的兩種晶格材料具有大致相同的密實化應變，使得FCC晶格材料具有比BCC 晶格材料更高的比吸能。

圖12 BCC 及FCC 晶格材料與其他材料的歸一化彈性模量-相對密度關系比較Fig. 12 Comparison of normalized Young’s modulus versus relative density for BCC and FCC lattice materials with other materials

將BCC 晶格材料的吸能效率及壓縮力效率與FCC 晶格材料及傳統(tǒng)晶格材料[34-37]進行比較，可以看出，相對密度為10.5%的FCC 晶格材料的壓縮力效率可達90%（見圖13(b)），明顯高于其他傳統(tǒng)晶格材料（能量吸收效率為59%），也高于其他相對密度為10%～16% 的傳統(tǒng)晶格材料。FCC 晶格材料的歸一化比吸能為0.228，高于其余幾種輕質(zhì)吸能材料（見圖13(c)）。

圖13 BCC 及FCC 晶格材料與其他材料的吸能效率(a)、壓縮力效率(b)和歸一化比吸能UM,n (c)比較Fig. 13 Comparison of energy absorption efficiency (a), compression force efficiency (b) and specific energy absorption UM,n (c) for BCC and FCC lattice materials with other materials

6 結(jié) 論

基于仿金屬微觀晶體結(jié)構(gòu)構(gòu)造了FCC 單元晶格，研究了BCC 和FCC 兩種晶格材料的單軸壓縮力學行為，選擇SLM 法制備的316L 不銹鋼材料為基體材料，對兩種晶格材料的抗沖擊性能進行了數(shù)值模擬分析，定量分析了兩種晶格材料的能量吸收性能，給出了單軸動態(tài)加載下晶格材料的壓縮平臺應力及塑性能量耗散的半經(jīng)驗公式，得到如下主要結(jié)論：

(1) 相同相對密度的FCC 晶格材料與常見的負泊松比材料及桁架晶格材料相比，具有較高的比剛度；

(2) 與BCC 晶格材料相比，相同相對密度的FCC 晶格材料在準靜態(tài)壓縮載荷作用下的能量吸收性能更優(yōu)異，相對密度為10.5%～10.6%的FCC 晶格材料的比吸能是BCC 晶格材料的2.6 倍；

(3) 當應變率為2 500 s-1時，兩種晶格材料均表現(xiàn)出一定程度的應變率敏感性，其變形模式及應力-應變響應均有明顯改變，并且隨著沖擊速度的提高，晶格材料的密實化應變及平臺應力呈上升趨勢，故能量吸收效率增大，而壓縮力效率則由于應力波動的增加呈現(xiàn)下降趨勢；

(4) FCC 晶格材料既具有較高的比剛度，又具有較高的能量吸收效率、壓縮力效率及歸一化比吸能特性，有望用于夾芯梁及夾芯板等輕質(zhì)結(jié)構(gòu)中。