李貴勇，呂京昭，陳 博，秦 紅，方澤圣

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)作為一種多載波調(diào)制技術(shù)，已成為寬帶無線通信的核心技術(shù)。在OFDM系統(tǒng)中，接收端需要獲取信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)用來恢復(fù)發(fā)送的信號，因此對信道估計技術(shù)的研究十分重要。

傳統(tǒng)的信道估計方法，如最小二乘(Least Squares，LS)[1]和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[2]算法雖然復(fù)雜度較低，但由于巨大的導(dǎo)頻開銷導(dǎo)致頻帶利用效率降低。2006年，Donoho等人提出了壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論[3-5]，該理論表明，當信號是稀疏的或可壓縮的時，可以從有限的樣本值中重建信號；正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)[6]算法是一種經(jīng)典的貪婪算法，其可以通過較少的計算量可靠地重建信號；正則化正交匹配追蹤(Regularized Orthogonal Matching Pursuit，ROMP)[7]算法一次可以選擇多列原子，再通過正則標準篩選，可實現(xiàn)原子快速和有效地選擇；壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)[8]算法每次迭代選擇的原子可能會在下一次迭代中被丟棄。但以上算法的弊端是需要已知信道稀疏度，稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit, SAMP)[9]算法不需要將稀疏度作為已知條件，但該算法通過固定步長估計稀疏度，會出現(xiàn)欠估計和過估計問題。

針對實際信道稀疏度未知的情況，本文提出了一種基于Dice系數(shù)的稀疏度自適應(yīng)正交匹配追蹤(Sparsity Adaptive Dice Orthogonal Matching Pursuit，SADOMP)算法，該算法不需要已知信道稀疏度，且性能要優(yōu)于經(jīng)典信道估計算法。

1 OFDM系統(tǒng)模型

OFDM系統(tǒng)通過在發(fā)送端插入已知的導(dǎo)頻信號輔助信道估計，發(fā)送端添加循環(huán)前綴(Cyclic Prefix，CP)的過程是將每個OFDM符號末端的一段信號復(fù)制到此符號的頭部，這樣可以保證系統(tǒng)子載波的正交性，從而消除了信道多徑效應(yīng)引起的符號間干擾(Inter Symbol Interference，ISI)和載波間干擾(Inter-Carrier Interference，ICI)，CP長度一般要大于信道沖激響應(yīng)長度。OFDM系統(tǒng)接收端是對發(fā)送端的一個逆過程處理。OFDM系統(tǒng)模型如圖1所示。

一個無線信道離散時間信道模型可表示為

式中：h(n)為信道脈沖響應(yīng)；L為信道長度；αi為第i個多徑信號的復(fù)數(shù)比例因子；δ()為沖激函數(shù)；n為采樣點數(shù)；τi為第i個多徑信號的到達時間。通過此信道模型發(fā)送信號會導(dǎo)致接收端收到L個多徑信號的疊加，從而導(dǎo)致信號衰落和信號失真。在實際的無線信道中，h(n)是由少量的非零抽頭系數(shù)組成，即信道具有稀疏性。

假設(shè)OFDM系統(tǒng)有P個導(dǎo)頻信號，放置在k1、k2、k3、…、kP子載波上，一般導(dǎo)頻信號是均勻地放置在數(shù)據(jù)信號中，即已知導(dǎo)頻信號的位置信息，則接收端通過導(dǎo)頻信號的位置信息可以提取導(dǎo)頻信號：

2 CS和重建算法

2.1 CS理論

實際環(huán)境中的信號一般不是絕對稀疏的，只要選擇用適當?shù)南∈杌硎靖呔S信號，就可以通過有效的算法從高度不完整的線性測量中恢復(fù)高維信號。信號x可以通過引入稀疏基矩陣表示為x=Ψθ，Ψ為N×N維的稀疏基矩陣，θ為N×1的列向量，表示稀疏基Ψ下的稀疏信號，當θ中的非零元素個數(shù)K滿足K?N時，則稱信號x是相對于稀疏基Ψ的K-稀疏信號。

當信號滿足稀疏性時，通過構(gòu)建觀測矩陣，能夠以遠遠小于信號維度的數(shù)據(jù)無失真或較低失真的方式重建原始信號。用公式表達如下：

式中：y為M×1維的測量信號；Φ為M×N維的觀測矩陣(滿足M?N)；w∈RN為噪聲向量；A為M×N維的傳感矩陣。

由于M?N，所以式(3)是一個欠定方程，有無窮多個解，但當信號x滿足稀疏條件時，上述欠定方程可以轉(zhuǎn)化成最小l0范數(shù)問題來求解。當N很大時，最小l0范數(shù)問題計算復(fù)雜度很大，是一個非確定多項式(Non-deterministic Polynomial，NP)問題。文獻[10]指出可將這個問題轉(zhuǎn)化成容易求解的最小l1范數(shù)問題，即min||x||1，s.t.y=Φx。文獻[11]指出，當傳感矩陣A滿足等距約束性(Restricted Isometry Property，RIP)條件時，可以準確地恢復(fù)原始信號，滿足RIP準則的條件為(1-δk)‖x‖2≤‖Φx‖2≤(1+δk)‖x‖2，式中，δk為常數(shù)，且δk∈(0,1)。

2.2 基于SADOMP的信道估計方法

2.2.1 DFT信道估計

DFT信道估計算法的具體做法是將LS算法估計得到的信道頻率響應(yīng)轉(zhuǎn)換到時域，保留CP內(nèi)的信號，將CP外部的信號清零。然后再將信道響應(yīng)值轉(zhuǎn)換到頻域?？紤]到CP內(nèi)部也存在噪聲的影響，算法通過設(shè)置閾值來區(qū)分CP中的有效點和噪聲點，進一步提高DFT算法消除噪聲的性能。算法流程圖如圖2所示。

圖2 DFT信道估計算法流程

首先，通過LS算法獲得信道頻域響應(yīng)HLS，再通過N點離散傅里葉逆變換(Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT)獲得時域的信道沖激響應(yīng)hLS：

式中，w(n)為噪聲。將CP長度之外的信道脈沖響應(yīng)置為零，對于CP內(nèi)部，通過以下方式設(shè)置閾值區(qū)分噪聲信號和有效信號：

式中：LCP為CP的長度；σ1為循環(huán)長度內(nèi)信道沖激響應(yīng)幅度的平均值；σ2為循環(huán)長度外信道沖激響應(yīng)幅度的平均值；σ為最終的閾值，是σ1與σ2之和。于是，信道的沖激響應(yīng)可表示為

再將hLS(n)做DFT得到信道頻域響應(yīng)HDFT。

2.2.2 Dice系數(shù)匹配準則

經(jīng)典的貪婪追蹤算法中常用內(nèi)積準則來度量殘差向量與傳感矩陣原子的相似度，內(nèi)積值越大，說明相似度越高。假設(shè)兩個N維向量a和b，內(nèi)積準則的定義如下：

內(nèi)積準則實質(zhì)上是通過計算殘差向量和傳感矩陣挑選出來的原子的夾角余弦值來度量兩個向量的相似度，但內(nèi)積準則的問題在于，匹配過程中會丟失原始信號的部分信息導(dǎo)致匹配不準確。針對這個問題，引入Dice系數(shù)準則：

對比式(7)和(8)可知，內(nèi)積準則的分母是對向量分量的平方和求幾何平均值，Dice系數(shù)準則的分母是對向量分量的平方和求算數(shù)平均值。由于算術(shù)平均可以有效解決幾何平均在匹配過程中丟失原始信號部分信息的問題，更好地保留信號的原始信息，因此基于Dice系數(shù)準則挑選出的原子是更優(yōu)的，可以提高算法的恢復(fù)精度。

2.2.3 算法流程

輸入：觀測向量y，傳感矩陣A，DFT估計的信道頻域響應(yīng)HDFT。

(1) 初始化：迭代次數(shù)t=1，初始殘差r0=y，初始索引集Λ0=?，初始原子支撐集A0=?，初始殘差與HDFT之差β0=0；

(2) 利用Dice系數(shù)匹配準則計算傳感矩陣A的每一列向量與當前殘差rt-1之間的相關(guān)系數(shù)：gt=abs[D(rt-1,AT)]，abs()為取絕對值，D()為Dice系數(shù)匹配函數(shù)，選擇最大的一個并找到該系數(shù)對應(yīng)A的列序號λt，即λt=arg max|D(rt-1,AT)|；

(3) 更新索引集和原子集：Λt=Λt-1∪{λt}，AΛt=AΛt-1∪{aλt}，其中，aλt為矩陣A的第λt列；

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證SADOMP算法的有效性和可靠性，本文采用Matlab軟件進行仿真實驗，首先進行Dice系數(shù)準則可行性驗證，然后對比本文算法與傳統(tǒng)LS算法和CS OMP算法的誤碼率(Bit Error Rate，BER)和歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)性能。所有結(jié)果都是經(jīng)過5 000次仿真后求得的平均值。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示，調(diào)制方式為正交相移鍵控(Quadrature Phase Shift Keying，QPSK)，OMP算法在信道稀疏度未知時，將其迭代次數(shù)設(shè)置為導(dǎo)頻數(shù)的一半[12]。

表1 仿真系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置

3.1 Dice系數(shù)準則可行性驗證

可行性驗證實驗分別使用內(nèi)積準則和Dice系數(shù)準則對傳感矩陣原子和殘差向量進行匹配，隨機生成稀疏度K=8、長度N=1 024的一維信號，用32×1 024維FFT矩陣作為觀測矩陣，對比在不同迭代次數(shù)下，殘差向量模的變化。結(jié)果如圖3所示。

圖3 Dice系數(shù)準則和內(nèi)積準則在迭代中殘差向量模對比

由圖可知，隨著迭代次數(shù)的增加，殘差向量的模逐漸減小。同時，使用Dice系數(shù)準則匹配得到的殘差值比同等條件下內(nèi)積準則的更小，證明使用Dice系數(shù)準則挑選出來的原子更優(yōu)，能夠加速迭代，提高重構(gòu)效率。

3.2 NMSE性能分析

圖4對比了本文所提SADOMP算法和LS算法、OMP算法在導(dǎo)頻數(shù)為32時不同信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)下的NMSE性能。由圖可知，隨著SNR的增加，各種算法的NMSE均呈下降趨勢，在低SNR情況下，3種算法的重構(gòu)性能都較差。隨著SNR的升高，SADOMP算法的NMSE性能明顯優(yōu)于其他兩種算法，與LS和OMP算法相比，本文所提SADOMP算法分別約有10和5 dB的SNR峰值增益。充分驗證了基于Dice系數(shù)準則的SADOMP算法信道估計的NMSE性能。

圖4 不同算法NMSE曲線對比圖

圖5對比了SNR為15 dB時，3種算法在不同導(dǎo)頻數(shù)下的NMSE性能。由圖可知，隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增加，3種算法的NMSE性能均得到提高，這是由于，導(dǎo)頻數(shù)量越多，傳感矩陣中包含的原始信息就越多，重構(gòu)信號的效果就更好。在導(dǎo)頻數(shù)量相同的條件下，SADOMP算法的NMSE性能明顯優(yōu)于LS和OMP算法；當NMSE相同時，本文所提算法需要的導(dǎo)頻數(shù)量明顯小于另外兩種算法，可以說明在相同的重構(gòu)精度下，本文所提算法能夠減少導(dǎo)頻的開銷。

圖5 不同導(dǎo)頻數(shù)下各算法NMSE曲線對比圖

3.3 BER性能分析

圖6對比了在不同SNR情況下，3種算法的BER性能。由圖可知，隨著SNR的增加，3種算法的BER均呈下降趨勢，在導(dǎo)頻數(shù)相同的條件下，本文所提算法比OMP和LS算法有更低的BER。

圖6 不同SNR下各算法BER曲線對比圖

表2 不同SNR下和K的對比

圖7 不同SNR下和K對比圖

3.4 復(fù)雜度分析

表3 OMP和SADOMP算法運行時間對比

4 結(jié)束語

本文研究了OFDM系統(tǒng)信道估計問題，提出了一種基于CS的SADOMP算法。該算法利用DFT估計算法進行降噪處理，并將估計得到的信道頻域響應(yīng)用于CS算法殘差的判斷條件，使用Dice系數(shù)準則來度量殘差向量與傳感矩陣原子的相似度，實現(xiàn)了稀疏信號的快速準確重建。仿真結(jié)果表明，本文所提算法比傳統(tǒng)的CS估計算法頻譜利用率更高，并且有更好的NMSE和BER性能。同時，算法能夠在稀疏度未知的情況下對稀疏度做出較為準確的估計。