曹丹

教材是中考試題編者的重要參考內(nèi)容，很多試題都來(lái)源于教材。下面我們來(lái)看一個(gè)例子，識(shí)別中考題中此類題的種種“馬甲”。

原題 （蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級(jí)下冊(cè)第138頁(yè)練習(xí)2）一只不透明的袋子中裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外都相同。

（1）將球攪勻，從中任意摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攪勻，再?gòu)闹腥我饷?個(gè)球，求兩次都摸到紅球的概率;

（2）將球攪勻，從中任意摸出2個(gè)球，求摸到2個(gè)紅球的概率。

【分析】這是一個(gè)典型的摸球試驗(yàn)。第（1）問(wèn)是放回試驗(yàn);第（2）問(wèn)摸2個(gè)球，相當(dāng)于第一次摸出的球不放回，第二次再?gòu)挠嘞碌那蛑腥我饷?個(gè)球，是不放回試驗(yàn)。

解：把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、紅球2。

（1）用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的。“兩次都摸到紅球”記為事件A，它的發(fā)生有4種可能，所以事件A發(fā)生的概率P（A）=[49]，即兩次摸到紅球的概率是[49]。

（2）用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，并且它們都是等可能的?！懊?個(gè)紅球”記為事件B，它的發(fā)生有2種可能，所以事件B發(fā)生的概率P（A）=[13]，即摸到2個(gè)紅球的概率是[13]。

一變：人選車廂

例1 （2021·浙江杭州）某軌道列車共有3節(jié)車廂，設(shè)乘客從任意一節(jié)車廂上車的機(jī)會(huì)均等，某天甲、乙兩位乘客同時(shí)乘同一列軌道列車，則甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率是（ ）。

A.[15] B.[14] C.[13]? ? D.[12]

【解析】把3節(jié)車廂分別記為A、B、C，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，甲和乙從同一節(jié)車廂上車的結(jié)果有3種，

∴P（甲和乙從同一節(jié)車廂上車）=[13]。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題求解的是甲和乙從同一節(jié)車廂上車的概率，其實(shí)是由摸球試驗(yàn)變身而來(lái)。3節(jié)車廂即是白球、紅球、藍(lán)球，甲、乙兩位乘客從任意一節(jié)車廂上車互不影響，即摸兩次小球，并且是放回試驗(yàn)，那么此題就轉(zhuǎn)化為從白、紅、藍(lán)三個(gè)球中任意摸出一個(gè)球放回?fù)u勻再摸出一個(gè)球，求兩次摸出的小球顏色相同的概率。這樣，我們透過(guò)“人選車廂”的馬甲看清“摸球試驗(yàn)”的本質(zhì)，問(wèn)題解決起來(lái)就容易多了。

二變：找過(guò)期牛奶

例2 （2021·山東臨沂）現(xiàn)有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已過(guò)期，隨機(jī)抽取2盒，至少有一盒過(guò)期的概率是（ ）。

A.[12] B.[23] C.[34]? ? D.[56]

【解析】把兩盒不過(guò)期的牛奶記為A1、A2，兩盒過(guò)期牛奶記為B1、B2，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有12種等可能的結(jié)果，至少有一盒過(guò)期的結(jié)果有10種，

∴P（至少有一盒過(guò)期）=[56]。故選D。

【點(diǎn)評(píng)】透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，這依然是“摸球試驗(yàn)”的化身。2盒不過(guò)期的牛奶即2個(gè)白球，2盒過(guò)期牛奶即2個(gè)紅球，4個(gè)除顏色外完全相同的球裝在一個(gè)不透明的袋子中，隨機(jī)抽取2盒即隨機(jī)從中摸出2個(gè)球，這顯然是原題第（2）問(wèn)的類型，即不放回試驗(yàn)，那么此題就轉(zhuǎn)化為從袋子中摸出2個(gè)球，求至少有1個(gè)球是紅球的概率。這樣一來(lái)，“摸球試驗(yàn)”輕松應(yīng)對(duì)。

三變：鑰匙配對(duì)

例3 （2021·湖北荊州）有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開(kāi)這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開(kāi)這兩把鎖。隨機(jī)取出一把鑰匙開(kāi)任意一把鎖，一次打開(kāi)鎖的概率是 。

【分析】把兩把不同的鎖記為A、B，四把鑰匙記為a、b、c、d，假設(shè)a能打開(kāi)A，b能打開(kāi)B，用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果：

由表格可知，共有8種等可能的結(jié)果，一次打開(kāi)鎖的結(jié)果有2種，

∴P（一次打開(kāi)鎖）=[14]。

【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)“馬甲”有點(diǎn)硬，但再硬的“馬甲”還是能夠扒開(kāi)的。這道題依然有“摸球試驗(yàn)”的影子，不同的是這里的“摸球試驗(yàn)”需要兩個(gè)袋子。兩把不同的鎖即1個(gè)白球、1個(gè)紅球，這2個(gè)球裝入一個(gè)不透明的袋子;四把鎖即白、紅、黃、藍(lán)各1個(gè)球，這4個(gè)球裝入另一個(gè)不透明的袋子，這些球除顏色外都相同。隨機(jī)取出一把鑰匙開(kāi)任意一把鎖即從這2個(gè)袋子中分別取出1個(gè)球，這種“摸球試驗(yàn)”還是摸兩次，不過(guò)是從兩個(gè)袋子各摸一次，那么就轉(zhuǎn)化為從2個(gè)袋中分別取出1個(gè)球，求2個(gè)球顏色相同的概率。這樣思考，簡(jiǎn)單明了。

這里雖然只舉出了三種變化方式，但是實(shí)際上摸球試驗(yàn)通過(guò)“72變”甚至“108變”還是可以變出許許多多的樣子。希望同學(xué)們可以看透本質(zhì)，回歸“摸球試驗(yàn)”模型，提高解決問(wèn)題的能力。

（作者單位：江蘇省南京市六合區(qū)橫梁初級(jí)中學(xué)）