張 皓，李東升

（1.大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024；2.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東 汕頭 515063）

引 言

工程結(jié)構(gòu)廣泛存在非線性，非線性識(shí)別是解決工程結(jié)構(gòu)非線性問(wèn)題的重要手段。目前，非線性識(shí)別的技術(shù)框架已經(jīng)建立［1-2］，檢測(cè)、描述、量化的識(shí)別流程基本得到了學(xué)術(shù)界認(rèn)可［3-6］。非線性識(shí)別的第一步——非線性檢測(cè)決定了后續(xù)工作的走向，因此十分關(guān)鍵。如果工程結(jié)構(gòu)被檢測(cè)出非線性，繼續(xù)應(yīng)用傳統(tǒng)線性理論和方法便不再合理，應(yīng)采用非線性理論和方法進(jìn)行分析研究。此外，由于損傷會(huì)在某種程度上導(dǎo)致結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)非線性特征，因此非線性檢測(cè)方法也可被應(yīng)用于損傷識(shí)別［7-11］。

非線性檢測(cè)是非線性識(shí)別較早發(fā)展的內(nèi)容。判斷結(jié)構(gòu)時(shí)程響應(yīng)和頻響函數(shù)是否具備線性性質(zhì)自然地成為了非線性檢測(cè)的基本方法。依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，直接觀察時(shí)程響應(yīng)曲線、頻響函數(shù)、Nyquist 圖等的形狀是否產(chǎn)生某種畸變，是非線性檢測(cè)最簡(jiǎn)便的方法；其他簡(jiǎn)便方法如：通過(guò)判斷在線性結(jié)構(gòu)中時(shí)程響應(yīng)應(yīng)具備的疊加原理，頻響函數(shù)應(yīng)具備的互異性、齊次性法則等是否滿足，也可實(shí)現(xiàn)非線性檢測(cè)。實(shí)際上，這些簡(jiǎn)單方法也是線性結(jié)構(gòu)模態(tài)分析用于檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集質(zhì)量的常用手段［12］。然而上述簡(jiǎn)單方法在理論上不夠嚴(yán)謹(jǐn)，其實(shí)際應(yīng)用的可靠性也難以保證［1，13］。因此有學(xué)者提出了諸多新方法［14］：包括相干函數(shù)法、Hilbert 變換法、三階自相關(guān)函數(shù)法、高階頻響函數(shù)法等，它們具備更強(qiáng)的非線性檢測(cè)能力。其中，Hilbert 變換法通過(guò)檢驗(yàn)頻響函數(shù)進(jìn)行Hilbert變換前后是否相等來(lái)判斷非線性是否存在，其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，結(jié)果可靠；而且，進(jìn)一步應(yīng)用Hilbert變換還能夠?qū)崿F(xiàn)非線性的描述和量化，因此得到了廣泛關(guān)注［15-18］。

Hilbert 變換也是數(shù)學(xué)界長(zhǎng)期關(guān)注的問(wèn)題，但相關(guān)研究主要集中在解析求解理論［19］。在進(jìn)行非線性檢測(cè)等實(shí)際應(yīng)用時(shí)，測(cè)試結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)表達(dá)式多為未知，因此需對(duì)Hilbert 變換進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，從而不可避免地引入了截?cái)嗾`差。針對(duì)這一問(wèn)題，一些學(xué)者提出了一系列截?cái)嗾`差補(bǔ)償方法，但是這些方法不僅理論復(fù)雜程度遠(yuǎn)超Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法本身，而且一些方法需借助模態(tài)分析理論的機(jī)理，應(yīng)用于非線性結(jié)構(gòu)也不甚合理［13］。文獻(xiàn)［1］和［13］引入了一種近似解析方法，它結(jié)合了復(fù)分析理論和有理逼近理論，有效地解決了Hilbert 變換數(shù)值計(jì)算截?cái)嗾`差問(wèn)題；其有理逼近過(guò)程理論上可達(dá)到任意精度，因此也被稱為無(wú)截?cái)嗾`差的Hilbert 變換方法。這種方法雖然具有較深?yuàn)W的數(shù)學(xué)理論背景，但借助Matlab 等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件，其實(shí)踐過(guò)程實(shí)際上十分簡(jiǎn)單、明確。令人遺憾地是，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此方法似乎仍較為陌生，相關(guān)研究和工程應(yīng)用不僅在國(guó)內(nèi)極為罕見(jiàn)，國(guó)外主流研究組近期成果也沒(méi)有應(yīng)用此方法，而是對(duì)Hilbert 變換截?cái)嗾`差選擇了忽略［18］。究其原因，現(xiàn)有的主要參考文獻(xiàn)對(duì)該方法的介紹有一些模糊之處，這對(duì)研究人員的理解和實(shí)踐可能會(huì)造成一定阻礙。本文重新梳理Hilbert 變換復(fù)分析計(jì)算方法和Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程，提出通過(guò)留數(shù)理論補(bǔ)充考慮實(shí)軸存在極點(diǎn)的特殊情況，并定義了新的Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則，真正意義上實(shí)現(xiàn)兩套理論的協(xié)調(diào)統(tǒng)一，使該方法理論推導(dǎo)更為嚴(yán)謹(jǐn)，體系更為完整，且便于理解和應(yīng)用，通過(guò)數(shù)值算例和試驗(yàn)研究驗(yàn)證了該方法的優(yōu)越性。

1 理論推導(dǎo)

1.1 Hilbert 變換的數(shù)學(xué)定義及其復(fù)分析計(jì)算理論

函數(shù)f(x) 的Hilbert 變換的數(shù)學(xué)定義為［19］：

式中 H 表示Hilbert變換算子；PV表示Cauchy主值。

由上式可知，與Fourier 變換、Laplace 變換不同，Hilbert 變換是在同一域內(nèi)進(jìn)行的積分變換，其核函數(shù)為［19］：

根據(jù)式（1）的定義，Hilbert 變換的計(jì)算可歸結(jié)為反常積分的計(jì)算問(wèn)題，復(fù)分析理論是解決此類問(wèn)題的有效工具［20-23］。根據(jù)留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)域D的邊界Γ上連續(xù)，在這區(qū)域的內(nèi)部，除了有限多個(gè)奇點(diǎn)a1，a2，…，an外，處處都解析。那么，如果Γ按正方向（逆時(shí)針）繞行，則有［20］：

式中 resf(ak)表示函數(shù)f(x)在一個(gè)奇點(diǎn)ak處的留數(shù)，它是函數(shù)f(x)在點(diǎn)ak臨域內(nèi)Laurent 級(jí)數(shù)展開(kāi)式的?1 次冪項(xiàng)的系數(shù)。

特別地，若此奇點(diǎn)為一階極點(diǎn)，則函數(shù)在此極點(diǎn)的留數(shù)為［23］：

因此，若在復(fù)平面補(bǔ)充一段圓弧，則可將式（1）中無(wú)限區(qū)間的直線積分轉(zhuǎn)化為閉曲線積分，從而可由留數(shù)理論求解。不失一般性，考慮上半平面（用“+”腳標(biāo)表示），若奇點(diǎn)均位于由圓弧ρ和坐標(biāo)軸（?R，R）直線構(gòu)成的正方向（逆時(shí)針）閉曲線Γ的內(nèi)部，如圖1（a）所示，則此新的路徑積分可表示為：

式（5）等號(hào)左端第一項(xiàng)即為式（1）中無(wú)限區(qū)間反常積分的Cauchy 主值［21］，是Hilbert 變換計(jì)算的主體；第二項(xiàng)根據(jù)Jordan 引理可證明為零［22］。假定在閉區(qū)域內(nèi)部有n個(gè)奇點(diǎn)，則式（5）右端項(xiàng)中的res+k即為Hilbert 變換被積函數(shù)整體在上半平面內(nèi)奇點(diǎn)k處的留數(shù)。將式（5）代入式（1）得到奇點(diǎn)位于閉區(qū)域內(nèi)部時(shí)的Hilbert 變換表達(dá)式：

應(yīng)當(dāng)注意，上述留數(shù)定理的運(yùn)用需滿足一個(gè)前提條件，即要求函數(shù)f(x)在閉區(qū)域D的邊界Γ上連續(xù)。因此，按照上述積分路徑，如果實(shí)軸上存在奇點(diǎn)（用“0”腳標(biāo)表示），則無(wú)法直接應(yīng)用式（3）的留數(shù)定理計(jì)算Hilbert 變換，這也是留數(shù)定理本身的一種特殊情況。這種情況的處理辦法與奇點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部類似，即在該奇點(diǎn)臨域補(bǔ)充一段半徑為r的圓弧路徑，如圖1（b）所示。按照此新的積分路徑，閉區(qū)域內(nèi)部奇點(diǎn)仍可利用式（3）的留數(shù)定理，則有：

圖1 復(fù)平面閉曲線積分路徑Fig.1 Closed integral path in the complex plane

上式等號(hào)左端第一項(xiàng)和第三項(xiàng)的直線積分為Hilbert 變換求解目標(biāo)；如果實(shí)軸上的奇點(diǎn)為一階極點(diǎn)，則第二項(xiàng)曲線積分部分根據(jù)小圓弧引理計(jì)算［21］，且此積分路徑下，小圓弧部分為負(fù)方向（順時(shí)針）繞行，可得：

上式右端項(xiàng)中的res0s即為Hilbert 變換被積函數(shù)整體在實(shí)軸奇點(diǎn)s處的留數(shù)。因此，將式（8）代入式（7）并移到等式右端，得到閉區(qū)域內(nèi)部和實(shí)軸上均含有奇點(diǎn)，且實(shí)軸上的奇點(diǎn)為一階極點(diǎn)的情況下，Hilbert 變換表達(dá)式為：

考慮下半平面（用“?”腳標(biāo)表示）推導(dǎo)過(guò)程類似。若保持直線部分積分路徑方向不變，則補(bǔ)充圓弧路徑后的閉曲線積分路徑為負(fù)方向（順時(shí)針），處理實(shí)軸極點(diǎn)時(shí)添加的小圓弧路徑為正方向（逆時(shí)針）。因此，下半平面Hilbert 變換表達(dá)式為：

綜上，Hilbert 變換的計(jì)算實(shí)際上就是留數(shù)的計(jì)算，由函數(shù)f(x)奇點(diǎn)的類型決定。以上討論未指定Hilbert 變換函數(shù)f(x)的具體形式，下文將應(yīng)用上述結(jié)論具體討論對(duì)頻響函數(shù)的Hilbert 變換。另外，未展開(kāi)討論有關(guān)函數(shù)奇點(diǎn)類型的內(nèi)容，因?yàn)槠渚唧w應(yīng)用于頻響函數(shù)時(shí)并不涉及；由于使用了零極點(diǎn)形式，Hilbert 變換被積函數(shù)的奇點(diǎn)自然地均為一階極點(diǎn)，則滿足應(yīng)用小圓弧引理的前提條件，式（9）和（10）必然成立，且留數(shù)的計(jì)算也比較簡(jiǎn)單。

1.2 頻響函數(shù)Hilbert 變換的近似解析計(jì)算方法

有理分式逼近具備諸多優(yōu)良性質(zhì)，能夠解決非線性、高階、分?jǐn)?shù)階等復(fù)雜函數(shù)的逼近問(wèn)題，相比于多項(xiàng)式逼近具備精度優(yōu)勢(shì)［24］。根據(jù)逼近理論，任何函數(shù)都可以近似為某階有理分式。因此假定非線性結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)H(ω)可表示為有理分式并改寫(xiě)為部分分式的形式，即［13］：

式中ω，Cj和pj分別代表頻率、零點(diǎn)（在模態(tài)分析理論中為留數(shù)）和極點(diǎn)。

由于Hilbert 變換是線性積分變換，則頻響函數(shù)的Hilbert 變換就可以轉(zhuǎn)化為單極點(diǎn)函數(shù)的Hilbert變換的和的形式，代入式（1）可得：

此處為了便于理解，傳達(dá)出Hilbert 變換是在同一域內(nèi)進(jìn)行積分變換的內(nèi)涵，將式（1）中變換函數(shù)的自變量x寫(xiě)為頻率ω，將式（2）積分變換核函數(shù)中的自變量y寫(xiě)為同樣常用于表達(dá)頻率物理意義的符號(hào)Ω。這種零極點(diǎn)形式的頻響函數(shù)有助于Hilbert 變換的計(jì)算，因?yàn)榇藭r(shí)Hilbert 變換被積函數(shù)有極點(diǎn)pj，ω為積分變換自由變量且必然不等于pj，否則頻響函數(shù)部分分式?jīng)]有意義。因此極點(diǎn)pj為一階極點(diǎn)，根據(jù)式（4）留數(shù)的計(jì)算方法為：

事實(shí)上，即使極點(diǎn)為重極點(diǎn)也有上述類似結(jié)論［13］。式（13）暫未指定極點(diǎn)的位置，極點(diǎn)位置一旦明確，即可相應(yīng)地運(yùn)用式（6），（9）或（10）進(jìn)行Hilbert 變換的計(jì)算。

運(yùn)用Matlab 等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件進(jìn)行頻響函數(shù)有理逼近和零極點(diǎn)分解運(yùn)算時(shí)，在上、下半平面和實(shí)軸可能同時(shí)存在極點(diǎn)。上半平面和實(shí)軸的極點(diǎn)使用式（9）；下半平面和實(shí)軸的極點(diǎn)使用式（10），兩者均可計(jì)算頻響函數(shù)的Hilbert 變換，本文取兩者的平均值：

可見(jiàn)，位于實(shí)軸的極點(diǎn)部分將在最終的計(jì)算公式中抵消。但是，作為計(jì)算方法的一部分，有必要加以說(shuō)明，否則實(shí)軸極點(diǎn)該如何操作將成為本方法的一個(gè)模糊之處，導(dǎo)致理論理解和實(shí)際應(yīng)用產(chǎn)生阻礙，現(xiàn)有主要參考文獻(xiàn)均未進(jìn)行上述詳細(xì)討論［1，13］。將式（13）代入式（14）可得到：

由上式可知，用于計(jì)算Hilbert 變換的兩個(gè)留數(shù)求和項(xiàng)，實(shí)際上就是零極點(diǎn)形式頻響函數(shù)極點(diǎn)分別位于上、下半平面的兩個(gè)部分。因此，頻響函數(shù)Hilbert 變換的近似解析計(jì)算方法最終表達(dá)為：

H+(ω)表示極點(diǎn)位于上半平面部分的頻響函數(shù)，H?(ω)表示極點(diǎn)位于下半平面部分的頻響函數(shù)。這種方法以近似解析的方式，避免運(yùn)用梯形公式等數(shù)值積分方法計(jì)算式（1）中反常積分帶來(lái)的截?cái)嗾`差，且其推導(dǎo)過(guò)程嚴(yán)謹(jǐn)，運(yùn)算方式十分簡(jiǎn)單、明確。實(shí)際上不只是頻響函數(shù)，其他能夠合理運(yùn)用有理逼近并進(jìn)行零極點(diǎn)分解的函數(shù)均能推導(dǎo)類似運(yùn)算方法。站在Riemann-Hilbert 問(wèn)題這樣更為宏大的數(shù)學(xué)物理視角下，Hilbert 變換的復(fù)分析計(jì)算方法甚至還有更大的潛力值得開(kāi)發(fā)［25］。

1.3 基于復(fù)分析計(jì)算理論的Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法

假設(shè)線性結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為因果信號(hào)h(t)，可進(jìn)行奇偶分解表示為［16］：

式中h(t)偶為偶信號(hào)，h(t)奇為奇信號(hào)，它們可通過(guò)符號(hào)函數(shù)ε(t)建立起如下關(guān)系：

其中符號(hào)函數(shù)ε(t)為：

對(duì)式（17）兩端做Fourier 變換，用符號(hào)F 表示，得到變換后的頻響函數(shù)H(ω)的實(shí)部和虛部分別與偶信號(hào)和奇信號(hào)的Fourier 變換對(duì)應(yīng)，即：

將式（18）代入式（20），根據(jù)Fourier 變換的運(yùn)算法則，得到如下關(guān)系：

式中 “*”表示卷積運(yùn)算，由下式定義：

因此，對(duì)式（21）進(jìn)行卷積運(yùn)算，得到：

上兩式直接相加，則在重新組合成H(ω)的同時(shí)，有如下關(guān)系：

令G(ω) =iH(ω)，代入式（16）和（24）得到：

上式兩端同時(shí)乘以復(fù)單位i，可得到最終表達(dá)式為：

式（16），（24）～（26）的表達(dá)式是一種新的非線性檢測(cè)理論推導(dǎo)格式，從而形成了式（26）新的非線性檢測(cè)判據(jù)。由于現(xiàn)有運(yùn)用Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法的文獻(xiàn)［1，13］未使用復(fù)分析理論，即僅在實(shí)軸討論式（24）中的積分，則可提取復(fù)單位i 得到另一種Hilbert 變換的“定義”［13］：

如果同樣使用Hilbert 變換符號(hào)H 來(lái)表達(dá)，則將此非線性檢測(cè)準(zhǔn)則表述為［16，26］：

然而，嚴(yán)格地講，式（27）雖然形式上與式（1）的Hilbert 變換定義很相近，但在數(shù)學(xué)上式（27）稱為Cauchy 變換，它與Hilbert 變換并無(wú)等效關(guān)系［27］；而且按照式（27）推導(dǎo)非線性檢測(cè)方法實(shí)際上并未直接應(yīng)用Hilbert 變換，因此稱其為“Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法”在表面上和實(shí)質(zhì)上都不夠嚴(yán)謹(jǐn)。而經(jīng)過(guò)本文的推導(dǎo)，有機(jī)結(jié)合Hilbert 變換復(fù)分析計(jì)算理論，才真正意義上使其“名副其實(shí)”?，F(xiàn)將基于復(fù)分析計(jì)算理論的Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則表達(dá)如下：

值得注意地是，Matlab（R2020b）信號(hào)處理工具箱的自帶函數(shù)Hilbert 實(shí)際上計(jì)算的是實(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)，而不是其Hilbert 變換，此函數(shù)命名的誤導(dǎo)性已經(jīng)在Matlab 官方論壇引起了國(guó)內(nèi)外使用者的討論。應(yīng)用此函數(shù)針對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行Hilbert 變換時(shí)，即使是線性結(jié)構(gòu)變換前后也不能做到完全一致［26］。

另外，運(yùn)用上述結(jié)論進(jìn)行非線性檢測(cè)，實(shí)際上隱含了非線性頻響函數(shù)H(ω)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)為非因果信號(hào)這一假定?？梢酝茢?，若有非線性結(jié)構(gòu)不滿足此假定，則此非線性檢測(cè)方法失效［1］。但目前尚未見(jiàn)相關(guān)反例的報(bào)告。非線性問(wèn)題的復(fù)雜性決定了建立具有普適意義方法的難度，此假定是否成立應(yīng)并不影響此非線性檢測(cè)方法的價(jià)值。

2 數(shù)值算例

2.1 算例一

首先給出一個(gè)數(shù)值積分方法直接計(jì)算Hilbert變換產(chǎn)生截?cái)嗾`差的典型例子。單自由度線性系統(tǒng)頻響函數(shù)［13］：

其頻率范圍為9～23 Hz，頻率分辨率為0.1 Hz。運(yùn)用數(shù)值積分方法計(jì)算其Hilbert 變換，變換前后的Bode 圖對(duì)比如圖2所示，圖中呈現(xiàn)出了明顯的截?cái)嗾`差，按照現(xiàn)有式（28）的非線性檢測(cè)準(zhǔn)則，應(yīng)判斷為非線性情況，結(jié)論錯(cuò)誤。針對(duì)同一個(gè)頻響函數(shù)，如果運(yùn)用復(fù)分析計(jì)算理論以及本文定義的非線性檢測(cè)準(zhǔn)則，結(jié)果極為準(zhǔn)確地滿足式（29）中規(guī)定的線性情況，如圖3所示。

圖2 線性系統(tǒng)數(shù)值積分Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.2 Nonlinear detection results based on numerical integrated Hilbert transform for a linear system

圖3 線性系統(tǒng)復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.3 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for a linear system

2.2 算例二

考慮單自由度非線性系統(tǒng)，在上述線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上添加立方剛度項(xiàng)構(gòu)造Duffing 振子，并在正弦掃頻激勵(lì)條件下得到頻響函數(shù)，即使用一階諧波平衡意義下的非線性頻響函數(shù)［13］：

其頻率范圍與上例一致。將此頻響函數(shù)運(yùn)用于復(fù)分析Hilbert 變換算法，并進(jìn)行非線性檢測(cè)，結(jié)果如圖4所示，可見(jiàn)其與在線性系統(tǒng)中的使用效果不同，兩曲線間差異明顯，根據(jù)式（29）的準(zhǔn)則可判斷存在非線性。

圖4 Duffing 系統(tǒng)復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.4 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for the Duffing system

以上兩個(gè)例子表明，數(shù)值積分計(jì)算的Hilbert 變換，由于截?cái)嗾`差的存在，使用式（28）的非線性檢測(cè)準(zhǔn)則無(wú)法得到可靠結(jié)果；而通過(guò)復(fù)分析理論計(jì)算的Hilbert 變換，克服了截?cái)嗾`差且相當(dāng)精確，因此使用式（29）的非線性檢測(cè)準(zhǔn)則能夠給出可靠的結(jié)果。

2.3 算例三

進(jìn)一步考察更復(fù)雜的情況。考慮同時(shí)存在非線性剛度和非線性阻尼的系統(tǒng)［28］：

式中m，c和k分別為派生線性系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；cnl和knl分別為二次阻尼和三次剛度系數(shù)。各參數(shù)取值如表1所示。

表1 組合非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters of combined nonlinear systems

在正弦掃頻激勵(lì)作用下，頻響函數(shù)復(fù)分析Hilbert 變換前后對(duì)比如圖5所示，兩曲線間的差異根據(jù)式（29）的準(zhǔn)則可判斷存在非線性。本例驗(yàn)證了復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法在組合類型非線性系統(tǒng)中的適用性。

圖5 組合非線性系統(tǒng)的復(fù)分析Hilbert 非線性檢測(cè)Fig.5 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform for the system with combined nonlinear system

2.4 算例四

實(shí)際上，上述正弦掃頻激勵(lì)條件得到的非線性頻響函數(shù)能夠產(chǎn)生如“跳躍”現(xiàn)象等較為生動(dòng)的非線性特征，從而直接實(shí)現(xiàn)非線性檢測(cè)。但是正弦掃頻激勵(lì)不易控制且測(cè)試效率較低，因此實(shí)際提取頻響函數(shù)時(shí)，隨機(jī)激勵(lì)的方式更為常用。下面考慮多自由度非線性系統(tǒng)隨機(jī)激勵(lì)下的頻響函數(shù)。三自由度質(zhì)量-彈簧非線性系統(tǒng)，其派生線性系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣質(zhì)量M，剛度K，阻尼C分別為［29］：

在系統(tǒng)二、三自由度之間存在二次和三次剛度非線性，其非線性恢復(fù)力表達(dá)為［29］：

式中x2，x3分別表示第二、三自由度的位移。

激勵(lì)為作用于第一自由度處的高斯隨機(jī)激勵(lì)。當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)幅值取為500 N 時(shí)，頻響函數(shù)呈現(xiàn)出較為明顯的非線性特征。以第二自由度響應(yīng)的頻響函數(shù)H21為例，與其派生線性系統(tǒng)相應(yīng)頻響函數(shù)的對(duì)比如圖6所示。此時(shí)應(yīng)用本文定義的非線性檢測(cè)準(zhǔn)則，其效果是可預(yù)見(jiàn)的，如圖7所示，可根據(jù)式（29）判斷存在非線性。

圖6 500 N 激勵(lì)水平的非線性與派生線性頻響函數(shù)Fig.6 Nonlinear and underlying linear FRF under 500 N level

圖7 500 N 激勵(lì)水平復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.7 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under 500 N level

但當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，由隨機(jī)激勵(lì)得到的頻響函數(shù)非線性特征將不再明顯，此時(shí)甚至可近似作為線性情況處理。但是若運(yùn)用復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法，仍能夠檢測(cè)出非線性的存在。令激勵(lì)幅值減小為50 N，仍以H21為例，與派生線性頻響函數(shù)對(duì)比如圖8所示，可見(jiàn)兩者十分接近，僅通過(guò)頻響函數(shù)曲線無(wú)法進(jìn)行可靠的非線性檢測(cè)。運(yùn)用復(fù)分析理論Hilbert變換進(jìn)行非線性檢測(cè)的結(jié)果如圖9所示，曲線之間顯示出的差異可判斷存在非線性。因此通過(guò)以上多自由度算例可驗(yàn)證，本文定義的Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法不僅能夠應(yīng)用于多自由度非線性系統(tǒng)，而且相比于直接觀察頻響函數(shù)圖的畸變，是一種對(duì)非線性更敏感的方法，其結(jié)果更為準(zhǔn)確可靠。

圖8 50 N 激勵(lì)水平非線性與派生線性頻響函數(shù)Fig.8 Nonlinear and underlying linear FRF under 50 N level

圖9 50 N 激勵(lì)水平復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.9 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under 50 N level

通過(guò)對(duì)線性、非線性系統(tǒng)，單、多自由度系統(tǒng)，簡(jiǎn)諧、隨機(jī)激勵(lì)和高、低幅度激勵(lì)等情況數(shù)值算例的綜合討論，驗(yàn)證了基于復(fù)分析計(jì)算理論的Hilbert 變換算法的準(zhǔn)確性，以及復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則的可靠性。Hilbert 變換非線性檢測(cè)是基于頻響函數(shù)的方法，因此如果非線性無(wú)法反映到頻響函數(shù)上，則會(huì)影響方法檢測(cè)效果。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

下面通過(guò)美國(guó)Los Alamos 國(guó)家實(shí)驗(yàn)室設(shè)計(jì)的三層剪切型框架結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，如圖10所示，驗(yàn)證復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則在不連續(xù)型非線性剛度結(jié)構(gòu)的應(yīng)用效果，試驗(yàn)相關(guān)細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)［30］。該試驗(yàn)含有線性和非線性工況，通過(guò)二、三層之間的緩沖器引入碰撞非線性，其縫隙可調(diào)，對(duì)應(yīng)不同的非線性程度。線性情況對(duì)應(yīng)試驗(yàn)工況1（state 1#），非線性情況本文選取縫隙為0.05 mm 的工況14（state 14#）。

圖10 Los Alamos 試驗(yàn)結(jié)構(gòu)示意圖［30］Fig.10 Test setup of the experiment of Los Alamos National Laboratory［30］

現(xiàn)考慮激勵(lì)信號(hào)與第三層響應(yīng)的頻響函數(shù)。在此試驗(yàn)中20 Hz 以下為結(jié)構(gòu)剛體運(yùn)動(dòng)不作為有效的分析數(shù)據(jù)，取20～100 Hz 頻率范圍的頻響函數(shù)，運(yùn)用復(fù)分析Hilbert 變換方法得到線性工況下的非線性檢測(cè)結(jié)果如圖11所示，由于兩曲線之間十分接近，因此可判斷為線性。若使用數(shù)值積分計(jì)算Hilbert 變換，在此線性工況得到的結(jié)果如圖12所示，若根據(jù)式（28）的非線性檢測(cè)判據(jù)將判斷為非線性；可見(jiàn)，數(shù)值積分截?cái)嗾`差影響了非線性檢測(cè)結(jié)果，而復(fù)分析Hilbert變換計(jì)算方法則有效規(guī)避了此不利因素。

圖11 線性工況復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.11 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under state 1#

圖12 線性工況數(shù)值積分Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.12 Nonlinear detection results based on numerical integrated Hilbert transform under state 1#

利用復(fù)分析Hilbert 對(duì)非線性工況進(jìn)行非線性檢測(cè)的結(jié)果如圖13所示。顯然，在非線性工況下兩曲線之間呈現(xiàn)出明顯差異，可根據(jù)式（29）判定存在非線性。如不利用非線性檢測(cè)方法，圖13中Hilbert變換前的頻響函數(shù)曲線實(shí)際上與線性工況的形狀類似，并未展現(xiàn)出明顯的非線性特征，因此無(wú)法可靠地判斷是否存在非線性。此試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了復(fù)分析Hilbert 變換的準(zhǔn)確性，以及本文定義的Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則的可靠性。實(shí)際結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測(cè)試可能存在環(huán)境噪聲、測(cè)試設(shè)備安裝誤差、測(cè)試設(shè)備與被測(cè)結(jié)構(gòu)相互作用等諸多因素，使測(cè)試結(jié)果受到與結(jié)構(gòu)非線性類似的影響，可能造成非線性檢測(cè)產(chǎn)生誤報(bào)［13，31］。因此在進(jìn)行非線性檢測(cè)之前，需詳細(xì)檢查并確保試驗(yàn)各環(huán)節(jié)的精細(xì)程度，將噪聲影響控制在相對(duì)較低的水平，這也是進(jìn)行非線性識(shí)別其余環(huán)節(jié)的先決條件［1，13，31］；同時(shí)，建議使用多種非線性檢測(cè)方法相互驗(yàn)證，進(jìn)一步確保檢測(cè)結(jié)果的可靠性。

圖13 非線性工況復(fù)分析Hilbert 變換非線性檢測(cè)Fig.13 Nonlinear detection results based on complex analyzed Hilbert transform under state 14#

4 結(jié) 論

Hilbert 變換本身具備堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，基于此的非線性檢測(cè)方法推導(dǎo)過(guò)程同樣嚴(yán)謹(jǐn)、明確，結(jié)果可靠，且對(duì)非線性較為敏感，非線性檢測(cè)性能優(yōu)異。結(jié)合有理逼近理論和復(fù)分析理論，Hilbert 變換數(shù)值計(jì)算的截?cái)嗾`差問(wèn)題得以解決，掃清了Hilbert變換非線性檢測(cè)方法邁向?qū)嶋H應(yīng)用的最后障礙。本文進(jìn)行了如下創(chuàng)新性研究：

（1）運(yùn)用留數(shù)理論，在Hilbert 變換復(fù)分析計(jì)算方法的理論推導(dǎo)過(guò)程中補(bǔ)充了實(shí)軸存在極點(diǎn)的情況，使其更為完善和嚴(yán)謹(jǐn)；

（2）澄清了Hilbert 變換不同定義的使用問(wèn)題，使Hilbert 變換的復(fù)分析計(jì)算理論與Hilbert 變換非線性檢測(cè)理論協(xié)調(diào)統(tǒng)一；

（3）結(jié)合Hilbert 變換復(fù)分析計(jì)算理論，改進(jìn)了Hilbert 非線性檢測(cè)方法的推導(dǎo)格式，建立了新的Hilbert 變換非線性檢測(cè)準(zhǔn)則。

通過(guò)數(shù)值算例和試驗(yàn)研究驗(yàn)證了復(fù)分析Hilbert 變換及其非線性檢測(cè)準(zhǔn)則的有效性和可靠性。但非線性種類繁多難以窮舉，此方法尚需不斷接受實(shí)踐檢驗(yàn)。也要注意到，本文方法有效的前提是，結(jié)構(gòu)非線性影響能夠反映到頻響函數(shù)上，且其逆Fourier 變換為非因果信號(hào)；同時(shí)要求測(cè)試數(shù)據(jù)具備較高質(zhì)量，使得到的頻響函數(shù)受噪聲影響程度弱于結(jié)構(gòu)非線性影響。非線性問(wèn)題的復(fù)雜性決定了，無(wú)論是非線性識(shí)別中的非線性檢測(cè)，還是后續(xù)的非線性描述、參數(shù)識(shí)別，找到具有普適意義的方法是一個(gè)困難的任務(wù)。因此，建議使用多種方法對(duì)結(jié)果進(jìn)行交叉驗(yàn)證分析，方可得到可靠結(jié)論。但不管結(jié)合使用哪些方法進(jìn)行分析，Hilbert 變換非線性檢測(cè)方法，以及Hilbert 變換非線性描述、參數(shù)識(shí)別方法都值得作為其中的一個(gè)選擇進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用。