屈 威

（韶關(guān)學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 韶關(guān) 512005）

“高等數(shù)學(xué)”是理工類(lèi)本科生的必修基礎(chǔ)課程，是研究對(duì)象較為復(fù)雜的一門(mén)學(xué)科，具有高度抽象性和嚴(yán)密邏輯性等特點(diǎn)。通常認(rèn)為，高等數(shù)學(xué)是由微積分學(xué)、較深入的代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)，以及它們之間的交叉內(nèi)容所組成的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科，其主要內(nèi)容包括數(shù)列、極限、一元微積分、多元微積分、級(jí)數(shù)、向量與空間解析幾何、微分方程等。同時(shí)，“高等數(shù)學(xué)”也是經(jīng)管類(lèi)大學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程，如“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”“宏微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)”的基礎(chǔ)。其在整個(gè)學(xué)科體系中的基礎(chǔ)性、工具性決定了“高等數(shù)學(xué)”在整個(gè)課程教學(xué)中的重要性。因此，如何才能不讓學(xué)生對(duì)“高等數(shù)學(xué)”望而生畏，如何培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“高等數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)“高等數(shù)學(xué)”的信心顯得至關(guān)重要。事實(shí)證明，MATLAB能有效輔助“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)，使抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容更直觀形象地展示在學(xué)生面前，還可以更高效、更準(zhǔn)確地演算“高等數(shù)學(xué)”中繁雜的問(wèn)題。

MATLAB是由matrix和laboratory兩個(gè)單詞的前三個(gè)字母組合而成，又稱(chēng)矩陣實(shí)驗(yàn)室。MATLAB與Maple、Mathematica并稱(chēng)三大數(shù)學(xué)軟件。20世紀(jì)70年代后期，為了讓學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中能利用當(dāng)時(shí)代表矩陣運(yùn)算最高水平的LINPACK和EISPACK程序庫(kù)進(jìn)行輔助計(jì)算，美國(guó)墨西哥大學(xué)計(jì)算機(jī)系主任Cleve Moler基于FORTRAN語(yǔ)言為學(xué)生編寫(xiě)了LINPACK和EISPACK的接口程序，同時(shí)，他將這個(gè)程序取名為MATLAB，并作為數(shù)學(xué)軟件面向大眾免費(fèi)開(kāi)放［1］。后來(lái)，美國(guó)斯坦福大學(xué)的Jack Little在Cleve Moler的協(xié)助下，成立了MathWorks公司，推出了商業(yè)的MATLAB。此后，MATLAB憑借高效的數(shù)據(jù)計(jì)算能力及便捷的操作平臺(tái)，占據(jù)了大部分?jǐn)?shù)學(xué)計(jì)算軟件市場(chǎng)，成為集數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化、建模和仿真于一體的強(qiáng)大數(shù)學(xué)軟件。此外，MATLAB的界面操作簡(jiǎn)單易學(xué)，為用戶提供了非常多的功能函數(shù)，其指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)常用的形式十分相似，還具有強(qiáng)大的數(shù)學(xué)繪圖功能，能精確描繪出高等數(shù)學(xué)中涉及的函數(shù)極限、空間曲線（面）等圖形，深受廣大學(xué)生、教師及科研工作者的喜愛(ài)。

目前，MATLAB實(shí)踐課已經(jīng)成為眾多高校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)選修課，而非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生鮮有涉及。如果能將MATLAB融入非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中，可以改變傳統(tǒng)的“黑板+粉筆”及多媒體教學(xué)的課堂模式，進(jìn)而逐漸培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力，使“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中的許多較難掌握的知識(shí)點(diǎn)以更加直觀的方式得以解決，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

近年來(lái)，利用MATLAB解決線性代數(shù)中矩陣行列式、特征值及特征向量問(wèn)題的相關(guān)教學(xué)實(shí)踐論文［2］和MATLAB解決概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中正態(tài)分布繪圖的課程教學(xué)論文已有報(bào)道［3］。筆者在授課過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，MATLAB能夠?qū)Α案叩葦?shù)學(xué)”課程中的許多問(wèn)題進(jìn)行求解。筆者認(rèn)為，高校教師要積極推進(jìn)數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用與“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)的深度融合，充分利用數(shù)學(xué)軟件開(kāi)展混合式課程模式探索。因此，在“高等數(shù)學(xué)”的教學(xué)中引入MATLAB輔助教學(xué)，是大學(xué)生基礎(chǔ)課教學(xué)改革的一種有效途徑，符合新時(shí)期高?！案叩葦?shù)學(xué)”教學(xué)改革與創(chuàng)新的方向，值得推廣。本文就MATLAB輔助“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)進(jìn)行了探討，進(jìn)一步闡釋了利用MATLAB提高“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)效果的幾種途徑。

一、MATLAB在函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要研究?jī)?nèi)容，在中學(xué)階段，我們已經(jīng)掌握了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，對(duì)于一些簡(jiǎn)單函數(shù)的求導(dǎo)，我們還可以結(jié)合基本求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)。但是對(duì)于一些相對(duì)復(fù)雜函數(shù)（如冪指函數(shù)、由兩個(gè)或者兩個(gè)以上函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)）的求導(dǎo)，由于求導(dǎo)過(guò)程需要理解復(fù)合函數(shù)之間的相互關(guān)系及復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程，往往容易導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。在《高等數(shù)學(xué)（上）》教材［4］中，考查形如（y=u（x）v（x），u（x）＞0）冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如，求y=xsinx的導(dǎo)數(shù)，學(xué)生往往會(huì)按照冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，因而造成求導(dǎo)錯(cuò)誤。又如，對(duì)于由多個(gè)因子積（商）的形式構(gòu)成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)經(jīng)過(guò)一定的復(fù)合運(yùn)算，學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)理解不到位，也容易導(dǎo)致該類(lèi)函數(shù)的求導(dǎo)錯(cuò)誤。一般而言，以上兩種形式的導(dǎo)數(shù)計(jì)算均可借助對(duì)數(shù)求導(dǎo)法達(dá)到簡(jiǎn)化求導(dǎo)過(guò)程的目的，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法也是高等數(shù)學(xué)中重要的一類(lèi)求導(dǎo)方法。在MATLAB中，可以借助命令“diff”求解某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。其調(diào)用格式為：diff(fun,n)，其中，參數(shù)fun為待求導(dǎo)的函數(shù)，可以借助符號(hào)變量對(duì)函數(shù)fun進(jìn)行定義。當(dāng)n=1時(shí)，即求函數(shù)fun的一階導(dǎo)數(shù)，此時(shí)調(diào)用格式可簡(jiǎn)化為diff(fun)。如果要求函數(shù)fun的高階導(dǎo)數(shù)，只需要改變“diff”函數(shù)中n的取值。例如，當(dāng)n=2時(shí)，是對(duì)函數(shù)fun求二階導(dǎo)數(shù)，以此類(lèi)推。由此可見(jiàn)，可以通過(guò)改變“diff”函數(shù)最后一個(gè)參數(shù)的值，以達(dá)到求不同階導(dǎo)數(shù)的目的。特別地，diff(fun,2)與diff(diff(fun))運(yùn)算相同，類(lèi)似的求導(dǎo)命令可以推廣至函數(shù)的更高階的求導(dǎo)。由此可見(jiàn)，學(xué)生不僅可以利用MATLAB對(duì)復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，省去了煩瑣的求導(dǎo)運(yùn)算過(guò)程，還能夠利用該軟件對(duì)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。更重要的是，學(xué)生可以在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中探索求導(dǎo)規(guī)律，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、MATLAB在求特殊方程的解中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)中，我們會(huì)遇到一類(lèi)特殊方程——超越方程的根的求解問(wèn)題。我們知道，當(dāng)一元方程f（x）=0的左端函數(shù)f（x）不是x的多項(xiàng)式時(shí)，稱(chēng)之為超越方程。常見(jiàn)的超越方程有對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程、三角方程等。大部分超越方程的求解沒(méi)有一般的公式，也很難求得解析解。因此，學(xué)生無(wú)法利用已掌握的求解一元二次方程的方法求解該類(lèi)方程的解，這在一定程度上體現(xiàn)了原有方法的局限性。在這一知識(shí)的教學(xué)中，教師一般是引導(dǎo)學(xué)生將超越方程分解成若干個(gè)初等函數(shù)的和或差，從而將超越方程的解轉(zhuǎn)換為求若干初等函數(shù)零點(diǎn)，通過(guò)“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，從而求出超越方程解。但是學(xué)生從函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)方程還不夠熟練，通過(guò)“數(shù)”和“形”的角度研究超越方程的解也需要學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不易掌握。此時(shí)，教師可以向?qū)W生介紹MATLAB中求方程的解的函數(shù)“fzero”，其調(diào)用格式如下：x=fzero(fun,x0)，借助該命令嘗試求出方程fun=0在x0 附近的解。其中，參數(shù)fun 可以利用匿名函數(shù)的方式對(duì)其進(jìn)行有效定義，x0表示求解的初始數(shù)值。例如，求方程ex-3x2-15=0 在3 附近的解。我們可以通過(guò)匿名函數(shù)的方式定義函數(shù)fun，即fun=@(x)exp(x)-3*x^2-15，其中，fun為函數(shù)句柄，@運(yùn)算符創(chuàng)建句柄，@后面的圓括號(hào)包括函數(shù)的輸入?yún)?shù)。然后利用命令x=fzero(fun,3)即可求出該方程函數(shù)的解，即x=3.2381。通過(guò)幾行簡(jiǎn)短的命令，即可解決一類(lèi)復(fù)雜方程的解。由此可見(jiàn)，借助MATLAB輔助高等數(shù)學(xué)的教學(xué)非常方便，也有助于豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源，為學(xué)生后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定了編程基礎(chǔ)。

三、MATLAB在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

在高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念，其思想貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因此，極限的理解對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起到至關(guān)重要的作用。在極限中，形如=e稱(chēng)為第二類(lèi)重要極限公式，這類(lèi)極限以無(wú)理數(shù)e為極限。在教學(xué)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)x→∞時(shí)，底數(shù)趨于1，指數(shù)趨于無(wú)窮，進(jìn)而判定該極限所屬類(lèi)型為“1∞”。由于該極限的證明相對(duì)煩瑣，大部分高等數(shù)學(xué)教材并未提及，取而代之的方法主要集中在利用列表法向?qū)W生展示這類(lèi)極限的數(shù)值變化過(guò)程。這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)該類(lèi)極限的運(yùn)算理解不到位，無(wú)法很好地理解該公式的本質(zhì)特征，不能靈活應(yīng)用該公式求其他形如“1∞”類(lèi)型的極限，導(dǎo)致出現(xiàn)大量配湊錯(cuò)誤及計(jì)算錯(cuò)誤等問(wèn)題。這時(shí)，教師在課堂教學(xué)中可以借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索第二類(lèi)重要極限的概念。利用MATLAB強(qiáng)大的繪圖功能，將函數(shù)f（x）=圖像直觀地畫(huà)出來(lái)，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)，總結(jié)第二類(lèi)重要極限的兩個(gè)明顯特征：第一，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是單調(diào)遞增的，即f（x）隨著x的增大而增大；第二，隨著x的無(wú)限增大，函數(shù)并沒(méi)有無(wú)限增大，而是函數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)幾乎在一條水平線上，即f（x）是有上界的，而這個(gè)上界正是函數(shù)f（x）中的x趨于正無(wú)窮時(shí)的極限。同樣的情況對(duì)于x趨于負(fù)無(wú)窮也是成立的。通過(guò)展示收斂的動(dòng)態(tài)過(guò)程，觀察到函數(shù)f（x）是有極限的，從而揭示函數(shù)收斂的本質(zhì)特征——單調(diào)有界數(shù)列必有極限。同時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用MATLAB的“l(fā)imit”函數(shù)計(jì)算此類(lèi)函數(shù)的極限，在使用命令前，要用syms對(duì)所求極限的自變量進(jìn)行定義，通過(guò)程序命令“小心求證”函數(shù)極限的過(guò)程，可以讓學(xué)生深深感受到掌握一種數(shù)學(xué)軟件的重要性。

四、MATLAB在求函數(shù)定積分中的應(yīng)用

定積分在高等數(shù)學(xué)中具有十分重要的地位，也是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一。我們知道，若定積分存在，則它是一個(gè)具體的數(shù)值。在引入定積分的概念時(shí)，一般采用“分割、近似、求和、取極限”，即以直代曲的方法求函數(shù)的積分值。由于以直代曲的步驟較為煩瑣，利用定積分的定義求函數(shù)的積分值對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)僅僅停留在了解的層面，并不能很好地理解和掌握。而定積分的計(jì)算一般以曲邊梯形的面積作為引例來(lái)教學(xué)，從而得到定積分的幾何意義。此外，如果一個(gè)函數(shù)是連續(xù)的，那么該函數(shù)一定存在原函數(shù)，這時(shí)，定積分的計(jì)算可以借助牛頓-萊布尼茨公式求解。事實(shí)上，在積分學(xué)的教學(xué)中，教師在課堂上可以給出一個(gè)被積函數(shù)中含有根式表達(dá)式的積分問(wèn)題，先讓學(xué)生嘗試計(jì)算，或許會(huì)出現(xiàn)兩種情形：一是學(xué)生找不到被積函數(shù)的原函數(shù)，導(dǎo)致無(wú)法解決積分問(wèn)題；二是學(xué)生利用換元法對(duì)根式表達(dá)式進(jìn)行代換，從而達(dá)到簡(jiǎn)化被積函數(shù)的效果。在換元法時(shí)，還需要對(duì)新元的上、下限進(jìn)行代換，即“換元必?fù)Q限”，最后求經(jīng)過(guò)換元后的積分值即可。通過(guò)以上步驟，學(xué)生雖然得出了結(jié)果，但費(fèi)時(shí)，并且對(duì)于結(jié)果的正確與否，學(xué)生無(wú)法利用其他方法進(jìn)行有效驗(yàn)證。事實(shí)上，求被積函數(shù)較為復(fù)雜的積分所涉及的步驟較為煩瑣，層層遞進(jìn)，對(duì)初次接觸積分學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)不易掌握?；诖耍處熆梢詮娜绾问褂肕ATLAB對(duì)積分學(xué)課程教學(xué)進(jìn)行輔助的角度出發(fā)，通過(guò)MATLAB命令對(duì)以上例子加以說(shuō)明，形象直觀地演示如何對(duì)定積分進(jìn)行定義和求解，這樣可以幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的畏難情緒。MATLAB提供幾種用于求函數(shù)積分運(yùn)算的命令，主要包括“int”“quad”和“integral”等。其中“int”函數(shù)的調(diào)用格式為：F=int(fun,x,a,b)，函數(shù)fun是被積函數(shù)，x是積分變量，a和b分別為積分上限和積分下限。由此可見(jiàn)，把MATLAB引入積分學(xué)課堂，憑借MATLAB直觀、生動(dòng)的演示，可以很快地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使看似枯燥無(wú)味的定理和公式變得生動(dòng)有趣。此外，學(xué)生如能準(zhǔn)確、便捷地掌握MATLAB在求解函數(shù)積分中的命令，不僅可以利用MATLAB 軟件給函數(shù)的定積分計(jì)算帶來(lái)極大的便利，還可以讓學(xué)生利用MATLAB對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，養(yǎng)成做題后檢查的好習(xí)慣。因此，借助MATLAB 輔助“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)是非常有意義的，這也正是MATLAB的價(jià)值所在。

結(jié)語(yǔ)

筆者認(rèn)為，“高等數(shù)學(xué)”是一門(mén)能有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課程。高校開(kāi)設(shè)“高等數(shù)學(xué)”課程不但需要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、抽象思維和邏輯推理能力，還需要培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并具有一定的動(dòng)手解決問(wèn)題的能力。在“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)中，教師除了以傳統(tǒng)的理論教學(xué)為主，還應(yīng)嘗試將MATLAB的操作均勻分布在整個(gè)課程教學(xué)中，通過(guò)構(gòu)建多層次的教學(xué)模式，使課堂生動(dòng)形象，保證“高等數(shù)學(xué)”課程教學(xué)取得良好效果。課后，適當(dāng)布置一些利用MATLAB求解課本習(xí)題的作業(yè)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，達(dá)到提高學(xué)生動(dòng)手能力，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題能力的目的。