夏小剛 鄧清

夏小剛

貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師、副院長，教育部高等學(xué)校數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)指導(dǎo)委員會委員;已在《比較教育研究》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》《人民教育》《民族教育研究》《課程·教材·教法》《數(shù)學(xué)通報(bào)》《Journal of Mathematics Education》等期刊發(fā)表“數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)與數(shù)學(xué)問題提出”等論文，出版《基于提出問題的數(shù)學(xué)教學(xué)研究》等著作;曾獲國家級教學(xué)成果一等獎(jiǎng)等獎(jiǎng)勵(lì)，以及貴州省高等學(xué)校教學(xué)名師、貴州省優(yōu)秀教師等榮譽(yù)稱號。

隨著新課程改革的不斷深化，我國數(shù)學(xué)教育已逐漸從注重知識的掌握發(fā)展到注重基于情境問題解決的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)。為此，我們需要對情境問題解決中的學(xué)生認(rèn)知發(fā)展情況做必要的分析和反思，以探尋面向核心素養(yǎng)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)的切入點(diǎn)，為教師有效實(shí)施問題解決教學(xué)提供參考。

一、調(diào)查設(shè)計(jì)

20世紀(jì)90年代末，蔡金法教授以貴陽市小學(xué)五年級學(xué)生為研究對象，對中美學(xué)生在數(shù)學(xué)情境問題中的認(rèn)知表現(xiàn)做了一系列的實(shí)證研究。為了研究近20年來我國五年級學(xué)生在情境問題解決中的認(rèn)知發(fā)展情況，筆者選用了與蔡金法教授所選的同樣的6所公辦學(xué)校的五年級學(xué)生為研究對象。其中3所學(xué)校教育質(zhì)量高于貴陽市平均水平，另外3所處于貴陽市平均水平。筆者從每所學(xué)校選取中等水平的一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行測試，得到有效問卷276份。

測試采用了蔡金法教授編制的3份問卷。卷一涉及18個(gè)較為簡單的情境問題，卷二和卷三分別涉及6個(gè)較為復(fù)雜的情境問題，其中卷二的問題屬于過程受限問題，卷三的問題屬于過程開放問題。這3份測試卷的信度系數(shù)分別為0.78、0.66和0.72。

二、調(diào)查結(jié)果與分析

1.問題解決結(jié)果差異性與均衡性并存

表1顯示了學(xué)生在較為簡單的情境問題（簡稱“簡單問題”）、過程受限的復(fù)雜的情境問題（簡稱“過程受限的復(fù)雜問題”）和過程開放的復(fù)雜的情境問題（簡稱“過程開放的復(fù)雜問題”）上的數(shù)學(xué)表現(xiàn)。

由表1可見，學(xué)生在簡單問題（t=6.60，p<0.001）、過程受限的復(fù)雜問題（t=2.12，p<0.05）和過程開放的復(fù)雜問題（t=14.22，p<0.001）的解決上，得分均高于20年前，且差異顯著。學(xué)生在3個(gè)測試任務(wù)上的數(shù)學(xué)表現(xiàn)各有不同，但與20年前相比，這種差異已明顯減小，且呈現(xiàn)相對均衡的發(fā)展?fàn)顟B(tài)。

2.問題解決策略體現(xiàn)多樣性和創(chuàng)造性

學(xué)生在解題策略上幾乎與20年前的情況一致，即大部分學(xué)生都采用了常規(guī)策略。此外，有不少學(xué)生采用了非常規(guī)性解題策略，有的解題策略是在20年前的測試中沒有出現(xiàn)的。如“臺階問題”，學(xué)生被要求根據(jù)下圖求20級臺階的方塊數(shù)。

筆者用表2呈現(xiàn)了兩次測試中學(xué)生計(jì)算20級臺階所使用的解題策略。

可以發(fā)現(xiàn)，本次測試中有76%的學(xué)生采用了恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，這一比例明顯高于20年前（39%）。采用恰當(dāng)解題策略的學(xué)生中，能正確求出方塊數(shù)的占比為78%（20年前為38%）。在正確求解的學(xué)生中，62%的學(xué)生使用了“高斯方法”，這一比例也明顯高于20年前（30%）;還有少數(shù)學(xué)生采用了“畫圖計(jì)數(shù)”策略（如表2中策略3）以及“添補(bǔ)”策略（如表2中策略4）。由于“添補(bǔ)”策略是先把階梯形添補(bǔ)為正方形，再從所得到的方塊總數(shù)中減去后添加的方塊數(shù)，所以這種解題策略抽象度更高。

3.符號表征是主要表征模式

統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，近20年來采用符號表征的學(xué)生占比最多。這在一定程度上反映出學(xué)生已經(jīng)從“直觀思維”過渡到了算術(shù)思維，甚至是代數(shù)思維。以“帽子問題”為例，該問題以圖示方式呈現(xiàn)了某商店在第一個(gè)星期、第二個(gè)星期和第三個(gè)星期所售出的9頂、3頂和6頂帽子，問這家商店在第四個(gè)星期應(yīng)該賣多少頂帽子，才能使售出的帽子平均數(shù)為7。筆者統(tǒng)計(jì)了學(xué)生表征“帽子問題”的模式（見表3）。

從表3中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生兩次解決“帽子問題”時(shí)，都主要采用算術(shù)符號表征（如9+3+6=18，4×7=28，28-18=10）或代數(shù)符號表征（如設(shè)第四個(gè)星期賣出x頂，由“（9+3+6+x）÷4=7，可知x=10”）。但值得關(guān)注的是采用代數(shù)符號表征的學(xué)生比例明顯減少，采用算術(shù)表征的學(xué)生比例明顯增加。這一現(xiàn)象值得我們做進(jìn)一步研究。

4.缺乏對概念性知識的理解

測試中有兩個(gè)關(guān)于平均數(shù)的情境問題。一是“春游問題”（T1）：某小學(xué)師生共296人，準(zhǔn)備乘車去春游，如果每輛車能坐24人，共需要多少輛車。二是前面提到的“帽子問題”（T2）。前者涉及平均數(shù)算法知識的運(yùn)用，后者體現(xiàn)了對平均數(shù)概念的理解。

表4數(shù)據(jù)顯示：兩次測試中，能正確解答“春游問題”的學(xué)生占比均在85%以上，而能正確解答“帽子問題”的學(xué)生占比為61%，后者占比明顯低于20年前（71%）。筆者對學(xué)生解決“帽子問題”的3種典型錯(cuò)誤進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)近70%的解題錯(cuò)誤涉及平均數(shù)概念的理解，如有的學(xué)生用前三周所賣的帽子數(shù)18除以3，得到6，但是題目中所指的平均數(shù)是7，便在前三周的和的基礎(chǔ)上加3，然后除以3，得7，于是錯(cuò)誤地給出答案“3”。這表明近20年來，學(xué)生雖然較好地掌握了平均數(shù)的算法，但對平均數(shù)的概念性理解水平相對較低，甚至有所下降。

三、調(diào)查結(jié)論與建議

總體來看，近20年來情境問題解決中的學(xué)生認(rèn)知發(fā)展情況呈現(xiàn)以下特點(diǎn)：一是學(xué)生解決過程開放的情境問題的能力進(jìn)步明顯;二是學(xué)生解決情境問題的策略更具多樣性和創(chuàng)造性;三是在多種表征共同發(fā)展的基礎(chǔ)上，符號表征仍然是學(xué)生運(yùn)用的主要表征模式;四是學(xué)生缺乏對概念性知識的深度理解。據(jù)此，筆者提出以下建議。

第一，注重情境問題的創(chuàng)設(shè)。經(jīng)過20年的發(fā)展，學(xué)生解決簡單問題和復(fù)雜問題的能力均得到提高，特別是在解決過程開放的復(fù)雜問題方面的進(jìn)步更為明顯。無疑，在基礎(chǔ)教育課程改革背景下，基于情境問題的教學(xué)對學(xué)生問題解決能力的提升產(chǎn)生了積極作用。但是我們也看到，學(xué)生在非常規(guī)問題解決上的數(shù)學(xué)表現(xiàn)不如常規(guī)問題，在復(fù)雜情境問題解決上的數(shù)學(xué)表現(xiàn)不如簡單問題。這說明復(fù)雜的、非常規(guī)的情境問題依然影響和制約著學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析和解決。為此，教師要注重情境問題的創(chuàng)設(shè)。具體來說，在新知引入階段，情境問題的創(chuàng)設(shè)應(yīng)采用學(xué)生熟悉的、有利于知識生長和發(fā)展的數(shù)學(xué)情境;在知識應(yīng)用教學(xué)中，情境問題的創(chuàng)設(shè)應(yīng)具有現(xiàn)實(shí)性、層次性和開放性，問題的現(xiàn)實(shí)性有利于學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察和思考問題，問題的層次性有利于不同水平的學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維，問題的開放性有利于學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展。

第二，鼓勵(lì)學(xué)生用多種策略解決問題。本次測試，無論是結(jié)果還是過程，學(xué)生在過程開放的情境問題解決上的數(shù)學(xué)表現(xiàn)明顯好于20年前。然而，我們也發(fā)現(xiàn)仍有較大比例的學(xué)生未能根據(jù)自己的理解建構(gòu)恰當(dāng)?shù)慕忸}策略，甚至放棄問題的解決。在一定層面上，這與下列原因有關(guān)：實(shí)踐中，教師對學(xué)生的自我建構(gòu)特別是偏離教學(xué)目標(biāo)的數(shù)學(xué)理解，存在明顯的認(rèn)識偏差，比如在“列方程解決問題”中，教師對學(xué)生采用的算術(shù)策略或試誤策略大多不給予積極評價(jià)，盡管學(xué)生采用這樣的策略也能做出正確的解答。無疑，教師需要關(guān)注和鼓勵(lì)學(xué)生采用多樣化的解題策略，注重學(xué)生數(shù)學(xué)自我認(rèn)識的建構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的探究意識，使他們在面對復(fù)雜問題時(shí)勇于探索，進(jìn)而發(fā)展創(chuàng)新精神，提升實(shí)踐能力。

第三，注重學(xué)生數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)抽象思維的平衡發(fā)展。研究表明，學(xué)生在解決情境問題時(shí)，大多采用較為抽象的解題策略和符號表征，較少使用言語推理策略或視覺表征方式。這符合對小學(xué)五年級學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的基本要求，也體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。然而，也有不少采用抽象表征的學(xué)生并未正確解決問題，且不少基礎(chǔ)較差的學(xué)生不會采用較為簡單、直觀的表征方式。為此，教師要把握學(xué)生數(shù)學(xué)直觀與數(shù)學(xué)抽象思維的平衡。以“帽子問題”為例，學(xué)生的解題錯(cuò)誤主要在于對符號表征的盲目使用。事實(shí)上，換用圖示表征（如下圖），通過“割補(bǔ)”方式解決問題更簡便。

直觀與抽象是數(shù)學(xué)發(fā)展的兩翼。波利亞說：“抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見，摸得著?！币虼耍處煈?yīng)鼓勵(lì)學(xué)生通過圖示表征等較為直觀的方式，將復(fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)對象簡明化、具體化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

第四，注重學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的概念性理解。有研究指出，數(shù)學(xué)概念是從具體情境或數(shù)學(xué)情境中舍去事物的非本質(zhì)屬性，保留本質(zhì)屬性而抽象出來的。調(diào)查結(jié)果反映出學(xué)生對平均數(shù)本質(zhì)理解的缺失，因此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生體會“是什么”，而且要注重概念的多元表征，如實(shí)物表征、圖像表征、言語表征、符號表征等，訓(xùn)練學(xué)生轉(zhuǎn)換不同的表征方式，促進(jìn)學(xué)生對概念本質(zhì)的認(rèn)識和對知識的有效運(yùn)用。

（鄧清，貴陽市烏當(dāng)中學(xué)）

[本文系全國教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“面向核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題情境教學(xué)測評模型研究”的研究成果。課題編號：XHA180286]

責(zé)任編輯? 劉佳