陳雨晴　韓粟　汪曉勤

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，傾聽并不局限于師生之間、生生之間，還包括通過數(shù)學(xué)內(nèi)容與古人建立聯(lián)系，即“傾聽歷史”。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生開放、包容地對待古人的數(shù)學(xué)見解，站在古人的立場看待數(shù)學(xué)知識?！皟A聽歷史”除了幫助學(xué)生形成對數(shù)學(xué)知識更為深刻的認(rèn)識，還在教學(xué)中發(fā)揮了數(shù)學(xué)史的德育價值。“傾聽歷史”的做法包括：分析古今差異，理解數(shù)學(xué)知識；探尋古人錯誤，提升學(xué)習(xí)信心；體悟古人思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)教學(xué)；傾聽；數(shù)學(xué)理解；學(xué)科德育

一、 引言

立德樹人是當(dāng)今教育的根本任務(wù)，而數(shù)學(xué)教育則承載著落實這一根本任務(wù)的重要功能。培養(yǎng)“德才兼?zhèn)洹毙腿瞬抛怨乓詠矶际俏覈慕逃硐?，所謂“才德全盡謂之圣人”。而“圣”在《說文解字》中的解釋為“通也，從耳呈聲”，可見“圣人”是善于傾聽的人。猶太民族經(jīng)典著作《塔木德》也告誡人們，應(yīng)該用兩倍于說話的時間去傾聽。可以說，“學(xué)會傾聽”是數(shù)學(xué)學(xué)科德育的重要內(nèi)容。

著眼于學(xué)生、教師和教學(xué)內(nèi)容這三個教學(xué)的基本要素，已有的關(guān)于數(shù)學(xué)課堂中“傾聽”的討論集中在學(xué)生與教師、學(xué)生與學(xué)生之間，著眼于當(dāng)下存在的生命體，而忽視了教學(xué)內(nèi)容這一重要的因素，也忽視了當(dāng)下的學(xué)習(xí)者與創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的古人的關(guān)系。日本學(xué)者佐藤學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)包含同教科書（客觀世界）的相遇與對話。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生時常迷失在書本的概念、方法、命題里；以考試為導(dǎo)向的教學(xué)迫使學(xué)生在短時間內(nèi)快餐式地攝入大量知識，而來不及消化，更談不上吸收；書本知識及教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生而言，如同浮光掠影一閃而過。同時，除了未能深入教材編寫者的心靈去理解教材之外，學(xué)生也缺乏傾聽知識創(chuàng)造者的意識，從而未能與古人形成有效的對話，而與古人數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的精彩之路漸行漸遠(yuǎn)。為了更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生不僅需要傾聽教師、同伴，還應(yīng)該傾聽知識的創(chuàng)造者。

有研究者指出：“‘傾聽教育學(xué)的思想取向側(cè)重將‘傾聽視為研究和問題解決，旨在探索人的思想或觀念誕生和發(fā)展的奧秘?！睂τ跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，古人的思想觀念已成為數(shù)學(xué)史的一部分，故而數(shù)學(xué)史可以搭建學(xué)生和古人溝通的橋梁，成為我們傾聽知識創(chuàng)造者的重要通道。由此，“傾聽歷史”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“學(xué)會傾聽”的重要組成，不僅體現(xiàn)了參悟古人的思想方法以解決數(shù)學(xué)問題的智育價值，而且彰顯著摒棄以自我為中心的思維習(xí)慣，學(xué)會尊重和包容的德育價值。

鑒于此，本文以數(shù)學(xué)史為抓手，探討數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的意蘊，提出數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的路徑與方法，并通過案例說明具體的實踐過程，以期為今日教學(xué)提供參考。

二、 數(shù)學(xué)教學(xué)中“傾聽歷史”的意蘊

（一） “傾聽歷史”的基本內(nèi)涵

“傾聽歷史”是站在不同時代、不同文化的立場下對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)意義的內(nèi)化和理解過程。“傾聽歷史”要求我們對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)文本保持開放的態(tài)度，旨在有效地與古人形成對話，進(jìn)而產(chǎn)生思維的碰撞、智慧的交流。狹義的傾聽，意即“側(cè)耳而聽之，同時還要用心細(xì)聽”，不僅涉及感覺，還涉及思維這一更為復(fù)雜的認(rèn)知過程。耳是傾聽過程的媒介，聽覺系統(tǒng)通過耳對外界的刺激進(jìn)行信息編碼和加工，而聽者在這個過程中用心用腦、積極思考。顯然，我們已經(jīng)無法在物理上聽到古人的聲音，因此，“傾聽歷史”超越了傳統(tǒng)意義的以耳為介，強(qiáng)調(diào)的是心靈的感受、精神的領(lǐng)悟。這要求我們跳出先入為主的觀念，以尊重和包容的態(tài)度對待古人的數(shù)學(xué)見解。

（二） “傾聽歷史”的哲學(xué)審思

從哲學(xué)上看，“傾聽歷史”注重史料的源初性，強(qiáng)調(diào)清除偏見而不虛推古人，以實現(xiàn)在精神上與古人處于平等的對話地位。審視東西方的傾聽哲學(xué)可以發(fā)現(xiàn)，中國的文化傳統(tǒng)自古便對傾聽有著深刻的認(rèn)識，傾聽哲學(xué)蘊含的智慧烙印在中華民族的文化基因中。其中，道家的傾聽哲學(xué)是體現(xiàn)中華民族崇尚傾聽文化的典型代表。道家講究大道無形、大音希聲，并將聽分為三個境界：耳聽、心聽和神聽。老子認(rèn)為：“上學(xué)以神聽，中學(xué)以心聽，下學(xué)以耳聽。以耳聽者，學(xué)在皮膚；以心聽者，學(xué)在肌肉；以神聽者，學(xué)在骨髓?！倍犕Ａ粼诟泄俨煊X，依聲循跡；心聽依賴于“我可以理解”的已有經(jīng)驗進(jìn)行表征的判斷和推求；唯有神聽才可以讓事物不受干擾地顯露本來面目，保持原始狀態(tài)的敞亮，神聽是體悟道的奧秘的過程?！皟A聽歷史”追求神聽之境，關(guān)注對數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞悉，以實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的交融和個人智慧的通達(dá)為目標(biāo)。

而西方的文化脈絡(luò)中，“視覺中心主義”長期占據(jù)思想的主導(dǎo)地位，直到近現(xiàn)代，傾聽思想的地位才逐漸提升。以海德格爾、伽達(dá)默爾、杜威為代表的哲學(xué)家在反思傳統(tǒng)哲學(xué)的基礎(chǔ)上探討傾聽思想的價值和意義，傾聽文化隨之呈現(xiàn)多元發(fā)展的生機(jī)。海德格爾指出：“為了清除偏見，我們必須下定決心去傾聽。傾聽使我們超逾所有傳統(tǒng)習(xí)見的藩籬，進(jìn)入更為開闊的領(lǐng)域。”清除偏見（避免標(biāo)簽化、臉譜化）是為了更好地認(rèn)識與思考，其本真態(tài)度便是傾聽。傾聽更意味著理解與領(lǐng)會，要“以一種謙卑的態(tài)度向他者敞開”，“只有回到一個人或事物自身的歷史與其存在的環(huán)境，我們才可能真正理解它”。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，如果僅關(guān)注和記憶外顯形式下精致而完善的概念、命題、公式等，就難以理解它們內(nèi)隱的深刻思想。只有回到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史背景，以平等尊重的態(tài)度看待數(shù)學(xué)家們的工作，體悟他們的思想精髓，才能有效地傾聽古人，也即實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)意義的理解和領(lǐng)會。

伽達(dá)默爾則提醒我們：“并不是說，傾聽某人講話或閱讀某個著作時，我們必須忘掉所有關(guān)于內(nèi)容的前見解和所有我們自己的見解。我們只是要求對他人的和文本的見解保持開放的態(tài)度?！睌?shù)學(xué)本身具有相對性，不同時空和不同文化造就了多元化的數(shù)學(xué)思想。就像歐氏幾何中的三角形內(nèi)角和等于180°，而羅氏幾何中的三角形內(nèi)角和小于180°，黎曼幾何中的三角形內(nèi)角和大于180°一樣，非歐幾何的出現(xiàn)并不能否定歐氏幾何的合理性，因為數(shù)學(xué)家們是站在不同的立場去創(chuàng)造不同的幾何體系的。數(shù)學(xué)公理未必就是絕對正確的真理，只是“對數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的約定”。同一個數(shù)學(xué)研究對象也可能呈現(xiàn)不同的定義。比如，在古希臘時期，橢圓是以平面與圓錐的截線來定義的，而在17世紀(jì)之后，橢圓的第一定義“平面上到兩定點的距離之和為常數(shù)的動點軌跡”，第二定義“平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)的動點軌跡”，第三定義“平面內(nèi)與兩定點形成的直線的斜率乘積為定值的動點軌跡”相繼登上歷史舞臺。事實上，我們對數(shù)學(xué)一直處于探索中，理應(yīng)開放而辯證地看待各種不同的數(shù)學(xué)見解，更應(yīng)站在知識產(chǎn)生的時代背景中與數(shù)學(xué)家們對話，傾聽數(shù)學(xué)家們的心聲。而數(shù)學(xué)史是人創(chuàng)造的，因此，也成為我們傾聽古人的媒介。

（三） “傾聽歷史”的教育價值

回到數(shù)學(xué)教育，“傾聽歷史”有助于彰顯數(shù)學(xué)史的德育價值。著名教育家蘇霍姆林斯基始終關(guān)注學(xué)生傾聽能力的培養(yǎng)。他認(rèn)為，傾聽能力是一種觀察能力，作為傾聽的觀察具有“提升道德的敏銳性和促進(jìn)智力發(fā)展”的價值。數(shù)學(xué)教育是促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展的重要載體，同時能幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法?！皟A聽歷史”使我們能夠在古人的數(shù)學(xué)研究歷程中汲取經(jīng)驗，同時為我們提供了研究數(shù)學(xué)或其他學(xué)科的思考方向，數(shù)學(xué)史的智育價值通過“傾聽歷史”得以發(fā)揮。然而，未融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教學(xué)也能促進(jìn)學(xué)生的智力發(fā)展，讓學(xué)生獲取一定的數(shù)學(xué)知識，此時“傾聽歷史”所具備的更為獨特的意義是什么呢？未融入數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂喪失了許多精彩的德育素材和資源，因此，“傾聽歷史”彰顯數(shù)學(xué)史德育價值從而落實學(xué)科德育方面的意義顯得至關(guān)重要。

數(shù)學(xué)往往給人留下“聰明者的游戲”“天書”等印象。課堂中，學(xué)生不追問知識產(chǎn)生的動因而機(jī)械記憶數(shù)學(xué)公式、疲于應(yīng)付考試的現(xiàn)象屢見不鮮。學(xué)生如果對數(shù)學(xué)持有自卑和抗拒的態(tài)度，以應(yīng)付考試為學(xué)習(xí)的第一要務(wù)，怎能真正地理解數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)呢？“傾聽歷史”旨在改變學(xué)生對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)家“遙不可及”的固有印象。從“畢達(dá)哥拉斯悖論”到“貝克萊悖論”再到“羅素悖論”，數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了三次危機(jī)，可見其并非一帆風(fēng)順；同樣，數(shù)學(xué)家們研究數(shù)學(xué)的過程也是艱辛和曲折的，比如納皮爾（J.Napier，1550—1617）二十年如一日地制作對數(shù)表，難以想象他面對如此繁雜的計算克服了多大的困難。這些歷史能夠讓學(xué)生明白：即使是某個時代最偉大的數(shù)學(xué)家，他們的認(rèn)識也存在局限性；數(shù)學(xué)并非天外來物，如今呈現(xiàn)的一個個結(jié)論都是數(shù)學(xué)家們通過嘔心瀝血的研究得到的?！皟A聽歷史”同樣要對古人保持尊重的態(tài)度。比如，負(fù)數(shù)的概念在如今的中學(xué)階段便能夠被學(xué)生所理解，但古人卻花了幾千年去認(rèn)識它，而我們不能自認(rèn)為古人愚蠢或我們比古人高明?！皟A聽歷史”同時要摒棄以自我為中心的思維習(xí)慣。比如，現(xiàn)在我們習(xí)慣于將方程寫作等號的一邊為0的形式，而從歷史上看，古人并未采取這種寫法，那么學(xué)生在解方程時一定要化為等式的一端為0的形式嗎？“傾聽歷史”能夠讓學(xué)生體悟到，數(shù)學(xué)是一門具有探索性、演變性、發(fā)展性的學(xué)科，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，也應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們追求真理、勇于創(chuàng)新、堅持不懈的精神?！袄硇浴⑶楦?、信念和品質(zhì)”等數(shù)學(xué)史德育要素，通過“傾聽歷史”，能夠更好地滲入課堂，使課堂更富人文性，進(jìn)而能夠促進(jìn)學(xué)生在知、情、意、行上全面發(fā)展。

綜上所述，“傾聽歷史”溝通了學(xué)生認(rèn)知能力和非認(rèn)知能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，絕不局限于表層數(shù)學(xué)知識的理解和深層數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟，還需要關(guān)注數(shù)學(xué)背后的“人”，需要關(guān)心數(shù)學(xué)家們和數(shù)學(xué)研究者們在“做數(shù)學(xué)”時的想法。對數(shù)學(xué)背后“人”的元素的觀照能夠反哺數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生實現(xiàn)對知識的深刻理解。

三、 數(shù)學(xué)教學(xué)中如何“傾聽歷史”

（一） 分析古今差異，理解數(shù)學(xué)知識

米山國藏曾言：“數(shù)學(xué)中的許多重要概念從它最初的原始狀態(tài)，隨著時間的推移，由于種種原因而被一次一次地擴(kuò)張、推廣，結(jié)果成為像今天這樣廣泛而精確的概念?！睌?shù)學(xué)定義、命題等的古今差異成為學(xué)生認(rèn)知過程的障礙?！皟A聽歷史”就是要回到知識發(fā)展的關(guān)鍵歷史階段，在了解當(dāng)時數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)知識的見解后，再來思考古人的想法與我們相異的原因，從而充分理解數(shù)學(xué)知識。

比如，現(xiàn)今的教科書中，對數(shù)的定義通常是：若a^x=N（a>0且a≠1），則數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù)（logarithm）。對數(shù)是學(xué)生難以理解的數(shù)學(xué)概念。對數(shù)的“對”是什么含義？對數(shù)的中英文名稱有什么來歷？這些問題都困擾著學(xué)生。而對數(shù)概念發(fā)展至今，其定義的形式已經(jīng)出現(xiàn)了巨大的變化，對數(shù)原本的含義以及對數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思想也難以在現(xiàn)今的定義中窺見。對數(shù)由納皮爾發(fā)明，納皮爾是基于等差和等比數(shù)列之間的對應(yīng)關(guān)系來研究對數(shù)的，納皮爾還構(gòu)建了一個運動的幾何模型來解釋這種對應(yīng)關(guān)系。對數(shù)的“對”實為幾何級數(shù)和算術(shù)級數(shù)之間的對應(yīng)；而“l(fā)ogarithm”來源于“l(fā)ogos（比）”和“arithmos（數(shù)）”的組合，這里的比是等比數(shù)列的公比，數(shù)便是公比的個數(shù)。在那個時代，納皮爾發(fā)明對數(shù)的動機(jī)是簡化計算，將大數(shù)的乘除轉(zhuǎn)化為加減；同時，納皮爾是在前人研究雙數(shù)列的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探尋對應(yīng)關(guān)系蘊藏的運算法則的，對數(shù)的思想來源也是前人的研究。在當(dāng)時，指數(shù)概念尚未成型。而歐拉認(rèn)識到“對數(shù)源于指數(shù)”，并明確指出對數(shù)和指數(shù)的互逆關(guān)系時，指數(shù)的概念與符號已經(jīng)被世人所熟悉。以冪指數(shù)形式定義的對數(shù)已經(jīng)和誕生時的原貌迥然不同，從冪指數(shù)形式的定義中難以看到對數(shù)產(chǎn)生的動機(jī)和對數(shù)的含義，甚至還容易讓人產(chǎn)生“指數(shù)比對數(shù)出現(xiàn)得更早”的誤會?！皟A聽歷史”，分析古今差異產(chǎn)生的原因，可知：（1） 納皮爾是以前人對雙數(shù)列的研究為基礎(chǔ)發(fā)明的對數(shù)；（2） 在納皮爾時代，指數(shù)概念尚不清晰，又何談讓人們意識到指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系呢？

再如，古今對正弦定理的證明也有很大的差異。如今的教科書中，利用向量或三角形面積等證明正弦定理是主流方法。這些方法都很簡潔，無須增加過多的輔助線。而最早證明正弦定理的是納綏爾丁（NasirEddin，1201—1274）。他的做法是：

如圖1所示，在△ABC中，延長BA于點E，延長CA于點G，使得BE=CG=R；分別以B、C為圓心，BE、CG為半徑作圓，與直線BC交于點J、I；分別過點A、E、G作直線BC的垂線，垂足分別為D、F、H。

其中，EF=sinB，GH=sinC，由△ABD∽△EBF，△ACD∽△GCH可得AB∶AD=BE∶EF=R∶sinB，AD∶AC=GH∶CG=sinC∶R，將上述兩個等式相乘可得AB∶AC=sinC∶sinB。

傾聽納綏爾丁的心聲，為什么他會產(chǎn)生利用相似三角形證明的想法？為什么他會構(gòu)造半徑相等的圓？因為在當(dāng)時，三角函數(shù)是以與圓相關(guān)的一些線段來定義的，其本質(zhì)是線段，而值與圓的半徑相關(guān)。在以幾何研究為主流的時代，相似三角形是產(chǎn)生線段比例很好的工具，而正弦定理實際上就是某些三角形中線段的比例關(guān)系。隨著時間的推移，三角函數(shù)的三角比定義走進(jìn)人們的視野，而正弦定理的面積證法便基于三角比的關(guān)系。繼續(xù)往后，隨著人們對向量的認(rèn)識逐漸深入，正弦定理作為向量的應(yīng)用也應(yīng)運而生。也許，從現(xiàn)在的視角出發(fā)，證明正弦定理無須作出過多的輔助線。但是，體會二者之間的差異，我們發(fā)現(xiàn)，不是納綏爾丁不懂求簡，而是三角函數(shù)的定義存在古今差異；同時，納綏爾丁充分踐行了當(dāng)時主流的對三角函數(shù)的研究思路，即將其放在圓中考慮。

“傾聽歷史”，分析古今差異，即要縱觀數(shù)學(xué)知識的歷史脈絡(luò)，將數(shù)學(xué)知識放在產(chǎn)生的時代中去理解?；蛟S數(shù)學(xué)知識的原意在一代又一代的發(fā)展中被“遮蔽”起來了，我們要做的便是借助數(shù)學(xué)史進(jìn)行“解蔽”。

（二） 探尋古人錯誤，提升學(xué)習(xí)信心

“只有那些從來也沒有嘗試過新事物的人才會永遠(yuǎn)不犯錯誤?！边@句常被認(rèn)為是出自愛因斯坦的引言，提醒人們不要害怕在研究的過程中犯錯誤，因為謬誤與真理時常相伴。數(shù)學(xué)史的用途之一是向?qū)W生揭示曾經(jīng)阻礙過進(jìn)步的概念困難和錯誤?！皟A聽歷史”便要探尋數(shù)學(xué)家們出現(xiàn)不恰當(dāng)?shù)幕蝈e誤的數(shù)學(xué)理解的成因，因為根據(jù)歷史相似性原理，數(shù)學(xué)家們出現(xiàn)的錯誤也可能是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易陷入的困境。從教師的立場看，學(xué)生或許犯錯了，可是從古人的立場看，學(xué)生只不過經(jīng)歷了概念理解的一個必然階段。從古人的想法中得到的啟發(fā)，能夠幫助教師理解學(xué)生，也能促進(jìn)學(xué)生樹立積極、正面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心。

學(xué)生容易理解錯誤或認(rèn)知不完善的數(shù)學(xué)概念，在歷史上往往也經(jīng)歷了漫長的發(fā)展，經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家們不斷地修正，最終才呈現(xiàn)完善的定義。

例如，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾經(jīng)錯誤地認(rèn)為無理數(shù)（不可公度量）不存在。那是他們過于迷信經(jīng)驗（直觀）帶來的普遍認(rèn)識，沒有意識到邏輯（理性）的力量和價值，沒有充分形成理性的信念。

又如，棱柱在《幾何原本》第11卷中被定義為“由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個面是相對的、相等的、相似的且平行的，其他各面均為平行四邊形的立體圖形”。圖2顯然是該定義的反例，而已有研究表明，學(xué)生也容易憑借幾何直觀形成與此棱柱定義相似的錯誤認(rèn)知。

“傾聽歷史”，探尋古人錯誤，即要了解數(shù)學(xué)家們的錯誤是怎么產(chǎn)生的，并對他們的數(shù)學(xué)見解秉持開放包容的態(tài)度。在課堂中，學(xué)生的錯誤認(rèn)知或許正與歷史上數(shù)學(xué)家們的理解契合，借助數(shù)學(xué)史，學(xué)生也會更加辯證地看待這些錯誤認(rèn)知。

（三） 體悟古人思想，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

“數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和重要的因素就是數(shù)學(xué)思想，整個數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的……數(shù)學(xué)的各種方法是數(shù)學(xué)最重要的部分?！绷饔诒砻娴臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)會讓學(xué)生喪失在精彩的思想方法中汲取精神養(yǎng)分的機(jī)會，“傾聽歷史”便要了解數(shù)學(xué)家們的思想方法和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，做到知其然，知其所以然，知其何以所以然。古人的某些思想方法在今日看來并未過時，并且是教學(xué)的絕妙素材。正如法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯所言：“讀讀歐拉，他是我們所有人的老師。”先人的經(jīng)驗?zāi)軌蜷_闊我們的視野，同時，理解先人的思想方法也是理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的必經(jīng)之路。

例如，“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，數(shù)與形是數(shù)學(xué)主要的研究對象，數(shù)形結(jié)合思想可謂貫穿整個數(shù)學(xué)課程（尤其是高中數(shù)學(xué)課程）的思想主線之一，而解析幾何融幾何直觀與代數(shù)運算于一體，充分彰顯了數(shù)形結(jié)合的思想?！皟A聽歷史”便要挖掘數(shù)形結(jié)合思想與解析幾何誕生的關(guān)系以及這種思想在解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想古已有之。比如，“形數(shù)”是古希臘時期畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的重要研究對象，體現(xiàn)了以形表數(shù)和以數(shù)馭形——形數(shù)之間的互相表征。而法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（R.Descartes，1596—1650）也是站在前人的肩膀上創(chuàng)立的解析幾何。16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Viète，1540—1603）系統(tǒng)地引入代數(shù)符號并豐富了方程理論，從而推動了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。韋達(dá)試圖用代數(shù)方法來解決幾何作圖問題，并且認(rèn)為線段的加減乘除可以由代數(shù)符號表示，從而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。笛卡兒《幾何學(xué)》的第一卷以長度將線段和數(shù)量聯(lián)系起來，意圖將幾何問題代數(shù)化，并用方程表示線段之間的關(guān)系，而第二卷則將平面上的點與坐標(biāo)（x，y）對應(yīng)，化曲線為含有未知數(shù)x、y的方程。笛卡兒察覺到“代數(shù)的一些內(nèi)容缺乏直觀性”，并認(rèn)為“歐幾里得幾何缺乏動感和想象力”，而立志建立“一種集代數(shù)與幾何兩門學(xué)科的優(yōu)點于一身而能去掉兩者的缺點的新學(xué)科”。

數(shù)形結(jié)合思想是產(chǎn)生解析幾何的關(guān)鍵，“解析”意即用代數(shù)方程來研究幾何問題。從幾何研究的角度來看，傳統(tǒng)幾何學(xué)側(cè)重于定性地演繹圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系，而解析幾何則借助代數(shù)方程定量地分析圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系。這種轉(zhuǎn)變實際上包含了在數(shù)學(xué)內(nèi)部將純幾何研究對象進(jìn)一步抽象為代數(shù)研究對象的過程，并通過建立方程模型來刻畫幾何圖形的性質(zhì)與相互關(guān)系。笛卡兒的思想實際上經(jīng)歷了史寧中教授所說的“抽象—推理—模型”的過程，而這個過程更是彰顯了數(shù)學(xué)家的理性精神。同時，笛卡兒的數(shù)形結(jié)合思想所體現(xiàn)的對數(shù)學(xué)本質(zhì)的見解也值得我們學(xué)習(xí)。他說：“所有那些旨在研究順序與度量的科學(xué)，都和數(shù)學(xué)有關(guān)。至于所求的度量是關(guān)于數(shù)的呢，形的呢，聲的呢，還是其他東西的呢，都是無關(guān)緊要的?！雹趯τ诮袢盏慕馕鰩缀谓虒W(xué)而言，數(shù)形結(jié)合思想不是“建設(shè)限代化”（“建立坐標(biāo)系—設(shè)出相關(guān)點—限制條件—代入方程—化簡”）這句口號所能簡單地概括的。學(xué)生應(yīng)該了解化常量為變量在實現(xiàn)由靜態(tài)幾何到動態(tài)幾何的過程中的作用，應(yīng)該體悟數(shù)形結(jié)合思想助力幾何實現(xiàn)由二維平面到高維空間突破的價值。

“傾聽歷史”，體悟古人思想，意味著對數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。每一個數(shù)學(xué)概念的誕生都并非一蹴而就的，我們除了要知其然，知其所以然，知其何以所以然，還應(yīng)該看到知識背后數(shù)學(xué)家們的火熱思考，學(xué)習(xí)他們的理性精神。

總之，我們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，不應(yīng)停留在表面所呈現(xiàn)的知識上，還應(yīng)該涉及做數(shù)學(xué)的“人”，從數(shù)學(xué)家身上學(xué)習(xí)理性、求真、創(chuàng)新、執(zhí)著等精神，進(jìn)而獲得對數(shù)學(xué)更深刻的見解。

（陳雨晴，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院。韓粟，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院。汪曉勤，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，教授，博士生導(dǎo)師。主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究，致力于HPM研究、實踐、傳播和人才培養(yǎng)。著有《數(shù)學(xué)文化透視》《HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》《數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實踐與案例》《數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實踐與案例》等。）