李嘉超，楊冬英，李學(xué)東

（1.蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011；2.江蘇蘇州地質(zhì)工程勘察院，江蘇 蘇州 215011）

縱觀樁基振動(dòng)理論研究進(jìn)程中，理論研究的關(guān)鍵點(diǎn)就在于樁土系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立。樁模型由Euler-Bernoulli桿(一維桿)模型[1]、Rayleigh-Love桿模型[2]，逐漸發(fā)展到考慮三維波動(dòng)效應(yīng)的計(jì)算模型[3]，樁側(cè)土模型從Winker模型[4]、平面應(yīng)變模型[5-6]一直發(fā)展到三維連續(xù)介質(zhì)模型[7]。從樁身模型角度看，大量的研究是基于一維桿理論建立的樁身振動(dòng)模型，經(jīng)過(guò)已有研究表明，當(dāng)樁的直徑尺寸較大時(shí)，一維桿理論不能很好地反映三維波動(dòng)效應(yīng)。于是，在一維桿理論的基礎(chǔ)上，考慮了橫向慣性效應(yīng)，提出了Rayleigh-Love桿理論模型?；赗ayleigh-Love桿理論，Zheng等[8]研究了大直徑管樁在粘彈性土層中的豎向動(dòng)力響應(yīng)，將該解與經(jīng)典桿模型解進(jìn)行比較以驗(yàn)證其有效性。Li、何偉杰等[9-10]分別研究了在非均質(zhì)土中Euler-Bernoulli桿和Rayleigh-Love桿的縱向振動(dòng)特性。Li、何偉杰和吳文兵等[11-13]考慮了樁身橫向慣性效應(yīng)的影響，分別研究了不同土質(zhì)下大直徑樁、楔形樁等的縱向振動(dòng)特性?；赗ayleigh-Love桿理論在一定程度上能反應(yīng)波在樁身中的三維傳播，但還不是真正考慮了樁的三維波動(dòng)效應(yīng)，只是通過(guò)橫向慣性效應(yīng)來(lái)簡(jiǎn)化三維波動(dòng)效應(yīng)，事實(shí)上應(yīng)力波在樁身內(nèi)是三維傳播的，特別是大直徑樁中，更是應(yīng)該考慮應(yīng)力波的三維波動(dòng)傳播。所以，有部分學(xué)者開(kāi)始考慮樁身三維效應(yīng)的影響。吳君濤和譚婕[14-15]基于樁身三維效應(yīng)，研究了樁身橫向尺寸較大情況下樁土的波動(dòng)問(wèn)題。不過(guò)，針對(duì)大直徑樁與土的耦合振動(dòng)模型非常復(fù)雜，是學(xué)術(shù)領(lǐng)域爭(zhēng)相研究的重點(diǎn)，既能更好反映樁土耦合振動(dòng)而又能獲得相對(duì)簡(jiǎn)單的理論模型，顯得更為關(guān)鍵。

鑒于以上分析，考慮樁身三維波動(dòng)效應(yīng)的大直徑樁要更符合實(shí)際波的傳播，建立合理又方便應(yīng)用的大直徑樁土模型是研究的重點(diǎn)。本文將土體振動(dòng)考慮為平面應(yīng)變問(wèn)題，研究考慮樁身三維效應(yīng)下相對(duì)更簡(jiǎn)便實(shí)用的大直徑樁-土耦合振動(dòng)模型，并進(jìn)行此模型下各影響參數(shù)對(duì)于大直徑樁振動(dòng)特性的影響分析。

1 理論模型與基本假定

1.1 大直徑樁-土耦合振動(dòng)模型

為力求獲得考慮大直徑樁三維波動(dòng)效應(yīng)下較為簡(jiǎn)單的樁-土耦合作用模型，建立了如圖1所示的數(shù)學(xué)模型，大直徑樁長(zhǎng)為H，半徑為r0。樁頂受到豎向振動(dòng)力q（t）的作用。樁土計(jì)算模型基本假定如下：

圖1 計(jì)算模型

（1）樁為粘彈性樁，考慮樁身的三維波動(dòng)效應(yīng)，樁底采用剛性支承；

（2）樁周土為均質(zhì)、各向同性的粘彈性介質(zhì)，忽略土體縱向應(yīng)力梯度；

（3）樁-土系統(tǒng)作小變形振動(dòng)，且樁與樁側(cè)土完全接觸，沒(méi)有相對(duì)滑移和脫離，即樁身與土體的位移應(yīng)力保持連續(xù)。

1.2 控制方程

（1）土體動(dòng)力平衡方程。假設(shè)土體為平面應(yīng)變模型，考慮到無(wú)窮遠(yuǎn)處土體位移及應(yīng)力為0，則可由剛度定義得到土體內(nèi)任意一點(diǎn)處的豎向剪切剛度

（2）樁體動(dòng)力平衡方程?；谌S軸對(duì)稱圓柱的控制方程，建立縱向振動(dòng)方程

式中：up（z，r，t）為樁內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的縱向位移；λp、Gp為樁的拉梅常數(shù)，λp=Epνp/[（1+νp）（1-2νp）]，Gp=Ep/[2（1+νp）]，其中，Ep、νp分別為樁的彈性模量和泊松比；λp*、Gp*分別為考慮樁身材料阻尼的修正拉梅常數(shù)；Dp為樁的滯回阻尼系數(shù)，其值與頻率無(wú)關(guān)；ρp為樁的密度。

1.3 邊界條件和初始條件

大直徑樁樁身外壁邊界條件在r=r0時(shí)，應(yīng)滿足

其樁頂邊界條件在z=0時(shí)，應(yīng)滿足

其樁底邊界條件在z=H時(shí)，應(yīng)滿足

初始條件（t=0時(shí)）為

2 問(wèn)題的求解

2.1 大直徑樁控制方程的通解形式

結(jié)合初始條件和邊界條件，對(duì)式（2）和式（5）進(jìn)行Laplace變換，將其拉氏變換形式記為

采用分離變量法進(jìn)行分析，令Up=Z（z）R（r），并代入式（2），則有

式中，h2=（Gp*q2+ρpω2）/（λp*+2Gp*），圓頻率ω=2πf，f為頻率，對(duì)式（9）進(jìn)行求解可得

式中，I0（qr）、K0（qr）分別為零階的第一類(lèi)和第二類(lèi)修正Bessel函數(shù)。則樁的振動(dòng)位移幅值

式中：A、B、C、D均為待定系數(shù)。

2.2 待定系數(shù)的求解

根據(jù)Bessel函數(shù)的性質(zhì)，樁身為三維軸對(duì)稱桿模型，在圓心位置r=0時(shí)，位移為有限值，得出A=0，則有

考慮樁-樁周土的邊界連續(xù)條件式（4），可得超越方程

求解此方程，可得無(wú)窮多個(gè)值q，記為qn，則hn2=（Gp*qn2+ρpω2）/（λp*+2Gp*）。

大直徑樁的位移函數(shù)式（12）即可改寫(xiě)為

式中：Cn、Dn均為與各階特征值所對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)。將位移函數(shù)式（14）代入樁頂邊界條件式（5），同時(shí)利用Bessel函數(shù)的正交性，在式（5）兩邊同乘I0（qnr）r，并對(duì)大直徑樁截面的半徑范圍內(nèi)積分，則有

將位移函數(shù)式（14）代入樁底邊界條件式（6），可令各階待定系數(shù)滿足式

樁頂復(fù)剛度（即位移阻抗函數(shù)，當(dāng)z=0時(shí)）為

由式（18）可得樁頂復(fù)剛度無(wú)量綱化（z=0）為

樁頂速度頻域響應(yīng)函數(shù)（z=0）為

對(duì)Hv（ω）進(jìn)行無(wú)量綱化（z=0），可得

設(shè)樁頂所受到的半正弦激振力為

式中：T0為脈沖寬度。對(duì)q（t）進(jìn)行Laplace變換，可得

則樁頂速度時(shí)域響應(yīng)為V（t）=IFT[Q（ω）Hv（ω）]，對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化，可得

3 解的對(duì)比分析

3.1 與既有解的對(duì)比

為驗(yàn)證本文建立的樁身三維效應(yīng)下大直徑樁計(jì)算模型的正確性，將本文的模型與Rayleigh-Love桿模型和Euler-Bernoulli桿模型進(jìn)行對(duì)比。取土的計(jì)算參數(shù)：Vs=1 500 m/s，ρs=2 000 kg/m3，Ds=0.05；樁的計(jì)算參數(shù)：H=20 m，r0=0.8 m，Ep=40 GPa，vp=0.25，ρp=2 500 kg/m3，Dp=0.02；脈沖寬度T0=1.2 ms。

圖2展示了本文模型與Rayleigh-Love桿模型和Euler-Bernoulli桿模型的對(duì)比情況。從圖2（a）可以看出，本文模型樁底反射波的峰值較Euler-Bernoulli桿（一維桿）模型和Rayleigh-Love桿模型小，雖然反射波開(kāi)始接受到的時(shí)間一致但是其峰值后移，這是由于本文模型考慮了波在樁身中三維傳播，能量有所耗散，接受的信號(hào)也由于水平向的傳播，導(dǎo)致疊加影響而使得波峰值后移。從圖2（b）可以看出，在低頻范圍內(nèi)，本文模型與兩種桿件模型曲線基本一致，但隨著頻率的增大，三者的差異性逐漸體現(xiàn)，由于Euler-Bernoulli一維桿模型忽略了水平向的波動(dòng)，共振頻率不受水平波動(dòng)的影響而等間隔出現(xiàn)，但Rayleigh-Love桿模型通過(guò)橫向慣性效應(yīng)來(lái)簡(jiǎn)化三維波動(dòng)效應(yīng)，本文模型又是嚴(yán)格意義上的考慮三維波動(dòng)的影響，所以受到水平波動(dòng)的影響會(huì)導(dǎo)致共振間隔逐漸減小。

圖2 本文解與既有解的對(duì)比

綜合來(lái)看，本文模型計(jì)算結(jié)果在反映樁頂動(dòng)力響應(yīng)的規(guī)律總體上與Rayleigh-Love桿模型和Euler-Bernoulli桿模型規(guī)律一致，從而驗(yàn)證了本文模型建立的合理性。但由于樁頂?shù)募ふ窳θ詾榫己奢d，其計(jì)算結(jié)果與Rayleigh-Love桿模型十分接近。Rayleigh-Love桿模型通過(guò)泊松比來(lái)表現(xiàn)它的橫向慣性效應(yīng)達(dá)到簡(jiǎn)化考慮波的三維波動(dòng)，其可靠性在本文得到了進(jìn)一步驗(yàn)證，而本文模型嚴(yán)格考慮三維波動(dòng)效應(yīng)的影響，其精確性更高，并為此類(lèi)問(wèn)題的求解提供一種新的方法與思路，這也是本文模型的優(yōu)越性所在。

3.2 理論解與數(shù)值解的對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文模型建立的正確性，使用ANSYS/LS-DYNA有限元軟件進(jìn)行數(shù)值分析，建立模型如圖3所示，使用LS-Run進(jìn)行求解，并利用專門(mén)的后處理軟件LS-Prepost提取樁頂速度時(shí)域曲線。

圖3 樁-土有限元模型

由于采用的是三維軸對(duì)稱桿模型，結(jié)構(gòu)與荷載均為對(duì)稱形式，則建模時(shí)可取1/4結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化計(jì)算，并在對(duì)稱面施加對(duì)稱約束。樁頂采用半正弦脈沖激勵(lì)，樁底模擬剛性支承，即在模型底部施加固定約束。為了消除波的邊界反射影響，更合理地反映實(shí)際土體，采用無(wú)反射邊界來(lái)模擬無(wú)限的土體。模型采用映射網(wǎng)格劃分，如圖4所示。

圖4 數(shù)值模型網(wǎng)格劃分

首先建立大直徑樁-土的基礎(chǔ)模型，取值如下：樁長(zhǎng)為20 m，樁徑為0.8 m。其余樁土材料參數(shù)如表1所列。如無(wú)特殊說(shuō)明，下文中樁土參數(shù)取值均按基礎(chǔ)模型中參數(shù)取值。通過(guò)理論計(jì)算得出理論解，將其與ANSYS/LS-DYNA軟件得出的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，見(jiàn)圖5。可以看出，理論解與數(shù)值解吻合度較高，基本一致。

圖5 理論解與數(shù)值解的對(duì)比

表1 基礎(chǔ)模型樁土材料參數(shù)

接著，改變基礎(chǔ)模型的樁徑（r0取0.4、0.6、1.0、1.2 m），分別對(duì)相應(yīng)的樁-土模型進(jìn)行數(shù)值求解，將得到的數(shù)值解與理論解進(jìn)行對(duì)比。從圖6可以看出，不同樁徑下的數(shù)值解與理論解能夠較好地吻合，變化規(guī)律一致，從相互驗(yàn)證的角度可以說(shuō)明本文模型以及數(shù)值模型建立的正確性和可靠性。另外，圖6還可以看出隨著樁徑的增大，樁底反射信號(hào)幅值變大，這是由于樁身直徑大，樁側(cè)土對(duì)樁振動(dòng)的影響變小，被土體吸收耗散掉的能量少，傳到樁頂?shù)男盘?hào)明顯。

圖6 不同樁徑時(shí)理論解與數(shù)值解

4 參數(shù)分析

4.1 樁身三維效應(yīng)對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

為研究樁身三維效應(yīng)對(duì)樁頂縱向振動(dòng)的影響，在樁頂沿著徑向取0、0.2r0、0.4r0、0.6r0、0.8r0、1.0r0等六處節(jié)點(diǎn)。圖7顯示了樁頂徑向不同位置處大直徑樁的縱向振動(dòng)特性。從圖7（a）可以看出，六處節(jié)點(diǎn)的速度時(shí)域曲線總體趨勢(shì)略有差別。隨著距中心徑向距離的增大，干涉振蕩的幅值逐漸減小，并且在處振蕩達(dá)到最小值。此外，處點(diǎn)的振動(dòng)相位與處點(diǎn)的振動(dòng)相位相反。從圖7（b）可以看出，由于樁身三維效應(yīng)的影響，不同位置處點(diǎn)的速度頻域曲線上共振幅值存在明顯差異，即頻域曲線的共振幅值隨著距中心徑向距離的增大而減小。

圖7 徑向不同位置對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響（a.樁頂速度時(shí)域曲線；b.樁頂速度頻域曲線）

4.2 樁徑對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

在其他參數(shù)取值不變的情況下,樁徑r0取0.4、0.6、0.8、1.0、1.2 m等五種情況。

圖8表示樁徑不同時(shí)大直徑樁的縱向振動(dòng)特性。從圖8（a）可以看出，隨著樁徑的增大，樁底反射波的峰值逐漸增大，反射曲線振蕩明顯加劇，即樁周土對(duì)樁的阻抗作用減弱，應(yīng)力波在樁身中傳播時(shí)耗散的能量降低。而且樁徑越大，二次反射越明顯。從圖8（b）可以看出，樁徑越大，速度頻域曲線的共振就幅值就越大，即能量的耗散損失減慢。且隨著頻率的增大，共振間隔逐漸減小，共振頻率逐漸增大。

圖8 樁徑對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響（a：樁頂速度時(shí)域曲線；b：樁頂速度頻域曲線）

4.3 樁身縱波波速對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

在其他參數(shù)條件取值不變的情況下，樁身縱波波速取為3 000、3 500、4 000 m/s等三種情況，無(wú)量綱時(shí)間是以4 000 m/s傳播工況做基準(zhǔn)。

圖9顯示了樁身縱波波速不同時(shí)大直徑樁的縱向振動(dòng)特性。從圖9（a）可以看出，隨著樁身縱波波速的增大，樁底反射波的峰值逐漸增大，反射曲線振蕩加劇。此外，由于縱波波速的增大會(huì)使得樁身模量增大，能量耗散減小，從而引起樁底反射波接受到的時(shí)間變短，即波峰提前出現(xiàn)。從圖9（b）可以看出，樁身縱波波速越大，速度頻域曲線的共振幅值就越大，且頻率越大，共振頻率差也越大。

圖9 樁身縱波波速對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

4.4 泊松比對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

在其他參數(shù)取值不變的情況下，泊松比νp取0.15、0.25、0.35等三種情況。圖10表示不同泊松比下大直徑樁的縱向振動(dòng)特性。由圖10（a）可以看出，隨著泊松比的增大，樁底反射波的峰值逐漸減小，反射波有疊加影響，曲線振蕩加劇。此外，泊松比越大，應(yīng)力波在樁身內(nèi)三維傳播時(shí)會(huì)耗散更多的能量，從而導(dǎo)致樁底反射波接受到的時(shí)間變長(zhǎng)。此結(jié)論與已有基于Rayleigh-Love桿研究[16]的結(jié)論一致。從圖10（b）可以看出，在低頻范圍內(nèi)，泊松比的增大對(duì)樁頂速度頻域曲線幾乎沒(méi)有影響，但隨著頻率的增大，在高頻范圍內(nèi)，泊松比的影響越來(lái)越顯著，即泊松比越大，頻域曲線的共振幅值越小，且共振間隔也越小。

圖10 泊松比對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響

5 結(jié)論

（1）本文提出了考慮樁身三維效應(yīng)下的大直徑樁-土耦合振動(dòng)模型，求解得到樁頂頻域響應(yīng)解析解，并通過(guò)卷積定理和傅里葉逆變換得出其時(shí)域響應(yīng)半解析解。

（2）先通過(guò)本文解與既有解的對(duì)比，初步驗(yàn)證了本文模型的合理性，再利用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，將理論解與數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的正確性。本文采用模型及計(jì)算結(jié)果為大直徑樁縱向振動(dòng)研究提供了一種新的求解方法與思路，能夠更加直觀地反映大直徑樁的尺寸效應(yīng)。

（3）在對(duì)大直徑樁參數(shù)影響分析中，得出了三維波動(dòng)效應(yīng)考慮的必要性，特別是樁身材料泊松比比較大、樁身縱波波速小、樁徑比較大的情況下，三維波動(dòng)效應(yīng)的影響比較明顯，會(huì)影響到樁基動(dòng)力響應(yīng)。本文得出大直徑樁動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律能為其在樁基抗震防震設(shè)計(jì)、完整性檢測(cè)等方面提供理論依據(jù)。