○吳汝萍

“數(shù)與運算”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識及其四則運算?！读x務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》（以下簡稱《課標（2022年版）》）指出，在“數(shù)與運算”中，學生要理解和掌握數(shù)的概念，經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法；在認識整數(shù)的基礎(chǔ)上，認識小數(shù)和分數(shù)；通過數(shù)的認識和數(shù)的運算有機結(jié)合，感悟計數(shù)單位的意義，了解運算的一致性。

教學中，教師要重視整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)間的關(guān)系，引導學生體會它們都是基本計數(shù)單位累加或細分的結(jié)果，感悟其內(nèi)在的一致性，從而形成合理的認知結(jié)構(gòu)。

一、借助計數(shù)單位理解算理

運算教學中，教師應重視算理與算法，處理好它們之間的關(guān)系。算理是算法的原理和依據(jù)，算法是運算的基本程序和方法。學生只有在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法，才能形成相應的運算技能，提升運算能力。

【教學回放】

師：12×20是多少？你是怎么想的？

生：先算12乘2等于24，后面添一個0，是240。

師:對！20×30呢？

生：先算2乘3等于6，后面添上2個0，是600。

師：這樣算又對又快！以后遇到整十數(shù)乘法就這樣算。

學生憑感覺得出一個數(shù)與整十數(shù)相乘，先算0前面的數(shù)，再在末尾添0。如果僅知其“法”，不知其“理”，讓學生口算60÷20，學生很容易遷移其“法”得出商為300的錯誤結(jié)果。

【教學重構(gòu)】

師：12×20是多少？你是怎么想的？

生：先算12乘2等于24，后面添一個0，是240。

師：這樣算有沒有道理呢？2表示什么？

生：2表示2個十，12乘2個十是24個十，24個十就是240。

師：原來算出的是24個十，所以再添上1個0就可以了?？谒?0×30呢？

生：先算2乘3等于6，后面添上2個0，是600。

師：這樣算的道理是什么呢？

生：20乘3個十是60個十，60個十就是600。

生：2個十乘3個十是6個“十十”，10個10是100，6個“十十”也就是600。

生：還可以用式子來表示，20×30=2×10×3×10=6×100=600。

教師通過追問“這樣算有沒有道理呢”，引導學生從計數(shù)單位的角度深入思考算理，從而理解：12乘2個十是24個十，即240；20乘3個十是60個十，即600，并從多角度分析得出2個十乘3個十是6個百。

運算的本質(zhì)是計算計數(shù)單位的個數(shù)，也就是對計數(shù)單位個數(shù)的運算?！墩n標（2022年版）》也強調(diào)，要讓學生感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性。

二、借助整數(shù)計數(shù)單位“1”認識分數(shù)

學生之所以覺得分數(shù)難理解，是因為它既能表示具體的數(shù)量，又能表示兩種數(shù)量之間的關(guān)系，即比率。其實整數(shù)也是既能表示具體的數(shù)量，又能表示兩種數(shù)量之間的關(guān)系，即倍比。為什么學生認識分數(shù)比較困難呢？是不是分數(shù)的引入出了問題？

【教學回放】

師：把一個月餅平均分給2人吃，每人能分到多少？

生：每人能分到半塊。

師：把一個月餅平均分成2塊，每塊是這個月餅的一半，也就是它的二分之一。

師：如果把這個月餅平均分成4塊，每塊是它的幾分之一？

【教學重構(gòu)】

屏幕上出示4個蘋果、2瓶水、1塊月餅。

師：這里的4、2、1都是用來表示整個物體的個數(shù)，叫什么數(shù)？

生：整數(shù)。

師：對，我們以前認識的數(shù)都是整數(shù)。整數(shù)最小的單位是——1，一個也沒有就是——0。整數(shù)有多少個？

師：整數(shù)能不能表示出各種大小不一的物品個數(shù)呢？如果把1塊月餅平均分給2人，每人吃了多少塊月餅？你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：每人分到半塊，不到1，不好用整數(shù)表示了。

師：整數(shù)不夠用了，就創(chuàng)造了——分數(shù)。

師：如果分1米長的線段、1千克的大棗，可以得到什么分數(shù)？還可以分一個什么？（引導學生分一分，認識米長的線段千克千克的大棗……）

師：今天我們認識了幾分之一這樣的分數(shù)，是分整數(shù)幾得來的？怎么分出來的？

生：是分整數(shù)1得來的，把一樣東西平均分成幾份，每份就是幾分之一。

“一半”是部分與整體的關(guān)系，“半塊”則是表示數(shù)量的多少。強調(diào)把1塊月餅平均分給2人，每人分到塊，這是從表示數(shù)量的維度來引入分數(shù)。明確1塊蛋糕分成2個塊，在此基礎(chǔ)上讓學生認識米、千克等表示數(shù)量的分數(shù)。學生逐漸明白了：分數(shù)和整數(shù)一樣也是數(shù)，幾分之一是平均分整數(shù)1得到的。等到五年級理解分數(shù)的意義時，學生就容易理解“單位1”不過是“整數(shù)計數(shù)單位1”的簡稱而已。如此教學，有利于學生形成宏觀的、完整的、結(jié)構(gòu)化的認知結(jié)構(gòu)，這也正是《課標（2022年版）》所倡導的。

三、借助整數(shù)計數(shù)單位間的十進關(guān)系認識小數(shù)

十進制計數(shù)法是建立整數(shù)概念的基礎(chǔ)和核心。小數(shù)最基本的特征與整數(shù)一致，也是十進制。人教版教材選擇從長度這一具體量入手認識一位小數(shù),再延伸到人民幣模型，其出發(fā)點是希望借助學生的生活經(jīng)驗來理解一位小數(shù)，但這樣忽視了一位小數(shù)的本質(zhì)是將整數(shù)1平均分成10份，表示其中的1份或幾份的數(shù)，弱化了一位小數(shù)與整數(shù)計算單位1之間的十進關(guān)系。

【教學回放】

師：王東身高1米3分米，用米作單位是多少米？生：1.3米。

師：為什么是1.3米呢？

師：1分米是幾分之幾米呢？

（學生茫然。）

學生在生活中可能聽說過1米3分米就是1.3米，但并不清楚其原理。另外，學生對1分米是米也非常陌生，因為在初步認識分數(shù)時，分數(shù)的后面基本上是不帶單位名稱的。所以，從長度單位或人民幣單位入手認識一位小數(shù)，學生往往是被動的，很難真正理解一位小數(shù)的內(nèi)涵。

【教學重構(gòu)】

師：森林里正在進行吹塑料棒的比賽，塑料棒滾過1格的成績是1分，你知道熊大和小貍成績是多少嗎？蹦蹦呢？

生：熊大成績是4分，小貍成績是1分，蹦蹦0.5分。

師：數(shù)是數(shù)出來的，哪里能數(shù)出0.5呀？請大家先看看涂涂的成績，感覺是多少分？

生：0.1分。

師：的確是0.1分。想一想，這個0.1是怎么來的？

生：把1格平均分成10份，1份就是0.1。

師：你們怎么想到是平均分成10份的？為什么不是9份或11份呢？

生：因為10個一是十，10個十是一百……

師：這個0.1和我們以前學習的哪個分數(shù)意思一樣？

生：十分之一。

師：我們再來看蹦蹦的成績，現(xiàn)在知道為什么是0.5了嗎？

生：把1平均分成10份，蹦蹦正好吹了5份。

師：對，數(shù)一數(shù)，能數(shù)出幾個0.1？想一想，10個0.1是多少？

（這里讓學生認識到10個0.1是1，感悟小數(shù)與整數(shù)之間都是滿十進一。）

師：毛毛吹了多少格，成績是多少？光頭強吹了2.3分，你知道他吹到了哪里？

在此基礎(chǔ)上，教師再出示米尺和1角硬幣，讓學生理解0.1米、1.2米及0.1元、1.2元的含義。

《課標（2022年版）》指出，要借助學生的生活經(jīng)驗，引導學生認識小數(shù)單位，進一步感悟十進制計數(shù)法。上述教學過程中，先讓學生用整數(shù)4和1表示熊大和小貍的成績，接著表示蹦蹦和涂涂的成績時，因為不足1，學生自然而然想到將整數(shù)1平均分成10份，得到小數(shù)單位0.1，如此，學生很容易理解一位小數(shù)的內(nèi)涵，并認識到一位小數(shù)與十分之幾的分數(shù)之間的一致性。理解了一位小數(shù)后，再讓學生理解0.1米、1.2米和0.1元、1.2元也就水到渠成，達到理解、遷移、掌握與運用的融會貫通。