姜正榮 蘇延 石開(kāi)榮? 李之吉 魏德敏

（1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640；2.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510640）

索穹頂是由美國(guó)工程師Geiger等［1］提出的一種連續(xù)拉、間斷壓的柔性張力結(jié)構(gòu)體系，具有極高的結(jié)構(gòu)效率，目前已成功應(yīng)用于眾多大型體育場(chǎng)館中［2-4］。索穹頂結(jié)構(gòu)在自然狀態(tài)下呈松弛狀，不具有剛度，施加預(yù)應(yīng)力方可使其產(chǎn)生剛度并抵抗外荷載，且預(yù)應(yīng)力的大小與分布決定了結(jié)構(gòu)形狀與結(jié)構(gòu)剛度［5］。因此，對(duì)該類結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化具有十分重要的科學(xué)意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化進(jìn)行了相關(guān)研究，并取得了一系列成果。文獻(xiàn)［6］采用遺傳算法，分別以結(jié)構(gòu)自重最小及豎向位移最小為目標(biāo)，完成了索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化。文獻(xiàn)［7］采用NSGA-II遺傳算法，對(duì)Kiewitt型索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，得到了最優(yōu)自應(yīng)力模態(tài)組合系數(shù)。文獻(xiàn)［8］對(duì)Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)的單目標(biāo)及多目標(biāo)的不同優(yōu)化算法進(jìn)行了對(duì)比分析，并探討了各種算法的適用范圍。

模擬植物生長(zhǎng)算法（Plant Growth Simulation Algorithm，PGSA）是一種基于植物向光性機(jī)理的新型智能優(yōu)化算法［9］，自提出以來(lái)已應(yīng)用于多個(gè)行業(yè)的優(yōu)化分析，并逐步加以改進(jìn)。文獻(xiàn)［10］采用非支配排序及構(gòu)造偏序集等方法對(duì)PGSA進(jìn)行改進(jìn)，并對(duì)多目標(biāo)旅行商問(wèn)題進(jìn)行了求解，對(duì)比其他優(yōu)化算法更具有優(yōu)勢(shì)。文獻(xiàn)［11］對(duì)形態(tài)素濃度的計(jì)算及新增點(diǎn)的生長(zhǎng)策略進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［12］采用PGSA對(duì)RFID網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃模糊覆蓋問(wèn)題進(jìn)行了研究，指出了該方法的有效性。文獻(xiàn)［13］在重新初始化、搜索步長(zhǎng)、算法終止判據(jù)等方面對(duì)PGSA進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于電子干擾資源分配的優(yōu)化中。近年來(lái)，PGSA在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域得到發(fā)展與應(yīng)用，如高層懸掛結(jié)構(gòu)［14］、桁架結(jié)構(gòu)［15］及弦支穹頂結(jié)構(gòu)［16］等。

但是截至目前，涉及PGSA在索穹頂結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究尚鮮見(jiàn)報(bào)道，鑒于此，本研究針對(duì)原算法的局限性，提出新策略，在此基礎(chǔ)上，建立階段生長(zhǎng)PGSA，以此對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化，并與其他算法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其適用性。

1 PGSA基本原理

根據(jù)植物生長(zhǎng)的原理，PGSA將工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的約束空間視為植物的生長(zhǎng)空間，將目標(biāo)函數(shù)視為光源。首先在生長(zhǎng)空間內(nèi)選取一粒種子，即初始生長(zhǎng)點(diǎn)x0，其對(duì)應(yīng)一個(gè)初始函數(shù)值f(x0)；然后采用一定的步長(zhǎng)，在初始生長(zhǎng)點(diǎn)的附近產(chǎn)生節(jié)，即下一批可生長(zhǎng)點(diǎn)Sm，i（其中i為生長(zhǎng)點(diǎn)序號(hào)），計(jì)算每個(gè)可生長(zhǎng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(Sm，i)，并剔除大于f(x0)的點(diǎn)，最終組成可生長(zhǎng)點(diǎn)集合Sm。通過(guò)對(duì)比該集合中可生長(zhǎng)點(diǎn)函數(shù)值與初始函數(shù)值之間的差距，給予相應(yīng)的形態(tài)素濃度。函數(shù)值越優(yōu)于初始函數(shù)值的可生長(zhǎng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的形態(tài)素濃度越高，反之則越低，形態(tài)素濃度的計(jì)算如式（1）所示：

式中，k為集合Sm中可生長(zhǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Pm，i為第i個(gè)可生長(zhǎng)點(diǎn)的形態(tài)素濃度。

在可生長(zhǎng)點(diǎn)集合Sm中，其形態(tài)素濃度之和滿足：

所有形態(tài)素濃度構(gòu)成了一個(gè)概率區(qū)間[0，1]，每個(gè)可生長(zhǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一部分區(qū)域，通過(guò)隨機(jī)搜索的方式選擇其中一個(gè)區(qū)域，將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作為下一次生長(zhǎng)點(diǎn)，如圖1所示?？缮L(zhǎng)點(diǎn)的函數(shù)值越靠近目標(biāo)，其形態(tài)素濃度越高，所對(duì)應(yīng)的概率區(qū)域越大，那么被選為下一次生長(zhǎng)點(diǎn)的概率相應(yīng)就越高。通過(guò)這種形態(tài)素生長(zhǎng)機(jī)制，使該植物的枝節(jié)反復(fù)生長(zhǎng)，直到搜索到光源的位置，即函數(shù)的最優(yōu)解。

圖1 形態(tài)素濃度及其對(duì)應(yīng)的生長(zhǎng)概率Fig.1 Morphactin concentration and its growth probability

2 PGSA新策略

從多段步長(zhǎng)搜索及生長(zhǎng)機(jī)制等方面，探討原PGSA的局限性。參考文獻(xiàn)［17］，以具有兩個(gè)獨(dú)立變量的Rastrigin函數(shù)為測(cè)試算例（圖2），其表達(dá)式為

圖2 目標(biāo)函數(shù)三維視圖Fig.2 Three-dimensional view of objective function

式中：f(x1，x2)為目標(biāo)函數(shù)，即模擬植物生長(zhǎng)的光源，兩個(gè)設(shè)計(jì)變量分別為x1、x2，將可行域設(shè)為-5≤x1，x2≤5，以函數(shù)的全局最小值為優(yōu)化目標(biāo)，精度為0.1。

由圖2可見(jiàn)，該函數(shù)有非常多的局部極小點(diǎn)，但僅有一個(gè)全局最優(yōu)解，即x1=x2=0，此時(shí)函數(shù)值f(x1，x2)=0，達(dá)到最小。下文分析中，以圖2的函數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)不同參數(shù)取值分別運(yùn)行50次，并記錄其優(yōu)化得到的最小目標(biāo)函數(shù)值的均值及平均生長(zhǎng)空間（平均生長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)量），以此對(duì)比不同優(yōu)化機(jī)制的優(yōu)化效果與效率。

2.1 原算法的局限性

2.1.1 步長(zhǎng)機(jī)制

為探討原PGSA的局限性，在此提出多段步長(zhǎng)生長(zhǎng)機(jī)制，即采用非固定的步長(zhǎng)進(jìn)行生長(zhǎng)，并與常規(guī)的單一步長(zhǎng)生長(zhǎng)機(jī)制進(jìn)行對(duì)比。限定最大生長(zhǎng)次數(shù)為1 000，分別采用原PGSA的單一步長(zhǎng)（步長(zhǎng)為0.1）、兩段步長(zhǎng)（大步長(zhǎng)為2，生長(zhǎng)10次，小步長(zhǎng)為0.1）及三段步長(zhǎng)（大步長(zhǎng)為2，生長(zhǎng)10次，中步長(zhǎng)為0.5，生長(zhǎng)100次，小步長(zhǎng)為0.1）進(jìn)行優(yōu)化分析，結(jié)果見(jiàn)表1，優(yōu)化效果曲線如圖3所示。

表1 各步長(zhǎng)機(jī)制的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of each step mechanism

圖3 各步長(zhǎng)機(jī)制的優(yōu)化效果曲線Fig.3 Curves of optimization effect of each step mechanism

由表1及圖3可見(jiàn)，與原PGSA的單一步長(zhǎng)相比，兩段和三段步長(zhǎng)的平均最優(yōu)函數(shù)值較小，且后者更接近全局最優(yōu)解，但隨著步長(zhǎng)段數(shù)的增加，生長(zhǎng)空間也隨之迅速擴(kuò)大。由此表明，采用多段步長(zhǎng)生長(zhǎng)可提高PGSA的全局搜索能力，但在缺乏有效篩選機(jī)制時(shí)，該方法必然會(huì)增加計(jì)算工作量。

2.1.2 生長(zhǎng)點(diǎn)分布

在多段步長(zhǎng)生長(zhǎng)機(jī)制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究大步長(zhǎng)生長(zhǎng)次數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響。以兩段步長(zhǎng)PGSA為例，同樣采用大步長(zhǎng)為2，小步長(zhǎng)為0.1，分別以大步長(zhǎng)生長(zhǎng)1次與30次進(jìn)行對(duì)比，優(yōu)化結(jié)束后生長(zhǎng)點(diǎn)的分布如圖4所示。在此將以大步長(zhǎng)生長(zhǎng)產(chǎn)生的點(diǎn)稱為大生長(zhǎng)點(diǎn)。

圖4 不同大步長(zhǎng)生長(zhǎng)次數(shù)的生長(zhǎng)點(diǎn)分布Fig.4 Distribution of growth points with different growth numbers of large step

由圖4可見(jiàn)，當(dāng)大步長(zhǎng)生長(zhǎng)1次時(shí)，大生長(zhǎng)點(diǎn)僅分布在x1，x2∈(-2，4)區(qū)間內(nèi)，未能擴(kuò)散至整個(gè)可行域，其全局搜索能力較差；當(dāng)大步長(zhǎng)生長(zhǎng)30次時(shí)，大生長(zhǎng)點(diǎn)擴(kuò)散至x1，x2∈(-5，5)的范圍。當(dāng)大生長(zhǎng)點(diǎn)以大步長(zhǎng)為間距完全充滿整個(gè)可行域，即達(dá)到飽和后，每次生長(zhǎng)得到的點(diǎn)均會(huì)與原有的大生長(zhǎng)點(diǎn)重復(fù)且被忽略，使該生長(zhǎng)點(diǎn)無(wú)法在后續(xù)以小步長(zhǎng)進(jìn)行生長(zhǎng)，從而形成了一片無(wú)效區(qū)域，生長(zhǎng)點(diǎn)無(wú)法在其中擴(kuò)散。由此表明，大步長(zhǎng)具有散播生長(zhǎng)點(diǎn)、提高全局搜索能力的作用，但若生長(zhǎng)次數(shù)過(guò)多，使其達(dá)到飽和后，則反而會(huì)弱化全局搜索能力，影響優(yōu)化結(jié)果。

2.2 算法新策略

基于上文分析，從大步長(zhǎng)生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制及生長(zhǎng)點(diǎn)篩選機(jī)制兩方面，提出PGSA的新策略。

2.2.1 大步長(zhǎng)生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制

針對(duì)大步長(zhǎng)生長(zhǎng)次數(shù)過(guò)多而導(dǎo)致生長(zhǎng)點(diǎn)飽和的問(wèn)題，對(duì)大步長(zhǎng)采用多倍步長(zhǎng)一次性擴(kuò)散的方式以替代原PGSA中的隨機(jī)漸進(jìn)擴(kuò)散。如圖5所示，按原生長(zhǎng)機(jī)制，初始生長(zhǎng)點(diǎn)將向兩個(gè)維度進(jìn)行步長(zhǎng)為dx的生長(zhǎng)，從而產(chǎn)生8個(gè)新增的生長(zhǎng)點(diǎn)，可跨越2倍步長(zhǎng)（2dx）的空間，下一次將從新增生長(zhǎng)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)，并重復(fù)該生長(zhǎng)流程，直至生長(zhǎng)點(diǎn)布滿整個(gè)可行域。多倍步長(zhǎng)一次性擴(kuò)散生長(zhǎng)則分別以1～n倍步長(zhǎng)進(jìn)行生長(zhǎng)。以3倍步長(zhǎng)一次性擴(kuò)散生長(zhǎng)為例，其將向兩個(gè)維度分別以1、2及3倍步長(zhǎng)（3dx）的距離進(jìn)行一次生長(zhǎng)，便可產(chǎn)生48個(gè)新增的生長(zhǎng)點(diǎn)，所跨越的距離達(dá)到6倍步長(zhǎng)（6dx）。由于不再進(jìn)行隨機(jī)生長(zhǎng)，所有的生長(zhǎng)點(diǎn)均不會(huì)被淘汰。通過(guò)該生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制，并選擇合適的大步長(zhǎng)，便可得到布滿整個(gè)可行域的大生長(zhǎng)點(diǎn)，起到了散播生長(zhǎng)點(diǎn)的作用，且避免了生長(zhǎng)點(diǎn)的過(guò)早“廢棄”。

圖5 大步長(zhǎng)生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制Fig.5 Growth diffusion mechanism of large step

2.2.2 生長(zhǎng)點(diǎn)篩選機(jī)制

在此引入篩選系數(shù)w與篩選空間Sw，在每一次搜索時(shí)，對(duì)已求得的函數(shù)值從優(yōu)至劣進(jìn)行排序，得到篩選集合R，以該集合中排在第q位的函數(shù)值為對(duì)比指標(biāo)，即f(Rq)，其中q=Sw×w。將函數(shù)值比該對(duì)比指標(biāo)差的新增生長(zhǎng)點(diǎn)剔除，以此控制生長(zhǎng)空間的規(guī)模。在搜索到全局最優(yōu)解之后，該篩選機(jī)制會(huì)使可生長(zhǎng)點(diǎn)集合逐漸縮小直至無(wú)可生長(zhǎng)點(diǎn)，從而達(dá)到快速收斂并停止運(yùn)算。

3 階段生長(zhǎng)PGSA

3.1 算法機(jī)制及其計(jì)算流程

依據(jù)上述新策略，提出了基于階段生長(zhǎng)的模擬植物生長(zhǎng)算法（階段生長(zhǎng)PGSA），即將植物生長(zhǎng)分為多個(gè)階段，并在不同階段引入相應(yīng)的生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制或生長(zhǎng)點(diǎn)篩選機(jī)制，從而實(shí)現(xiàn)該算法的快速收斂，并提高全局搜索能力。

其基本思路為：對(duì)初始生長(zhǎng)點(diǎn)x0采用大步長(zhǎng)進(jìn)行搜索，并以3倍步長(zhǎng)一次性擴(kuò)散生長(zhǎng)，得到布滿整個(gè)可行域的生長(zhǎng)點(diǎn)；隨后以中步長(zhǎng)進(jìn)行快速搜索，配合較寬松的篩選機(jī)制，以控制生長(zhǎng)點(diǎn)的數(shù)量；最后以與精度相同的小步長(zhǎng)，結(jié)合較嚴(yán)格的篩選機(jī)制，從而達(dá)到快速收斂的目的，且在搜索到滿足精度要求的全局最優(yōu)解后及時(shí)終止計(jì)算。

該算法流程如圖6所示，具體步驟如下：

步驟1定義初始生長(zhǎng)點(diǎn)x0，并定義大、中、小步長(zhǎng)及其對(duì)應(yīng)的生長(zhǎng)次數(shù)、篩選系數(shù)w與篩選空間Sw。

步驟2計(jì)算得到初始生長(zhǎng)點(diǎn)x0對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f(x0)，以此作為全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin的初始值。

步驟3在不同階段選擇不同的步長(zhǎng)，對(duì)新增生長(zhǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(Sm，i)進(jìn)行排序，以排在第q位的函數(shù)值f(Rq)為對(duì)比指標(biāo)，其中q=Sw×w；將函數(shù)值劣于篩選標(biāo)準(zhǔn)(f(Sm，i)＞f(Rq))的新增生長(zhǎng)點(diǎn)剔除，其余則加入可生長(zhǎng)點(diǎn)集合Sm中。

步驟4判斷可生長(zhǎng)點(diǎn)集合是否為空集，若為空集，則跳轉(zhuǎn)至步驟8，若不為空集，則繼續(xù)進(jìn)行下一步。

步驟5找出當(dāng)前次新增生長(zhǎng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)函數(shù)值fmin，與既有全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin對(duì)比，判斷是否為更優(yōu)，若是，則更新全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生長(zhǎng)點(diǎn)Xmin。

步驟6對(duì)生長(zhǎng)點(diǎn)集合中所有的可生長(zhǎng)點(diǎn)按式（1）計(jì)算形態(tài)素濃度，并按概率隨機(jī)選取下一次的生長(zhǎng)點(diǎn)。

步驟7判斷是否達(dá)到最大生長(zhǎng)次數(shù)，若未達(dá)到，則回歸步驟3繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化，若達(dá)到，則進(jìn)行下一步。

步驟8輸出最終搜索得到的最優(yōu)函數(shù)值Fmin及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)生長(zhǎng)點(diǎn)Xmin，結(jié)束優(yōu)化流程。

3.2 算例分析

仍以式（3）所示的Rastrigin函數(shù)為例，基于圖6的流程進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)置大步長(zhǎng)為2，以3倍步長(zhǎng)進(jìn)行一次性擴(kuò)散，中步長(zhǎng)為0.5、生長(zhǎng)100次，小步長(zhǎng)為0.1，最大生長(zhǎng)次數(shù)為1000。中、小步長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的篩選系數(shù)分別為0.8、0.4，篩選空間均為100。對(duì)文中提出的階段生長(zhǎng)PGSA（三段步長(zhǎng)+擴(kuò)散機(jī)制+篩選機(jī)制）與純多段步長(zhǎng)PGSA（兩段步長(zhǎng)及三段步長(zhǎng)）及原PGSA的單一步長(zhǎng)的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖7所示。

圖6 階段生長(zhǎng)PGSA流程圖Fig.6 Flow chart of stage growth PGSA

圖7 不同PGSA的優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Optimization results of different PGSA

由圖7可見(jiàn)，階段生長(zhǎng)PGSA通過(guò)大范圍生長(zhǎng)，在提高全局搜索能力的同時(shí)避免了生長(zhǎng)點(diǎn)的飽和，且由于篩選機(jī)制的引入有效地縮小了生長(zhǎng)空間，其平均最優(yōu)函數(shù)值及平均生長(zhǎng)空間均優(yōu)于原PGSA。

4 索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化

在上文分析的基礎(chǔ)上，對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化。該結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化有兩個(gè)特點(diǎn)：一是搜索域中存在大量無(wú)解的點(diǎn)，二是最優(yōu)解相對(duì)集中于某些區(qū)域。階段生長(zhǎng)PGSA可通過(guò)大步長(zhǎng)有效跨越這些無(wú)解空間，再通過(guò)中步長(zhǎng)與小步長(zhǎng)快速搜索有解的空間，從而提高優(yōu)化效率。因此，相比于其他優(yōu)化算法，當(dāng)階段生長(zhǎng)PGSA應(yīng)用于索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化時(shí)，其具有顯著的優(yōu)勢(shì)。

4.1 優(yōu)化模型

為驗(yàn)證階段生長(zhǎng)PGSA在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的適用性，以某實(shí)際工程為背景，構(gòu)建圖8所示的復(fù)合型索穹頂結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化（標(biāo)高單位為m，其余單位為mm）。結(jié)構(gòu)跨度為100m，矢高為7.5m，設(shè)有內(nèi)拉環(huán)及兩道環(huán)索，周邊固定鉸支座。拉索采用彈性模量為195 GPa的平行鋼絲束；撐桿及內(nèi)拉環(huán)采用Q355B鋼材，彈性模量為206 GPa。結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)為2，構(gòu)件截面面積及各組自應(yīng)力模態(tài)如表2所示。

圖8 優(yōu)化模型Fig.8 Optimal model

4.1.1 優(yōu)化變量

將表2中的兩組自應(yīng)力模態(tài)記為{X1}和{X2}，并將其與組合系數(shù)β1、β2相乘，疊加得到最終的結(jié)構(gòu)初始預(yù)應(yīng)力{T}，如式（4）所示。以該組合系數(shù)β1、β2為優(yōu)化變量。

表2 構(gòu)件截面面積及自應(yīng)力模態(tài)Table 2 Section areas and self-stress modes of members

4.1.2 目標(biāo)函數(shù)

當(dāng)索穹頂結(jié)構(gòu)張拉完成時(shí)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能由張拉設(shè)備所提供，在滿足約束條件下，應(yīng)變能越小，張拉設(shè)備所做的功越少，張拉難度越低，施工越方便，其對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)效益越好。因此，在確定自應(yīng)力模態(tài)組合系數(shù)時(shí)，以結(jié)構(gòu)的初始應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)：

式中，Ti為第i類桿件的初始預(yù)應(yīng)力，n為結(jié)構(gòu)的桿件類別數(shù)，Ei、Ai、li分別為第i類桿件的彈性模量、截面面積及長(zhǎng)度，ni為第i類桿件的同類桿件數(shù)量。

4.1.3 約束條件

（1）整體可行性

由組合得到的初始預(yù)應(yīng)力，應(yīng)滿足索受拉、撐桿受壓且同一圈同類桿件預(yù)應(yīng)力相等的整體可行性。這是索穹頂結(jié)構(gòu)的自有特性，即依據(jù)節(jié)點(diǎn)平衡條件，索僅受拉力，撐桿僅受壓力，且所有桿件的受力均滿足對(duì)稱性。

（2）剛度要求

荷載態(tài)時(shí)，在自重、附加恒載0.5 kN/m2及不上人屋面活載0.3 kN/m（2全跨布置）的共同作用下，結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點(diǎn)豎向位移不大于跨度的1/400，荷載組合為1.0恒載+1.0活載的標(biāo)準(zhǔn)組合。

除上述約束條件外，還需對(duì)拉索的強(qiáng)度、撐桿的強(qiáng)度及穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)算。限于篇幅，在此不再贅述，具體詳見(jiàn)文獻(xiàn)［18］。

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

基于上文提出的階段生長(zhǎng)PGSA，通過(guò)MATLAB與ANSYS的協(xié)同編程實(shí)現(xiàn)參數(shù)化建模、結(jié)構(gòu)計(jì)算以及優(yōu)化算法的執(zhí)行。將階段生長(zhǎng)PGSA的優(yōu)化結(jié)果與純多段步長(zhǎng)PGSA（兩段步長(zhǎng)及三段步長(zhǎng)）進(jìn)行對(duì)比，參數(shù)設(shè)定見(jiàn)表3，最大生長(zhǎng)次數(shù)為1000，篩選空間均為100。經(jīng)試算，該設(shè)定參數(shù)下，優(yōu)化效率及優(yōu)化效果均較佳，其優(yōu)化效果曲線如圖9所示。

表3 不同PGSA的參數(shù)設(shè)定Table 3 Parameter setting for different PGSA

圖9 不同PGSA的優(yōu)化效果曲線Fig.9 Curves of optimization effect of different PGSA

由圖9可見(jiàn)，采用純多段步長(zhǎng)PGSA（兩段步長(zhǎng)及三段步長(zhǎng)）搜索時(shí)，其生長(zhǎng)至1000次仍未搜索到全局最優(yōu)解；階段生長(zhǎng)PGSA運(yùn)行至第286步便搜索到全局最優(yōu)解（對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能f=892.58 kN·m），且在第351步迭代終止。

進(jìn)一步地，將階段生長(zhǎng)PGSA與多島遺傳算法（MIGA）、自適應(yīng)模擬退火算法（ASA）及粒子群優(yōu)化算法（PSO）等優(yōu)化方法進(jìn)行對(duì)比，優(yōu)化效果曲線如圖10所示（不同算法的每次計(jì)算迭代時(shí)間基本一致，其關(guān)鍵參數(shù)設(shè)定詳見(jiàn)文獻(xiàn)［18］）。

圖10 不同算法的優(yōu)化效果曲線Fig.10 Curves of optimization effect of different algorithms

由圖10可見(jiàn)，與其他優(yōu)化算法相比，階段生長(zhǎng)PGSA的計(jì)算迭代次數(shù)最少，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能也最小（分別為MIGA的39.7%、ASA的58.9%及PSO的84.1%）。由此表明，該算法具有更高的優(yōu)化效率及更好的優(yōu)化效果，從而驗(yàn)證了其適用性。此外，以階段生長(zhǎng)PGSA求得的全局最優(yōu)解為β1=58×105，β2=-145×105。荷載標(biāo)準(zhǔn)組合下，結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點(diǎn)豎向位移為247.3 mm，小于結(jié)構(gòu)跨度的1/400（250 mm）。由組合得到的初始預(yù)應(yīng)力如表4所示，滿足索受拉、撐桿受壓的整體可行性要求，且拉索的強(qiáng)度、撐桿的強(qiáng)度及穩(wěn)定性驗(yàn)算，均滿足相關(guān)規(guī)范的要求。

表4 階段生長(zhǎng)PGSA優(yōu)化后的初始預(yù)應(yīng)力Table 4 Initial prestress obtained by stage growth PGSA

5 結(jié)論

（1）相比原PGSA的單一步長(zhǎng)，多段步長(zhǎng)生長(zhǎng)機(jī)制可提高PGSA的全局搜索能力，但隨著步長(zhǎng)段數(shù)的增加，其計(jì)算量相應(yīng)增大；當(dāng)大步長(zhǎng)生長(zhǎng)次數(shù)過(guò)多時(shí)，易造成生長(zhǎng)點(diǎn)的飽和，產(chǎn)生無(wú)效搜索區(qū)域，從而影響優(yōu)化結(jié)果。

（2）針對(duì)原PGSA的局限性，提出了階段生長(zhǎng)PGSA，將優(yōu)化過(guò)程分為多個(gè)階段，先引入大步長(zhǎng)生長(zhǎng)擴(kuò)散機(jī)制，以多倍步長(zhǎng)一次性擴(kuò)散生長(zhǎng)的方式實(shí)現(xiàn)生長(zhǎng)點(diǎn)的散播，再以中步長(zhǎng)配合較寬松的篩選機(jī)制進(jìn)行快速搜索，最后以精度要求的小步長(zhǎng)與較嚴(yán)格的篩選機(jī)制進(jìn)行收斂。結(jié)果表明：與原PGSA相比，階段生長(zhǎng)PGSA可有效增強(qiáng)全局搜索能力、縮小生長(zhǎng)空間且避免了生長(zhǎng)點(diǎn)飽和的問(wèn)題。

（3）采用階段生長(zhǎng)PGSA對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化，并與多島遺傳算法、自適應(yīng)模擬退火算法及粒子群優(yōu)化算法等優(yōu)化方法進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明：階段生長(zhǎng)PGSA的計(jì)算迭代次數(shù)最少，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能最小，表現(xiàn)出更高的優(yōu)化效率及更好的優(yōu)化效果，由此驗(yàn)證了該算法對(duì)索穹頂結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力優(yōu)化的適用性。