朱志輝， 王盈瑩， 龔 威， 馮乾朔

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075； 2.高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410075)

鐵路車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)由移動(dòng)車(chē)輛和連續(xù)軌道結(jié)構(gòu)組成。列車(chē)沿軌道高速運(yùn)行將引起軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)，強(qiáng)烈的振動(dòng)不僅會(huì)直接影響軌道的工作狀態(tài)和使用性能，還會(huì)降低列車(chē)的行車(chē)平穩(wěn)性和安全性，影響乘客乘坐舒適度[1]。因此，準(zhǔn)確和有效地評(píng)估車(chē)輛和軌道間的相互作用是至關(guān)重要的。

建立準(zhǔn)確的軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型是車(chē)輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論研究的重要部分。有限元直接剛度法(direct stiffness method, DSM)可直接基于軌道結(jié)構(gòu)有限元模型建立其動(dòng)力方程[2-4]。這種方法可準(zhǔn)確計(jì)算軌道結(jié)構(gòu)的局部與高頻振動(dòng)[5]，但軌道模型的自由度數(shù)目會(huì)隨著軌道長(zhǎng)度的增長(zhǎng)而增加，當(dāng)涉及較長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析時(shí)，不可避免會(huì)產(chǎn)生大量結(jié)構(gòu)自由度，使得動(dòng)力方程系數(shù)矩陣規(guī)模龐大，導(dǎo)致建模和計(jì)算的困難[6]。為了克服這個(gè)問(wèn)題，翟婉明[7]假設(shè)車(chē)輛相對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)只在一個(gè)固定點(diǎn)振動(dòng)，提出通過(guò)加載車(chē)輪上的軌道隨機(jī)不平順性得到車(chē)輛響應(yīng)的近似辦法，具有較高的計(jì)算效率，但忽略了軌道結(jié)構(gòu)變化的影響。Guo等[8-10]采用模態(tài)疊加法建立軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程，縮減了軌道自由度數(shù)目，但由于軌道結(jié)構(gòu)的局部高頻振動(dòng)特性，導(dǎo)致其主導(dǎo)振型難以選取[11]。移動(dòng)軌道技術(shù)[12-13]通過(guò)刪除非荷載作用處軌道結(jié)構(gòu)有效降低了自由度數(shù)目，但新增軌道連接處存在位移不協(xié)調(diào)問(wèn)題，新增單元處會(huì)出現(xiàn)動(dòng)力響應(yīng)突變[14]。

傳遞矩陣法(transfer matrix method，TMM)的基本思想是將周期性結(jié)構(gòu)分割為若干元胞結(jié)構(gòu)，將元胞的力學(xué)特性用傳遞矩陣表示，建立元胞結(jié)構(gòu)狀態(tài)矢量傳遞模型，實(shí)現(xiàn)整個(gè)周期性結(jié)構(gòu)的求解。傳遞矩陣法基于元胞結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，無(wú)需建立結(jié)構(gòu)整體動(dòng)力方程，避免了大型線(xiàn)性方程組的求解[15-16]，降低了計(jì)算過(guò)程中的內(nèi)存占用。Mead等[17-21]采用傳遞矩陣法分別針對(duì)周期性的彈性支承梁、框架結(jié)構(gòu)、薄壁構(gòu)件、拱橋和鋼橋進(jìn)行了研究，取得了良好的效果。對(duì)于鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，狀態(tài)矢量的傳遞僅相當(dāng)于元胞單元傳遞矩陣相乘，傳遞矩陣連續(xù)相乘即可得到系統(tǒng)總傳遞矩陣。然而，由于單元傳遞矩陣連續(xù)相乘，累積誤差被加劇，可能產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象[22]。針對(duì)該問(wèn)題，Horner等[23]結(jié)合Riccati變換與傳遞矩陣法，提出了一種Riccati傳遞矩陣法，通過(guò)傳遞矩陣的遞推建立系統(tǒng)傳遞關(guān)系，有效提高了傳遞矩陣法的數(shù)值穩(wěn)定性。Xue[24]在元胞結(jié)合面處引入剛度方程假定，將傳遞矩陣連續(xù)相乘演變?yōu)樵Y(jié)合面剛度方程的遞推傳遞，有效減小了因矩陣連續(xù)相乘產(chǎn)生的累積誤差。

軌道結(jié)構(gòu)具有明顯的周期特性，Ma等[25-26]利用這一特性，有效地解決了軌道結(jié)構(gòu)的頻域響應(yīng)分析問(wèn)題，但該類(lèi)方法無(wú)法考慮軌道的非線(xiàn)性特征和軌道構(gòu)成差異性。因此，本文利用傳遞矩陣方法建立軌道結(jié)構(gòu)傳遞模型并求解其動(dòng)力響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)不增加軌道系統(tǒng)計(jì)算自由度數(shù)目而可以增長(zhǎng)軌道結(jié)構(gòu)計(jì)算長(zhǎng)度的目的。同時(shí)，當(dāng)軌道結(jié)構(gòu)縱向構(gòu)成有差異，如出現(xiàn)軌枕空吊、扣件失效等情況時(shí)，只需將該處元胞更換為包含差異構(gòu)成的元胞，不影響整體傳遞關(guān)系的建立。

本文將車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)分解為車(chē)輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)，兩子系統(tǒng)間通過(guò)輪軌相互作用力實(shí)現(xiàn)耦合。其中，車(chē)輛子系統(tǒng)采用多剛體動(dòng)力學(xué)方法建立動(dòng)力方程；對(duì)于具有顯著周期性特征的軌道子系統(tǒng)，以有砟軌道和CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道為例，基于TMM將軌道結(jié)構(gòu)的周期性重復(fù)部分劃分為若干類(lèi)元胞結(jié)構(gòu)，建立元胞結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，并基于引入剛度方程假定的Riccati傳遞矩陣法，確定元胞內(nèi)部及相鄰元胞間的傳遞關(guān)系，從而建立周期性軌道結(jié)構(gòu)傳遞矩陣模型。通過(guò)對(duì)比TMM與DSM計(jì)算的CRH2型動(dòng)車(chē)通過(guò)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)引起的車(chē)輛和軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，驗(yàn)證了本文方法的可行性和高效性。

1 軌道結(jié)構(gòu)傳遞矩陣模型

根據(jù)鋼軌下部有無(wú)道砟支撐層，現(xiàn)有軌道結(jié)構(gòu)可分為有砟和無(wú)砟軌道兩類(lèi)，其結(jié)構(gòu)形式和力學(xué)特征均有所不同，因此采用傳遞矩陣法對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，應(yīng)針對(duì)不同類(lèi)型的軌道結(jié)構(gòu)，提出相應(yīng)的元胞劃分方案。CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道是我國(guó)廣泛應(yīng)用的無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)形式之一，京津城際、京滬高鐵等均采用了此種軌道結(jié)構(gòu)[27]。故本文以有砟軌道和CRTSⅡ型縱連板式無(wú)砟軌道為例，提出元胞劃分方案，推導(dǎo)元胞間的動(dòng)力傳遞關(guān)系，建立基于傳遞矩陣法的軌道結(jié)構(gòu)元胞模型。軌道系統(tǒng)左右對(duì)稱(chēng)，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，取半結(jié)構(gòu)進(jìn)行介紹，且只考慮在豎向平面內(nèi)的動(dòng)力響應(yīng)。

1.1 元胞結(jié)構(gòu)的劃分

軌道結(jié)構(gòu)由重復(fù)的單跨軌道構(gòu)成，因此應(yīng)用傳遞矩陣法時(shí)，僅需對(duì)單跨軌道進(jìn)行劃分。為便于建立元胞內(nèi)部傳遞關(guān)系，元胞結(jié)構(gòu)的劃分應(yīng)遵循僅元胞端部存在自由度，且相鄰元胞交界面自由度數(shù)目相同的原則。

有砟軌道垂向整體模型如圖1(a)所示，其中鋼軌視作連續(xù)彈性離散點(diǎn)支撐的垂向Timoshenko梁模型，考慮豎向位移Zr及轉(zhuǎn)動(dòng)角θr，長(zhǎng)度為L(zhǎng)；軌枕(及道砟質(zhì)量)等效為集中質(zhì)量ms，考慮豎向位移Zs，相鄰兩軌枕間距為l；扣件和道砟等效為彈簧-阻尼器，考慮豎向剛度系數(shù)kf，kb及阻尼系數(shù)cf，cb。為對(duì)鋼軌進(jìn)行較為精細(xì)的劃分，如圖1(b)所示，將有砟軌道單跨軌道劃分為3類(lèi)元胞結(jié)構(gòu)：元胞A為左側(cè)支撐結(jié)構(gòu)，由鋼軌、軌枕、扣件和道砟組成；元胞B為中間連接結(jié)構(gòu)，由鋼軌組成；元胞C為右側(cè)支撐結(jié)構(gòu)，構(gòu)成與元胞A相同，由于相鄰兩元胞包含同一支承結(jié)構(gòu)，故二者支承結(jié)構(gòu)參數(shù)均為整體的1/2(端部元胞除外)。

CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道如圖2(a)所示，鋼軌、軌道板和底座板被視為連續(xù)彈性離散點(diǎn)支撐的Timoshenko梁模型，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，考慮豎向位移Zr、Zt、Zc及轉(zhuǎn)動(dòng)角θr、θt、θc,下標(biāo)r、t、c分別表示鋼軌、軌道板、底座板；扣件、CA砂漿和基礎(chǔ)等效為周期性離散分布的黏滯阻尼和線(xiàn)性彈簧，間距為l，考慮豎向剛度系數(shù)kf、kc、ks和阻尼系數(shù)cf、cc、cs，下標(biāo)f、c、s分別表示扣件、CA砂漿、基礎(chǔ)。類(lèi)似于有砟軌道，將CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道單跨軌道結(jié)構(gòu)劃分為3類(lèi)元胞結(jié)構(gòu)，如圖2(b)所示。其中，元胞A和C均由鋼軌、軌道板、底座板、扣件、CA砂漿和地基組成，由于相鄰兩元胞包含同一支承結(jié)構(gòu)，故二者支承結(jié)構(gòu)參數(shù)均為整體模型的1/2(端部元胞除外)；元胞B由鋼軌、軌道板和底座板組成。

(a) 整體垂向模型

(b) 單跨軌道劃分示意圖圖1 有砟軌道垂向模型劃分示意圖Fig.1 Structure division of ballast track

(a) 整體垂向模型

(b) 單跨軌道劃分示意圖圖2 CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道垂向模型劃分示意圖Fig.2 Structure division of CRTSⅡ slab ballastless track

1.2 元胞結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程

任意取整體結(jié)構(gòu)中第i個(gè)軌道元胞，其運(yùn)動(dòng)方程可表示為

(1)

采用Newmark-β直接積分法[29]對(duì)元胞動(dòng)力方程進(jìn)行求解，式(1)可寫(xiě)為

(2)

圖3 元胞i輸入端到輸出端傳遞關(guān)系示意圖Fig.3 The transmission of vectors from the input to the output of cell i

對(duì)于元胞i

(3)

如圖2所示，元胞i輸入和輸出端自由度對(duì)應(yīng)的位移和內(nèi)力可表示為

(4)

式中:Z、θ、Q和M分別表示位移、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩;下標(biāo)r、t和c分別表示鋼軌、軌道板和底座板。

(5)

1.3 傳遞模型的建立

由位移和內(nèi)力的連續(xù)條件[31]，元胞結(jié)合面處的狀態(tài)矢量傳遞關(guān)系可表示為

Ui-1,O=Ui,I,Ni-1,O=-Ni,I

(6)

引入類(lèi)似于狀態(tài)矢量的廣義Riccita變換，假設(shè)元胞i左側(cè)結(jié)合面處內(nèi)力向量與位移向量的廣義剛度方程為

Ni,I=SiUi,I+Ei(i≥2)

(7)

式中:Si是結(jié)合面處剛度方程的系數(shù)矩陣;Ei是結(jié)合面處的等效外力向量。

展開(kāi)式(5)，可得：

(8)

(9)

將式(6)和式(7)代入式(8)，可得由第i個(gè)元胞輸出端位移響應(yīng)求解第i-1個(gè)元胞輸出端響應(yīng)的傳遞關(guān)系式

(10)

將式(10)代入式(9)，可得元胞i+1輸入端內(nèi)力與位移向量的廣義剛度方程為

Ni+1,I=Si+1Ui+1,I+Ei+1

(11)

其中：

(12)

(13)

式(12)和式(13)即為相鄰剖面間，剛度方程的系數(shù)矩陣和等效外荷載向量的傳遞關(guān)系。

式(11)中，令i=2，有：

N2,I=S2U2,I+E2

(14)

將式(6)代入式(14)，則上式可表示為

N1,O=-S2U1,O-E2

(15)

對(duì)于元胞1，擴(kuò)展式(5)可得：

(16)

(17)

軌道結(jié)構(gòu)兩端無(wú)內(nèi)力作用，N1,I是已知的，因此由式(16)可得元胞1的輸入端位移為

(18)

將式(18)代入式(17)可得元胞1的輸出端內(nèi)力為

(19)

對(duì)照式(15)可知

(20)

(21)

將S2和E2代入式(12)和式(13)，可完成Si和Ei在整個(gè)結(jié)構(gòu)中由輸入端至輸出端作剛度方程的連續(xù)傳遞，進(jìn)而建立整體結(jié)構(gòu)的狀態(tài)矢量傳遞模型?？紤]結(jié)構(gòu)輸出端邊界條件，通過(guò)式(7)可得結(jié)構(gòu)輸出端的位移和內(nèi)力響應(yīng)，將其代入輸出端響應(yīng)傳遞關(guān)系式(10)，由輸出端至輸入端依次求解，可得各元胞的位移響應(yīng)，并通過(guò)Newmark-β方法解得其速度和加速度響應(yīng)。

由上述推導(dǎo)過(guò)程可知，采用傳遞矩陣法對(duì)軌道子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)，無(wú)需建立軌道結(jié)構(gòu)整體模型，僅需拆分其單跨軌道為若干元胞結(jié)構(gòu)，并依據(jù)元胞結(jié)構(gòu)間的傳遞關(guān)系，建立軌道結(jié)構(gòu)的整體傳遞模型即可。對(duì)于垂向有砟/無(wú)砟軌道模型，無(wú)論軌道整體長(zhǎng)度如何變化，計(jì)算過(guò)程中所涉及的最大矩陣階數(shù)始終為3/6。

2 車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析模型

本文在車(chē)輛-軌道動(dòng)力分析模型中，將整個(gè)耦合系統(tǒng)劃分為車(chē)輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)，通過(guò)輪軌間的相互作用力來(lái)建立兩個(gè)子系統(tǒng)的聯(lián)系。其中，軌道子系統(tǒng)模型通過(guò)軌道結(jié)構(gòu)傳遞矩陣模型建立。

2.1 車(chē)輛子系統(tǒng)

車(chē)輛視作多剛體模型，單節(jié)車(chē)輛由1個(gè)車(chē)體、2個(gè)轉(zhuǎn)向架、4個(gè)輪對(duì)、4個(gè)一系懸掛系統(tǒng)和2個(gè)二系懸掛系統(tǒng)組成，如圖4所示。車(chē)體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)采用剛體模擬，懸掛系統(tǒng)通過(guò)線(xiàn)性彈簧-阻尼器模擬。本文僅關(guān)注車(chē)輛在豎向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，考慮車(chē)體的沉浮zc和點(diǎn)頭βc、轉(zhuǎn)向架的沉浮zt1、zt2和點(diǎn)頭βt1、βt2，以及4個(gè)輪對(duì)的沉浮zwj1～zwj4，共10個(gè)自由度。圖中：mc、mt和mw別為車(chē)體、轉(zhuǎn)向架和輪對(duì)的質(zhì)量；kpz、cpz和ksz、csz分別為車(chē)輛一系和二系懸掛系統(tǒng)的剛度和阻尼系數(shù)；Icy和Ity分別為車(chē)體和轉(zhuǎn)向架的點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；lc為車(chē)輛定距之半；lt為車(chē)輛軸距之半；v為車(chē)輛運(yùn)行速度。車(chē)輛主要參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[32]。

車(chē)輛子系統(tǒng)的動(dòng)力方程可表示為

(22)

圖4 車(chē)輛模型Fig.4 Vehicle model

2.2 軌道子系統(tǒng)

采用TMM建立軌道子系統(tǒng)模型，無(wú)需建立軌道結(jié)構(gòu)整體模型，僅需將周期性軌道結(jié)構(gòu)劃分為若干元胞結(jié)構(gòu)，建立元胞結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，并依據(jù)元胞結(jié)構(gòu)間的傳遞關(guān)系，建立軌道結(jié)構(gòu)傳遞模型進(jìn)行求解。對(duì)于元胞m，其動(dòng)力方程可表示為

(23)

(24)

式中:Brvm(1×(Nm,INm,O))為布爾矩陣，該矩陣中與元胞結(jié)構(gòu)鋼軌節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)自由度的元素為1，其余元素為0;Nm,I和Nm,O分別為元胞m輸入端和輸出端的自由度數(shù)目;Fr為軌道子系統(tǒng)的外荷載向量。

2.3 輪軌間相互作用力

車(chē)輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)之間的動(dòng)力相互作用通過(guò)輪軌接觸實(shí)現(xiàn)，本文采用基于切線(xiàn)斜率法的線(xiàn)性Hertz接觸模型模擬輪軌接觸關(guān)系。切線(xiàn)斜率法是指過(guò)非線(xiàn)性赫茲接觸曲線(xiàn)中靜態(tài)輪軌力P0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)作切線(xiàn)，切線(xiàn)的斜率即為輪軌接觸彈簧剛度kh，可根據(jù)下式求解

(25)

式中：G為輪軌接觸常數(shù),m/N2/3；P0為靜輪重,N。

在式(22)和(24)中，車(chē)輛子系統(tǒng)和軌道子系統(tǒng)通過(guò)軌道不平順激勵(lì)和輪軌間壓縮引起的輪軌力實(shí)現(xiàn)耦合。需要注意的是，假設(shè)車(chē)輛在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，軌道為三維空間模型。因此，每個(gè)輪對(duì)由兩個(gè)相同的赫茲彈簧連接在兩條鋼軌上。

式(22)中的車(chē)輛外荷載向量Fv可寫(xiě)為

Fv=Fvg+Fvi+Fvr

(26)

其中，

Fvgj=[mcg0mtg0mtg0mwgmwgmwgmwg]T

(27)

Fvij=[0 0 0 0 0 0fvij1fvij2fvij3fvij4]T

(28)

fviji=2khr(xji)

(29)

式中:Nv為車(chē)輛子系統(tǒng)的列車(chē)節(jié)數(shù)；Fvgj(10×1)為第j節(jié)列車(chē)所受的重力荷載，由各剛體所受重力組成；Fvij(10×1)為車(chē)輛所受的軌道不平順激勵(lì)；fviji為第j節(jié)車(chē)輛第i個(gè)輪對(duì)受到的軌道不平順激勵(lì)；r(x)表示軌道不平順取值，由輪對(duì)在軌道上的位置決定。

Fvr(Nv×1)為車(chē)輛所受的由輪軌間壓縮引起的輪軌力，需結(jié)合輪下鋼軌進(jìn)行求解，如圖5所示。

圖5 車(chē)輛和軌道子系統(tǒng)耦合方式Fig.5 Vehicle and track subsystem coupled mode

對(duì)于第j節(jié)車(chē)的第i個(gè)輪對(duì)，fvrji可表示為

fvrji=kh(zrwji-zwji)

(30)

式中:(zrwji-zwji)表示第j節(jié)車(chē)的第i個(gè)輪對(duì)所在位置的輪軌壓縮量;zwji為輪對(duì)豎向位移;zrwji為輪下鋼軌的豎向位移?？捎奢喯略袖撥墕卧?jié)點(diǎn)的位移插值求得

zrwji=XmNT(x)|x=xji

(31)

其中，

Xm=Brvm[Um-1,OUm,O]T

(32)

式中:NT(x)為鋼軌單元的形函數(shù)向量轉(zhuǎn)置；Xm為輪下鋼軌單元的位移；Brvm同上；Um-1,O和Um,O分別為位移矩陣中與軌下元胞的輸入端和輸出端對(duì)應(yīng)的元素。

式(24)中的軌道外荷載向量Fr為

Fr=Fri+Frv

(33)

其中，

(34)

(35)

式中:Fri為軌道所受的不平順激勵(lì)；Frv為軌道所受的由輪軌間壓縮引起的輪軌力；Njis(1×Nr)為第j節(jié)車(chē)第i個(gè)輪對(duì)所在的第s個(gè)鋼軌單元(1個(gè)輪對(duì)與2個(gè)鋼軌單元存在接觸)的形函數(shù)。

2.4 計(jì)算流程

圖6給出了基于本文方法的車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算分析流程圖，具體計(jì)算步驟為：①采用多剛體動(dòng)力學(xué)方法建立車(chē)輛動(dòng)力方程；②將軌道結(jié)構(gòu)劃分為元胞結(jié)構(gòu)，建立元胞有限元模型，并采用TMM建立軌道結(jié)構(gòu)傳遞矩陣模型；③令系統(tǒng)初始響應(yīng)為零；④根據(jù)列車(chē)位置確定軌下元胞，計(jì)算輪對(duì)和鋼軌位移差，并通過(guò)輪軌接觸關(guān)系和軌道不平順求解式(22)和(24)中輪軌間相互作用力；⑤施加輪軌力至對(duì)應(yīng)的輪對(duì)和鋼軌自由度，通過(guò)數(shù)值積分法和傳遞矩陣法求解當(dāng)前時(shí)間步車(chē)輛及軌道的動(dòng)力響應(yīng)；⑥判斷收斂性；⑦存儲(chǔ)響應(yīng)，并將其作為下一時(shí)間步的初始狀態(tài)，重復(fù)步驟④和⑤直至計(jì)算結(jié)束。

圖6 基于TMM的車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算流程圖Fig.6 The calculation flow of vehicle-track coupled system dynamic response based on TMM

3 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述關(guān)于車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)傳遞矩陣算法的正確性，以高速列車(chē)作用下的無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)為例，對(duì)比了TMM和DSM計(jì)算所得的輪軌力、車(chē)輛位移和軌道動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果。并通過(guò)兩種方法計(jì)算耗時(shí)的對(duì)比，進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的高效性。

CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)如圖7所示，軌道長(zhǎng)度為60 m，扣件間距為0.6 m；鋼軌通過(guò)扣件直接與軌道板(內(nèi)置軌枕的預(yù)制板)相連，對(duì)稱(chēng)分布于距軌道板中心0.745 m處；軌道板長(zhǎng)6 m，寬2.55 m，高0.2 m，其下鋪設(shè)有CA砂漿層；底座板長(zhǎng)6 m，寬3.25 m，高0.3 m，通過(guò)板下的滑動(dòng)層與下部結(jié)構(gòu)相連。假定單節(jié)CRH2動(dòng)車(chē)以300 km/h的速度沿鋼軌從左至右移動(dòng)，計(jì)算時(shí)考慮我國(guó)新規(guī)范高速鐵路無(wú)砟軌道不平順譜樣本，結(jié)構(gòu)阻尼比取為0.02，數(shù)值積分步長(zhǎng)取1/10 000 s。

圖7 CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 CRTSⅡslab ballastless track

對(duì)于空間的軌道結(jié)構(gòu)，其元胞劃分方案與平面軌道結(jié)構(gòu)類(lèi)似，其中元胞A、B和C長(zhǎng)度均為0.1 m。采用有限元法建立軌道結(jié)構(gòu)的元胞模型，并導(dǎo)出其質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣進(jìn)行元胞動(dòng)力方程求解。元胞有限元模型中，鋼軌采用空間梁?jiǎn)卧狟eam188模擬，軌道板和底座板采用空間板單元Shell181模擬，扣件、砂漿層和滑動(dòng)層均通過(guò)彈簧-阻尼器單元模擬，具體建模參數(shù)參考文獻(xiàn)[34]。

圖8、圖9和圖10給出了TMM和DSM計(jì)算所得的第一輪對(duì)輪軌力、第一節(jié)車(chē)體響應(yīng)及軌道跨中截面處鋼軌響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)。其中，虛線(xiàn)表示采用TMM的計(jì)算結(jié)果，實(shí)線(xiàn)表示DSM的計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出，兩種方法的計(jì)算結(jié)果有很好的一致性。以DSM計(jì)算結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)，分析兩種方法計(jì)算所得各項(xiàng)響應(yīng)的最大值及相對(duì)誤差，如表1所示。其中最大值誤差均小于1%，表明基于本文方法建立的軌道結(jié)構(gòu)傳遞矩陣模型，應(yīng)用于車(chē)-軌耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)具有較高的計(jì)算精度。

圖8 第一輪對(duì)輪軌力時(shí)程曲線(xiàn)Fig.8 Time history curve of vertical wheel-rail contact force of the first wheel set

圖9 第1節(jié)車(chē)體豎向加速度時(shí)程曲線(xiàn)Fig.9 The dynamic response time history curve of the vehicle

(a) 豎向位移時(shí)程

(b) 豎向加速度時(shí)程圖10 跨中截面處鋼軌動(dòng)力響應(yīng)時(shí)程曲線(xiàn)Fig.10 The dynamic response time history curve of midpoint of rail

表1 兩種方法計(jì)算精度對(duì)比Tab.1 Comparison of calculation accuracy

為進(jìn)一步說(shuō)明本文方法具有更高的計(jì)算效率，對(duì)比了TMM和DSM兩種方法的計(jì)算耗時(shí)，如表2所示。其中，采用DSM求解軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，需要建立無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)的整體模型，動(dòng)力方程最大矩陣階數(shù)為50 484；采用TMM時(shí)，僅需建立元胞結(jié)構(gòu)模型，極大地減少了軌道自由度數(shù)目，動(dòng)力方程最大矩陣階數(shù)僅為84，為整體模型的1/601。對(duì)比TMM和DSM的計(jì)算耗時(shí)，當(dāng)無(wú)砟軌道長(zhǎng)度為60 m時(shí)，TMM計(jì)算耗時(shí)為DSM的17.1%。表明基于本文方法求解車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)模型動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，僅需對(duì)各個(gè)軌道元胞結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程進(jìn)行求解，無(wú)需建立和求解整體軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，有效地降低了計(jì)算過(guò)程中動(dòng)力方程系數(shù)矩陣的規(guī)模，提升了計(jì)算效率。

表2 兩種方法計(jì)算耗時(shí)對(duì)比

4 結(jié) 論

本文針對(duì)車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析問(wèn)題，利用軌道結(jié)構(gòu)的周期性特征，基于傳遞矩陣法提出了一種便捷的建模及求解方案。針對(duì)有砟軌道和CRTSⅡ型無(wú)砟軌道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，分別提出了對(duì)應(yīng)的元胞劃分方案和傳遞矩陣模型，并應(yīng)用于車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析。以高速動(dòng)車(chē)通過(guò)無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)為例，對(duì)其正確性進(jìn)行了驗(yàn)證。得到了以下結(jié)論：

(1) 本文方法計(jì)算結(jié)果與直接剛度法計(jì)算結(jié)果吻合度極高，表明基于本文方法應(yīng)用于車(chē)-軌耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析時(shí)具有較高的計(jì)算精度。

(2) 本文方法在建立車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)模型時(shí)應(yīng)用了軌道結(jié)構(gòu)的周期特性，只需建立其單跨軌道劃分而成的元胞模型，無(wú)需建立其整體模型，使得建模更為便捷。

(3) 基于傳遞矩陣法求解車(chē)輛-軌道耦合系統(tǒng)模型動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，僅需對(duì)各個(gè)軌道元胞結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程進(jìn)行求解，無(wú)需組裝整體軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，有效地降低了計(jì)算過(guò)程中涉及矩陣的規(guī)模，提升了計(jì)算效率。