楊怡婷

(天津?yàn)I海職業(yè)學(xué)院 機(jī)電工程系,天津 300451)

通過(guò)兩輪自平衡可移動(dòng)機(jī)器人電能轉(zhuǎn)換效率的提高，可保證機(jī)器人能夠在一定的電能供給條件下移動(dòng)更長(zhǎng)的距離并完成更多的動(dòng)作[1-4].為此提出了一種能耗最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法，考慮了電機(jī)的運(yùn)動(dòng)特性和軌跡跟蹤器的指令響應(yīng)過(guò)程，并分別建立了對(duì)應(yīng)的模型，與軌跡規(guī)劃相結(jié)合利用頻域分析創(chuàng)建了線性能耗模型，同時(shí)基于局部目標(biāo)點(diǎn)間的最小能耗運(yùn)動(dòng)軌跡算法進(jìn)行了整體最優(yōu)軌跡的規(guī)劃.對(duì)提出的方法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所創(chuàng)建模型的正確性和方法的有效性.

1 能耗模型

為了能夠微觀地分析機(jī)器人行動(dòng)過(guò)程中的能耗和運(yùn)動(dòng)軌跡，將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡劃分為由多個(gè)行動(dòng)局部目標(biāo)點(diǎn)連接而成的曲線段[5-6].機(jī)器人從當(dāng)前軌跡運(yùn)動(dòng)到預(yù)定軌跡的能量消耗分為兩部分，即運(yùn)動(dòng)能耗和非運(yùn)動(dòng)能耗.由于軌跡控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)會(huì)引起機(jī)器人動(dòng)作的超調(diào)或滯后，在軌跡變換過(guò)程中機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能耗不僅要用于驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)克服地面摩擦力，還要用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，所以運(yùn)動(dòng)能耗包含變狀態(tài)能耗Estate和穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efri兩個(gè)部分.

1.1 變狀態(tài)能耗

機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸入電壓變化情況如圖1所示.機(jī)器人由當(dāng)前軌跡運(yùn)動(dòng)到預(yù)定軌跡的前Ts秒時(shí)間為機(jī)器人行動(dòng)的過(guò)渡階段，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)狀態(tài)調(diào)整，電能消耗除了克服地面摩擦驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)之外，還需實(shí)現(xiàn)機(jī)器人的速度加減，這兩部分的總體能耗為Estate.

圖1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中電機(jī)電壓變化

(a)側(cè)視圖

(b)俯視圖

(1)

式中，A為機(jī)器人狀態(tài)參數(shù)所組成的矩陣，B為機(jī)器人控制器參數(shù)矩陣，u為左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸入電壓，C為6×6的單位矩陣.結(jié)合以上各運(yùn)動(dòng)角速度的計(jì)算方法和機(jī)器人PID控制器的控制增益可分別得到軌跡參數(shù)轉(zhuǎn)換模塊的傳遞函數(shù)矩陣T(s)和軌跡跟蹤器的傳遞函數(shù)矩陣G(s)，通過(guò)拉普拉斯變換將式(1)轉(zhuǎn)換為機(jī)器人的傳遞函數(shù)矩陣H(s)，則機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化量Δr與電機(jī)輸入電壓Δu的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(2)

考慮電機(jī)的實(shí)際電能消耗和移動(dòng)時(shí)左右兩側(cè)滾輪的輸出電壓ul和ur，機(jī)器人在當(dāng)前軌跡移動(dòng)過(guò)程中的變狀態(tài)能耗在時(shí)域中的表達(dá)式為：

(3)

式中，Rm為驅(qū)動(dòng)電機(jī)電阻值，Ts為變狀態(tài)持續(xù)時(shí)間，ul-和ur-分別為上一次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的輸出電壓.利用傅里葉變換將式(3)的時(shí)域表達(dá)式轉(zhuǎn)換為相同能量輸出的頻域表達(dá)式：

(4)

將式(4)展開(kāi)，引入C=ul-×Δr、D=ur-×Δr替代多項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng).由于機(jī)器人移動(dòng)速度變化量Δv、角速度變化量Δw以及運(yùn)動(dòng)方向的變化量σ均為固定值，所以機(jī)器人系統(tǒng)在頻域上的變狀態(tài)能耗總量表達(dá)式可轉(zhuǎn)化為：

(5)

由式(5)可見(jiàn)，機(jī)器人在變狀態(tài)階段的能耗取決于上一段運(yùn)動(dòng)軌跡的輸出功率P_和當(dāng)前軌跡的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化量Δr.

1.2 穩(wěn)定狀態(tài)能耗

Efri=[b1(υ-+Δυ)2+b2(w-+Δw)2](T-Ts),

(6)

式中，v_和w_分別為在前一段運(yùn)動(dòng)軌跡中機(jī)器人的位移速度和滾輪旋轉(zhuǎn)角速度，b1和b2均為常數(shù).

2 最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法

一定數(shù)量的局部目標(biāo)點(diǎn)劃分為多個(gè)曲線段的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡中，每一條曲線段都呈圓弧形，設(shè)圓弧形軌跡的圓心角為γ，則機(jī)器人在該段軌跡運(yùn)動(dòng)的總能耗可通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換變量γ與運(yùn)動(dòng)時(shí)間T來(lái)表示，因此，調(diào)整預(yù)定軌跡的變化量Δr和運(yùn)動(dòng)時(shí)間T即能獲得機(jī)器人的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡.機(jī)器人在相鄰兩個(gè)局部目標(biāo)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3所示.

圖3 相鄰局部目標(biāo)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)軌跡

預(yù)定軌跡的起點(diǎn)即當(dāng)前位置的坐標(biāo)為(xi-1，yi-1)，運(yùn)動(dòng)目標(biāo)位置的坐標(biāo)為(xi，yi)，當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)向量為(vi-1，wi-1，φi-1).圖3中的粗實(shí)線曲線段為最優(yōu)預(yù)定軌跡，其右側(cè)細(xì)實(shí)線為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向不變情況下的光滑軌跡，那么相對(duì)于前一段運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)前預(yù)定軌跡的變化量應(yīng)為(Δvi，Δwi，σi)，運(yùn)行時(shí)間為T(mén)i，由此可通過(guò)相鄰兩個(gè)局部目標(biāo)點(diǎn)之間的直線距離di和預(yù)定軌跡的圓心角?i分別推導(dǎo)出Δri中的Δvi、Δwi和σi，引入?yún)?shù)變量θ1、θ2，即可得到由變量γi和Ti所組成的預(yù)計(jì)軌跡總能耗表達(dá)式為：

(7)

為了獲得式(7)的最小值，求解以下偏導(dǎo)方程：

(8)

將結(jié)果代入Δvi、Δwi和σi的計(jì)算式，即可得到預(yù)定軌跡相對(duì)于前一段運(yùn)動(dòng)軌跡的最優(yōu)變化量.

3 仿真測(cè)試

3.1 能耗模型參數(shù)與最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡

以兩輪自平衡可移動(dòng)機(jī)器人為測(cè)試對(duì)象，采用LQR-PID軌跡跟蹤控制器控制機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)，為了保證控制精度，設(shè)定機(jī)器人的移動(dòng)速度不大于1 m/s，為了避免滾輪空轉(zhuǎn)，設(shè)定旋轉(zhuǎn)角速度不大于0.35 rad/s，運(yùn)動(dòng)角度變化量不大于80°.

在各種設(shè)定值的范圍內(nèi)隨機(jī)選取1 000組機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，其中700組用于訓(xùn)練能耗模型，剩余300組用于仿真結(jié)果測(cè)試.運(yùn)動(dòng)軌跡的狀態(tài)量分別為r1=(v1，w1，φ0+σ1)T，…，ri=(vi，wi，φi-1+σi)T，在運(yùn)動(dòng)軌跡的起點(diǎn)位置將機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)參數(shù)v1、w1和σ1輸入控制器，啟動(dòng)機(jī)器人并運(yùn)行10秒，記錄第10秒時(shí)的左右兩側(cè)滾輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸入電壓ul-和ur-，接下來(lái)將v2、w2和σ2輸入控制器再驅(qū)動(dòng)機(jī)器人運(yùn)行10秒，此時(shí)變狀態(tài)能耗Estate的對(duì)應(yīng)時(shí)間為第10-(10+Ts)秒，穩(wěn)定狀態(tài)能耗Efrie的對(duì)應(yīng)時(shí)間為第(10+Ts)-20秒，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可得Ts為5.82秒.利用最小二乘法計(jì)算能耗模型的參數(shù)，可分別獲得能耗模型的參數(shù)向量θ1(a1，…，a13)和θ2(b1，b2)，具體結(jié)果如表1所列.

表1 能耗模型參數(shù)

最后通過(guò)300組測(cè)試數(shù)據(jù)對(duì)表1中的模型參數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，通過(guò)這些參數(shù)所計(jì)算的運(yùn)動(dòng)能耗與實(shí)際能耗的誤差如圖4所示.通過(guò)測(cè)試集驗(yàn)證，運(yùn)動(dòng)能耗的絕對(duì)誤差均不大于1 J，平均相對(duì)誤差為0.63%，可見(jiàn)通過(guò)本文方法創(chuàng)建的能耗模型是貼近實(shí)際的.

(a)測(cè)試集能耗對(duì)比絕對(duì)誤差

(b)測(cè)試集能耗對(duì)比相對(duì)誤差

機(jī)器人的預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5虛線部分路徑，路徑上的各個(gè)拐點(diǎn)作為運(yùn)動(dòng)軌跡的局部目標(biāo)點(diǎn)，并按照拐點(diǎn)將路徑劃分為4條局部預(yù)定軌跡，通過(guò)本文方法分別計(jì)算機(jī)器人通過(guò)各局部目標(biāo)點(diǎn)時(shí)下一段預(yù)定軌跡和運(yùn)行時(shí)間，在各段最優(yōu)軌跡中運(yùn)行時(shí)機(jī)器人的狀態(tài)參數(shù)Etotal、T、v2、w2和σ2變化情況如表2所列.

由表2中的數(shù)據(jù)可見(jiàn)，機(jī)器人在第1段運(yùn)動(dòng)軌跡的能耗最大，而第2、3、4段軌跡的對(duì)應(yīng)能耗較為接近，與實(shí)際情況相符，由此可認(rèn)為通過(guò)該能耗模型所獲得的預(yù)定最優(yōu)軌跡與實(shí)際最優(yōu)軌跡應(yīng)較為接近，為了驗(yàn)證這一結(jié)論，將預(yù)定軌跡與實(shí)際軌跡進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖6所示.通過(guò)第4段曲線起點(diǎn)位置的預(yù)定軌跡與實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的對(duì)比可見(jiàn)，兩條曲線幾乎重合，本文方法對(duì)最優(yōu)軌跡的規(guī)劃有效.

圖5 機(jī)器人仿真運(yùn)動(dòng)軌跡

3.2 同類方法對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法的優(yōu)越性，將該方法分別與運(yùn)動(dòng)距離最短軌跡規(guī)劃法和能量消耗最低的3次貝塞爾曲線規(guī)劃法進(jìn)行綜合對(duì)比.3種規(guī)劃方法所對(duì)應(yīng)的機(jī)器人預(yù)定運(yùn)行軌跡如圖7所示，各方法的最終運(yùn)行數(shù)據(jù)如表3所列.

表2 最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的機(jī)器人狀態(tài)參數(shù)

圖6 能耗模型最優(yōu)軌跡驗(yàn)證

圖7 不同規(guī)劃方法的預(yù)定運(yùn)行軌跡

表3 不同規(guī)劃方法的最終運(yùn)行數(shù)據(jù)

由表3中的數(shù)據(jù)可見(jiàn)，最短距離規(guī)劃法和最小能量規(guī)劃法的能耗比本文所提規(guī)劃方法的能耗分別高出1.51%和9.26%，且由于所提方法考慮了軌跡控制器的響應(yīng)過(guò)程，更貼近機(jī)器人的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)，因此相較于其它兩種方法更為有效和實(shí)用.

4 結(jié)論

為了降低兩輪自平衡可移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的電能消耗，以延長(zhǎng)其運(yùn)行時(shí)間和移動(dòng)距離，提出了一種能耗最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法.通過(guò)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)時(shí)的變狀態(tài)能耗和穩(wěn)定狀態(tài)能耗分析創(chuàng)建了總能耗模型，利用最小二乘法確定了模型的狀態(tài)參數(shù)，基于圓弧預(yù)定軌跡的綜合變量選取了最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法切實(shí)有效，相較于其它同類方法具有明顯的低能耗優(yōu)勢(shì)，可在多個(gè)領(lǐng)域中推廣應(yīng)用.