田冷，王澤川*，張春陽(yáng)，王建禮，蔣麗麗

(1.中國(guó)石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院，北京 102249；2.長(zhǎng)慶油田第三采油廠，延安 716000)

近年來(lái)，中國(guó)天然氣需求量不斷增長(zhǎng)，已成為全球最大的天然氣進(jìn)口國(guó)，2018年對(duì)外依存度達(dá)到45.3%，需求量增速遠(yuǎn)高于國(guó)內(nèi)產(chǎn)量增速，供需矛盾日益突出[1]。在天然氣開采中，試井是動(dòng)態(tài)描述及動(dòng)態(tài)監(jiān)測(cè)的重要手段之一，已成為氣田勘探開發(fā)工作的重要組成部分[2]。

對(duì)氣井試井的研究已經(jīng)開展了很多年，在傳統(tǒng)試井模型的基礎(chǔ)上，也產(chǎn)生了很多新理論和新方法，李曉平等[3]針對(duì)水平氣井滲流機(jī)理復(fù)雜，對(duì)不穩(wěn)定試井難以分析的情況，利用拉氏反演算法，做出了識(shí)別和求取流動(dòng)階段地層參數(shù)的試井分析典型曲線；田冷等[4]針對(duì)蘇里格氣藏非均質(zhì)性嚴(yán)重的實(shí)際情況,建立了既考慮表皮效應(yīng)、井筒存儲(chǔ)效應(yīng)的影響,又考慮氣藏地層特性及地層厚度變化的適合其氣藏特征的三區(qū)不等厚橫向非均質(zhì)復(fù)合氣藏試井解釋模型,求出了無(wú)限大和封閉邊界兩種典型外邊界條件下的氣藏?cái)M壓力解,并繪制了井底壓降典型曲線,就各參數(shù)對(duì)典型曲線的影響進(jìn)行了分析；曾楊等[5]通過對(duì)雙對(duì)數(shù)圖中的擬壓力和擬壓力導(dǎo)數(shù)曲線進(jìn)行分析,從中找出一些特征點(diǎn)和特征線,推出了計(jì)算儲(chǔ)層參數(shù)的新公式，對(duì)未出現(xiàn)徑向流的氣井試井資料進(jìn)行了解釋。

相比于油井，天然氣壓縮性強(qiáng)，且氣井一般較深，井筒儲(chǔ)集效應(yīng)嚴(yán)重，應(yīng)用常規(guī)理論難以很好地?cái)M合實(shí)際試井資料，在試井分析過程中會(huì)對(duì)試井解釋結(jié)果的準(zhǔn)確性造成較大影響，因此亟須對(duì)理論分析方法進(jìn)行改進(jìn)，以獲得更準(zhǔn)確的試井解釋結(jié)果。

對(duì)井筒儲(chǔ)集效應(yīng)的影響已有很多研究，李躍剛等[6]利用壓力導(dǎo)數(shù)判別方法，確定了受井筒儲(chǔ)集效應(yīng)影響下的半對(duì)數(shù)直線段起點(diǎn)的判斷依據(jù)。程時(shí)清等[7]考慮了變井筒儲(chǔ)集效應(yīng)對(duì)試井的影響，繪制了井筒儲(chǔ)集系數(shù)呈三種變化形式的典型曲線，并獲得了一些規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。張曉龍[8]對(duì)受井儲(chǔ)效應(yīng)影響下的油井的續(xù)流現(xiàn)象進(jìn)行了研究，為產(chǎn)量計(jì)量提供了理論依據(jù)。劉鵬超等[9]避開了早期實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)波動(dòng)的問題，對(duì)霍納曲線直線段進(jìn)行了分析，從而提出了求取井儲(chǔ)系數(shù)的新方法。王強(qiáng)等[10]考慮到頁(yè)巖氣的吸附-擴(kuò)散效應(yīng)、滑脫效應(yīng)以及應(yīng)力敏感效應(yīng),重新建立了頁(yè)巖氣藏滲流模型，并考慮了表皮效應(yīng)和井筒儲(chǔ)集效應(yīng)對(duì)產(chǎn)能公式的影響。

現(xiàn)從試井理論入手，針對(duì)氣井的壓恢試井，推導(dǎo)考慮井儲(chǔ)效應(yīng)及表皮系數(shù)的試井解釋新模型，依據(jù)井儲(chǔ)效應(yīng)影響程度劃分兩種試井解釋類型，并運(yùn)用二階導(dǎo)數(shù)識(shí)別不同壓恢曲線中的井儲(chǔ)效應(yīng)。對(duì)實(shí)際測(cè)試數(shù)據(jù)運(yùn)用有限差分方法，耦合多條曲線擬合結(jié)果，提高試井解釋的準(zhǔn)確性。

1 試井分析模型改進(jìn)

1.1 氣井壓恢試井基礎(chǔ)模型

壓恢試井是氣井試井的常用方法，因?yàn)殛P(guān)井過程中產(chǎn)量恒為0，結(jié)果較為穩(wěn)定。假設(shè)一口井，以穩(wěn)定產(chǎn)量生產(chǎn)的時(shí)間為tp，然后關(guān)井進(jìn)行壓力恢復(fù)試井，則試井曲線[2]可以描述為

(1)

(2)

式中：k為滲透率，mD；h為儲(chǔ)層有效厚度，m；q為產(chǎn)氣量，104m3/d；μ為流體黏度，mPa·s；B為氣體地層體積系數(shù)；t為關(guān)井時(shí)間，h；pi為原始地層壓力，MPa；pws為關(guān)井后井底壓力，MPa。

以上稱為壓力恢復(fù)公式，如果關(guān)井前生產(chǎn)時(shí)間比關(guān)井時(shí)間長(zhǎng)很多，即tp≥Δtmax，且考慮氣井表皮系數(shù)影響，則可得

(3)

式(3)中：pwf為井底流動(dòng)壓力，MPa；φ為巖石孔隙度；Ct為儲(chǔ)層的綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；rw為完井半徑，m；pwf為關(guān)井時(shí)井底壓力，MPa；S為表皮系數(shù)。

式(3)稱為MDH公式，針對(duì)長(zhǎng)時(shí)間生產(chǎn)后關(guān)井的氣井，如果在直角坐標(biāo)紙上做出pws(t)和lgt之間的關(guān)系曲線，測(cè)出其斜率，即可以計(jì)算得到各個(gè)參數(shù)，然而，在實(shí)際氣井試井分析中，由于井儲(chǔ)效應(yīng)的影響，實(shí)測(cè)曲線往往偏離趨勢(shì)線，擬合效果不理想，無(wú)法獲得準(zhǔn)確的測(cè)試數(shù)據(jù)。

在氣井生產(chǎn)中，由于井筒具有一定的儲(chǔ)容性，井筒中流體具有一定的壓縮性，使得井底產(chǎn)量變化滯后于地面產(chǎn)量變化，這種現(xiàn)象稱為井筒儲(chǔ)集效應(yīng)。井儲(chǔ)效應(yīng)的井儲(chǔ)系數(shù)[5]表示為

(4)

由式(4)可以得到，井儲(chǔ)效應(yīng)受流體壓縮性影響，而天然氣壓縮性較強(qiáng)，在試井分析過程中不能忽略。

受井筒儲(chǔ)集效應(yīng)影響，針對(duì)壓恢試井模型，需要在試井公式中引入井儲(chǔ)系數(shù)，可得

(5)

定義壓力變化為

p(t)=pws(t)-pwf(tp)

(6)

式(6)中：p(t)為僅與關(guān)井時(shí)間t相關(guān)的函數(shù)。

化簡(jiǎn)可得

(7)

定義等效時(shí)間為

t′=lgt

(8)

則可得分析方程為

(9)

式(9)難以得到解析解，因此需要利用計(jì)算機(jī)輔助得到數(shù)值解，從而得到壓力恢復(fù)值p和等效時(shí)間lgt之間的關(guān)系。

氣井受井儲(chǔ)效應(yīng)影響程度不同，壓恢曲線表現(xiàn)也不同，針對(duì)不同的井儲(chǔ)系數(shù)，做出其壓力恢復(fù)值p和等效時(shí)間lgt之間的關(guān)系圖如圖1所示。

圖1 不同井儲(chǔ)系數(shù)下的壓恢試井理論曲線Fig.1 The oretical curves of pressure buildup test under different well storage coefficients

從圖1中可以看到，在壓恢試井前期，受井儲(chǔ)效應(yīng)影響，壓力恢復(fù)速度明顯下降，p-lgt關(guān)系整體呈凹型曲線狀態(tài)；井儲(chǔ)系數(shù)越大，試井初期壓力恢復(fù)速度越慢，在半對(duì)數(shù)曲線中表現(xiàn)為凹度值增大。

1.2 二階導(dǎo)數(shù)試井分析模型

結(jié)合壓力恢復(fù)曲線和分析方程中壓力對(duì)等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)的曲線，可以得到對(duì)比圖如圖2所示。

圖2 壓力恢復(fù)曲線及其一階導(dǎo)數(shù)曲線圖Fig.2 Pressure buildup test curve and its first derivative curve

可以明顯看到，壓恢曲線的斜率呈現(xiàn)增大后減小的關(guān)系，針對(duì)此模型，可以應(yīng)用實(shí)際試井資料擬合獲知方程中各系數(shù)，從而得到氣井的地層系數(shù)、表皮系數(shù)等參數(shù)，為方便擬合，進(jìn)一步探究壓恢曲線和壓恢曲線一階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)壓力和等效時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)，公式為

(10)

當(dāng)此二階導(dǎo)數(shù)為0時(shí)。壓力對(duì)等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)曲線存在極大值，壓恢曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，此時(shí)存在關(guān)系式為

(11)

設(shè)m=lgk+t′+b，則可得到二項(xiàng)式

aqln10m2+(-khpln10-khp′)m+khp=0

(12)

根據(jù)求根公式可得m有兩個(gè)根，分別為

t′→∞,m2→∞

(13)

圖3展示了在壓恢試井的半對(duì)數(shù)曲線及其一階和二階導(dǎo)數(shù)中此時(shí)刻的物理意義。

圖3 壓恢理論曲線及其一階、二階導(dǎo)數(shù)曲線圖Fig.3 Pressure buildup test curve and its first and second derivative curves

2 試井資料解釋方法改進(jìn)

針對(duì)不同井儲(chǔ)效應(yīng)的氣井，可以采取不同的擬合方法，基于井儲(chǔ)效應(yīng)對(duì)于氣井試井的影響程度，將試井解釋情況劃分為兩類，應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分別建立不同的試井解釋模型，利用壓恢曲線及其一階、二階導(dǎo)數(shù)曲線之間的耦合關(guān)系，對(duì)壓恢曲線進(jìn)行擬合，進(jìn)而取得更準(zhǔn)確的試井資料。

2.1 試井解釋問題分類

2.1.1 第一類試井解釋問題

對(duì)于大部分氣井來(lái)說，由于儲(chǔ)層埋深普遍較大，且氣體壓縮性強(qiáng)，壓恢曲線很難達(dá)到近直線段。對(duì)于此類試井問題，需要綜合運(yùn)用二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)以及一階導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行分析。

對(duì)于m1，由二階導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行分析。在該點(diǎn)處，考慮表皮因子的系數(shù)b和地層系數(shù)kh滿足關(guān)系式

(14)

代入一階導(dǎo)數(shù)公式得

(15)

由此可得地層系數(shù)kh、井儲(chǔ)系數(shù)C以及考慮表皮因子的系數(shù)b之間的關(guān)系。對(duì)壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的變化、壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)變化情況進(jìn)行擬合，耦合多條曲線間參數(shù)值，從而得到較準(zhǔn)確的試井解釋參數(shù)。

2.1.2 第二類試井解釋問題

針對(duì)井儲(chǔ)效應(yīng)不明顯的氣井，在壓恢試井中曲線能夠達(dá)到近直線段，則可對(duì)壓恢曲線后期近直線段進(jìn)行線性擬合，分析直線斜率，從而得到地層系數(shù)。

當(dāng)t′→∞，m2為t′的同階無(wú)窮大。

根據(jù)微分方程[式(9)]的數(shù)值解結(jié)果，此時(shí)井筒壓力恢復(fù)值隨時(shí)間的變化曲線近似為一條直線，二項(xiàng)式公式[式(12)]可寫為

(16)

由微分方程數(shù)值解的結(jié)果可知，在壓恢試井后期，壓力對(duì)等效時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)趨近于0，壓力對(duì)等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)，對(duì)于式(16)由洛必達(dá)法則可得

(17)

由此可得地層系數(shù)參數(shù)，代入式(14)、式(15)中即可得到其他地層參數(shù)。

2.2 實(shí)際數(shù)據(jù)擬合方法改進(jìn)

在試井作業(yè)時(shí)，需要經(jīng)由壓力計(jì)記錄關(guān)井之后的壓力變化曲線，一般每隔一個(gè)較短的時(shí)間記錄一次數(shù)據(jù)。針對(duì)試井資料特點(diǎn)，采用有限差分法對(duì)試井中壓力與等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的變化關(guān)系進(jìn)行差分離散。

一階差商：

(18)

二階差商：

(19)

從而得到實(shí)際試井資料中壓力對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)值和二階導(dǎo)數(shù)值隨等效時(shí)間的變化。根據(jù)以上推論，在此連續(xù)的數(shù)值中，可以得出如下結(jié)果。

(1)當(dāng)壓力恢復(fù)對(duì)等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)值達(dá)到最大值，則壓恢曲線達(dá)到第一個(gè)拐點(diǎn)，由壓恢試井分析模型，此時(shí)的壓力恢復(fù)及其一階導(dǎo)數(shù)值、井儲(chǔ)系數(shù)C、地層系數(shù)kh、考慮表皮因子的系數(shù)b存在關(guān)系如式(15)所示。基于實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，通過調(diào)整參數(shù)擬合理論公式，即可得到井儲(chǔ)系數(shù)、地層系數(shù)、表皮因子等參數(shù)。

(2)若生產(chǎn)井的井儲(chǔ)效應(yīng)較小，當(dāng)壓恢試井后期，壓力恢復(fù)對(duì)等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)值幾乎不發(fā)生變化時(shí)，則壓恢試井曲線表現(xiàn)為一條近乎直線的形態(tài)，且斜率滿足關(guān)系式如式(17)所示，此時(shí)可針對(duì)壓恢試井后期曲線直接進(jìn)行線性擬合，得到地層系數(shù)，并回代入式(14)、式(15)中，從而得到各試井解釋參數(shù)。

對(duì)壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的變化、壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)變化情況及二階導(dǎo)數(shù)變化情況進(jìn)行耦合，能夠更有效的擬合實(shí)際數(shù)據(jù)，從而提高試井解釋的準(zhǔn)確度。

3 實(shí)際試井資料擬合

A區(qū)塊位于蘇里格氣田西區(qū)西北部，地質(zhì)儲(chǔ)量1 090.15×108m3，，投產(chǎn)井?dāng)?shù)243口，其中水平井38口，直井205口，主力產(chǎn)層為盒8段、山1段、山2段，2014年建產(chǎn)規(guī)模達(dá)6.0×108m3，2015年至今穩(wěn)產(chǎn)規(guī)模達(dá)5.0×108m3。

X井為該區(qū)塊2011年開發(fā)井，該井于2011年10月27日開鉆，于2011年11月20日完鉆，完鉆井深3 622.0 m，完鉆層位為馬家溝組。其他流體及地層參數(shù)如表1所示。

表1 井、儲(chǔ)層和流體性質(zhì)參數(shù)表Table 1 Parameter tables of well,reservoir and fluid properties

2014年9月18日對(duì)該井進(jìn)行壓恢試井，試井前流量為2.2×104m3/d，首先進(jìn)行通井，通完井后于9月23日關(guān)井進(jìn)行壓力恢復(fù)試井，11月7日壓力恢復(fù)試井結(jié)束，壓力恢復(fù)曲線如圖4所示。

圖4 壓恢試井實(shí)測(cè)壓力恢復(fù)圖 Fig.4 Actual pressure recovery diagram of the pressure buildup test

在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)中，壓力恢復(fù)值和等效時(shí)間之間的關(guān)系、壓力恢復(fù)一階導(dǎo)數(shù)值和等效時(shí)間的關(guān)系如圖5所示。

由圖5可以看到，在對(duì)該氣井進(jìn)行壓恢作業(yè)時(shí)，天然氣壓縮性強(qiáng)，且氣井較深，井筒儲(chǔ)集效應(yīng)明顯，至壓恢試井結(jié)束時(shí)，壓恢曲線依然難以達(dá)到直線段，因此，將其歸為第二類試井解釋問題，需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)曲線的第一個(gè)極大值點(diǎn)對(duì)試井資料進(jìn)行解釋。

圖5 壓恢試井實(shí)測(cè)資料半對(duì)數(shù)曲線圖Fig.5 Semilogarithmic curve of measured data of actual pressure buildup test

根據(jù)試井資料，應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行分析，可以認(rèn)為當(dāng)?shù)刃r(shí)間為2.85時(shí)，試井曲線的一階導(dǎo)數(shù)值達(dá)到一個(gè)極大值為4.098，此時(shí)對(duì)應(yīng)的恢復(fù)壓力為6.6 MPa，根據(jù)式(13)，則可得到常數(shù)m和地層系數(shù)kh之間的關(guān)系。進(jìn)而可通過計(jì)算機(jī)輔助手段，應(yīng)用分析方程及數(shù)值解結(jié)果，耦合壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的變化曲線、壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)變化曲線和二階導(dǎo)數(shù)變化曲線，調(diào)整井儲(chǔ)系數(shù)C、地層系數(shù)kh等值，對(duì)實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)降噪處理后進(jìn)行擬合，得到擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6 壓恢資料半對(duì)數(shù)曲線擬合效果圖Fig.6 Semilogarithmic curve fitting effect diagram of the pressure buildup test data

根據(jù)壓力隨等效時(shí)間變化的泰勒展開，對(duì)壓力的一階導(dǎo)數(shù)擬合結(jié)果的截?cái)嗾`差為O(Δx)，對(duì)壓力的二階導(dǎo)數(shù)擬合結(jié)果的截?cái)嗾`差為O(Δx2)，運(yùn)用有限差分方法，對(duì)壓恢曲線的多階導(dǎo)數(shù)曲線進(jìn)行擬合，耦合多曲線擬合結(jié)果可以有效提高試井解釋準(zhǔn)確度，然而，階數(shù)越高，截?cái)嗾`差越小，受工程和地質(zhì)因素影響，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)難以達(dá)到滿足高階導(dǎo)數(shù)擬合要求的精度，即使經(jīng)降噪處理后在擬合過程中仍不可避免地出現(xiàn)擬合結(jié)果差等問題，根據(jù)實(shí)踐分析，耦合壓恢曲線及其一階、二階導(dǎo)數(shù)曲線的擬合結(jié)果能夠在減少數(shù)據(jù)擬合難度的情況下有效提高試井解釋準(zhǔn)確度。

運(yùn)用試井模型對(duì)該試井曲線進(jìn)行擬合，可以明顯看到，相比常規(guī)試井模型，改進(jìn)后的試井模型對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)的擬合有著更好的精度，如圖7所示。

圖7 改進(jìn)前和改進(jìn)后試井模型擬合數(shù)據(jù)對(duì)比圖Fig.7 Comparison of fitting data of well test model before and after improvement

試井資料實(shí)際值(根據(jù)后續(xù)生產(chǎn)資料得出)、常規(guī)模型預(yù)測(cè)值、改進(jìn)模型預(yù)測(cè)值的對(duì)比如表2所示。

表2 不同方法預(yù)測(cè)地層系數(shù)表Table 2 Prediction of formation coefficient table by different methods

根據(jù)擬合得到的結(jié)果，常規(guī)模型因?yàn)闆]有考慮井儲(chǔ)效應(yīng)的影響，得到的地層系數(shù)值明顯偏大，而改進(jìn)后的模型得到的地層系數(shù)值接近實(shí)際值，從而使試井解釋的準(zhǔn)確度大幅度增加，根據(jù)改進(jìn)后的模型，得到該井的井筒儲(chǔ)集系數(shù)為8.53，表皮系數(shù)為2.2。

4 結(jié)論

(1)在常規(guī)試井理論基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到了考慮井儲(chǔ)效應(yīng)的氣井試井新模型，明確了井儲(chǔ)效應(yīng)對(duì)壓恢試井前期的半對(duì)數(shù)曲線的影響程度，井儲(chǔ)效應(yīng)越大，試井初期壓力恢復(fù)速度越慢，在半對(duì)數(shù)曲線上表現(xiàn)為曲線凹度增大，壓恢分析曲線的直線段出現(xiàn)時(shí)間越晚。

(2)系統(tǒng)分析了井儲(chǔ)效應(yīng)和表皮因子影響下的壓力恢復(fù)值隨等效時(shí)間變化的二階導(dǎo)數(shù)模型，按照井儲(chǔ)效應(yīng)對(duì)氣井試井曲線的影響程度大小，劃分了兩類試井解釋問題，并結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，分別推導(dǎo)了試井參數(shù)解釋的理論模型，形成了考慮井儲(chǔ)效應(yīng)的氣井解釋的新方法。

(3)針對(duì)井儲(chǔ)效應(yīng)嚴(yán)重，壓恢試井的半對(duì)數(shù)曲線很難達(dá)到直線段的情況，基于實(shí)際試井資料，應(yīng)用理論模型，結(jié)合有限差分方法，在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中分別對(duì)壓力恢復(fù)值及其多階導(dǎo)數(shù)曲線進(jìn)行擬合，實(shí)踐表明應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)可以在減少數(shù)據(jù)擬合難度的情況下有效提高擬合精度。多條曲線的耦合結(jié)果有效提高了試井解釋的準(zhǔn)確度。