基于理論解的矩形明渠均勻?qū)恿髯枇ρ芯?/h1>
2022-01-26 06:35周曉泉周文桐黃宇航周芳齡
水利技術(shù)監(jiān)督 2022年1期
姚 暢，周曉泉，周文桐，黃宇航，周芳齡
(四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610065)
在水力學(xué)中，把擁有自由表面的液體受重力驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)稱為明渠流。天然河道、輸水渠道、渡槽等中的水流皆為明渠流[1]。研究明渠水流流動(dòng)，不僅在水力學(xué)方面具有重要意義，并且在工程實(shí)際中也極其重要。在研究明渠水流流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，明渠水流阻力一直是備受關(guān)注和討論的問(wèn)題。在明渠流中，阻力的影響因素繁多，比如阻力系數(shù)、寬深比、側(cè)壁影響、床沙級(jí)配等等，這些眾多因素使得眾多學(xué)者前仆后繼做出了大量的試驗(yàn)和研究。
Knight[2-3]根據(jù)試驗(yàn)資料得出了矩形渠道光滑壁面明渠床面阻力和兩側(cè)壁面阻力之間的相關(guān)關(guān)系，并列出了具體的計(jì)算公式。Elgamal Mohamed[4]針對(duì)Chezy公式進(jìn)行修正，修正后的公式可用于計(jì)算具有加速減速流場(chǎng)的復(fù)雜流動(dòng)條件下床層剪切應(yīng)力的局部變化。Kennedy[5]提出了綜合阻力問(wèn)題，認(rèn)為研究阻力無(wú)需區(qū)分床面阻力和邊壁阻力，只需知道綜合阻力的大小，為其他學(xué)者提供新的方向和思路?；萦黾住⒑汉闧6]發(fā)現(xiàn)無(wú)論是光滑明渠還是粗糙明渠其寬深比對(duì)阻力系數(shù)都有影響，對(duì)粗糙明渠的影響更大。楊樹(shù)清[7]提出了流場(chǎng)中任一處所具有的機(jī)械能總是沿到邊界最接近的方向向邊界傳遞的假定，并依據(jù)該假定分別給出側(cè)壁和床面糙率相同時(shí)以及側(cè)壁和床面糙率不同時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算公式。胡旭躍[8]通過(guò)阻力面積劃分，給出了床面和避免糙率相同時(shí)的切應(yīng)力公式，同時(shí)通過(guò)分析資料表明愛(ài)因斯坦阻力公式可用于床面和邊壁部分平均阻力計(jì)算。趙振國(guó)、黃春花[9]在假定矩形渠道底部阻力和邊墻阻力相等的條件下，導(dǎo)出了矩形明渠均勻流的流速計(jì)算公式。
一維明渠、二維明渠斷面流速的理論解雖然很早就開(kāi)始研究，但是鮮有學(xué)者對(duì)該理論解進(jìn)行解讀，本文通過(guò)研究推導(dǎo)出的明渠斷面流速的理論解，分析明渠立面阻力與床面阻力問(wèn)題，同時(shí)還對(duì)矩形明渠中的濕周問(wèn)題進(jìn)行了探討。
1 矩形明渠數(shù)學(xué)模型及其理論解
1.1 數(shù)學(xué)模型
一般的矩形明渠，沿程可以看成是有個(gè)坡度J的(如圖1所示)，或底部?jī)A角θ的，本文仍將流速定義為流量除以水深，相當(dāng)于將流速定義為垂直水深的方向(如圖2所示)，即流速方向(底部)垂直于水深方向底部垂直于水深，但底部是有坡度性質(zhì)的，這樣便于流動(dòng)的分析。
圖2 一般的解讀方式
本文統(tǒng)一將流動(dòng)方向(垂直于水深方向)定義為x方向，將水面定義為原點(diǎn)并沿水深H方向定義為y方向，將沿渠道寬度方向定義為z方向(如圖3所示)，渠道寬為B，沿x方向有個(gè)坡度J的。
圖3 矩形渠道
1.2 一維明渠
將x方向的流動(dòng)假設(shè)成一個(gè)直線流動(dòng)，且是均勻流，u(y，z)只是y和z的函數(shù)，水面線y=0是對(duì)稱邊界，可以將y=0～H對(duì)稱(鏡像)作鏡像處理，便是y=-H～0，如圖3所示，其中y=H為渠道床面(y=-H為其鏡像床面)，z=-B/2和z=B/2為渠道立面一般我們理解的求解范圍為z=0～B/2，y=0～H便可。
1.2.1控制方程
矩形明渠的范圍在y=0～H，z=-B/2～B/2的范圍，y方向?yàn)橹亓Φ姆较颉?/p>
因此，此流動(dòng)在x方向的動(dòng)量方程[10]為：
(1)
式中，ux—沿水流方向的斷面流速；gx—沿水流方向的重力加速度；p—壓強(qiáng)；ρ—水流密度；μ—?jiǎng)恿︷ざ?；y、z—坐標(biāo)變量。
如果寫(xiě)成明渠流坡降J的形式，方程即為：
(2)
1.2.2邊界條件
建立的數(shù)學(xué)模型的明渠邊界條件[11]為：
(3a)
ux=0 ony=H
(3b)
(3c)
ux=0 onz=B/2
(3d)
當(dāng)渠道寬B無(wú)窮大時(shí)，x方向的動(dòng)量方程為：
(4)
邊界條件為式(3a)、式(3b)。
我們將渠道寬無(wú)窮大時(shí)的矩形明渠流動(dòng)稱為一維的，因流速僅與坐標(biāo)y有關(guān)，有寬度B的為二維的，流速與坐標(biāo)y和z有關(guān)。
1.2.3一維模型理論解
一維明渠流動(dòng)式(4)，邊界條件式(3a)、(3b)的解比較容易給出：
(5)
式(5)的解為標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程，而斷面(HB)總流量Q為：
(6)
1.3 二維明渠
1.3.1控制方程
二維明渠流動(dòng)式(2)是標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程，我們先將其轉(zhuǎn)換為拉普拉斯方程，并設(shè)定：
(7)
將式(7)代入式(2)、式(3)中，我們得到：
(8)
1.3.2邊界條件
相比于一維明渠，二維明渠的邊界條件變?yōu)椋?/p>
(9a)
u’x=0 ony=H
(9b)
(9c)
(9d)
1.3.3二維明渠理論解
上面的拉普拉斯問(wèn)題便可以用分離變量法求解(過(guò)程略)，且解為：
(10)
則求得二維明渠的斷面(HB)總流量Q為：
(11)
2 一維、二維明渠阻力求解
2.1 一維矩形明渠阻力分布
對(duì)渠道無(wú)窮寬的明渠，對(duì)式(5)求導(dǎo)，有：
(12)
(13a)
式(13)表明均勻流時(shí)河床的阻力(切應(yīng)力)同位置無(wú)關(guān)，只是水深H和坡降J的函數(shù)，或者說(shuō)明了明渠均勻流一個(gè)重要的原則，阻力同重力分量匹配，處處切應(yīng)力一樣。寬度B的河床阻力Fb為：
Fb=τbB=-ρgHBJ
(13b)
2.2 二維矩形明渠阻力分布
對(duì)于一般有限寬度的明渠流，根據(jù)矩形明渠流速分布理論解式(10)，可以求得壁面切應(yīng)力及其分布，對(duì)于床面y=H，對(duì)式(10)求導(dǎo)，有：
(14)
(15)
由式(15)便可以求得床面任意位置的切應(yīng)力：
(16)
顯然，矩形明渠的床面切應(yīng)力處處不一樣，且為z的函數(shù)。床面總受力可以通過(guò)積分求得：
(17)
對(duì)于渠道立面z=B/2，對(duì)式(10)求導(dǎo)：
(18)
(19)
立面切應(yīng)力為：
(20)
所以同樣，立面上切應(yīng)力τs處處不一，都是水深y的函數(shù)，立面總受力為：
(21)
將底面和兩個(gè)立面的受力相加，即式(16)與式(20)相加，可以得到總受力F：
(22)
式(22)同樣表明，阻力必須同重力分量匹配。
2.3 不同寬深比下床面與立面阻力比較
τ=-ρgRJ
(23)
通過(guò)矩形明渠切應(yīng)力分布可以求得不同寬深比渠道的床面(式(17))和立面(式(21))的受力，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下表，表中令式(17)、(21)中的ρgH2J=1，而求得的相對(duì)值：
由表1，可知矩形明渠的寬B不能和2H相加，因?yàn)樽枇Ρ菷b/2Fs與寬深比B/2H嚴(yán)重不相關(guān)，當(dāng)B/2H>1時(shí)床面平均阻力大，B/2H<1時(shí)邊壁立面平均阻力大，只有當(dāng)B/2H=1的唯一條件下，立面與床面的平均阻力一致。所以在矩形明渠流動(dòng)中，濕周計(jì)算X=B+2H是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模虼擞纱说玫降乃Π霃絉也缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，只能作為近似的估算。
表1 不同寬深比條件下床面與立面阻力比
3 對(duì)濕周的解讀
水力學(xué)中的濕周問(wèn)題常常遇到，它最初來(lái)源于管流，特別是圓管內(nèi)的流動(dòng)[12]。圓管內(nèi)的流動(dòng)，特指管內(nèi)滿流時(shí)，這時(shí)管內(nèi)流動(dòng)可以看成是軸對(duì)稱的，在均勻流狀態(tài)下，管壁內(nèi)處處切應(yīng)力τ一樣，因此可以有濕周X=πD，管截面積S=πD2/4，對(duì)其均勻流作受力分析，仍然可以得到：
τX(jué)=ρgJS
(24)
所以有
τ=ρgJR
(25)
R=S/X=D/4
(26)
濕周X和水力半徑R對(duì)圓管是成立的，因?yàn)榍袘?yīng)力處處一樣，故濕周可以相加。但對(duì)于矩形明渠卻不成立，不管在底面b還是立面s，處處不一樣，且平均切應(yīng)力也不一樣(B=2H時(shí)是唯一的例外)，故床面的長(zhǎng)度或立面深度方向的濕周是不能相加的，所以水力半徑也是有問(wèn)題的，除非渠道寬為無(wú)窮大時(shí)可以。
4 結(jié)語(yǔ)
本文從明渠均勻?qū)恿骼碚摻馊胧?，推?dǎo)出一維、二維明渠的流速、流量公式，在此基礎(chǔ)上探尋一維明渠、二維明渠中的阻力分布。根據(jù)推導(dǎo)出的床面、立面任意位置的切應(yīng)力公式分別為渠道寬度方向z、水深方向y的函數(shù)，并且矩形明渠的床面、立面切應(yīng)力各處均不一致。通過(guò)對(duì)比不同寬深比(B/2H)下的床面與立面阻力比(Fb/2Fs)，可以發(fā)現(xiàn)只有在寬深比等于1時(shí)，床面阻力才與立面阻力相等。
本文研究結(jié)果反映了矩形明渠層流的阻力特性，針對(duì)濕周提出了新的解讀，濕周X和水力學(xué)半徑R是否適用在矩形明渠流動(dòng)中還需繼續(xù)研究。
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(四川大學(xué)水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610065)
在水力學(xué)中，把擁有自由表面的液體受重力驅(qū)動(dòng)的流動(dòng)稱為明渠流。天然河道、輸水渠道、渡槽等中的水流皆為明渠流[1]。研究明渠水流流動(dòng)，不僅在水力學(xué)方面具有重要意義，并且在工程實(shí)際中也極其重要。在研究明渠水流流動(dòng)問(wèn)題時(shí)，明渠水流阻力一直是備受關(guān)注和討論的問(wèn)題。在明渠流中，阻力的影響因素繁多，比如阻力系數(shù)、寬深比、側(cè)壁影響、床沙級(jí)配等等，這些眾多因素使得眾多學(xué)者前仆后繼做出了大量的試驗(yàn)和研究。
Knight[2-3]根據(jù)試驗(yàn)資料得出了矩形渠道光滑壁面明渠床面阻力和兩側(cè)壁面阻力之間的相關(guān)關(guān)系，并列出了具體的計(jì)算公式。Elgamal Mohamed[4]針對(duì)Chezy公式進(jìn)行修正，修正后的公式可用于計(jì)算具有加速減速流場(chǎng)的復(fù)雜流動(dòng)條件下床層剪切應(yīng)力的局部變化。Kennedy[5]提出了綜合阻力問(wèn)題，認(rèn)為研究阻力無(wú)需區(qū)分床面阻力和邊壁阻力，只需知道綜合阻力的大小，為其他學(xué)者提供新的方向和思路?；萦黾住⒑汉闧6]發(fā)現(xiàn)無(wú)論是光滑明渠還是粗糙明渠其寬深比對(duì)阻力系數(shù)都有影響，對(duì)粗糙明渠的影響更大。楊樹(shù)清[7]提出了流場(chǎng)中任一處所具有的機(jī)械能總是沿到邊界最接近的方向向邊界傳遞的假定，并依據(jù)該假定分別給出側(cè)壁和床面糙率相同時(shí)以及側(cè)壁和床面糙率不同時(shí)的切應(yīng)力計(jì)算公式。胡旭躍[8]通過(guò)阻力面積劃分，給出了床面和避免糙率相同時(shí)的切應(yīng)力公式，同時(shí)通過(guò)分析資料表明愛(ài)因斯坦阻力公式可用于床面和邊壁部分平均阻力計(jì)算。趙振國(guó)、黃春花[9]在假定矩形渠道底部阻力和邊墻阻力相等的條件下，導(dǎo)出了矩形明渠均勻流的流速計(jì)算公式。
一維明渠、二維明渠斷面流速的理論解雖然很早就開(kāi)始研究，但是鮮有學(xué)者對(duì)該理論解進(jìn)行解讀，本文通過(guò)研究推導(dǎo)出的明渠斷面流速的理論解，分析明渠立面阻力與床面阻力問(wèn)題，同時(shí)還對(duì)矩形明渠中的濕周問(wèn)題進(jìn)行了探討。
1 矩形明渠數(shù)學(xué)模型及其理論解
1.1 數(shù)學(xué)模型
一般的矩形明渠，沿程可以看成是有個(gè)坡度J的(如圖1所示)，或底部?jī)A角θ的，本文仍將流速定義為流量除以水深，相當(dāng)于將流速定義為垂直水深的方向(如圖2所示)，即流速方向(底部)垂直于水深方向底部垂直于水深，但底部是有坡度性質(zhì)的，這樣便于流動(dòng)的分析。
圖2 一般的解讀方式
本文統(tǒng)一將流動(dòng)方向(垂直于水深方向)定義為x方向，將水面定義為原點(diǎn)并沿水深H方向定義為y方向，將沿渠道寬度方向定義為z方向(如圖3所示)，渠道寬為B，沿x方向有個(gè)坡度J的。
圖3 矩形渠道
1.2 一維明渠
將x方向的流動(dòng)假設(shè)成一個(gè)直線流動(dòng)，且是均勻流，u(y，z)只是y和z的函數(shù)，水面線y=0是對(duì)稱邊界，可以將y=0～H對(duì)稱(鏡像)作鏡像處理，便是y=-H～0，如圖3所示，其中y=H為渠道床面(y=-H為其鏡像床面)，z=-B/2和z=B/2為渠道立面一般我們理解的求解范圍為z=0～B/2，y=0～H便可。
1.2.1控制方程
矩形明渠的范圍在y=0～H，z=-B/2～B/2的范圍，y方向?yàn)橹亓Φ姆较颉?/p>
因此，此流動(dòng)在x方向的動(dòng)量方程[10]為：
(1)
式中，ux—沿水流方向的斷面流速；gx—沿水流方向的重力加速度；p—壓強(qiáng)；ρ—水流密度；μ—?jiǎng)恿︷ざ?；y、z—坐標(biāo)變量。
如果寫(xiě)成明渠流坡降J的形式，方程即為：
(2)
1.2.2邊界條件
建立的數(shù)學(xué)模型的明渠邊界條件[11]為：
(3a)
ux=0 ony=H
(3b)
(3c)
ux=0 onz=B/2
(3d)
當(dāng)渠道寬B無(wú)窮大時(shí)，x方向的動(dòng)量方程為：
(4)
邊界條件為式(3a)、式(3b)。
我們將渠道寬無(wú)窮大時(shí)的矩形明渠流動(dòng)稱為一維的，因流速僅與坐標(biāo)y有關(guān)，有寬度B的為二維的，流速與坐標(biāo)y和z有關(guān)。
1.2.3一維模型理論解
一維明渠流動(dòng)式(4)，邊界條件式(3a)、(3b)的解比較容易給出：
(5)
式(5)的解為標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程，而斷面(HB)總流量Q為：
(6)
1.3 二維明渠
1.3.1控制方程
二維明渠流動(dòng)式(2)是標(biāo)準(zhǔn)的泊松方程，我們先將其轉(zhuǎn)換為拉普拉斯方程，并設(shè)定：
(7)
將式(7)代入式(2)、式(3)中，我們得到：
(8)
1.3.2邊界條件
相比于一維明渠，二維明渠的邊界條件變?yōu)椋?/p>
(9a)
u’x=0 ony=H
(9b)
(9c)
(9d)
1.3.3二維明渠理論解
上面的拉普拉斯問(wèn)題便可以用分離變量法求解(過(guò)程略)，且解為：
(10)
則求得二維明渠的斷面(HB)總流量Q為：
(11)
2 一維、二維明渠阻力求解
2.1 一維矩形明渠阻力分布
對(duì)渠道無(wú)窮寬的明渠，對(duì)式(5)求導(dǎo)，有：
(12)
(13a)
式(13)表明均勻流時(shí)河床的阻力(切應(yīng)力)同位置無(wú)關(guān)，只是水深H和坡降J的函數(shù)，或者說(shuō)明了明渠均勻流一個(gè)重要的原則，阻力同重力分量匹配，處處切應(yīng)力一樣。寬度B的河床阻力Fb為：
Fb=τbB=-ρgHBJ
(13b)
2.2 二維矩形明渠阻力分布
對(duì)于一般有限寬度的明渠流，根據(jù)矩形明渠流速分布理論解式(10)，可以求得壁面切應(yīng)力及其分布，對(duì)于床面y=H，對(duì)式(10)求導(dǎo)，有：
(14)
(15)
由式(15)便可以求得床面任意位置的切應(yīng)力：
(16)
顯然，矩形明渠的床面切應(yīng)力處處不一樣，且為z的函數(shù)。床面總受力可以通過(guò)積分求得：
(17)
對(duì)于渠道立面z=B/2，對(duì)式(10)求導(dǎo)：
(18)
(19)
立面切應(yīng)力為：
(20)
所以同樣，立面上切應(yīng)力τs處處不一，都是水深y的函數(shù)，立面總受力為：
(21)
將底面和兩個(gè)立面的受力相加，即式(16)與式(20)相加，可以得到總受力F：
(22)
式(22)同樣表明，阻力必須同重力分量匹配。
2.3 不同寬深比下床面與立面阻力比較
τ=-ρgRJ
(23)
通過(guò)矩形明渠切應(yīng)力分布可以求得不同寬深比渠道的床面(式(17))和立面(式(21))的受力，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)如下表，表中令式(17)、(21)中的ρgH2J=1，而求得的相對(duì)值：
由表1，可知矩形明渠的寬B不能和2H相加，因?yàn)樽枇Ρ菷b/2Fs與寬深比B/2H嚴(yán)重不相關(guān)，當(dāng)B/2H>1時(shí)床面平均阻力大，B/2H<1時(shí)邊壁立面平均阻力大，只有當(dāng)B/2H=1的唯一條件下，立面與床面的平均阻力一致。所以在矩形明渠流動(dòng)中，濕周計(jì)算X=B+2H是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模虼擞纱说玫降乃Π霃絉也缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，只能作為近似的估算。
表1 不同寬深比條件下床面與立面阻力比
3 對(duì)濕周的解讀
水力學(xué)中的濕周問(wèn)題常常遇到，它最初來(lái)源于管流，特別是圓管內(nèi)的流動(dòng)[12]。圓管內(nèi)的流動(dòng)，特指管內(nèi)滿流時(shí)，這時(shí)管內(nèi)流動(dòng)可以看成是軸對(duì)稱的，在均勻流狀態(tài)下，管壁內(nèi)處處切應(yīng)力τ一樣，因此可以有濕周X=πD，管截面積S=πD2/4，對(duì)其均勻流作受力分析，仍然可以得到：
τX(jué)=ρgJS
(24)
所以有
τ=ρgJR
(25)
R=S/X=D/4
(26)
濕周X和水力半徑R對(duì)圓管是成立的，因?yàn)榍袘?yīng)力處處一樣，故濕周可以相加。但對(duì)于矩形明渠卻不成立，不管在底面b還是立面s，處處不一樣，且平均切應(yīng)力也不一樣(B=2H時(shí)是唯一的例外)，故床面的長(zhǎng)度或立面深度方向的濕周是不能相加的，所以水力半徑也是有問(wèn)題的，除非渠道寬為無(wú)窮大時(shí)可以。
4 結(jié)語(yǔ)
本文從明渠均勻?qū)恿骼碚摻馊胧?，推?dǎo)出一維、二維明渠的流速、流量公式，在此基礎(chǔ)上探尋一維明渠、二維明渠中的阻力分布。根據(jù)推導(dǎo)出的床面、立面任意位置的切應(yīng)力公式分別為渠道寬度方向z、水深方向y的函數(shù)，并且矩形明渠的床面、立面切應(yīng)力各處均不一致。通過(guò)對(duì)比不同寬深比(B/2H)下的床面與立面阻力比(Fb/2Fs)，可以發(fā)現(xiàn)只有在寬深比等于1時(shí)，床面阻力才與立面阻力相等。
本文研究結(jié)果反映了矩形明渠層流的阻力特性，針對(duì)濕周提出了新的解讀，濕周X和水力學(xué)半徑R是否適用在矩形明渠流動(dòng)中還需繼續(xù)研究。
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