劉 芳，張 娟，楊 紅

(1.忻州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 忻州 034000；2.山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所，山西 太原 030006)

2019年底暴發(fā)的新型冠狀病毒(COVID-19)肺炎在全球人群中快速傳播，已造成世界性大流行.至2020年7月底，全球確診人數(shù)達(dá)1.7×107，死亡人數(shù)達(dá)6.7×105.此新型冠狀病毒，主要通過(guò)飛沫傳播和接觸傳播，并且感染者在潛伏期具有一定的傳染性.其感染性極強(qiáng)，傳播速度極快.在暴發(fā)初期,中國(guó)受到春運(yùn)、交通、環(huán)境、輿情等多種因素的影響，面臨著巨大的挑戰(zhàn)和壓力.自疫情暴發(fā)以來(lái)，全國(guó)各省市出臺(tái)了一系列強(qiáng)有力的防控政策和措施.2020年1月23日，武漢啟動(dòng)公共衛(wèi)生一級(jí)響應(yīng)，采取限制交通、居家隔離、集中收治等措施，進(jìn)一步阻斷家庭與社區(qū)傳播.與此同時(shí)，中國(guó)政府在全國(guó)范圍內(nèi)采取居家隔離、人口普查與追蹤等措施來(lái)預(yù)防和控制全國(guó)疫情的傳播，取得了顯著成效.目前，有大量文獻(xiàn)針對(duì)湖北省疫情[1-7]及湖北以外地區(qū)進(jìn)行疫情分析[8-11].

在中國(guó)所采取的一系列防控措施中，普通民眾的居家隔離與對(duì)確診患者密切接觸者的追蹤隔離政策，切斷了傳播路徑，在病毒傳播控制中起到了關(guān)鍵的作用.論文建立新型冠狀病毒傳播與控制動(dòng)力學(xué)模型，定量評(píng)估這兩項(xiàng)隔離措施對(duì)疫情的影響.針對(duì)此模型，分析其動(dòng)力學(xué)特征，給出基本再生數(shù)與有效再生數(shù)表達(dá)式.利用安徽省公開(kāi)報(bào)道數(shù)據(jù)，對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值模擬，估計(jì)模型參數(shù)與初值及其置信區(qū)間，對(duì)比有隔離措施與無(wú)隔離措施對(duì)疫情傳播的影響.通過(guò)參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)、有效再生數(shù)的敏感性分析，定量評(píng)估控制措施的有效性，討論隔離措施在疫情下的防控效果.

1 數(shù)學(xué)模型與動(dòng)力學(xué)分析

根據(jù)新型冠狀病毒在人群中的傳播發(fā)展規(guī)律，基于中國(guó)當(dāng)前防控措施及傳染病動(dòng)力學(xué)研究[12-18]，建立新型冠狀病毒傳播與控制動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型.

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

基于以上假設(shè)，論文繪制了以下傳輸過(guò)程示意圖(如圖1所示)，用來(lái)描述新型冠狀病毒在人群中的傳播過(guò)程，其中箭頭表示個(gè)體在倉(cāng)室之間的移動(dòng).

圖1 COVID-19傳輸過(guò)程示意圖

基于新冠肺炎疾病傳播過(guò)程示意圖，建立了傳染病動(dòng)力學(xué)模型，見(jiàn)式(1).

(1)

其中：α,β,γ,δ,μ>0.

令N=S1(0)+S2(0)+I1(0)+I2(0)+H(0)+R(0)，由模型(1)，易得若S1(0),S2(0),I1(0),I2(0),H(0),R(0)≥0，則系統(tǒng)(1)的正不變集為D={(S1,S2,I1,I2,H,R):0≤S1,S2,I1,I2,H,R≤N}.

1.2 動(dòng)力學(xué)分析

1.2.1 極限集

證明基于系統(tǒng)(1)得到下列公式

其中：S1(t)+S2(t)=N-R*.

計(jì)算得

1.2.2 基本再生數(shù)與有效再生數(shù)

隨著新冠疫情的控制，需要利用有效再生數(shù)來(lái)刻畫(huà)在疾病傳播過(guò)程中每個(gè)時(shí)刻一個(gè)染病者在其病程內(nèi)平均傳播的患者數(shù).有效再生數(shù)是病毒傳播是否能夠維持的重要指標(biāo)，它不僅可以反映外部干預(yù)措施的有效性和判斷傳染病疫情的走勢(shì)，也可作為傳染病風(fēng)險(xiǎn)管理政策的有力參考.

得到

1.2.3 局部穩(wěn)定性

(2)

解得它的特征值為

(i)P*總有一個(gè)1維中心流形；

推論令P*∈P0，對(duì)于系統(tǒng)(2)，當(dāng)R0<1時(shí)，P*總有1維中心流形和4維穩(wěn)定的局部流形.

1.3 無(wú)隔離項(xiàng)的模型

若沒(méi)有隔離政策，取α=0,μ=0,q=0，則建立無(wú)隔離項(xiàng)的傳染病模型為

(3)

2 數(shù)值仿真

數(shù)據(jù)說(shuō)明：論文以安徽省累計(jì)病例數(shù)據(jù)作為分析對(duì)象，分析隔離措施的實(shí)施對(duì)疫情控制的影響.在疫情早期階段，武漢“封城”政策前的人員外流對(duì)全國(guó)疫情的擴(kuò)散具有較大影響.2020年1月23日武漢封城，2020年4月8日，武漢市解除離漢離鄂通道管控措施，有序恢復(fù)對(duì)外交通.論文選擇2020 年1月30日至2020年4月8日為研究時(shí)間區(qū)間，不考慮人員流動(dòng)且總?cè)丝跒槌?shù).

基于安徽省累計(jì)確診病例數(shù)，利用MCMC(Markov chain Monte Carlo)方法，對(duì)模型(1)進(jìn)行初值與參數(shù)估計(jì)，并給出其95%的置信區(qū)間.初值與參數(shù)的數(shù)據(jù)說(shuō)明如表1所示.

表1 初值與參數(shù)說(shuō)明

圖2 模型(1)與累計(jì)確診病例數(shù)的擬合曲線

圖3為參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響，驗(yàn)證了基本再生數(shù)R0與傳染率系數(shù)β正相關(guān)，傳染率系數(shù)β越大，基本再生數(shù)R0越大.基本再生數(shù)R0與染病者的隔離速率系數(shù)q(或確診速率系數(shù)γ)負(fù)相關(guān)，隔離速率系數(shù)q(或確診速率系數(shù)γ)越大，基本再生數(shù)R0越小，說(shuō)明了加強(qiáng)密切跟蹤隔離力度，即增加染病者的隔離速率系數(shù)q，能夠有效降低基本再生數(shù)R0.

圖3 參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響

圖4 有效再生數(shù)的時(shí)間序列圖

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)基本再生數(shù)與有效再生數(shù)的分析，加強(qiáng)密切跟蹤隔離力度，即增加染病者的隔離速率系數(shù)，能夠有效降低基本再生數(shù)；加強(qiáng)居家隔離力度，即增加易感者的隔離速率系數(shù)與減少易感者的隔離解除速率系數(shù)，有助于降低有效再生數(shù)極限范圍的上限.說(shuō)明隔離措施的實(shí)施確實(shí)能夠有效控制疫情傳播規(guī)模.與此同時(shí)，當(dāng)身體異常如高溫、咳嗽等癥狀及時(shí)前往醫(yī)院治療，縮短確診時(shí)間，同樣可以減少基本再生數(shù)，對(duì)疫情防控起著積極作用.模型沒(méi)有考慮人口流動(dòng)對(duì)疫情傳播的影響，特別是武漢解封之后的人口流動(dòng)導(dǎo)致人口的流入流出以及國(guó)外的輸入性病例對(duì)各個(gè)地區(qū)疫情的影響.在論文研究基礎(chǔ)上，下一步作者將分析各地區(qū)的人口流動(dòng)與輸入性病例對(duì)新冠肺炎流行性傳染病的影響.