王淑旺 范誠(chéng) 徐群龍

（合肥工業(yè)大學(xué)，合肥 230009）

主題詞：永磁同步電機(jī) 滑?？刂?新型趨近律 變邊界層飽和函數(shù) 擾動(dòng)觀測(cè)器

1 前言

永磁同步電機(jī)（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）因其體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、功率密度高以及效率高等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)比例積分（Proportional Integral，PI）控制常用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，但PI控制只能滿(mǎn)足一定范圍內(nèi)的精度要求，且高度依賴(lài)系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性，易受外界干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)影響。為了克服這些問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了大量研究，提出了一系列應(yīng)對(duì)方法和控制策略，如自抗擾控制、自適應(yīng)控制、模糊控制、預(yù)測(cè)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、滑模變結(jié)構(gòu)控制（Sliding Mode Control，SMC）等現(xiàn)代控制理論方法，并應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)。其中，滑模變結(jié)構(gòu)控制因其較強(qiáng)的魯棒性、對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)的不敏感性以及響應(yīng)速度快等優(yōu)勢(shì)得到廣泛應(yīng)用。但傳統(tǒng)滑?？刂茙?lái)的響應(yīng)快速性是通過(guò)大增益實(shí)現(xiàn)的，無(wú)可避免地帶來(lái)抖振問(wèn)題。在保留滑?？刂茙?lái)的強(qiáng)魯棒性、快速響應(yīng)性的同時(shí)解決抖振問(wèn)題，成為許多學(xué)者研究的方向。文獻(xiàn)[7]在傳統(tǒng)冪次趨近律的基礎(chǔ)上引入指數(shù)項(xiàng)，并將系統(tǒng)狀態(tài)變量融入其中，使其與系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)聯(lián)，有效解決了冪次趨近律在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)速度慢的問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]提出一種改進(jìn)的冪次趨近律，在冪次項(xiàng)中引入系統(tǒng)狀態(tài)變量，在指數(shù)項(xiàng)中引入冪次型滑模面函數(shù)，有效抑制了系統(tǒng)固有抖振，加快了到達(dá)滑模面的速度，但是算法設(shè)計(jì)復(fù)雜，參數(shù)調(diào)節(jié)難度高。文獻(xiàn)[9]采用超螺旋（Super-twisting）算法控制轉(zhuǎn)矩角生成，引入積分滑模和模糊自適應(yīng)方法優(yōu)化趨近律，有效提高了系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[10]采用一種由連續(xù)性函數(shù)組成的新型飽和函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，在削弱抖振的同時(shí)，加快了收斂速度，不足之處是邊界層固定，選取過(guò)大或過(guò)小均會(huì)限制其性能發(fā)揮的穩(wěn)定。

基于以上研究，本文提出一種新型趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制（New Reaching Law Sliding Mode Control，NRLSMC）算法，以滑模面作為自變量，基于雙曲正切函數(shù)設(shè)計(jì)一種新的變量函數(shù)，在提高遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的收斂速度的同時(shí)，大幅度削弱靠近滑模面時(shí)的固有抖振。針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化引起的擾動(dòng)問(wèn)題，引入雙曲正切函數(shù)和Fal 函數(shù)組合成的復(fù)合函數(shù)，設(shè)計(jì)一種新型擾動(dòng)觀測(cè)器，進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。

2 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了便于建立永磁同步電機(jī)在-軸坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，作出如下假設(shè)：磁場(chǎng)沿氣隙圓周呈正弦分布；忽略定子繞組的齒槽對(duì)氣隙磁場(chǎng)分布的影響；忽略定子鐵心和轉(zhuǎn)子鐵心的渦流損耗和磁滯損耗；忽略繞組電阻與繞組電感等參數(shù)的變化。則PMSM 在-軸中的電壓方程為：

式中，u、u分別為、軸電壓；i、i分別為、軸電流；L、L分別為、軸電感；為定子電感；為極對(duì)數(shù)；為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；為永磁體磁鏈。

PMSM的轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程分別為：

式中，為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為電磁轉(zhuǎn)矩；為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；為粘滯摩擦因數(shù)。

3 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

3.1 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律

傳統(tǒng)指數(shù)趨近律在等速趨近律的基礎(chǔ)上加入指數(shù)項(xiàng)，以提高遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的收斂速度：

式中，-為指數(shù)趨近項(xiàng)；、為大于0 的常數(shù)；為滑模面。

需要說(shuō)明的是，指數(shù)趨近律雖然加快了遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的收斂速度，但是由于符號(hào)函數(shù)的存在，無(wú)法避免地會(huì)存在一定的抖振現(xiàn)象。本文將符號(hào)函數(shù)進(jìn)行連續(xù)性處理，以解決靠近滑模面時(shí)的抖振問(wèn)題。

3.2 新型趨近律

為了克服傳統(tǒng)指數(shù)趨近律存在的問(wèn)題，本文提出一種新型趨近律：

式中，、、、為常數(shù)，且0<<2，0<<1，>0，>0；為系統(tǒng)狀態(tài)變量。

分析該趨近律可知，加入系統(tǒng)狀態(tài)變量可以使其與趨近律的指數(shù)項(xiàng)關(guān)聯(lián)。當(dāng)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)較大，相當(dāng)于在原指數(shù)項(xiàng)的基礎(chǔ)上乘一項(xiàng)增益，增大了遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的收斂速度，且速度隨著與滑模面距離的減小而減小。當(dāng)趨近滑模面時(shí)，式（5）等號(hào)右側(cè)第1項(xiàng)起主導(dǎo)作用，既解決了傳統(tǒng)趨近律存在不連續(xù)項(xiàng)的問(wèn)題，又解決了固定邊界層飽和函數(shù)帶來(lái)的邊界層過(guò)大使原本趨于穩(wěn)定的系統(tǒng)再次產(chǎn)生抖振，邊界層過(guò)小使系統(tǒng)在邊界層內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間過(guò)短致使飽和函數(shù)作用發(fā)揮有限的問(wèn)題。

3.3 新型趨近律性能驗(yàn)證

考慮如下被控系統(tǒng)：

式中，()為實(shí)際角度信號(hào)；(,)為關(guān)于實(shí)際速度信號(hào)的函數(shù)；>0為常數(shù)；()為外部干擾；()為控制律。

滑模函數(shù)選取為：

式中，>0為滑模面系數(shù)，滿(mǎn)足赫爾維茨（Hurwitz）條件；()為誤差。

誤差及其導(dǎo)數(shù)為：

式中，為理想角度信號(hào)。

于是，有：

式中，為干擾信號(hào)。

由于未知，設(shè)和分別為干擾的下限和上限，取=(-)/2，=(+)/2，則：

式中，為與干擾信號(hào)的界相關(guān)的正實(shí)數(shù)。

綜合式（9）～式（12）可得：

圖1 相軌跡

圖2 控制輸入

由圖1～圖3分析可知，新型趨近律在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)的收斂速度快于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，且在靠近滑模面時(shí)抖振抑制性能亦優(yōu)于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，同時(shí)，在給定信號(hào)跟蹤方面也優(yōu)于傳統(tǒng)指數(shù)趨近律，因此新型趨近律在收斂速度和抑制抖振方面性能更優(yōu)。

圖3 角度信號(hào)跟蹤

3.4 滑模控制器

定義轉(zhuǎn)速誤差為系統(tǒng)的狀態(tài)變量：

式中，為電機(jī)給定轉(zhuǎn)速；為電機(jī)實(shí)際轉(zhuǎn)速。

根據(jù)式（3），求導(dǎo)后得：

由于滑模變結(jié)構(gòu)控制采取非線性控制方法，在趨近滑模面時(shí)會(huì)產(chǎn)生抖振，故選取積分型滑模面可以有效平滑轉(zhuǎn)矩，抑制抖振，增強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，并在一定程度上提高調(diào)節(jié)精度。故設(shè)計(jì)滑模面為：

式中，為時(shí)間變量；為轉(zhuǎn)速誤差收斂至零時(shí)刻。

對(duì)求導(dǎo)后有：

根據(jù)式（5）、式（15）、式（17）可得：

式中，i為滑?？刂破鬏敵龅妮S電流。

考慮系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部負(fù)載擾動(dòng)，將式（18）寫(xiě)成：

選取李雅普諾夫（Lyapunov）函數(shù)：

對(duì)其求導(dǎo)，則有：

圖4 滑模控制器結(jié)構(gòu)

4 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化引起的擾動(dòng)問(wèn)題，設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器，進(jìn)一步提高系統(tǒng)抗擾動(dòng)性能。

電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行中，負(fù)載轉(zhuǎn)矩時(shí)變且難以預(yù)測(cè)。因電機(jī)控制器采樣頻率高，采樣周期小，而電氣時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于機(jī)械時(shí)間常數(shù)，即相對(duì)于電流轉(zhuǎn)速等信號(hào)來(lái)說(shuō)，負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩變化緩慢。于是，可以近似認(rèn)為在1個(gè)控制采樣周期內(nèi)負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩不變：

進(jìn)而可知，擾動(dòng)的一階導(dǎo)數(shù)為零：

選取PMSM機(jī)械角速度和系統(tǒng)總擾動(dòng)()為狀態(tài)變量，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

Fal函數(shù)具有濾波特性，是一種特殊的非線性結(jié)構(gòu)，常用于自抗擾控制器中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（Extended State Observer，ESO）部分。當(dāng)Fal函數(shù)與ESO結(jié)合時(shí)，可以有效觀測(cè)系統(tǒng)測(cè)量環(huán)節(jié)存在的干擾情況，F(xiàn)al 函數(shù)表達(dá)式為：

式中，為誤差；為濾波因子；為影響濾波效果的常數(shù)。

基于以上研究，本文設(shè)計(jì)了一種新型擾動(dòng)觀測(cè)器：

基于式（26）的觀測(cè)器模型如圖5所示。

圖5 擾動(dòng)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)

5 仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

5.1 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的新型趨近律滑?？刂破鞯男阅?，基于MATLAB/Simulink 搭建如圖6所示的仿真模型，采用i=0 的PMSM 矢量控制策略，并將其與PI 控制進(jìn)行對(duì)比，選取永磁同步電機(jī)參數(shù)如表1所示。

圖6 基于新型趨近律的滑?？刂扑惴ㄏ到y(tǒng)仿真模型

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)

取永磁同步電機(jī)粘滯摩擦因數(shù)=0.000 8，滑?？刂破鞲黜?xiàng)參數(shù)采用交替聯(lián)合迭代法進(jìn)行整定，運(yùn)用工程經(jīng)驗(yàn)法以PI控制下系統(tǒng)輸出的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩等各項(xiàng)特性為搜索方向，快速調(diào)節(jié)滑?？刂破髦懈黜?xiàng)參數(shù)，再以滑?？刂葡孪到y(tǒng)輸出的各項(xiàng)特性為搜索方向，調(diào)節(jié)PI控制器中的參數(shù)，以此類(lèi)推，進(jìn)行迭代，最終選取=0.5，=30，=80，=0.5，=30。觀測(cè)器的各項(xiàng)參數(shù)依據(jù)采樣步長(zhǎng)選取=10，=30，=0.3，=5；PI 控制器參數(shù)為k=12，k=5。電機(jī)額定轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，仿真結(jié)果如圖7～圖10所示。

圖7 突增負(fù)載時(shí)轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖8 突增負(fù)載時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)

圖9 突增負(fù)載時(shí)三相電流

圖10 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)結(jié)果

從圖7 可以看出，在第0.1 s 突增5 N?m 的負(fù)載時(shí)，基于PI控制算法轉(zhuǎn)速超調(diào)量為76 r/min，而新型趨近律滑?？刂扑惴ㄏ罗D(zhuǎn)速超調(diào)量為23 r/min，且在突加負(fù)載后轉(zhuǎn)速波動(dòng)較小，恢復(fù)系統(tǒng)原狀態(tài)更快。

從圖8可以看出：在第0.1 s突增10 N?m的負(fù)載時(shí)，PI 控制下電磁轉(zhuǎn)矩存在明顯波動(dòng)，而在NRLSMC 算法控制下，電磁轉(zhuǎn)矩較為平滑，無(wú)明顯波動(dòng)，說(shuō)明NRLSMC算法穩(wěn)定性更高，控制性能更加優(yōu)越；對(duì)于定子三相電流的控制，NRLSMC 算法亦更接近正弦曲線，在起始階段和中間突增負(fù)載時(shí)過(guò)渡更加平滑。

由圖10 可知，在第0.1 s 突增10 N?m 的負(fù)載，并在第0.2 s卸載時(shí)，該觀測(cè)器響應(yīng)速度快，觀測(cè)結(jié)果也較為準(zhǔn)確，滿(mǎn)足性能要求。

選取4組參數(shù)分別對(duì)控制器性能進(jìn)行仿真，結(jié)果如表2所示。

表2 控制器參數(shù)對(duì)控制器性能影響的仿真結(jié)果

由表2可知，控制器參數(shù)的變化對(duì)轉(zhuǎn)速超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間均有一定的影響，工程中需要根據(jù)實(shí)際工況靈活選取。

需要說(shuō)明的是，由于電機(jī)在運(yùn)行過(guò)程中不可避免地會(huì)導(dǎo)致內(nèi)部參數(shù)的變化，如定子電阻會(huì)隨著溫度的上升而增大，均不會(huì)影響控制變量的收斂，系統(tǒng)最終都能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

5.2 試驗(yàn)分析

基于TMS320F28377 控制板搭建試驗(yàn)平臺(tái)，分別對(duì)傳統(tǒng)PI控制算法和本文提出的基于新型趨近律的滑?？刂扑惴ㄟM(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)主要測(cè)試2個(gè)部分，即空載啟動(dòng)以及突增負(fù)載時(shí)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

選取滑模控制器各項(xiàng)參數(shù)為=0.5，=15，=50，=0.5，觀測(cè)器參數(shù)為=3，=50，=0.5，=15。PI 控制器各參數(shù)為k=100，k=5。試驗(yàn)時(shí)，電機(jī)空載啟動(dòng)，給定轉(zhuǎn)速500 r/min，試驗(yàn)結(jié)果如圖11所示。

圖11 空載啟動(dòng)轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

給定電機(jī)轉(zhuǎn)速1 000 r/min，突增10 N?m負(fù)載，測(cè)得轉(zhuǎn)速響應(yīng)結(jié)果如圖12所示。

圖12 突增負(fù)載轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

轉(zhuǎn)速保持不變，負(fù)載從10 N?m 增至20 N?m，結(jié)果如圖13所示。

圖13 突增負(fù)載轉(zhuǎn)矩響應(yīng)曲線

電機(jī)空載運(yùn)行過(guò)程中突增5 N?m負(fù)載，運(yùn)行一段時(shí)間后再卸載，結(jié)果如圖14所示。

圖14 負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)波形

選取4組參數(shù)對(duì)電機(jī)控制器性能進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果如表3所示。

表3 控制器參數(shù)對(duì)控制器性能影響的試驗(yàn)結(jié)果

由試驗(yàn)結(jié)果可知：本文提出的新型趨近律滑?？刂扑惴ㄏ鄬?duì)傳統(tǒng)PI 控制算法，轉(zhuǎn)速響應(yīng)時(shí)間縮短0.02 s，超調(diào)量減小40 r/min，突增負(fù)載后轉(zhuǎn)速較為穩(wěn)定，恢復(fù)至系統(tǒng)原狀態(tài)所用時(shí)間更短；電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)小，突增負(fù)載時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩更加穩(wěn)定，抗干擾性能更佳；擾動(dòng)觀測(cè)器響應(yīng)速度快，能夠準(zhǔn)確地對(duì)負(fù)載擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行估測(cè)；對(duì)于控制器參數(shù)，需要根據(jù)實(shí)際工況靈活配置。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文在傳統(tǒng)趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種新型趨近律的滑?？刂扑惴ǎ⑵溥\(yùn)用到永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，用以取代傳統(tǒng)PI控制算法，大幅減小了系統(tǒng)的固有抖振，并針對(duì)外在擾動(dòng)設(shè)計(jì)了一種新型擾動(dòng)觀測(cè)器，進(jìn)一步加強(qiáng)系統(tǒng)魯棒性，仿真與試驗(yàn)結(jié)果證明，本文所提出的新型滑?？刂扑惴苡行Ц纳芇MSM調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，提高系統(tǒng)抗干擾能力。