趙志紅， 傅雙雙， 蘇永美

(北京科技大學 數(shù)理學院，北京 100083)

1 引 言

2018年11月24日, 教育部高等教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學教學論壇”上提出了具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度即“兩性一度”的“金課”標準.微積分是大學教學中十分重要的一門公共基礎理論課, 肩負著培養(yǎng)學生數(shù)學思維, 創(chuàng)新能力的使命, 為其它后續(xù)數(shù)學以及專業(yè)課程的學習打下良好的基礎.但微積分課程的教學內容多, 知識難度大, 課時緊張以及大班授課等特點, 使其課堂教學通常剝離實際問題, 主要從理論推導角度講授, 使得很多知識都不易理解, 導致一些學生失去學習興趣.所以各大高校的教師們積極探索大學課程的新型教學模式.在新型教學模式下, 教師們不僅要不斷的挖掘生活中的有趣案例[1-2], 而且要處理好實際案例與相關數(shù)學理論的相互滲透, 這樣才可以提高教學效果和教學質量,才有利于學生對微積分基本思想與方法的全面理解和把握, 有利于學生由具體問題到抽象數(shù)學思維的轉化能力的培養(yǎng),以及創(chuàng)新性思維, 科學素養(yǎng)的養(yǎng)成.

零點定理是高等數(shù)學中連續(xù)函數(shù)的一個重要性質, 主要用于方程根的存在性證明以及與微分中值定理綜合運用, 實際上零點定理還有非常多的實際應用價值.目前, 關于零點定理的課程設計不多, 已有的課程設計主要是定理的簡單引入以及一些簡單應用[3].筆者發(fā)現(xiàn)零點定理是有一定深度和廣度的, 可以做到“兩性一度”.本文首先從橡皮筋問題引出零點定理, 分析如何從實際問題出發(fā)建立數(shù)學模型[4], 使學生通過解決橡皮筋問題, 發(fā)現(xiàn)零點定理, 這是發(fā)現(xiàn)學習的過程.接著, 借助幾何直觀引導學生證明零點定理, 加深學生對零點定理的理解, 不僅知其然, 而且知其所以然, 這提高了課程的挑戰(zhàn)度.進一步將零點定理應用到方鏡框問題, 這是一個既有趣味性又能充分體現(xiàn)數(shù)學思想方法的例子, 對這個問題的解決不僅可以開拓學生的視野, 引導學生踮起腳尖對高層次的知識進行構建, 而且學生可以認識到一個簡單的定理可以解決復雜的問題, 這體現(xiàn)了課程的高階性.最后提出零點定理的進一步擴展思考, 并引申到了學術前沿問題, 培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素質, 引導學生自主探究, 這體現(xiàn)了課程的創(chuàng)新性.在講解過程中深入淺出的展示一些實際問題背后的數(shù)學理論.這個過程不僅可以幫助學生深刻地理解零點定理, 培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力, 而且讓學生可以更好地領略數(shù)學的深奧與美妙.

2 零點定理的引入

引入是非常重要的環(huán)節(jié).如果一開始直接介紹零點定理, 學生會感覺枯燥沒有興趣.為了激發(fā)學生的學習興趣,選用一個有趣味的橡皮筋問題[3]來引入本節(jié)課內容.這個問題簡單直觀, 卻蘊含著豐富的數(shù)學思想.

引例拉一根橡皮筋, 一頭朝左拉, 同時另一頭朝右拉, 在橡皮筋不拉斷的情況下是否有一點在原來的位置不動?

分析 這個問題直觀明了, 提出問題后學生容易理解并給出自己的猜測.但是, 為了科學嚴謹?shù)鼗卮疬@個問題, 還需要把它抽象成一個數(shù)學問題, 通過建立數(shù)學模型[4]對這個問題進行分析和回答.實際上, 分析這個數(shù)學問題的過程就是零點定理學習的過程.

模型假設 對橡皮筋進行必要的假設: 橡皮筋為一維直線段.

模型構建 引導學生用數(shù)學語言把拉橡皮筋時的條件和結論表示出來.

由模型假設, 可以將橡皮筋放置在x軸上, 橡皮筋上各點位置用x表示, 即x∈[a,b].橡皮筋拉開之后各點的位置為f(x), 在橡皮筋拉伸的過程中, 函數(shù)f(x)是連續(xù)變化的, 且拉伸后橡皮筋的左端點滿足f(a)b, 如圖1所示.這樣拉橡皮筋問題就可以歸結為證明如下數(shù)學命題：

圖1 橡皮筋拉伸示意圖

命題如果函數(shù)f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù), 滿足f(a)b, 則存在x∈(a,b)使得x=f(x).

幾何分析 構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-x,x∈[a,b], 則F(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù), 且滿足F(a)<0,F(b)>0.從幾何角度出發(fā)簡單的分析一下, 輔助函數(shù)y=F(x)在區(qū)間[a,b]上是一條連續(xù)的曲線,F(a)<0表示曲線在端點a處的值在x軸下面,F(b)>0表示曲線在端點b處的值在x軸上面, 那么這條連續(xù)曲線必然在某一點ξ∈(a,b)穿過x軸, 如圖2所示.因此在ξ處有F(ξ)=0, 即ξ=f(ξ).

圖2 F(x)的圖形

問題得證.由此可以自然地引出零點定理.

3 零點定理

3.1 零點定理的內容

零點定理又稱為布爾查諾定理, 是由捷克數(shù)學家布爾查諾(Bolzano，1781-1848)提出的[5].

零點定理[6]函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù), 且滿足f(a)f(b)<0, 則至少存在一個ξ∈(a,b), 使得f(ξ)=0.

從幾何角度, 零點定理說明函數(shù)y=f(x)在(a,b)內與x軸至少存在一個交點.從代數(shù)角度, 零點定理說明方程f(x)=0在(a,b)內至少存在一個實根.零點定理的證明需要用到實數(shù)理論的相關知識, 因此高等數(shù)學教材都沒有給出證明.但從幾何直觀角度, 可以引導學生探索分析問題, 如果采用二分法會得到怎樣的結果呢？

3.2 二分法證明零點定理

二分法主要是通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二, 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點, 進而得到函數(shù)零點.

二分法求零點的步驟：

函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0, 不妨設f(a)<0,f(b)>0.

(i)如果f(x0)=0, 則x0就是函數(shù)f(x)的零點, 結論得證；

(ii)如果f(x0)>0, 可令a1=a,b1=x0；

(iii)如果f(x0)<0, 則令a1=x0,b1=b；

(i)如果f(x1)=0, 則x1就是函數(shù)f(x)的零點；

(ii)如果f(x1)>0, 令a2=a1,b2=x1；

(iii)如果f(x1)<0, 令a2=x1,b2=b1；

…………

因此f(c)=0.

整個證明過程用到的都是高等數(shù)學中學生已知的知識.但老師引導學生“跳一跳”后, 學生是可以理解的.在一定程度上體現(xiàn)了教學的“挑戰(zhàn)度”.

3.3 零點定理解題步驟

在高等數(shù)學課程中重點在于讓學生掌握如何運用零點定理證明函數(shù)零點的存在性.運用零點定理解題的步驟:

一、構造連續(xù)的輔助函數(shù)f(x), 使得問題變?yōu)榍蠼夥匠蘤(x)=0的根；

二、尋找閉區(qū)間[a,b], 使得f(x)在左右端點處的值異號.

4 應用探索—方鏡框問題[7]

4.1 問題描述

給定平面上的一條簡單的光滑封閉曲線, 能否作一個各邊都與曲線相切, 且包含這條閉曲線的正方形?

4.2 問題分析

這個問題比之前的橡皮筋問題復雜很多, 而且涉及到許多概念, 如區(qū)域、邊界、光滑曲線和相切等.筆者簡單解釋一下題目中出現(xiàn)的幾個概念.簡單閉曲線是指平面上一條除起點與終點外, 不自交的連續(xù)曲線, 也就是平面上一條沒有重點的連續(xù)閉曲線, 也稱Jordan閉曲線.光滑曲線是指曲線上的每一點處都有切線, 且切線隨切點的移動而連續(xù)轉動[8].

顯然, 對于一些特殊的簡單光滑閉曲線這個問題是顯然成立的, 如圓、橢圓, 見圖3.那么對于一般的光滑閉曲線呢？答案也是肯定的.

圖3 圓(左)、橢圓(右)滿足方鏡框問題

由于包含閉曲線的方形的邊是由閉曲線的切線組成的, 可以引導學生發(fā)現(xiàn)一條簡單光滑閉曲線及其各點切線有什么樣的性質.一條簡單光滑閉曲線具有下面兩個性質：

性質1簡單光滑閉曲線是連續(xù)周期函數(shù), 閉曲線上的每一點處都有切線, 且切線隨切點的移動而連續(xù)轉動.

性質2閉曲線上的切線可以組成無數(shù)個包含這個閉曲線的矩形, 并且矩形的邊長是隨著曲線上的點連續(xù)變化的.

對于性質1, 建立直角坐標系, 并在閉曲線上任意選定一點(x0,y0), 令s表示從(x0,y0)出發(fā)逆時針方向到曲線上任一點(x,y)的弧長, 如圖4, 則點(x,y)可以表示為

圖4 參數(shù)表示

令L表示閉曲線的弧長, 則有(x(s+L),y(s+L))=(x(s),y(s)).另外, 由于閉曲線是連續(xù)的, 則

即(x(s),y(s))連續(xù), 由此可以看出簡單光滑閉曲線是連續(xù)周期函數(shù).又由光滑曲線的定義可知曲線上的每一點處都有切線, 且切線隨切點的移動而連續(xù)轉動.

下面分兩種情況討論性質2.為了便于理解, 對曲線的切線規(guī)定一個正方向, 即一個人在閉曲線上且面向閉曲線所圍區(qū)域時, 此人的右側為切線的正方向.

情形1 閉曲線位于曲線上任一點切線的一側(圖5(a)).將閉曲線上的點都平移到原點, 則閉曲線上的切線形成圖5(b), 由于曲線光滑, 所以切線的斜率是連續(xù)變化的.那么閉曲線上任取一點, 一定可以找到曲線上其余三點, 使這四個點處的切線相互垂直, 這樣過曲線上任一點一定可以找到其余三點, 使得這四個點的切線組成的矩形包含這條閉曲線(圖5(c)).由于曲線是光滑的, 所以矩形的邊長是隨著曲線上的點連續(xù)變化的.

圖5 情形1

圖6 情形2

4.3 問題解答

模型構建 關鍵問題是用數(shù)學語言把包含閉曲線的正方形出現(xiàn)的條件和結論表示出來.

用變量x表示閉曲線上點的位置.由性質1, 設閉曲線的周期為L, 即x+L又回到x.由性質2, 以閉曲線上一點x處的切線為邊, 且包含閉曲線的矩形的邊長為分別為f(x)和g(x), 如圖7所示.邊長f(x)對應的切線的切點為x, 邊長g(x)對應的切線的切點為x+L1, 矩形與閉曲線的另外兩個切點分別為x+L1+L2,x+L1+L2+L3,這里Li>0,i=1,2,3,且L1+L2+L3

圖7 矩形的邊長

f(x)=f(x+L1+L2),g(x)=g(x+L1+L2),

且當x轉到x+L1時得到與原來相同的矩形，于是

f(x+L1)=g(x),g(x+L1)=f(x+L1+L2)=f(x).

這樣, 不妨設從x=0開始改變點x的位置, 使包含閉曲線的矩形為正方形可歸結為如下數(shù)學命題:

命題已知f(x),g(x)為閉區(qū)間[0,L]上的連續(xù)函數(shù), 滿足

f(L1)=g(0),g(L1)=f(0),L1

證明存在一點x0∈[0,L1], 使得f(x0)=g(x0).

模型求解 如果在x=0處滿足f(0)=g(0), 則問題得證.如果在x=0處f(0)≠g(0),不妨設f(0)>g(0),構造輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x), 顯然F(x)在[0,L]上連續(xù), 且滿足

F(0)=f(0)-g(0)>0,F(L1)=f(L1)-g(L1)=g(0)-f(0)<0,

由零點定理, 可得至少存在點x0∈(0,L1), 使得F(x0)=0, 即f(x0)=g(x0).因此, 必存在一點x0∈[0,L1],使得f(x0)=g(x0).

因此, 給定平面上的一條簡單光滑閉曲線, 一定可以做一個包含這條閉曲線的正方形并且它的四邊都與曲線相切.對方鏡框問題的解決在一定程度上體現(xiàn)了教學的“高階性”, 可以培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力.

4.4 拓展思考

(i)給定平面上的一條簡單光滑閉曲線, 能否作一個各邊與曲線相切, 且包含這條閉曲線的等邊三角形? 是否存在滿足條件的正五邊形, 正六邊形, … , 正n邊形？

(ii)閉凸曲線上的Square Peg Problem: 給定平面上的一條簡單光滑的凸(曲線總是位于它的每一點切線的同一側)閉曲線, 能否做一個內接正方形(正方形各點都在曲線上), 如圖8所示.(提示: 模型假設部分可以通過內接直角梯形證明以簡單閉凸曲線上任意一點為頂點, 一定存在內接矩形; 然后利用零點定理.)

圖8 內接正方形

(iii)上面這個問題是1911年德國數(shù)學家Otto Toeplitz提出的Square Peg Problem的簡化版.一般的Square Peg Problem描述如下: 平面上任意一條簡單閉曲線, 是否存在內接正方形? 這是一個百年老問題至今未解決.2020年新冠肺炎疫情期間波士頓學院的Joshua Evan Greene和英國杜倫大學的Andrew Lobb 兩位數(shù)學家解決了Rectangular Peg Problem: 平面上任意簡單閉曲線存在任意給定長寬比的內接矩形.這個研究成果離Square Peg Problem的結論越來越近了.這樣在日常的教學中聯(lián)系學術前沿, 可以培養(yǎng)學生的“創(chuàng)新性”.

5 教學效果評價

通過“橡皮筋問題”引入零點定理是否有助于提高學生的學習興趣, 學生能否理解運用二分法對零點定理進行證明以及運用零點定理對“方鏡框問題”進行討論, 拓展到閉凸曲線上的Square Peg Problem以及學術前沿問題學生是否覺得有意義等問題, 筆者針對北京科技大學2020級機械、能源兩個專業(yè)78名同學進行課堂教學并做了調查問卷, 結果如圖9所示.課堂教學實踐表明, 學生們全程沉浸課堂, 對本文提出的教學設計有較高的認可度, 教學效果良好.

圖9 統(tǒng)計直方圖

6 結 論

零點定理是高等數(shù)學中的一個重要定理, 在許多數(shù)學理論推導中發(fā)揮重要作用.本文的教學設計始終貫徹以學生為中心, 根據(jù)學生的認知心理特點, 從有趣的問題引導學生發(fā)現(xiàn)問題, 探究定理, 并從幾何直觀的角度引導學生探求定理的證明思路, 最后利用零點定理研究了方鏡框問題以及閉凸曲線上的Square Peg Problem, 將經(jīng)典的微積分理論同科研前沿聯(lián)系.這樣的設計不僅體現(xiàn)了教學上的“兩性一度”, 更有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.