王金華, 向紅軍

(湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 湖南 郴州 423000)

1.引言

分?jǐn)?shù)階微積分、分?jǐn)?shù)階差分與和分理論近二十年來(lái)有了較快的發(fā)展.相關(guān)理論在很多的領(lǐng)域, 比如: 生物工程、化學(xué)材料、控制理論等都有較為廣泛的應(yīng)用, 參見(jiàn)文[1-9]及所引參考文獻(xiàn).因此, 分?jǐn)?shù)階微分、差分方程理論與應(yīng)用研究也受到了相關(guān)學(xué)者們廣泛的關(guān)注, 涌現(xiàn)出不少關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分、分?jǐn)?shù)階差分方程解的存在性及周期性等研究文獻(xiàn).由于分?jǐn)?shù)階微分方程研究出現(xiàn)比較早, 其方法也已經(jīng)被不少研究者推廣到了微分方程組的研究應(yīng)用上.相對(duì)而言, 分?jǐn)?shù)階差分方程的研究相對(duì)較晚, 其理論與方法推廣到分?jǐn)?shù)階差分方程組的研究也比較復(fù)雜.所以, 雖然出現(xiàn)不少分?jǐn)?shù)階差分方程的研究文獻(xiàn), 但分?jǐn)?shù)階差分方程組邊值問(wèn)題正解的研究文獻(xiàn)不多, 文獻(xiàn)中提出的邊值條件也很少含分?jǐn)?shù)階差分算子.一般來(lái)說(shuō), 如果邊界條件中帶分?jǐn)?shù)階差分算子, 那么其格林函數(shù)相對(duì)復(fù)雜, 格林函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用相對(duì)困難.目前的文獻(xiàn)中, 多數(shù)的邊值條件是函數(shù)本身的兩端函數(shù)值或是帶函數(shù)的整數(shù)階差分算子.如: 文[10]中, 作者分析了下列分?jǐn)?shù)階差分方程組邊值問(wèn)題解的存在性問(wèn)題：

其中, 1＜v1,v2≤2,b ∈N1,Δv1,Δv2是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階差分算子.該文作者應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)原理, 分析了以上分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題至少有一個(gè)解的充分條件, 其方程組中的邊界條件是函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值為0.

文[11]分析了下列分?jǐn)?shù)階差分方程組：

其中, 1＜v1,v2≤2,b ∈N1,Δv1,Δv2是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階差分算子.作者用著名的Krasnosel’ski定理得到了此分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題在滿足一定條件時(shí)存在正解.其方程組中邊界條件也是已知函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)值.

文[12]的作者討論了如下分?jǐn)?shù)階差分方程組的解存在性問(wèn)題：

其中, 2＜vj ≤3,b ∈N1,b ＞3,λj ＞0,j=1,2,··· ,n,(j=1,2,··· ,n)是Caputo分?jǐn)?shù)階差分算子.在文[12]中作者應(yīng)用相關(guān)不動(dòng)點(diǎn)理論對(duì)該問(wèn)題解的存在情況進(jìn)行了討論, 獲得了一些充分條件, 也舉例驗(yàn)證了理論的可靠性.其方程組中邊界條件是函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值為0,邊界條件中帶有2階差分算子.

文[10-12]中涉及的邊值條件主要是函數(shù)本身的邊界值或函數(shù)的整數(shù)階差分邊界值.本文將考慮如下具有分?jǐn)?shù)階差分邊值條件的差分方程組問(wèn)題：

其中,t ∈[0,b+1]N0, 對(duì)i= 1,2有1＜qi ≤2,0＜γi ＜1,0＜qi -γi ＜1,b ∈N1,b ＞3,Δqi,Δγi是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階差分算子.ai:[qi-1,qi+b]→[0,+∞),gi:[0,+∞)×[0,+∞)→[0,+∞)均是連續(xù)函數(shù).對(duì)任意a ∈R,I ?R,定義Na={a,a+1,a+2,···},INa=I ∩Na.對(duì)任意k ∈Na及Na上的函數(shù)u, 有

2.定義及引理

為了方便文章后面部分的討論, 本節(jié)將介紹分?jǐn)?shù)階差分的定義及分?jǐn)?shù)階和分的定義.同時(shí)介紹在后面的證明中需要用到的一些結(jié)論.

定義2.1[3]對(duì)任意的t,v, 定義且規(guī)定當(dāng)t+1-v是Γ函數(shù)的極點(diǎn), 而t+1不是Γ函數(shù)的極點(diǎn)時(shí), 有tv=0.

定義2.2[3]對(duì)于v ＞0, 函數(shù)f:Na →R的v階和分定義如下：

其中,t ∈{a+v,a+v+1,···}:=Na+v, 而函數(shù)f:Na →R的v階Riemann-Liouville差分為：

Δvf(t):=ΔNΔ-(N-v)f(t),0≤N -1＜v ≤N,

ΔN是N階向前差分算子.

引理2.1[3]設(shè)0≤N -1＜v ≤N, 則函數(shù)f:Na →R滿足：

其中Ci ∈R,1≤i ≤N.

1) 當(dāng)u ∈K ∩?Ω1時(shí),‖Tu‖≤‖u‖,且當(dāng)u ∈K ∩?Ω2時(shí),‖Tu‖≥‖u‖;

2) 當(dāng)u ∈K ∩?Ω1時(shí),‖Tu‖≥‖u‖,且當(dāng)u ∈K ∩?Ω2時(shí),‖Tu‖≤‖u‖.

則T在K ∩(Ω2Ω1)中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

引理2.4[9]設(shè)μ-1,μ+v+1非零或非負(fù)整數(shù), 則有：

引理2.5[9]設(shè)1＜q ≤2, 函數(shù)g: [q-1,q+b]Nq-1→R, 則以下分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問(wèn)題：

3.解的存在性

下面討論判別分?jǐn)?shù)階方程組邊值問(wèn)題(1.1)存在正解的另一個(gè)充分條件, 后面的討論中用到的條件記為：

定理3.2若條件(H1),(H2)和(H3)都成立, 則分?jǐn)?shù)階差分方程組邊值題(1.1)至少有一個(gè)正解.

證由引理3.1可知T:K →K, 且由算子T的定義知能滿足完全連續(xù)的性質(zhì).由條件(H3)可知, 存在正數(shù)ε使得：

由條件(H1), 對(duì)以上的正數(shù)ε, 存在常數(shù)K1＞0, 使得當(dāng)‖(u1,u2)‖＜K1時(shí),

同理存在常數(shù)K2＞0, 使得當(dāng)‖(u1,u2)‖＜K2時(shí),

令K:= min{K1,K2}, 且記Ω1={(u1,u2)∈E:‖(u1,u2)‖ ＜K}, 則對(duì)任意(u1,u2)∈K ∩?Ω1有:

4.應(yīng)用舉例

例4.1考慮以下分?jǐn)?shù)階差分方程組邊值問(wèn)題：

即q1=1.4,q2=1.7,γ1=0.5,γ2=0.9,b=20.取r1=1,r2=400,a1(t)=a2(t)=et-4,

通過(guò)計(jì)算可得：α1=3.0350×108,α2=1.4292×109,β1=4.7768×105,β2=1.4970×106, 且

所以, 由定理3.2可知, 當(dāng)λ1,λ2∈[4.5238×10-8,1.6474×10-5]時(shí), 分?jǐn)?shù)階差分方程組(4.2)至少有一個(gè)正解.