李麗 于曉

(1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息管理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖北 武漢 430205; 2.山東建筑大學(xué)理學(xué)院,山東 濟(jì)南 250101; 3.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院湖北數(shù)據(jù)與分析中心, 湖北 武漢 430205)

1.引言

預(yù)見控制是一種利用已知的未來目標(biāo)值或未來干擾信息來改善閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng), 抑制外界擾動, 提高系統(tǒng)跟蹤精度的控制方法[1].預(yù)見控制的思想起源于20世紀(jì)60年代, 經(jīng)過50多年的發(fā)展, 學(xué)術(shù)界已經(jīng)建立了離散時間線性系統(tǒng)、連續(xù)時間線性系統(tǒng)的完整理論, 并且在廣義系統(tǒng)預(yù)見控制理論、隨機(jī)系統(tǒng)預(yù)見控制理論等方面有了一些進(jìn)展[2-4].近年來, 相關(guān)學(xué)者將預(yù)見控制與一些有效的控制方法結(jié)合, 建立相應(yīng)的預(yù)見控制理論.文[5]提出了信息融合的最優(yōu)預(yù)見器設(shè)計(jì)問題, 利用對象動態(tài)方程約束信息、輸出測量信息、未來信息等, 基于融合估計(jì)理論得到最優(yōu)控制序列.文[6]研究了連續(xù)時間系統(tǒng)的H2前饋干擾抑制問題.針對含有輸入輸出時延的連續(xù)系統(tǒng)的H2預(yù)見控制問題, 采用了對外部輸入延時的等效方法將其轉(zhuǎn)化為LQ問題, 再利用最優(yōu)性原理來求解.文[7]考慮一類時滯系統(tǒng)的干擾預(yù)見控制問題, 將原系統(tǒng)的預(yù)見控制問題轉(zhuǎn)化為H∞控制問題, 并分析求解相應(yīng)的Riccati方程而確定預(yù)見控制增益矩陣.由于基于Riccati方法的預(yù)見控制設(shè)計(jì)方法不具有一般性, 文[8-10]結(jié)合線性矩陣不等式技巧和誤差系統(tǒng)方法提出了控制系統(tǒng)的魯棒預(yù)見控制問題, 給出被考慮對象的預(yù)見控制器設(shè)計(jì)方法.然而, 就目前的研究狀況來看, 預(yù)見控制理論和其它控制相結(jié)合成為了發(fā)展的趨勢.例如文[11]將預(yù)見控制與非線性控制相結(jié)合, 能直接基于非線性模型進(jìn)行設(shè)計(jì), 提高非線性系統(tǒng)的控制性能.為了解決參數(shù)變化較大的不確定系統(tǒng)的預(yù)見控制問題, 文[12]結(jié)合預(yù)見控制和自適應(yīng)控制, 提出了多模型自適應(yīng)預(yù)見控制的問題, 減少對系統(tǒng)模型的依賴, 提高魯棒性和自適應(yīng)能力.文[13]研究了線性離散時間系統(tǒng)的容錯預(yù)見控制, 基于系統(tǒng)的狀態(tài)和故障估計(jì), 給出了預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)方法.在一些實(shí)際問題中, 如果在設(shè)計(jì)控制器的時候忽略了輸入信號大小和變化率的飽和限制, 會使得設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性能惡化甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定.而上述這些成果并未考慮輸入飽和下的預(yù)見控制問題.

這里, 本文針對一類帶有輸入飽和的不確定離散時間系統(tǒng), 利用預(yù)見控制理論研究中構(gòu)造誤差系統(tǒng)、通過提升把可預(yù)見的目標(biāo)值信號和干擾信號加入擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的方法應(yīng)用到輸入飽和不確定系統(tǒng)的預(yù)見控制中, 研究不確定系統(tǒng)的魯棒預(yù)見控制問題.

全文沿用如下記號:Rn,Rn×n分別表示實(shí)數(shù)域上的n維向量空間與n×n矩陣空間;P ＞0表示P為對稱正定矩陣,P ＞Q表示P -Q ＞0; diag{M1,M2,··· ,Mn}表示對角元素為Mi,(i=1,2,··· ,n)的對角矩陣.sym(A)表示A+AT;A(i)表示矩陣A的第i行;l2[0,∞) 表示為平方可和的向量集合.I表示適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣.

2.問題描述及假設(shè)

考慮不確定離散時間飽和系統(tǒng):

其中,x(k)∈Rn為狀態(tài)向量,u(k)∈Rq為輸入向量,y(k)∈Rq為輸出向量,w(k)∈Rl為干擾向量且滿足w(k)∈l2[0,∞).A,B,C和E為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.ΔA(k), ΔB(k),ΔE(k)和ΔC(k)是關(guān)于時間變量k的不確定矩陣.

由于系統(tǒng)的輸入不可避免受到飽和約束的限制,um(k)∈Rq的描述如下,

其中, 飽和函數(shù)sat(·)的定義為

這里, sat(ui)=sign(ui)min{|ui|},i ∈{1,2,··· ,q}.不失一般性, 我們假設(shè)飽和的上界是1,即sat(ui)=sign(ui)min{1,|ui|}.

關(guān)于系統(tǒng)(1), 我們給出以下基本假設(shè)

注1(A1)是預(yù)見控制理論中常用到的假設(shè)條件.

(A2)是魯棒控制中常用的假設(shè), 式(3)指的是系統(tǒng)(1)中的不確定項(xiàng)滿足一定的匹配條件;而式(4)指的則是不確定項(xiàng)是范數(shù)有界的.

(A3) 設(shè)目標(biāo)值信號r(k)∈Rq的預(yù)見步數(shù)為MR,即在當(dāng)前時刻k,r(k),r(k+1),r(k+2),···,r(k+MR)為已知.

r(k+j)=0,j≥MR+1.

(A4) 設(shè)干擾信號w(k)∈Rl的預(yù)見步數(shù)為Md,即在當(dāng)前時刻k,w(k),w(k+1),w(k+2),···,w(k+Md)為已知.

w(k+j)=0,j≥Md+1.

注2(A3)和(A4)是預(yù)見控制理論的標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)[1-5], 表明只有一段時間的可預(yù)見信號對系統(tǒng)的性能有較明顯的影響, 預(yù)見步數(shù)以外的信號的值對系統(tǒng)的影響不大.

3.擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的推導(dǎo)

首先通過引入一個與狀態(tài)變量有關(guān)的輔助變量, 并用系統(tǒng)狀態(tài)向量與相應(yīng)輔助變量之差代替通常的狀態(tài)差分, 避免對時變矩陣和飽和輸入項(xiàng)取差分, 構(gòu)造出擴(kuò)大誤差系統(tǒng).

受文[3]的啟發(fā), 我們構(gòu)造

其中xs(k)是適當(dāng)?shù)妮o助變量, 從(A1)知可以取

其中

定義跟蹤誤差信號

根據(jù)式(1)、(5)和(6)得到

同時

另外

令

依據(jù)(A3)和(A4)可得到

通過式(8), (11)及(12)可得

其中

而且

注意體現(xiàn)預(yù)見信息的XR(k)和XW(k)是狀態(tài)向量的一部分, 系統(tǒng)(13)包含了可預(yù)見的目標(biāo)值和干擾信號的信息.

進(jìn)一步, 我們得到

注意不確定矩陣仍滿足

為消除靜態(tài)誤差, 我們引進(jìn)離散積分器, 它由下式定義

結(jié)合式(13)和式(18)得到

這里

由式(14), (15), (16)可以驗(yàn)證系統(tǒng)(20)中不確定矩陣可表示為

由式(17)可知, 不確定矩陣依然滿足

結(jié)合式(13)和(20),e(k)可表示為

根據(jù)式(24), 易得如果能夠設(shè)計(jì)出式(20)的一個反饋控制器, 使得式(20)的閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 那么相應(yīng)的系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)就實(shí)現(xiàn)了y(k)對r(k)的跟蹤.

4.預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)

P是一個適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣.令

定義ψ(u) =u-sat(u), 得到的ψ(u) = [ψ(u1)T··· ψ(uq)T]T是一個死區(qū)非線性函數(shù).顯然, 我們有ψ(ui)=ui-sat(ui),i ∈{1,2,··· ,q}.

引入如下引理:

引理1[14]對于正定的對角矩陣J和適當(dāng)維數(shù)矩陣H和W, 若?x(k)∈LH,

則ψ(u)TJ[u-ψ(u)+HW-1(k)]≥0.

引理2[15]對于給定適當(dāng)維數(shù)矩陣Y=YT,E,H和F, 且F滿足FTF≤I,若存在參數(shù)ε ＞0,使得Y+εHHT+ε-1ETE ＜0,則

引理3[16]如果L,H并且H ＞0, 則

引理4[17]對于適當(dāng)維數(shù)的矩陣T,W,S和矩陣N及標(biāo)量β, 如果不等式

滿足, 則不等式T+STWT+WS ＜0成立.

如果能夠設(shè)計(jì)出系統(tǒng)(20)的一個狀態(tài)反饋

這里,K是待定的參數(shù)矩陣.

根據(jù)式(20)和式(26)得到閉環(huán)系統(tǒng)為

定理1對于正定的對角矩陣J, 如果存在矩陣X ＞0和矩陣W,Y和H使得

成立, 則閉環(huán)系統(tǒng)(27)在ε(P)內(nèi)是魯棒漸近穩(wěn)定的.且ε(P)是閉環(huán)系統(tǒng)的一個穩(wěn)定區(qū)域.

證考慮如下Lyapunov函數(shù)

這里P ＞0.

根據(jù)引理3, 可知式(29)可保證

另外, 對式(32)使用Schur補(bǔ)引理, 可以進(jìn)一步得到

對于??x(k)∈ε(P), 由式(33)易得?x(k)∈LH, 因?yàn)閂(?x(k))≤1.

同理, 根據(jù)引理3, 式(28)可以保證

另外, 在式(34)的左邊和右邊分別乘以diag{W-T,I,I}和diag{W-1,I,I}, 同時令P=X-1,K=Y W-1, 我們有

運(yùn)用Schur補(bǔ)引理, 式(35)等價于

這里

根據(jù)引理1并結(jié)合式(33)和(37), 對于所有的?x(k)∈ε(P){0}, 我們可以得到ΔV(?x(k))＜0, 這就表示系統(tǒng)(27)在集合ε(P)內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

另一方面, 注意到ΔV ＜0,?(k)∈ε(P){0}.我們有

下面利用LMI方法給出閉環(huán)系統(tǒng)魯棒漸近穩(wěn)定的條件.

定理2對于對角正定矩陣J, 如果存在矩陣X ＞0和矩陣W,Y和H及參數(shù)εi ＞0,i=1,2,使得

成立, 則閉環(huán)系統(tǒng)(27)在ε(P)內(nèi)是魯棒漸近穩(wěn)定的, 其中狀態(tài)反饋增益矩陣為K=Y W-1, 控制輸入為u(k)=Y W-1(k).

證為了敘述簡捷, 用Ψ表示式(28)左邊的矩陣.把Ψ的不確定部分分離出來,并結(jié)合式(21)和(22)得到

其中,

由式(23)可知≤I, 對式(40)右邊后兩項(xiàng)應(yīng)用引理2, 令Λ=εi ＞0,i= 1,2,得到

因此, 如果存在ε1＞0,ε2＞0使得

就有Ψ ＜0, 從而定理1的條件滿足.因此只須給出式(41)成立的條件.根據(jù)引理2易得知式(38)成立可以保證式(41)成立, 因此根據(jù)定理1知, 定理2成立.

對增益矩陣K進(jìn)行分解

這里

則式(26)可寫為

根據(jù)式(5)和(6), 上式可進(jìn)一步得到

由上式看出, 系統(tǒng)(1)的帶有預(yù)見作用的控制器由5部分構(gòu)成: 第1部分為狀態(tài)變量反饋項(xiàng);第2部分為基于未來目標(biāo)值信號的預(yù)見前饋補(bǔ)償項(xiàng); 第3部分為基于未來干擾信號的預(yù)見前饋補(bǔ)償項(xiàng); 第4部分是跟蹤誤差的積分; 第5部分是關(guān)于狀態(tài)輔助變量信號的補(bǔ)償.

針對系統(tǒng)(20), 輸出方程取為

其中

改寫后的輸出方程使得我們設(shè)計(jì)的輸出反饋控制器帶有預(yù)見反饋項(xiàng)和誤差積分項(xiàng), 達(dá)到改善閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能和消除靜態(tài)誤差的目的.

根據(jù)式(3)和(4)有

針對系統(tǒng)(20), 考慮如下形式的一個輸出反饋

根據(jù)式(20)和(46)得到閉環(huán)系統(tǒng)為

定理3對于正定的對角矩陣J, 參數(shù)β及矩陣Q, 如果存在矩陣X ＞0和矩陣W,L,H和可逆矩陣U使得

成立, 則閉環(huán)系統(tǒng)(47)在ε(P)內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.

證根據(jù)引理4可知, 式(48)可以保證

令K=LU-1, 則式(50)就是

即

根據(jù)定理1可知, 定理3成立.

下面我們把它轉(zhuǎn)化為不含不確定參數(shù)的LMI.

定理4對于正定的對角矩陣J, 參數(shù)β及矩陣Q, 如果存在矩陣X ＞0和矩陣W,L,H和矩陣U及參數(shù)εi ＞0(i=1,2,3)使得

成立, 則閉環(huán)系統(tǒng)(47)在ε(P)內(nèi)是漸近穩(wěn)定的.其中輸出反饋增益矩陣為K=LU-1, 控制輸入為u(k)=KU-1Z(k).

證同樣, 為了敘述簡捷, 用Ψ表示式(48)左邊的矩陣.把Ψ的不確定部分分離出來,并結(jié)合式(21), (22)和(45)得到

其中

由式(23)可知ΞT2Ξ2≤I, 對式(50)左邊后兩項(xiàng)應(yīng)用引理2, 令Λ=＞0,i=1,2,3,得

因此, 如果存在εi ＞0(i=1,2,3)使得

就有Ψ ＜0, 從而定理3的條件滿足.根據(jù)定理3可知本定理成立.

按照Z(k)的定義, 對增益矩陣K分解

則式(46)可寫為

可進(jìn)一步改寫為

5.數(shù)值仿真

針對以下三種情況進(jìn)行數(shù)值仿真: 1○Md=3、MR=8、MR=2；2○MR=2、Md=5、Md= 2連同沒有預(yù)見的情況, 即MR=Md= 0進(jìn)行比較.根據(jù)定理2, 得到反饋增益矩陣K=Y W-1.

當(dāng)Md=3,MR=8時, 求得

當(dāng)Md=3,MR=2時, 求得

當(dāng)Md=MR=0求得

干擾信號取為

目標(biāo)值信號取為

針對上述三種情況, 狀態(tài)變量的初始條件取為x(0) = [0.1-0.1 0]T,= 1.經(jīng)過驗(yàn)證(0)∈ε(P).圖1給出了系統(tǒng)(1)的閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng), 圖2是跟蹤誤差.從圖可以看出輸出信號都能準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)值信號.但隨著目標(biāo)值預(yù)見步長的增加, 跟蹤誤差在減小, 調(diào)整時間在縮短且系統(tǒng)的輸出能更快跟蹤目標(biāo)信號.

另外, 根據(jù)式(6), 可求得

圖1 Md不變、MR取不同值與無預(yù)見情形閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的比較

圖2 Md不變、MR取不同值與無預(yù)見情形閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差

圖3 Md不變、MR取不同值與無預(yù)見情形閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入

為了了解預(yù)見補(bǔ)償項(xiàng)對u(k)的控制效果.這里給出um(k)隨時間變化的曲線, 如圖3所示.

我們對目標(biāo)值信號和干擾信號的預(yù)見步數(shù)分別為MR=2,Md=2和MR=2,Md=5, 及目標(biāo)值信號和干擾信號都沒有預(yù)見即MR=Md= 0, 三種情況進(jìn)行數(shù)值仿真.圖4給出閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng), 圖5是跟蹤誤差, 圖6是控制輸入.從圖4-6可看出, 當(dāng)目標(biāo)值信號預(yù)見步長相同的情形下(MR=2), 干擾預(yù)見步長的增加使得輸出跟蹤目標(biāo)信號的超調(diào)量在減小, 且更好地抑制外部擾動所引發(fā)的振蕩.雖然當(dāng)干擾信號出現(xiàn)時, 為了削弱干擾的影響, 控制輸入暫時隨著預(yù)見步長的增加而有所增加, 但隨后控制輸入迅速減小.

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)

圖5 閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)的控制輸入

6.結(jié)束語

本文結(jié)合一種輔助方法和預(yù)見控制理論中誤差系統(tǒng)的思想, 討論了輸入飽和不確定離散時間系統(tǒng)的魯棒預(yù)見控制問題.首先通過引入輔助變量構(gòu)造出擴(kuò)大誤差系統(tǒng), 避免以往對輸入飽和項(xiàng)和不確定項(xiàng)取差分的困難, 將原系統(tǒng)的預(yù)見跟蹤問題轉(zhuǎn)化為擴(kuò)大誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題.最后結(jié)合Lapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法給出了預(yù)見控制器的設(shè)計(jì)方法.最后的仿真說明了本文控制器的有效性.