袁 楊，張 衡，程浩忠，柳 璐，張嘯虎，勵(lì) 剛，張建平

（1. 上海交通大學(xué)電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 國(guó)家電網(wǎng)有限公司華東分部，上海 200120）

0 引言

發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃涵蓋了電源規(guī)劃、輸電網(wǎng)規(guī)劃、機(jī)組組合、備用優(yōu)化及無功優(yōu)化等研究?jī)?nèi)容，是電力系統(tǒng)規(guī)劃與運(yùn)行的重要組成部分。發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃系列問題在數(shù)學(xué)本質(zhì)上均可歸納為形式相似的最優(yōu)化問題。本文所述的發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題集中在學(xué)術(shù)研究較為豐富的輸電網(wǎng)規(guī)劃、電源規(guī)劃與機(jī)組組合3類問題，圍繞魯棒優(yōu)化在此3類問題的應(yīng)用進(jìn)行綜述與展望。

近年來，電力系統(tǒng)源、網(wǎng)、荷各環(huán)節(jié)的不確定性與日俱增。在電源側(cè)，可再生能源出力具有隨機(jī)性、間歇性、波動(dòng)性，難以精準(zhǔn)預(yù)測(cè)；電源的投建、退役以及投資運(yùn)行成本受經(jīng)濟(jì)政策影響，不完全與預(yù)期相符。在輸電網(wǎng)側(cè)，自然災(zāi)害、極端天氣或者人為破壞造成了輸電線路故障的不確定性；此外輸電線路的最大傳輸容量與所處環(huán)境緊密相關(guān)，也具有不確定性。在負(fù)荷側(cè)，社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平與電力市場(chǎng)運(yùn)行調(diào)節(jié)手段都會(huì)造成用電負(fù)荷偏離預(yù)期值。在此背景下，研究含不確定性的發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，含不確定性的發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃可以分為隨機(jī)優(yōu)化、多場(chǎng)景優(yōu)化、模糊優(yōu)化以及魯棒優(yōu)化。魯棒優(yōu)化的求解結(jié)果能夠適應(yīng)最惡劣場(chǎng)景，魯棒優(yōu)化規(guī)劃已發(fā)展為解決含不確定因素發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題的重要方法。文獻(xiàn)［1-2］綜述了魯棒優(yōu)化在發(fā)電調(diào)度、輸電網(wǎng)規(guī)劃中的應(yīng)用，文獻(xiàn)［3］綜述了分布魯棒優(yōu)化在電力調(diào)度中的應(yīng)用，文獻(xiàn)［4］從概率密度、矩信息及基于這兩大類的分布魯棒機(jī)會(huì)約束方法角度，提煉了分布魯棒優(yōu)化在電力系統(tǒng)應(yīng)用的共性。雖然現(xiàn)有綜述對(duì)魯棒優(yōu)化在電力系統(tǒng)的規(guī)劃或運(yùn)行問題的應(yīng)用進(jìn)行了深入梳理，但是存在以下2 點(diǎn)局限：①聚焦魯棒優(yōu)化在規(guī)劃／運(yùn)行、發(fā)電／輸電環(huán)節(jié)的應(yīng)用，難以全面歸納魯棒優(yōu)化在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃的應(yīng)用方式；②分布魯棒優(yōu)化是魯棒優(yōu)化的重要分支，近年來在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃的應(yīng)用已愈發(fā)廣泛深入，相關(guān)綜述側(cè)重分布魯棒優(yōu)化在調(diào)度中的應(yīng)用，對(duì)在輸電系統(tǒng)規(guī)劃中的應(yīng)用涉及相對(duì)較少，并且分布魯棒優(yōu)化在源、網(wǎng)、荷各環(huán)節(jié)應(yīng)用情況的差異性有待總結(jié)。

因此，本文將發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃研究分為考慮節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性、電源容量增長(zhǎng)及成本不確定性、輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性3 類，比較分析了每一類中經(jīng)典魯棒和分布魯棒優(yōu)化的應(yīng)用發(fā)展脈絡(luò)和值得深入研究的關(guān)鍵問題，以幫助研究人員詳實(shí)地了解相關(guān)研究進(jìn)展，厘清現(xiàn)有研究思路，提供后續(xù)研究方向。

1 魯棒優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

魯棒優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型有多種分類角度。按照是否計(jì)及不確定因素概率分布特征，可分為經(jīng)典魯棒優(yōu)化和分布魯棒優(yōu)化。限于篇幅，本文主要綜述單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化、兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化、單階段分布魯棒優(yōu)化和兩階段分布魯棒優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，其余數(shù)學(xué)模型可參考文獻(xiàn)［5］。

1.1 單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化

單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化適用于在不確定參數(shù)的實(shí)現(xiàn)前進(jìn)行決策的問題，其優(yōu)點(diǎn)在于形式相對(duì)簡(jiǎn)單，較易求解，缺點(diǎn)在于決策過于保守［6］，表達(dá)式見式（1）。

式中：x為決策變量；X為決策變量可行域；u為不確定參數(shù)；U為不確定參數(shù)所屬的不確定集合；f為單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)；hj為單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化的約束條件；m、j分別為約束條件總數(shù)和序號(hào)；max、min分別為取最大值、最小值函數(shù)。

1.2 兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化

兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化適用于在不確定參數(shù)實(shí)現(xiàn)前、后2 個(gè)階段分別確定部分決策變量的問題。與單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化模型相比，兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)在于決策者可以在獲取不確定參數(shù)的取值后調(diào)整第2 階段決策，在保證魯棒性的前提下降低了保守性，但也增加了求解復(fù)雜性［6］，其典型形式見式（2）。

式中：y為第2 階段決策變量；Y為第2 階段決策變量可行域；f1、f2分別為第1、2 階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；gj為兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化的約束條件。

1.3 單階段分布魯棒優(yōu)化

經(jīng)典魯棒優(yōu)化是不確定因素在一定范圍內(nèi)變化的條件下求解最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值，而分布魯棒優(yōu)化將經(jīng)典魯棒優(yōu)化和隨機(jī)優(yōu)化相結(jié)合，是不確定因素的概率分布在一定范圍內(nèi)變化的條件下求解最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)期望。單階段分布魯棒優(yōu)化適用于在未知不確定參數(shù)的概率分布實(shí)現(xiàn)前進(jìn)行決策的問題［7］，與單階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化相比，優(yōu)勢(shì)在于有效減弱了保守性，但魯棒對(duì)等變換更復(fù)雜，一般而言計(jì)算負(fù)擔(dān)更重，其表達(dá)式見式（3）。式中：P為不確定參數(shù)u的概率分布；ρ為概率分布簇；EP(f(x，u))為目標(biāo)函數(shù)期望；sup 和inf 分別為取上確界函數(shù)和取下確界函數(shù)。

1.4 兩階段分布魯棒優(yōu)化

兩階段分布魯棒優(yōu)化模型適用于在不確定參數(shù)概率分布實(shí)現(xiàn)前、后2 個(gè)階段分別確定部分決策變量的問題［7］。與兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化相比，兩階段分布魯棒優(yōu)化能顯著降低決策保守性，但通常需要進(jìn)行更復(fù)雜的魯棒對(duì)等變換，導(dǎo)致更沉重的計(jì)算負(fù)擔(dān)，其數(shù)學(xué)形式見式（4）。

1.5 魯棒優(yōu)化模型求解方法

在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃中主要采用兩階段經(jīng)典／分布魯棒優(yōu)化模型。這類模型通常是min-maxmin 3 層結(jié)構(gòu)，求解思路為通過某些方式將中下層max-min 問題合并為max 子問題SP（SubProblem），與min 主問題進(jìn)行主-子問題迭代求解。求解方法一般分為線性決策規(guī)則LDR（Linear Decision Rule）、Benders分解、列與約束生成C&CG（Column and Constraints Generation）三大類。LDR 構(gòu)造兩階段決策變量與不確定變量的仿射關(guān)系式，將中下層問題合并為SP，適用于決策變量與不確定因素存在較強(qiáng)線性關(guān)系的問題，收斂速度快，但是對(duì)仿射關(guān)系的假設(shè)降低了解的最優(yōu)性［8］；Benders 分解基于對(duì)偶理論將中下層問題合并為SP，使用SP生成約束（對(duì)偶割）添加到主問題［9］，其實(shí)質(zhì)是約束生成算法，適用于變量較少而約束較多的問題，所得解的最優(yōu)性優(yōu)于LDR，但是通常迭代次數(shù)較多，求解速度相對(duì)較慢；C&CG基于KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件將中下層問題合并為SP，使用SP 生成約束（原始割）和變量（即列）添加到主問題，適用于變量較多而約束較少的問題，能以更少的迭代次數(shù)收斂到最優(yōu)解［10］。此外，文獻(xiàn)［11］綜合應(yīng)用Benders 分解與C&CG，在求解主問題的同時(shí)生成對(duì)偶割、原始割和變量，加速算法收斂；在某些發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題中，下層min問題含有0／1 決策變量，直接與中層max 問題合并無法保證解的最優(yōu)性，為此，文獻(xiàn)［12］提出了嵌套列與約束生成NC&CG（Nested Colunm and Constraints Gneration），對(duì)中下層max-min 問題使用C&CG，生成列與約束加入上層min 問題，較好地保證了解的最優(yōu)性，但是也顯著增加了迭代次數(shù)，求解速度較慢。

2 不確定集合構(gòu)建方法

魯棒優(yōu)化問題通過不確定集合的方式對(duì)不確定參數(shù)建模，本文分別綜述經(jīng)典魯棒優(yōu)化和分布魯棒優(yōu)化的典型不確定集合類型及特點(diǎn)。

2.1 經(jīng)典魯棒優(yōu)化的不確定集合

2.1.1 多面體不確定集合

由不確定參數(shù)波動(dòng)區(qū)間構(gòu)成的不確定集合稱為多面體不確定集合（即盒式不確定集）［13］，如式（5）所示。

式中：uˉ、-u分別為不確定參數(shù)u的上、下界。多面體不確定集合形式簡(jiǎn)潔，便于魯棒優(yōu)化問題的對(duì)等變換，但對(duì)不確定性參數(shù)的刻畫較粗糙，造成優(yōu)化結(jié)果過于保守。

2.1.2 基數(shù)約束不確定集合

基數(shù)約束不確定集合在多面體不確定集合基礎(chǔ)上對(duì)每個(gè)不確定參數(shù)偏差量進(jìn)行約束，以更細(xì)致地刻畫不確定參數(shù)的波動(dòng)情況［13］?；鶖?shù)約束不確定集合在輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化中應(yīng)用廣泛、形式多樣，其典型形式見式（6）。

式中：ui為第i個(gè)不確定參數(shù)；uˉi、-ui分別為ui的上、下界；u?i為第i個(gè)不確定參數(shù)平均值；Ω為所有不確定參數(shù)的集合；Γ為不確定集合的預(yù)算，用于約束不確定參數(shù)總偏差量。

2.1.3 橢球不確定集合

橢球不確定集合彌補(bǔ)了多面體／基數(shù)約束不確定集合無法刻畫不確定變量相關(guān)性的缺陷，但是其魯棒對(duì)等變換為二階錐問題，應(yīng)用于大規(guī)模問題的求解時(shí)計(jì)算量大［13］，在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃中應(yīng)用較少，其典型形式見式（7）。

式中：u為不確定參數(shù)u組成的不確定向量；μ0和∑0分別為u的期望向量和協(xié)方差矩陣；γ為以μ0為中心的橢球不確定集合半徑。

2.1.4 基于概率信息構(gòu)建邊界的不確定集合

文獻(xiàn)［14］提出了基于概率信息構(gòu)建邊界的不確定集合。此類不確定集合基于概率信息合理地縮小多面體不確定集合范圍，更加靈活，保守性更低，并且沒有顯著增加魯棒對(duì)等變換復(fù)雜性，較易求解，其典型形式見式（8）［14］。

2.2 分布魯棒優(yōu)化的不確定集合

2.2.1 基于不確定參數(shù)矩信息的不確定集合

不確定參數(shù)的歷史數(shù)據(jù)中包含豐富的矩信息（如一階矩期望、二階中心矩方差、三階中心矩偏度等）。基于矩信息的不確定集合假定不確定參數(shù)的概率分布屬于具有相同矩信息的一簇概率分布，可以分為矩信息確定的不確定集合和矩信息不確定的不確定集合。

1）矩信息確定的不確定集合。

式中：Ξ為不確定參數(shù)u的支撐集合；S為不確定參數(shù)u的樣本集合，S通常取為不確定參數(shù)u的多面體不確定集合；EP為期望向量；P∈ρ(Ξ)表示不確定參數(shù)u的概率分布函數(shù)P屬于支撐集合Ξ上的概率分布簇；γ2為∑0的半定錐不確定集范圍參數(shù)；-?表示半定約束符號(hào)。由于具有相同矩信息的概率分布范圍較大且相互之間存在較大差異，基于矩信息的不確定集合仍然會(huì)導(dǎo)致較保守的優(yōu)化結(jié)果［15］。

2）矩信息不確定的不確定集合。

式中：μ和σ2分別為u的期望和方差；μˉ、-μ和-σ2、-σ2分別為期望和方差的上、下界。與矩信息確定的不確定集合相比，矩信息不確定更加適用于發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃中歷史數(shù)據(jù)有限以及矩信息較不準(zhǔn)確的場(chǎng)景，但也擴(kuò)大了不確定集合的范圍，導(dǎo)致結(jié)果更加保守［15］。

2.2.2 基于概率分布距離的不確定集合

基于概率分布距離的不確定集合假定不確定參數(shù)的真實(shí)概率分布屬于某種參照概率分布（通常采用經(jīng)驗(yàn)分布）附近范圍內(nèi)，其形式取決于選取的距離測(cè)度函數(shù)。典型的距離測(cè)度函數(shù)包括范數(shù)距離、KL（Kullback-Leibler）散度和Wasserstein距離。

1）基于范數(shù)距離的不確定集合。

基于范數(shù)距離的數(shù)學(xué)表示形式見式（11）。

式中：P1、PC分別為不確定參數(shù)u1和參照隨機(jī)變量u?C的概率分布；dl為P1、PC的范數(shù)距離；εd為dl的上限；l=1、2、∞分別對(duì)應(yīng)于1-范數(shù)、2-范數(shù)以及無窮范數(shù)，其中1-范數(shù)和無窮范數(shù)因其線性性質(zhì)便于魯棒對(duì)等變換，在電力系統(tǒng)分布魯棒優(yōu)化中應(yīng)用較多。但是1-范數(shù)和無窮范數(shù)衡量的是距離的絕對(duì)值，且會(huì)損失較多概率特征信息，造成距離測(cè)度的偏差［16］。

2）基于KL散度的不確定集合。

KL 散度起源于信息論，又稱相對(duì)熵，形式見式（12）。

3）基于Wasserstein距離的不確定集合。

式中：∏(du1，du2)為不確定參數(shù)u1、u2的聯(lián)合概率分布；Ξ2為所有可能的u1、u2聯(lián)合概率分布構(gòu)成的集合，在Ξ2中尋找某個(gè)聯(lián)合分布使u1與u?C距離的期望最小，則此期望的下確界即為P1、PC的Wasserstein距離dW（P1，PC）。式（13）構(gòu)建了以參照分布PC為中心、εW為半徑的Wasserstein 球形不確定集合。相較于KL 散度，即便2 個(gè)分布的支撐集沒有重疊，Wasserstein 距離仍然能刻畫分布間的距離，且當(dāng)歷史數(shù)據(jù)足夠多時(shí)，一定能夠保證算法的收斂性［17］。但是基于Wasserstein球形不確定集合的魯棒優(yōu)化計(jì)算復(fù)雜性較高，通常需要開發(fā)估計(jì)算法才能夠高效求解。

3 魯棒優(yōu)化在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃的應(yīng)用

3.1 考慮節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性

對(duì)節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性的研究主要集中在風(fēng)電和負(fù)荷。現(xiàn)有文獻(xiàn)從多種角度考慮了風(fēng)電、負(fù)荷的不確定性，這些模型從考慮不確定變量的概率分布特征上可分為基于經(jīng)典魯棒優(yōu)化和基于分布魯棒優(yōu)化的模型。

3.1.1 基于經(jīng)典魯棒優(yōu)化的模型

文獻(xiàn)［18-19］率先在機(jī)組組合與輸電網(wǎng)規(guī)劃問題中引入多面體集合表示風(fēng)電和負(fù)荷的不確定性，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。為減少魯棒優(yōu)化的保守性，文獻(xiàn)［20-21］采用加權(quán)的方式將魯棒優(yōu)化和隨機(jī)優(yōu)化相結(jié)合，建立了隨機(jī)魯棒機(jī)組組合模型。文獻(xiàn)［22］提出了風(fēng)電出力區(qū)間不確定性的區(qū)間魯棒不確定集合。文獻(xiàn)［11］以棄風(fēng)與切負(fù)荷風(fēng)險(xiǎn)最小為魯棒優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，較好地協(xié)調(diào)了經(jīng)濟(jì)性與安全性。為提高兩階段魯棒優(yōu)化的求解效率，文獻(xiàn)［23］只搜索w座風(fēng)電場(chǎng)出力范圍構(gòu)成的多面體頂點(diǎn)（文中定義為風(fēng)電極限場(chǎng)景）。文獻(xiàn)［8］利用線性決策規(guī)則，假定發(fā)電出力是風(fēng)電和負(fù)荷的仿射函數(shù)，避免了通過割平面算法引入大量額外約束。文獻(xiàn)［24］建立了輸儲(chǔ)聯(lián)合魯棒規(guī)劃模型，由于儲(chǔ)能投建在第2 階段決策，提出了NC&CG 算法加以求解。文獻(xiàn)［25］建立了多階段魯棒機(jī)組組合模型，并基于Benders分解思想設(shè)計(jì)了相應(yīng)算法進(jìn)行求解。

在考慮不確定節(jié)點(diǎn)注入功率相關(guān)性方面，現(xiàn)有研究思路有3 種：①將考慮相關(guān)性的場(chǎng)景與魯棒優(yōu)化相結(jié)合；②基于統(tǒng)計(jì)參數(shù)構(gòu)建刻畫相關(guān)性的不確定集合；③由數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)，構(gòu)建含相關(guān)性的不確定集合。針對(duì)思路①，文獻(xiàn)［26］利用Taguchi正交數(shù)組測(cè)試抽取典型風(fēng)電相關(guān)出力場(chǎng)景。文獻(xiàn)［27］提出啟發(fā)式矩匹配方法抽取風(fēng)電相關(guān)場(chǎng)景并與文獻(xiàn)［28］的方法進(jìn)行了對(duì)比。文獻(xiàn)［29］提出了考慮多場(chǎng)景概率的多面體不確定集合提取風(fēng)電相關(guān)場(chǎng)景。文獻(xiàn)［30-31］則分四季聚類構(gòu)建風(fēng)電負(fù)荷相關(guān)場(chǎng)景。針對(duì)思路②，文獻(xiàn)［32］提出了多帶寬多面體集合，刻畫負(fù)荷波動(dòng)范圍的時(shí)空相關(guān)性。文獻(xiàn)［33］基于時(shí)序自相關(guān)系數(shù)構(gòu)建多面體不確定集以反映風(fēng)電時(shí)間相關(guān)性。文獻(xiàn)［34］考慮了單時(shí)段各風(fēng)電場(chǎng)的總波動(dòng)不確定性和各時(shí)段單風(fēng)電場(chǎng)波動(dòng)不確定性，共同構(gòu)成了刻畫風(fēng)電場(chǎng)時(shí)空相關(guān)性的不確定集合。文獻(xiàn)［35］構(gòu)建了含風(fēng)電負(fù)荷協(xié)方差矩陣信息的橢球不確定集合以考慮風(fēng)電負(fù)荷的時(shí)空相關(guān)性。思路③通?；跀?shù)據(jù)挖掘或統(tǒng)計(jì)分析方法構(gòu)建更符合實(shí)際的不確定集合。由于不確定變量的相關(guān)性體現(xiàn)在歷史數(shù)據(jù)中，而這類不確定集合的邊界正是由歷史數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)生成，所以這類不確定集合大量削減了傳統(tǒng)不確定集合中實(shí)際不存在的場(chǎng)景，有效降低了保守性。文獻(xiàn)［36］利用狄利克雷過程混合模型DPMM（Dirichlet Process Mixture Model）構(gòu)建了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的風(fēng)電出力多面體不確定集合，并與傳統(tǒng)多面體不確定集合進(jìn)行了對(duì)比，保守性顯著降低。文獻(xiàn)［37］運(yùn)用高維閉包橢球算法，構(gòu)建了基于風(fēng)電出力歷史數(shù)據(jù)的高維橢球不確定集合。文獻(xiàn)［38］基于歷史數(shù)據(jù)構(gòu)造一系列超平面，組合成基于超平面的不確定集合HPUS（HyperPlane based Uncertainty Set），結(jié)合了盒式不確定集合易于求解和凸包不確定集合保守性較弱的優(yōu)點(diǎn)，在減輕計(jì)算負(fù)擔(dān)和減弱保守性間達(dá)到了較好的平衡。上述文獻(xiàn)已從風(fēng)電和負(fù)荷的時(shí)間、空間、時(shí)空相關(guān)性3個(gè)角度展開研究，建模思路主要基于聚類、統(tǒng)計(jì)參數(shù)（如時(shí)間序列自相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣）和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)3 類，后續(xù)可將3 類思路結(jié)合，基于典型聚類場(chǎng)景下的相關(guān)性挖掘方法構(gòu)建不確定集合，更細(xì)致刻畫節(jié)點(diǎn)注入功率的時(shí)空相關(guān)性。

總體而言，考慮節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性的發(fā)輸電系統(tǒng)經(jīng)典魯棒優(yōu)化規(guī)劃大多為兩階段優(yōu)化模型，其具有較高的求解效率且不存在收斂性問題。為了減弱模型保守性，可以松弛目標(biāo)函數(shù)（例如以風(fēng)險(xiǎn)最小為目標(biāo)），或者構(gòu)建更合理的不確定集合（例如考慮相關(guān)性的不確定集合，注入功率變化范圍可變的不確定集合）。但是，由于此類模型未充分考慮最惡劣節(jié)點(diǎn)注入功率場(chǎng)景發(fā)生的概率，也未充分挖掘節(jié)點(diǎn)注入功率的歷史信息，模型保守性存在較大的減少空間。

3.1.2 基于分布魯棒優(yōu)化的模型

按節(jié)點(diǎn)注入功率的矩信息是否有不確定性，可以分為2 類：①從歷史數(shù)據(jù)得出確定的矩信息，構(gòu)建以式（9）為代表的不確定集合；②構(gòu)建刻畫矩信息自身不確定性的不確定集合。對(duì)于類型①，文獻(xiàn)［39-42］構(gòu)建了風(fēng)電出力期望和協(xié)方差橢球不確定集合，轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃求解。文獻(xiàn)［43］在文獻(xiàn)［39-42］的不確定集合基礎(chǔ)上，增加了風(fēng)電出力α-雙峰性不確定集合，仍然轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃求解。對(duì)于類型②，文獻(xiàn)［44-45］考慮了風(fēng)電期望波動(dòng)范圍的不確定性。文獻(xiàn)［46］考慮了風(fēng)電期望和方差預(yù)測(cè)誤差的不確定性。文獻(xiàn)［47］構(gòu)建了考慮風(fēng)電期望、方差以及協(xié)方差約束的不確定集合。文獻(xiàn)［48］不僅約束了期望方差范圍，還約束了凈負(fù)荷在各時(shí)間段內(nèi)總波動(dòng)方差的范圍，以反映風(fēng)電負(fù)荷的時(shí)間相關(guān)性。從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，基于矩信息的不確定集合是經(jīng)典魯棒優(yōu)化不確定集合的松弛，一定程度上減弱了經(jīng)典魯棒優(yōu)化的保守性，但是仍然面臨2 個(gè)方面問題：①方差、協(xié)方差信息的引入導(dǎo)致分布魯棒模型呈現(xiàn)非線性，需要經(jīng)過復(fù)雜的數(shù)學(xué)變換，將其轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃進(jìn)行求解，在大規(guī)模系統(tǒng)中計(jì)算負(fù)擔(dān)沉重；②擁有相同矩信息的概率分布范圍十分廣泛，從不確定參數(shù)的歷史數(shù)據(jù)中挖掘更多的概率信息可以進(jìn)一步降低模型保守程度。

在基于節(jié)點(diǎn)注入功率的概率分布距離信息的分布魯棒模型方面，文獻(xiàn)［49-52］均運(yùn)用無窮范數(shù)與1-范數(shù)衡量風(fēng)電出力實(shí)際概率分布與經(jīng)驗(yàn)概率分布的距離，由于上述2 種范數(shù)具有線性性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)線性規(guī)劃求解。文獻(xiàn)［53］基于KL 散度構(gòu)建了混合整數(shù)非線性機(jī)組組合模型，用廣義Benders分解求解。文獻(xiàn)［54-56］應(yīng)用Wasserstein 距離刻畫風(fēng)電出力實(shí)際與經(jīng)驗(yàn)概率分布的距離。在求解方面，現(xiàn)有文獻(xiàn)均基于以下引理［47］：對(duì)屬于支撐集合Ξ的變量u，以樣本集{u?1，u?2，…，u?Z}構(gòu)建Wasserstein距離，如果損失函數(shù)Φ(u)上半連續(xù)，則最差的損失函數(shù)期望見式（14）。

式中：λ為拉格朗日對(duì)偶乘子；εr為銳化因子；τf為輔助變量。約束條件中的范數(shù)可取1-范數(shù)、2-范數(shù)或無窮范數(shù)，由研究人員按需設(shè)定。由于該引理引入的約束條件數(shù)量與樣本數(shù)量成正比，計(jì)算量較大，文獻(xiàn)［54-56］利用發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題的凸性，提出了不同的上估計(jì)方法對(duì)式（14）進(jìn)行近似求解。文獻(xiàn)［55-59］構(gòu)建了同時(shí)含風(fēng)電出力矩信息和概率分布距離信息的不確定集合，進(jìn)一步協(xié)調(diào)了模型的安全性與經(jīng)濟(jì)性。與基于矩信息相比，基于距離信息的不確定集合需在高置信度下成立，將實(shí)際概率分布約束在以參照概率分布為中心的小范圍內(nèi)，更充分地利用節(jié)點(diǎn)注入功率的歷史信息減弱了模型保守性，但求解復(fù)雜性相對(duì)較高，而且部分模型無法保證收斂。后續(xù)可研究更合理的距離信息不確定集線性化方法，同時(shí)嵌入具有線性性質(zhì)的矩信息不確定集，構(gòu)建含有豐富概率信息的混合整數(shù)線性發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型，更好地平衡了不確定集的保守性和算法的復(fù)雜性。

3.2 考慮電源容量增長(zhǎng)及成本不確定性

電源的容量、位置、建設(shè)周期、退役時(shí)間以及投資運(yùn)行成本等是電源不確定性的主要來源?，F(xiàn)有文獻(xiàn)從不同角度研究了電源不確定性對(duì)發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃的影響。

3.2.1 兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化

文獻(xiàn)［60-62］基于基數(shù)不確定集合建立了考慮電源容量增長(zhǎng)不確定性的兩階段魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型，其中文獻(xiàn)［60］考慮了電源投資成本和發(fā)電成本不確定性，文獻(xiàn)［61-62］考慮電源容量增長(zhǎng)不確定性。文獻(xiàn)［47］對(duì)比分析了以最小悔值和以最小成本為目標(biāo)的輸電網(wǎng)魯棒規(guī)劃。這些模型形式較簡(jiǎn)潔，求解相對(duì)簡(jiǎn)便，為結(jié)合隨機(jī)與魯棒的模型和多階段魯棒模型奠定了基礎(chǔ)。文獻(xiàn)［63-64］將電源投建退役視為長(zhǎng)期不確定性，用基數(shù)不確定集合刻畫，將可再生能源的出力和負(fù)荷波動(dòng)視為短期不確定性，用隨機(jī)場(chǎng)景方式刻畫，建立了隨機(jī)與魯棒相結(jié)合的優(yōu)化模型。其中文獻(xiàn)［63］以電源容量為長(zhǎng)期不確定性，在不同負(fù)荷場(chǎng)景中設(shè)置不同的發(fā)電出力分配因子。文獻(xiàn)［64］以發(fā)電成本為長(zhǎng)期不確定性，利用K-means聚類形成多個(gè)發(fā)電與負(fù)荷相關(guān)場(chǎng)景，建立了發(fā)輸電系統(tǒng)隨機(jī)魯棒規(guī)劃模型。

3.2.2 多階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化

文獻(xiàn)［65］利用多階段魯棒不確定集合刻畫了電源逐年建設(shè)、退役的不確定性，并與逐年規(guī)劃的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，逐年電源建設(shè)不確定性集合如式（15）所示。

總體而言，考慮電源容量增長(zhǎng)以及成本不確定性的發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃均基于經(jīng)典魯棒優(yōu)化模型，并且已經(jīng)發(fā)展到了多階段，更加符合電源逐年投建、退役的現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景，但是解空間也顯著擴(kuò)大?，F(xiàn)有研究仍然基于C&CG 算法進(jìn)行求解，在模型擴(kuò)展為大規(guī)模、多時(shí)段問題時(shí)計(jì)算負(fù)擔(dān)沉重。如何生成割約束，如何利用模型結(jié)構(gòu)特性巧妙剪枝，使模型適用于實(shí)際大規(guī)模發(fā)輸電系統(tǒng)，是值得深入研究的問題。

3.3 考慮輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性

輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性的主要來源是元件老化故障、偶發(fā)自然災(zāi)害（雷擊、山火、雪災(zāi)、臺(tái)風(fēng)等）以及人為惡意攻擊。在發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃問題中，為了刻畫輸電線路N-k故障，通常需要引入CkN種故障場(chǎng)景，計(jì)算量巨大。而發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃方法為考慮輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性提供了不同思路。

3.3.1 基于經(jīng)典魯棒優(yōu)化

文獻(xiàn)［67］率先用兩階段魯棒優(yōu)化解決N-k故障約束的機(jī)組組合問題，其構(gòu)建的元件N-k故障不確定集合見式（16）。

式中：L、G分別為所有線路、所有發(fā)電機(jī)集合；nl、ng分別為線路、發(fā)電機(jī)總數(shù)；k為預(yù)設(shè)的故障元件數(shù)量上限。模型迭代尋找最嚴(yán)重的N-k故障并優(yōu)化相應(yīng)的開機(jī)組合，直至最嚴(yán)重的N-k故障都無法造成功率不平衡為止。文獻(xiàn)［68-69］將此類型N-k故障集合應(yīng)用到了輸電網(wǎng)魯棒規(guī)劃問題。文獻(xiàn)［70］將此類型N-k故障集合拓展為了多階段形式，以刻畫臺(tái)風(fēng)在不同時(shí)間段對(duì)輸電線路的破壞情況?；隰敯魞?yōu)化考慮輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性的實(shí)質(zhì)是枚舉了部分故障場(chǎng)景（即只尋找最嚴(yán)重的故障情形）并進(jìn)行相應(yīng)的優(yōu)化規(guī)劃，顯著減輕了N-k故障約束的計(jì)算負(fù)擔(dān)，使得發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃模型中更細(xì)致地考慮N-k故障成為可能。

3.3.2 基于分布魯棒優(yōu)化

文獻(xiàn)［71］提出了考慮故障概率矩信息的分布魯棒機(jī)組組合模型，其中N-k故障的分布魯棒不確定集合見式（17）。

式中：D為N-k故障的概率分布組成的模糊集合；W為線路狀態(tài)變量u的集合，需要滿足線路N-k約束；Μ+(W)為由W中線路狀態(tài)變量ul的概率分布組成的集合，即線路狀態(tài)變量ul的支撐集合；μ為線路故障的統(tǒng)計(jì)期望值（一階矩）向量；S為預(yù)先定義的系數(shù)矩陣；EP(Su)≤μ刻畫了特定故障情形的期望應(yīng)在線路故障的統(tǒng)計(jì)期望值范圍內(nèi)。在此故障集合下的機(jī)組組合問題就是尋找最惡劣的線路N-k故障概率分布，并最小化相應(yīng)的機(jī)組啟停和運(yùn)行成本期望。文獻(xiàn)［72］提出了考慮故障概率分布距離的分布魯棒輸電網(wǎng)強(qiáng)化模型，其N-k線路故障分布魯棒不確定集合見式（18）。

4 展望

4.1 同時(shí)考慮概率分布與時(shí)空相關(guān)性

優(yōu)化結(jié)果偏向保守是魯棒優(yōu)化的固有局限，模型變換復(fù)雜和計(jì)算負(fù)擔(dān)沉重則是分布魯棒優(yōu)化的主要問題。對(duì)發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃而言，保守性主要來源于2 個(gè)方面：①僅利用了歷史數(shù)據(jù)所反映的不確定參數(shù)波動(dòng)范圍而未考慮概率信息；②忽略了不確定因素時(shí)空相關(guān)性，導(dǎo)致不確定集合包含大量現(xiàn)實(shí)中不存在的場(chǎng)景。雖然不乏文獻(xiàn)分別從考慮時(shí)空相關(guān)性、考慮概率分布信息角度減弱魯棒優(yōu)化的保守性，但是這些模型通常魯棒對(duì)等變換較為復(fù)雜，在大規(guī)模系統(tǒng)中應(yīng)用困難。例如：矩不確定集合可以通過協(xié)方差刻畫相關(guān)性，但也導(dǎo)致魯棒對(duì)等變換是二階錐規(guī)劃／半定規(guī)劃［5］；基于Wasserstein 距離的分布魯棒優(yōu)化，其對(duì)等變換問題規(guī)模太大，必須使用估計(jì)算法近似計(jì)算［17］。由于分別考慮相關(guān)性和概率信息已使模型較為復(fù)雜，鮮有文獻(xiàn)同時(shí)考慮概率信息與相關(guān)性。

因此，有必要用簡(jiǎn)潔易解的方式同時(shí)考慮不確定參數(shù)的相關(guān)性與概率信息，有效協(xié)調(diào)發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃模型保守性、準(zhǔn)確性和求解效率，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，這要求魯棒模型與對(duì)等變換盡量保持混合整數(shù)線性性質(zhì)，并且需要避免使用假設(shè)或者估計(jì)算法。從可行性出發(fā)，綜合應(yīng)用聚類分析和線性統(tǒng)計(jì)參數(shù)（如一階矩）構(gòu)建節(jié)點(diǎn)注入功率不確定集合，即可在混合整數(shù)線性規(guī)劃前提下，計(jì)及多種運(yùn)行方式下節(jié)點(diǎn)注入功率的時(shí)空相關(guān)性和概率信息，如式（19）、（20）所示。

式中：ps為第s種場(chǎng)景的概率，總共聚類得到Ns種場(chǎng)景；us為第s種場(chǎng)景下的不確定變量；u0s為第s種場(chǎng)景下不確定變量的均值；γ1s、γ2s分別為每種場(chǎng)景下，不確定變量與平均值的偏差控制參數(shù)。所提模型將不確定場(chǎng)景聚類，再構(gòu)建各典型場(chǎng)景的均值偏差期望不確定集合，即可在混合整數(shù)線性規(guī)劃前提下，計(jì)及多種場(chǎng)景下的不確定變量相關(guān)性和概率信息，以此協(xié)調(diào)保守性、準(zhǔn)確性和求解效率。

4.2 深入考慮安全穩(wěn)定約束

現(xiàn)有發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃通過多種方式考慮了元件N-k約束，所得優(yōu)化方案可以保障系統(tǒng)靜態(tài)安全，但可能無法滿足其他安全穩(wěn)定要求。后校驗(yàn)方法能夠判斷優(yōu)化方案是否達(dá)到安全穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)，但存在2 點(diǎn)問題：①即便經(jīng)過反復(fù)迭代，所得方案仍可能無法通過安全穩(wěn)定校驗(yàn)；②即便優(yōu)化方案通過了安全穩(wěn)定校驗(yàn)，也可能不是滿足相應(yīng)安全穩(wěn)定約束的最優(yōu)方案。因此，如何在發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃中深入考慮更多安全穩(wěn)定約束，值得深入研究。對(duì)于可行性，暫態(tài)功角穩(wěn)定、頻率穩(wěn)定、短路電流等安全穩(wěn)定要求均可以與魯棒優(yōu)化模型結(jié)合。例如：通過暫態(tài)穩(wěn)定SP 生成線性的暫態(tài)穩(wěn)定割反饋給魯棒優(yōu)化主問題進(jìn)行主-子問題迭代，即可在不顯著增加模型復(fù)雜性的前提下，將暫態(tài)穩(wěn)定約束嵌入發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型。具體而言，魯棒優(yōu)化主問題生成暫態(tài)穩(wěn)定SP 的邊界條件（例如初步規(guī)劃／調(diào)度方案），暫態(tài)穩(wěn)定SP 的計(jì)算過程如下：通過時(shí)域仿真尋找故障失步機(jī)群，基于擴(kuò)展等面積準(zhǔn)則繪制失步機(jī)群等效加速曲線，再應(yīng)用軌跡靈敏度分析，構(gòu)建發(fā)電出力調(diào)整量與穩(wěn)定裕度的線性關(guān)系表達(dá)式［72］，作為約束加入主問題，并擴(kuò)展魯棒優(yōu)化SP 的對(duì)偶目標(biāo)函數(shù)和約束，進(jìn)行主-子問題迭代求解。考慮暫態(tài)穩(wěn)定約束的發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型見式（21）。

式中：ε為暫態(tài)穩(wěn)定裕度目標(biāo)值，根據(jù)工程需求設(shè)定；η為暫態(tài)穩(wěn)定裕度。

4.3 基于魯棒優(yōu)化的彈性發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃

近年來，電力系統(tǒng)遭受自然災(zāi)害或人為攻擊的頻率明顯上升，彈性電網(wǎng)成為研究熱點(diǎn)?！皬椥浴币箅娏ο到y(tǒng)遭受小概率、高損失極端事件（通常分為自然災(zāi)害與人為攻擊2 類）時(shí)具有恢復(fù)力［74］，而魯棒優(yōu)化的目標(biāo)是尋找不確定因素極端實(shí)現(xiàn)場(chǎng)景下的最佳決策，正適合應(yīng)用于彈性電網(wǎng)優(yōu)化規(guī)劃問題?；隰敯魞?yōu)化的彈性發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃一般為“防御-攻擊-防御”兩階段模型，第1 階段在極端事件前進(jìn)行預(yù)防性決策，第2 階段在極端事件發(fā)生中、發(fā)生后進(jìn)行實(shí)時(shí)及事后恢復(fù)性決策，其中不確定集合是刻畫極端事件的關(guān)鍵。在自然災(zāi)害方面，可從3 個(gè)角度構(gòu)建魯棒不確定集合：①刻畫自然災(zāi)害時(shí)空演變特性，例如通過多階段、故障范圍變化的不確定集合刻畫臺(tái)風(fēng)移動(dòng)對(duì)電網(wǎng)的破壞［75］；②刻畫自然災(zāi)害下元件故障概率不確定性，例如基于元件在洪水下的故障概率曲線以及洪水強(qiáng)度和頻率歷史變化范圍，構(gòu)建元件故障概率不確定性的不確定集合［76］；③綜合考慮災(zāi)害時(shí)空特性及元件概率不確定性［77-78］。在人為攻擊方面，物理信息系統(tǒng)協(xié)同攻擊作為一種新型的小概率、高損失極端場(chǎng)景受到廣受關(guān)注。攻擊者通過開斷刀閘等方式破壞網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，同時(shí)向信息系統(tǒng)注入虛假數(shù)據(jù)掩蓋物理攻擊，躲避調(diào)度中心的故障監(jiān)測(cè)，造成負(fù)荷損失甚至系統(tǒng)崩潰。已有文獻(xiàn)基于兩階段經(jīng)典魯棒優(yōu)化對(duì)此類攻擊進(jìn)行建模和抵御，還未計(jì)及物理信息攻擊的概率問題［79-81］。后續(xù)可基于分布魯棒優(yōu)化對(duì)考慮物理信息協(xié)同攻擊概率的彈性發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃展開研究。角度有二：①攻擊者完整掌握電網(wǎng)拓?fù)涞那闆r下，攻擊者可從多種角度對(duì)元件重要性、脆弱性進(jìn)行評(píng)估，側(cè)重攻擊重要／脆弱元件，由此可構(gòu)建考慮元件被攻擊概率的分布魯棒不確定集合；②攻擊者對(duì)不同區(qū)域電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)掌握程度不同的情況下，攻擊者對(duì)各區(qū)域的攻擊意愿以及各區(qū)域元件重要性評(píng)估存在差異，可構(gòu)建刻畫區(qū)域以及元件被攻擊概率不確定性的分布魯棒不確定集合，并通過調(diào)度／規(guī)劃措施進(jìn)行抵御和恢復(fù)。

5 結(jié)論

本文對(duì)發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃研究進(jìn)行了綜述和展望。從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，現(xiàn)有發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型可以分為經(jīng)典魯棒優(yōu)化和分布魯棒優(yōu)化兩大類，每一大類可分為單階段、兩階段兩小類，其中經(jīng)典魯棒優(yōu)化主要采用多面體和基數(shù)約束不確定集合，分布魯棒優(yōu)化多采用矩信息或距離信息不確定集合。從研究物理問題角度出發(fā)，現(xiàn)有發(fā)輸電系統(tǒng)魯棒優(yōu)化規(guī)劃模型可分為考慮節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性、考慮電源容量增長(zhǎng)及成本不確定性、考慮輸電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性這3 類?？紤]節(jié)點(diǎn)注入功率不確定性的研究最豐富，后續(xù)可以考慮用簡(jiǎn)潔易解的方式同時(shí)計(jì)及節(jié)點(diǎn)注入功率的相關(guān)性與概率信息；考慮電源容量增長(zhǎng)以及成本不確定性的模型已從單階段發(fā)展到多階段，如何高效求解隨之成為挑戰(zhàn)；考慮網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)不確定性的研究可以分為不考慮和考慮故障概率信息這2 類，后續(xù)研究方向可以考慮更多安全穩(wěn)定約束，或基于魯棒優(yōu)化進(jìn)行彈性發(fā)輸電系統(tǒng)優(yōu)化規(guī)劃。