趙劍波，彭 軍，仝哲旭

（航空工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京 100095）

陀螺儀是慣導(dǎo)系統(tǒng)中必不可少的慣性器件，在導(dǎo)航和制導(dǎo)過(guò)程中發(fā)揮著十分重要的作用[1,2]。由于陀螺儀通常工作在復(fù)雜的動(dòng)態(tài)環(huán)境中，因此能否準(zhǔn)確獲得陀螺儀的動(dòng)態(tài)特性，是導(dǎo)航制導(dǎo)控制過(guò)程中的關(guān)鍵，直接決定了導(dǎo)航的精度以及制導(dǎo)的準(zhǔn)確度[3,4]，所以需要在使用前對(duì)陀螺儀動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行校準(zhǔn)。利用標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)作為激勵(lì)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的校準(zhǔn)[5]。國(guó)內(nèi)外對(duì)陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的校準(zhǔn)做了大量研究，德國(guó)物理技術(shù)研究院（PTB）以及韓國(guó)標(biāo)準(zhǔn)與科學(xué)研究院都建立了正弦角振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)，中國(guó)航空工業(yè)計(jì)量所先后建立了正弦角振動(dòng)和半正弦沖擊角振動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)裝置[6]。中國(guó)計(jì)量院也建立了正弦角振動(dòng)基準(zhǔn)裝置[7]。全國(guó)慣性技術(shù)計(jì)量技術(shù)委員會(huì)根據(jù)正弦角振動(dòng)激勵(lì)法制定出陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)規(guī)范[8]。但這些標(biāo)準(zhǔn)裝置和校準(zhǔn)方法都是以正弦角振動(dòng)作為激勵(lì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的校準(zhǔn)，信號(hào)處理也大多采用正弦擬合法對(duì)激勵(lì)和響應(yīng)的信號(hào)進(jìn)行擬合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀幅頻特性和相頻特性的校準(zhǔn)。

國(guó)內(nèi)外以隨機(jī)信號(hào)作為激勵(lì)信號(hào)的傳感器動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)研究多見(jiàn)于線振動(dòng)[9,10]，對(duì)于隨機(jī)角振動(dòng)作為激勵(lì)的陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)方法研究目前也只是停留在隨機(jī)角振動(dòng)控制方面，還沒(méi)有形成校準(zhǔn)方法和標(biāo)準(zhǔn)裝置。隨機(jī)角振動(dòng)作為激勵(lì)的陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)方法相對(duì)正弦激勵(lì)法校準(zhǔn)不僅更接近陀螺儀的應(yīng)用場(chǎng)合，并且能夠一次性校準(zhǔn)陀螺儀寬頻段的動(dòng)態(tài)特性，相對(duì)正弦法逐一頻率校準(zhǔn)效率更高。

本文對(duì)隨機(jī)角振動(dòng)激勵(lì)下的陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)方法進(jìn)行了研究，從隨機(jī)法校準(zhǔn)原理出發(fā)，研究確定了校準(zhǔn)過(guò)程中的隨機(jī)信號(hào)處理方法，實(shí)現(xiàn)了陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的隨機(jī)法校準(zhǔn)。

1 陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)原理

隨機(jī)角振動(dòng)作為激勵(lì)的陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)方法如圖1所示，采用標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)臺(tái)作為激勵(lì)源產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)，被校陀螺儀固定在角振動(dòng)臺(tái)的臺(tái)面上，隨臺(tái)面發(fā)生隨機(jī)角振動(dòng)。陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)是精確測(cè)量出陀螺儀輸出的隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)和角振動(dòng)臺(tái)的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)之間的頻響函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀的動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)。

圖1 隨機(jī)法校準(zhǔn)原理圖Fig.1 Calibration principle of random method

標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)由角振動(dòng)臺(tái)內(nèi)部的圓光柵通過(guò)解算得出。校準(zhǔn)過(guò)程中，需要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)和被校兩種隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行同步采集并濾波，對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行功率譜密度（Power Spectral Density, PSD）估計(jì)，利用PSD估計(jì)結(jié)果計(jì)算陀螺儀的頻響函數(shù)，得到陀螺儀幅頻特性和相頻特性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)陀螺儀的隨機(jī)法校準(zhǔn)。

2 隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)處理方法

由陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)的原理可知，隨機(jī)法校準(zhǔn)中涉及的角振動(dòng)信號(hào)處理主要包括標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)的解算、信號(hào)的抗混疊濾波、信號(hào)的功率譜密度估計(jì)以及頻響函數(shù)辨識(shí)方法。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)的解算方法

角振動(dòng)臺(tái)的標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)由高精度的標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測(cè)量解算得出，標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測(cè)得的標(biāo)準(zhǔn)角位移信號(hào)可以直接溯源到角度和時(shí)間，是實(shí)現(xiàn)絕對(duì)法校準(zhǔn)的基礎(chǔ)。標(biāo)準(zhǔn)圓光柵輸出信號(hào)由兩個(gè)相位差近似π/2的正弦信號(hào)組成。圓光柵每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)柵格，每一路正弦信號(hào)會(huì)經(jīng)歷一個(gè)周期，轉(zhuǎn)動(dòng)越快，正弦頻率越高。通過(guò)調(diào)整光路和信號(hào)處理，并進(jìn)行非線性補(bǔ)償，可以保證兩路正弦信號(hào)Ua和Ub幅值相等，相位相差π/2，并且兩路信號(hào)的直流分量為0。圓光柵輸出信號(hào)的相位φ(nΔt)可以表示為：

式中，n為采樣序列號(hào)，Δt為相鄰采樣點(diǎn)之間的時(shí)間間隔。k值從0起始，通過(guò)反正切計(jì)算結(jié)果的變化可以確定k值。

首先需要設(shè)置合理的采樣頻率f，使得反正切結(jié)果在一個(gè)周期內(nèi)（ -π/ 2,π/ 2）至少有三個(gè)采樣點(diǎn)（n≥ 3）。

采樣頻率f根據(jù)校準(zhǔn)中的最大角速度ωmax以及圓光柵總柵格數(shù)（總線數(shù)）M來(lái)得到。由于圓光柵每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)柵距的角度時(shí)，輸出的正弦信號(hào)經(jīng)歷一個(gè)周期，即反正切結(jié)果會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)周期，反正切在一個(gè)周期內(nèi)至少有3個(gè)采樣點(diǎn)，則意味著在一個(gè)柵距內(nèi)至少有6個(gè)采樣點(diǎn)，而一個(gè)柵格所經(jīng)歷的最短時(shí)間為360° /（ωmax·M），那么：

如圖2所示，正切函數(shù)每周期（ -π/ 2，π/2）有三個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，若k值發(fā)生變化，則相鄰采樣點(diǎn)反正切結(jié)果的變化絕對(duì)值大于π/2（如B→A，或D→E），在確定發(fā)生變化后，反正切結(jié)果的變化正負(fù)可以判斷k值的加減，從而確定k值。

圖2 采樣點(diǎn)示意圖Fig.2 Sampling points

圓光柵的整圈總線數(shù)為M，對(duì)應(yīng)角度為2π，則一個(gè)柵距的角度為2π/M。圓光柵發(fā)生的角位移為一個(gè)柵距的角度時(shí)，輸出的正弦信號(hào)經(jīng)歷一個(gè)周期，即相位變化為2π，因此，圓光柵發(fā)生的角位移θ（nΔt）與輸出信號(hào)相位變化φ（nΔt）的關(guān)系為：

2.2 抗混疊濾波方法

隨機(jī)角振動(dòng)信號(hào)在工作頻帶之外一般仍存在頻率成分，這些頻率成分會(huì)混疊到工作頻帶內(nèi)，造成工作頻帶內(nèi)的信號(hào)頻譜偏大。

對(duì)采集解算得到的標(biāo)準(zhǔn)角位移信號(hào)和被校陀螺儀輸出的信號(hào)同時(shí)進(jìn)行抗混疊濾波，濾波器均采用三階巴特沃斯低通濾波器，此種濾波器可以通過(guò)級(jí)聯(lián)型IIR濾波器實(shí)現(xiàn)。濾波器衰減率為-18 dB/oct。將三階巴特沃斯低通濾波器的截止頻率（-3 dB）設(shè)置成工作頻帶最高頻率的2.5倍。三階巴特沃斯濾波器的傳遞函數(shù)如下所示：

其中，a0=1，1a=2，a2=2，ωc=2πfc。本文實(shí)驗(yàn)截止頻率fc為250 Hz。波特圖如圖3所示。

圖3 濾波器波特圖Fig.3 Bode diagram of filter

濾波器可以使信號(hào)中可能導(dǎo)致混疊的高頻成分衰減90 dB以上，從而達(dá)到抗混疊的效果。

2.3 功率譜密度估計(jì)方法

功率譜密度估計(jì)用于標(biāo)準(zhǔn)角位移信號(hào)和陀螺儀角速度信號(hào)的互功率譜密度（互譜）估計(jì)以及各自的自功率譜密度（自譜）估計(jì)，進(jìn)而可以利用譜估計(jì)結(jié)果計(jì)算陀螺儀的頻響函數(shù)。

自譜由信號(hào)頻譜X（f）與其共軛X*（f）的乘積得出：

互譜由信號(hào)頻譜X（f）與另一信號(hào)頻譜的共軛Y*（f）的乘積得出：

式中，N為信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)，fs為信號(hào)采樣頻率。

對(duì)采集的信號(hào)進(jìn)行分段計(jì)算功率譜密度，再對(duì)各段信號(hào)的功率譜密度進(jìn)行平均，能夠利用有限時(shí)域信號(hào)提高功率譜密度估計(jì)的精度。在對(duì)每段信號(hào)計(jì)算頻譜過(guò)程中，需要用到快速傅里葉變換（FFT）。由于時(shí)域信號(hào)有限，且為隨機(jī)信號(hào)，在進(jìn)行FFT變換時(shí)，會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的頻譜出現(xiàn)泄漏現(xiàn)象。為了減少泄漏，需要對(duì)各段信號(hào)進(jìn)行加窗。加窗之后，各段信號(hào)兩端可能會(huì)出現(xiàn)信號(hào)丟失。因此，在對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分段時(shí)，每相鄰兩段信號(hào)之間需要有重疊。

將采集到的信號(hào)分為L(zhǎng)段，每段信號(hào)有N個(gè)采樣點(diǎn)，并要求相鄰段重疊50%，對(duì)各段加窗函數(shù)w（n）后進(jìn)行FFT變換：

各段自譜的平均：

各段互譜的平均：

式(8)(9)中，

U為幅值修正系數(shù)，保證功率譜密度估計(jì)的結(jié)果是無(wú)偏估計(jì)。

由于互譜為復(fù)數(shù)形式，蘊(yùn)涵著兩個(gè)信號(hào)之間在幅值和相位上的相互關(guān)系信息，互譜在任意頻率處的相位值表示兩個(gè)信號(hào)在該頻率的相位差。因此，互譜還可以用于計(jì)算陀螺儀的相頻特性。標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)信號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)圓光柵測(cè)得的角位移信號(hào)，陀螺儀輸出為角速度信號(hào)。被校角速度信號(hào) 2ω和標(biāo)準(zhǔn)角速度信號(hào) 1ω的互譜Gω2ω1（f），與被校角速度信號(hào)ω2和標(biāo)準(zhǔn)角位移信號(hào)θ1的互譜Gω2θ1（f）之間的關(guān)系如下：

角速度自譜Gωω（f）與角位移自譜Gθθ（f）的關(guān)系：

2.4 陀螺儀頻響函數(shù)辨識(shí)方法

陀螺儀的頻響函數(shù)辨識(shí)是通過(guò)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)信號(hào)和陀螺儀輸出信號(hào)的互譜和自譜得出。由于兩個(gè)信號(hào)在采集過(guò)程中都會(huì)引入噪聲，影響頻響函數(shù)的辨識(shí)結(jié)果。頻響函數(shù)辨識(shí)方法中的H1法和H2法都是只考慮一個(gè)信號(hào)有噪聲的情況下對(duì)頻響函數(shù)進(jìn)行的辨識(shí)，并且都是有偏估計(jì)。本文采用的陀螺儀頻響函數(shù)辨識(shí)方法為Hv法，既要考慮標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)信號(hào)中的噪聲，也要考慮陀螺儀輸出信號(hào)中的噪聲。假定兩類噪聲互不相關(guān)，且與信號(hào)也不相關(guān)。

令綜合誤差Gee（f）為陀螺儀輸出信號(hào)中的噪聲自譜Gdd與標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)信號(hào)中的噪聲自譜Gcc之差：

由式(13)可得：

兩類噪聲主要都是在采集過(guò)程中引入，噪聲自譜Gcc和Gdd幾乎相等，令Gee（f）為0，此時(shí)Hω（f）為：

將式(11)和式(12)代入式(15)可得：

由式(16)可知，頻響函數(shù)Hω（f）的相位信息只與被校信號(hào)和標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)互功率的相位相關(guān)，噪聲只影響幅值信息，不影響相位信息。利用式(16)可以求解出陀螺儀的頻響函數(shù)，通過(guò)多次測(cè)量求平均值能夠得到較準(zhǔn)確的幅頻特性和相頻特性。

3 陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)

3.1 陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)重復(fù)性實(shí)驗(yàn)

選取俄羅斯光纖陀螺儀VG949P為例，采用隨機(jī)法對(duì)其幅頻特性和相頻特性進(jìn)行校準(zhǔn)，為了驗(yàn)證隨機(jī)法結(jié)果的重復(fù)性，進(jìn)行了3次實(shí)驗(yàn)。并且參考正弦法校準(zhǔn)規(guī)范中的數(shù)據(jù)處理方法，將陀螺儀在實(shí)驗(yàn)頻帶內(nèi)（5 Hz ～ 100 Hz）的靈敏度值和相位延遲值分別進(jìn)行曲線擬合，結(jié)果如圖4和圖5所示。根據(jù)校準(zhǔn)曲線計(jì)算得到隨機(jī)法校準(zhǔn)穩(wěn)定性，如表1所示。

圖4 VG949P陀螺儀幅頻特性隨機(jī)法校準(zhǔn)曲線Fig.4 Curve of amplitude-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

圖5 VG949P陀螺儀相頻特性隨機(jī)法校準(zhǔn)曲線Fig.5 Curve of phase-frequency characteristics in random calibration of Gyroscope VG949P

表1 VG949P陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法校準(zhǔn)穩(wěn)定性Tab.1 Stability in random calibration for the dynamic features of VG949P

根據(jù)頻帶內(nèi)的校準(zhǔn)結(jié)果，隨機(jī)法的幅值靈敏度穩(wěn)定性（3σ）在0.5%以內(nèi)，相位穩(wěn)定性（3σ）在0.5 °以內(nèi)。

3.2 陀螺儀動(dòng)態(tài)特性隨機(jī)法與正弦法校準(zhǔn)結(jié)果比對(duì)

將隨機(jī)法實(shí)驗(yàn)1結(jié)果與正弦法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，用于驗(yàn)證隨機(jī)法校準(zhǔn)結(jié)果的準(zhǔn)確性。圖6是幅頻特性對(duì)比結(jié)果，圖7是相頻特性對(duì)比結(jié)果。隨機(jī)法和正弦法均在實(shí)驗(yàn)頻帶內(nèi)進(jìn)行了曲線擬合。

圖6 VG949P陀螺儀正弦法和隨機(jī)法的幅頻特性對(duì)比Fig.6 Contrast between amplitude-frequency characteristics of sine method and random method of Gyroscope VG949P

圖7 VG949P陀螺儀正弦法和隨機(jī)法的相頻特性對(duì)比Fig.7 Contrast between phrase-frequency characteristics of sine method and random method of VG949P

陀螺儀分別用正弦法和隨機(jī)法進(jìn)行校準(zhǔn)，校準(zhǔn)結(jié)果對(duì)比如表2所示。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)頻帶內(nèi)，兩種方法的靈敏度差值在1%以內(nèi)，相位差值在1 °以內(nèi)。此靈敏度差值和相位差值的量級(jí)完全能夠滿足陀螺儀的動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)要求。

表2 VG949P陀螺儀隨機(jī)法與正弦法校準(zhǔn)結(jié)果對(duì)比Tab.2 Contrast between calibration results characteristics of sine method and random method of VG949P

4 結(jié) 論

針對(duì)陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的校準(zhǔn)，本文提出了隨機(jī)角振動(dòng)激勵(lì)下陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的校準(zhǔn)方法，通過(guò)研究校準(zhǔn)原理以及校準(zhǔn)中的信號(hào)處理方法，包括標(biāo)準(zhǔn)角振動(dòng)信號(hào)的解算方法、抗混疊濾波方法、功率譜密度估計(jì)方法以及頻響函數(shù)辨識(shí)方法，最終實(shí)現(xiàn)了陀螺儀動(dòng)態(tài)特性的隨機(jī)法校準(zhǔn)。相比于正弦法逐個(gè)頻點(diǎn)測(cè)量，隨機(jī)法可以一次性測(cè)量陀螺儀整個(gè)頻帶的幅頻特性和相頻特性，效率更高，并且隨機(jī)角運(yùn)動(dòng)更接近于陀螺儀的實(shí)際工況，此方法為陀螺儀擴(kuò)展了一種更快速更有效的校準(zhǔn)方法。隨著角振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)角振動(dòng)控制精度的提高以及此校準(zhǔn)方法的推廣，這種新的校準(zhǔn)方法在未來(lái)將有望替代正弦法成為常用的陀螺儀動(dòng)態(tài)特性校準(zhǔn)方法。