張 華，何貴成

(華北電力大學(xué)水利與水電工程學(xué)院，北京 102206)

水利工程在挑流泄洪時(shí)，產(chǎn)生的高速水舌與空氣摻混[1]，兩股水舌碰撞，以及水舌和下游水面的撞擊，都會(huì)形成大小不一的霧源。霧源處噴濺的水滴，在壩下游沉降，產(chǎn)生強(qiáng)度遠(yuǎn)大于自然降雨的泄洪霧化降雨[2-3]。嚴(yán)重的泄洪霧化會(huì)影響電站電氣設(shè)備的正常運(yùn)行、沖蝕地表，影響岸坡穩(wěn)定和廠區(qū)交通等[4-5]。研究泄洪霧化的產(chǎn)生機(jī)理、霧源強(qiáng)度、擴(kuò)散規(guī)律、以及降雨強(qiáng)度，對(duì)采取合理措施減輕泄洪霧化的危害具有重要價(jià)值[6]。

泄洪霧化降雨范圍和大小的計(jì)算，常用原型觀測(cè)[7]、理論分析[8]、模型試驗(yàn)[9]和數(shù)值模擬[10-11]等方法。梁在潮[12]詳細(xì)描述了泄洪霧化現(xiàn)象，推導(dǎo)出了水舌摻氣量、濺水影響區(qū)域和霧流擴(kuò)散的理論計(jì)算公式。劉宣烈等[1]采用立體攝影和電阻式摻氣儀兩種測(cè)量方法，試驗(yàn)得到了水舌斷面摻氣濃度、沿程變化與參數(shù)的關(guān)系。張華等[13]在觀測(cè)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提出了水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用較為廣泛[14-16]。水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在初始條件中采用多個(gè)隨機(jī)變量以模擬水滴在霧源噴出時(shí)的隨機(jī)特性，隨機(jī)變量包括噴濺水滴的直徑、速度和偏移角等。

在水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，學(xué)者進(jìn)行了模型的適用性驗(yàn)證，以及改進(jìn)工作。如在雙江口水電站數(shù)學(xué)模型噴濺試驗(yàn)[17]的數(shù)值計(jì)算中，水面以上的下墊面為自然地形，驗(yàn)證了水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在復(fù)雜地形情況下的適應(yīng)能力。兩河口水電站的泄洪霧化計(jì)算中[18]，引入水舌風(fēng)的作用，在數(shù)學(xué)模型中增加考慮了水舌風(fēng)對(duì)噴濺水滴運(yùn)動(dòng)的影響。

水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型，通常采用蒙特卡洛方法[19]進(jìn)行求解，即生成大量符合假設(shè)隨機(jī)變量分布的隨機(jī)水滴，最后統(tǒng)計(jì)水滴停止運(yùn)動(dòng)后的分布情況，由此獲得霧化降雨大小。由于霧化降雨大小由隨機(jī)水滴統(tǒng)計(jì)產(chǎn)生，因此受到水滴樣本數(shù)量的影響較大。為得到較準(zhǔn)確的霧化降雨數(shù)值，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型常需要生成幾百萬(wàn)的水滴作為樣本，計(jì)算量大、效率低。

云物理學(xué)理論[20]為計(jì)算云滴譜隨時(shí)間和高度的演變情況[21]，采用的方法是將云滴按照大小劃分為若干檔[22]，然后隨著時(shí)間步的增加，云滴自然凝結(jié)生長(zhǎng)，云滴大小越出原檔，各檔云滴數(shù)量也隨之增減，從而計(jì)算出云滴譜的演變情況。在燃油噴霧數(shù)值模擬[23]中，離散液滴數(shù)學(xué)模型[24]并不會(huì)計(jì)算所有油滴的運(yùn)動(dòng)，而是選取計(jì)算若干具有代表性的樣本油滴的運(yùn)動(dòng)軌跡[25]，提高了計(jì)算效率。在模擬流化床[26]的顆粒流動(dòng)算法中，如OpenFOAM的DPMFoam求解器[27]，采用了顆粒微團(tuán)，即多個(gè)顆粒的集合，并假定集合中的顆粒具有相同的尺寸和速度。上述方法的目的都在于減少計(jì)算霧滴、油滴和顆粒的數(shù)量，以降低對(duì)內(nèi)存和計(jì)算能力的需求。

因此，本文基于云滴分檔、代表性油滴和顆粒微團(tuán)等降低計(jì)算量的思想，提出分檔水滴的概念，建立挑流泄洪霧化的水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型，并在假定條件下對(duì)模型進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1 水滴運(yùn)動(dòng)微分方程及其解析解

1.1 水滴運(yùn)動(dòng)微分方程

如圖1所示，假設(shè)在直角坐標(biāo)系Oxyz的O點(diǎn)處，拋出N個(gè)水滴，初始速度為v，速度與Oxy面的夾角為出射角β，速度與Oxz面的夾角為偏移角φ。從原點(diǎn)處拋出的水滴做斜拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)水滴接觸Oxy面時(shí)，則停止下來(lái)。在某個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，通過(guò)統(tǒng)計(jì)水滴在水平面上的質(zhì)量分布情況，即可求得霧化降雨的數(shù)值。

圖1 水滴噴濺示意圖

考慮水滴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到浮力、重力和空氣阻力的作用，則水滴的運(yùn)動(dòng)微分方程[13]為

式中：Cf為空氣阻力系數(shù)；d為水滴直徑；ρ為水滴密度；ρa(bǔ)為空氣密度；vw為水滴速度；va為環(huán)境風(fēng)速(vax、vay、vaz分別是3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影)；g為重力加速度。

水滴運(yùn)動(dòng)微分方程的初始條件為

(2)

式中：v為水滴的初始速度；β、φ分別為水滴的出射角和偏移角。

1.2 水滴運(yùn)動(dòng)微分方程的解析解

式(1)是一個(gè)二階非線性微分方程組，不能得到其解析解。對(duì)其做解耦合線性化的處理，轉(zhuǎn)變?yōu)槎A線性微分方程組，得到：

(3)

式中：<|vw-va|>為水滴速度與環(huán)境風(fēng)速差值的系綜平均。

由初始條件(2)，并假設(shè)環(huán)境風(fēng)速va為常數(shù)，可以得到式(3)的解析解：

(4)

令z(ta)=0，可以獲得水滴接觸Oxy平面的時(shí)間ta的計(jì)算公式如式(5)所示，然后可以得到水滴停留在Oxy平面上的位置為(x(ta),y(ta))。

(5)

若假定v、β和φ為隨機(jī)變量，并服從聯(lián)合概率密度分布f(v,β,φ)，則由連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布理論[28]，式(4)的多元函數(shù)所對(duì)應(yīng)的概率密度分布為

fp(x(t),y(t),z(t))=f(v(x(t),y(t),z(t)),

β(x(t),y(t),z(t)),φ(x(t),y(t),z(t)))|J|

(6)

2 水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型

在水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型[13]中，水滴的初始速度v、出射角β和偏移角φ，均為隨機(jī)變量，模型通常采用蒙特卡洛方法進(jìn)行求解。

為了改進(jìn)蒙特卡洛方法計(jì)算量大、效率低的缺點(diǎn)，基于云滴分檔[22]、代表性油滴[25]和顆粒微團(tuán)[27]等學(xué)術(shù)思想，提出水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型。主要改進(jìn)內(nèi)容為，根據(jù)水滴初始參數(shù)相空間進(jìn)行分檔化處理，由此形成分檔水滴，并讓一個(gè)分檔水滴攜帶概率信息，以代表多個(gè)水滴，最終減少實(shí)際的計(jì)算量，提高計(jì)算效率。

2.1 水滴初始物理參數(shù)的相空間

將水滴的初始參數(shù)v、β和φ所構(gòu)成的物理空間，稱為水滴運(yùn)動(dòng)初始物理參數(shù)的相空間，記為Γ(v,β,φ)，如圖2所示。相空間中的一個(gè)相點(diǎn)表示單個(gè)水滴的初始狀態(tài)，整體表示水滴所有可能的初始狀態(tài)。

圖2 水滴初始物理參數(shù)的相空間示意圖

2.2 相空間分檔方法

水滴初始物理參數(shù)相空間的分檔方法如下：

a.水滴初始速度的分檔。對(duì)v做均勻分布的分檔化處理[22]，這里劃分為I檔，每檔的大小為a，則每個(gè)檔的速度vi為

vi=ai(i=1,2,…,I)

(7)

b.水滴出射角的分檔。對(duì)β也同樣做均勻分布的分檔化處理：分為J檔，每檔的大小為b，則出射角βj為

βj=bj(j=1,2,…,J)

(8)

c.水滴偏移角的分檔。對(duì)φ也做均勻分布的分檔化處理：在其定義域內(nèi)均勻分為K檔，每檔的大小為c，則偏移角φk為

φk=ck(k=1,2,…,K)

(9)

2.3 分檔水滴及其概率值計(jì)算

水滴運(yùn)動(dòng)初始物理參數(shù)相空間通過(guò)分檔之后，形成相格(圖2中長(zhǎng)方形線框)。一個(gè)相格中包含了多個(gè)相點(diǎn)，即內(nèi)含多個(gè)水滴的初始狀態(tài)信息。用一個(gè)代表性相點(diǎn)，來(lái)表征整個(gè)相格中所有相點(diǎn)，稱這個(gè)代表性相點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水滴為分檔水滴。分檔水滴所對(duì)應(yīng)的概率密度為

Pijk=f(vi,βj,φk)

(10)

3 微分方程和數(shù)學(xué)模型的求解

為了獲得水滴運(yùn)動(dòng)微分方程組的解析解，并以此為基準(zhǔn)，評(píng)價(jià)水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型和水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解的精確度，從而驗(yàn)證水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的求解精度。

在不改變微分方程組本質(zhì)的情況下，為對(duì)公式(1)進(jìn)行簡(jiǎn)化，提出如下兩個(gè)假定條件：①忽略空氣阻力和浮力作用；②隨機(jī)變量v和β取為定值，φ的概率密度函數(shù)fφ滿足正態(tài)分布：

(11)

3.1 水滴運(yùn)動(dòng)線性微分方程的解析解

在假定條件下，得到下列參數(shù)的數(shù)值：阻力系數(shù)Cf=0，空氣密度ρa(bǔ)=0 kg/m3。代入式(3)，得到水滴位置隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為

(12)

令z(ta)=0，則水滴經(jīng)過(guò)一段時(shí)間ta，因接觸Oxy面而停止運(yùn)動(dòng)，可以得到水滴停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置與φ的函數(shù)關(guān)系為

(13)

由于fφ為正態(tài)分布，絕大部分水滴位于(-3σ，3σ)范圍內(nèi)，因此可取φ的定義域?yàn)镃=(-π/3,π/3)。

y(φ)的反函數(shù)為

(14)

由假設(shè)條件②，已知φ的概率密度函數(shù)，以及式(6)，可得到水滴在y軸上投影的概率密度函數(shù)為

為便于解析解與數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比，對(duì)解析解進(jìn)行離散化處理。將值域S均勻分為M個(gè)數(shù)量的組，組距為h，即第m組的取值范圍是[hm-1,hm)，分組形式記為集合A={[hm-1,hm)|m=1,2,…,M}。則水滴處于第m組內(nèi)的概率密度的解析解為

(16)

3.2 水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解

水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型采用蒙特卡洛方法求解，生成的水滴為隨機(jī)產(chǎn)生，現(xiàn)生成N個(gè)水滴，其中的偏移角使用隨機(jī)數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生，記為φn,r(n=1,2,…,N)，它滿足概率密度函數(shù)fφ。

根據(jù)式(13)，可以計(jì)算水滴偏移角為φn,r時(shí)，相應(yīng)在y軸上的運(yùn)動(dòng)距離為yn,r。依據(jù)分組集合A，統(tǒng)計(jì)yn,r在第m個(gè)分組范圍內(nèi)的水滴的個(gè)數(shù)，記為qm,r，計(jì)算公式為

(17)

得到水滴處于第m組的概率密度為

(18)

3.3 水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解

水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型，生成的分檔水滴，在定義域內(nèi)均勻分布，并且包含概率信息，具體的計(jì)算步驟如下：

步驟1由假定條件②，只需要對(duì)φ進(jìn)行分檔處理，因此在其定義域內(nèi)，產(chǎn)生N個(gè)分檔水滴，每個(gè)分檔水滴的偏移角由式(9)計(jì)算，記為φn,g(n=1,2,…,N)。

步驟2根據(jù)概率密度函數(shù)fφ，以及式(10)，計(jì)算得到偏移角為φn,g的分檔水滴所對(duì)應(yīng)攜帶的概率pn,g為

pn,g=fφ(φn,g)c

(19)

步驟3由式(13)計(jì)算出分檔水滴在偏移角為φn,g時(shí)，在y軸上的運(yùn)動(dòng)距離yn,g。

步驟4依據(jù)分組集合A對(duì)分檔水滴在y軸的距離進(jìn)行分組，得到處于第m組范圍水滴的概率qm,g為

(20)

步驟5得到水滴處于第m組范圍的概率密度為

(21)

4 案例計(jì)算與結(jié)果分析

式(1)是非線性微分方程組，一般情況下，只能采用數(shù)值模型進(jìn)行求解。若不進(jìn)行參數(shù)簡(jiǎn)化，僅能得到兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解。沒(méi)有解析解的準(zhǔn)確值作為基準(zhǔn)，無(wú)法判別兩種數(shù)值模型的計(jì)算結(jié)果的誤差大小。案例是在兩個(gè)假設(shè)條件下，對(duì)微分方程組中的參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，獲得解析解式(15)，并以此作為后續(xù)兩個(gè)數(shù)值解計(jì)算誤差的對(duì)比基準(zhǔn)。

在兩個(gè)假定條件下，選取v=10 m/s，g=9.81 m/s2，β=π/5，M=100。根據(jù)上述3種求解方法，可以分別得到解析解和兩個(gè)模型的數(shù)值解，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比和誤差分析。

水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型生成的100個(gè)水滴的偏移角φ的分布如圖3(a)所示，在概率密度較小的區(qū)域，生成的水滴個(gè)數(shù)過(guò)于稀少，甚至為0。圖3(b)為水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的100個(gè)分檔水滴的偏移角分布情況，在定義域內(nèi)非常均勻。

圖3 兩個(gè)數(shù)學(xué)模型所產(chǎn)生水滴的偏移角分布

4.1 水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解

當(dāng)水滴總數(shù)分別為1 000、1萬(wàn)、10萬(wàn)和100萬(wàn)時(shí)，采用水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的求解結(jié)果如圖4所示。

圖4 水滴隨機(jī)噴濺模型的數(shù)值解與解析解

當(dāng)水滴總數(shù)為1 000時(shí)，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解相比解析解有較大的誤差，誤差的波動(dòng)幅度也很大(圖4(a))。水滴個(gè)數(shù)達(dá)到1萬(wàn)時(shí)，數(shù)值解雖然局部與解析解仍然有較大偏差，但誤差明顯減小，誤差的波動(dòng)幅度也縮小(圖4(b))。隨著水滴個(gè)數(shù)繼續(xù)增加，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的求解誤差依然比較為明顯，但繼續(xù)減小(圖4(c)(d))。

4.2 水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解

分檔水滴總數(shù)分別為1 000、1萬(wàn)、10萬(wàn)和100萬(wàn)時(shí)，采用水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解結(jié)果如圖5所示。

圖5 水滴分檔隨機(jī)噴濺模型的數(shù)值解與解析解

分檔水滴總數(shù)為1 000時(shí)，結(jié)果如圖5(a)所示，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解與解析解的差異較大，但相比圖4(a)要小許多，波動(dòng)幅度相比也更小，呈現(xiàn)相對(duì)規(guī)律的鋸齒狀。當(dāng)分檔水滴個(gè)數(shù)增加10倍達(dá)到1萬(wàn)時(shí)的結(jié)果如圖5(b)所示，整體誤差已經(jīng)較小，已看不出數(shù)值解與解析解有明顯差異。再繼續(xù)增加分檔水滴的個(gè)數(shù)(圖5(c)(d))，對(duì)計(jì)算精度的改善作用已經(jīng)很小。

對(duì)比圖5(b)和圖4(d)可見(jiàn)，1萬(wàn)個(gè)分檔水滴的誤差，已能達(dá)到水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型使用100萬(wàn)個(gè)水滴求解時(shí)的水平。

4.3 誤差分析

為量化水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型和水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型數(shù)值解的求解精度，評(píng)估數(shù)值解與解析解之間的誤差大小。這里采用最大誤差η和平均誤差ε兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)，計(jì)算公式如下：

(22)

(23)

式中：pm,a為第m個(gè)分組的解析解；pm,s為第m個(gè)分組的數(shù)值解。

誤差分析結(jié)果如表1所示。隨著水滴個(gè)數(shù)的增加，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型和水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的誤差均逐漸減小。在水滴總數(shù)為1萬(wàn)時(shí)，平均誤差指標(biāo)已比較小，分別為11.46%和3.86%；最大誤差也迅速降低，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的誤差從143.81%降至63.58%，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的誤差從19.42%下降至12.94%。

表1 兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解誤差和計(jì)算所需時(shí)間對(duì)比

隨水滴總數(shù)的變化，在兩個(gè)模型的水滴個(gè)數(shù)相同，甚至較少的條件下，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的最大誤差會(huì)更小。如在水滴總數(shù)為1萬(wàn)時(shí)，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的最大誤差為12.94%，已經(jīng)比水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在水滴總數(shù)為100萬(wàn)時(shí)的15.26%更小。

進(jìn)一步對(duì)兩個(gè)模型的平均誤差，也顯示出水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的精度更高。當(dāng)水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在水滴總數(shù)為1萬(wàn)時(shí)，平均誤差已經(jīng)下降到3.86%，而水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在總數(shù)達(dá)到100萬(wàn)時(shí)，平均誤差才下降為3.66%，兩者誤差十分接近。

最后從收斂趨勢(shì)來(lái)看，水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型，水滴總數(shù)從1 000增加到100萬(wàn)時(shí)，最大誤差從143.81%，降低為15.26%，一直在逐漸下降。而水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型在水滴總數(shù)從1 000增加到1萬(wàn)后，繼續(xù)增加水滴個(gè)數(shù)，誤差變化不大。表明了水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的誤差收斂速度更快。

4.4 兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間分析

在i7-3 770處理器、24GB內(nèi)存的計(jì)算機(jī)配置，以及Win7系統(tǒng)、Python 3.5.2編程環(huán)境的條件下，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間如表1所示。水滴總數(shù)從1 000到100萬(wàn)，水滴隨機(jī)噴濺模型的計(jì)算所需時(shí)間，從0.002 8 s增加到0.405 4 s；相對(duì)應(yīng)的，水滴分檔隨機(jī)噴濺模型計(jì)算所需時(shí)間從0.002 1 s增加到0.362 6 s。同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，水滴總數(shù)越大，計(jì)算所需時(shí)間越長(zhǎng)，呈現(xiàn)線性關(guān)系。

在相同水滴總數(shù)情況下，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間的相對(duì)差異并不是很大，處于同一個(gè)數(shù)量級(jí)，但水滴分檔隨機(jī)噴濺模型所需時(shí)間更少。在水滴總數(shù)為1 000時(shí)，計(jì)算所需時(shí)間分別為0.002 8 s和0.002 1 s；而在水滴總數(shù)為100萬(wàn)時(shí)，計(jì)算所需時(shí)間分別為0.405 4 s和0.362 6 s。

隨著水滴總數(shù)的增加，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間相差會(huì)更大。在水滴總數(shù)為1 000時(shí)，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間相差0.000 7 s；而在水滴總數(shù)為100萬(wàn)時(shí)，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間相差0.042 8 s。

參與計(jì)算的水滴總數(shù)越大，兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解與解析解的誤差越小。在水滴總數(shù)相同的條件下，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的誤差明顯更小，模型的計(jì)算所需時(shí)間也更少。水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型可以采用更小的水滴總數(shù)，減少所需計(jì)算時(shí)間，同時(shí)保證計(jì)算的準(zhǔn)確度，從而提高了計(jì)算效率。

5 結(jié) 論

a.針對(duì)水滴隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型計(jì)算量大，效率較低的問(wèn)題，提出了分檔水滴的新概念，建立了挑流泄洪霧化的水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型。

b.在兩個(gè)假定條件下，對(duì)水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證計(jì)算，結(jié)果顯示該模型具有更好的求解精度。其中1萬(wàn)個(gè)水滴的分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的求解結(jié)果，非常接近100萬(wàn)個(gè)水滴的隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的求解精度。

c.在水滴總數(shù)相同的情況下，水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型計(jì)算所需時(shí)間更少，同時(shí)其數(shù)值解的誤差也更小，表明水滴分檔隨機(jī)噴濺數(shù)學(xué)模型的計(jì)算效率更高。