鄭興榮，鄭燕飛

(1. 隴東學(xué)院 電氣工程學(xué)院 物理系，甘肅 慶陽(yáng) 745000；2. 西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715)

量子理論是現(xiàn)代物理學(xué)兩大支柱之一，不僅是自然科學(xué)的基礎(chǔ)理論，也是整個(gè)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)理論，應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域[1]，尤其是量子通信、量子計(jì)算和量子精密測(cè)量. 而勢(shì)箱函數(shù)作為量子理論的最簡(jiǎn)單、最重要模型之一，在理論研究和實(shí)踐中非常重要，是學(xué)習(xí)量子理論的基礎(chǔ)和入門[2]. 對(duì)于勢(shì)箱函數(shù)模型，根據(jù)粒子體系的條件，得到粒子的勢(shì)能函數(shù)，進(jìn)而得到粒子的運(yùn)動(dòng)符合薛定諤方程；結(jié)合歸一性，通過(guò)理論推導(dǎo)，我們可以得到勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)和能級(jí)表達(dá)式，從而得到波函數(shù)、能級(jí)及其概率密度的分布特點(diǎn)，了解粒子體系的特性[3,4]. 因此，學(xué)習(xí)勢(shì)箱函數(shù)及其相關(guān)特性對(duì)于今后量子理論的其他模型學(xué)習(xí)提供了借鑒. 另外，勢(shì)箱函數(shù)的應(yīng)用范圍非常廣泛，如金屬內(nèi)自由電子的運(yùn)動(dòng)、共軛分子內(nèi)電子的運(yùn)動(dòng)、真空管中電子的運(yùn)動(dòng)、原子內(nèi)部電子在兩個(gè)能級(jí)之間的躍遷、零點(diǎn)能等[5-8]. 通過(guò)對(duì)勢(shì)箱函數(shù)的研究，可以有效的說(shuō)明量子理論處理微觀體系的優(yōu)勢(shì)，在處理過(guò)程中獲得的信息可幫助了解原子、分子內(nèi)的電子等各種粒子的運(yùn)動(dòng).

N維勢(shì)箱函數(shù)及其特性的研究，在理論和應(yīng)用上都非常重要. 近幾年，隨著 MATLAB軟件的發(fā)展，運(yùn)用理論推導(dǎo)或者仿真模擬來(lái)研究勢(shì)箱函數(shù)及其特性取得了一些結(jié)果[7-10]，尤其是一維勢(shì)箱函數(shù)的研究. 雖然國(guó)內(nèi)外眾多團(tuán)隊(duì)對(duì)勢(shì)箱函數(shù)及其特性的研究較多，但二維及以上勢(shì)箱函數(shù)的特性更加復(fù)雜，在研究過(guò)程中存在理論方法描述困難、計(jì)算繁瑣和運(yùn)行時(shí)間過(guò)長(zhǎng)等一些客觀因素，因此二維及以上勢(shì)箱函數(shù)的研究很少，尤其是三維勢(shì)箱函數(shù)的研究存在很大空白. 另外，雖然一維到N維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)及其概率密度可由薛定諤方程給出低能級(jí)上的解析解，但其推導(dǎo)和結(jié)論的理解對(duì)初學(xué)者而言是個(gè)難點(diǎn). 基于此，本文運(yùn)用MATLAB軟件的數(shù)值計(jì)算和仿真功能，通過(guò)可視化研究,解決了勢(shì)箱函數(shù)在教學(xué)和科學(xué)研究方面的難題，尤其對(duì)于抽象性概念的理解具有重要意義，如簡(jiǎn)并度、概率密度等. 同時(shí)，也為用MATLAB數(shù)值計(jì)算和仿真解決其他問(wèn)題提供了案例. 因此，本文的研究思路和方法有一定的參考價(jià)值和借鑒作用，尤其是首次運(yùn)用MATLAB軟件得到了較為抽象的四維圖形.

1 理論模型與推導(dǎo)

1.1 一維勢(shì)箱函數(shù)及其特性

在一維空間里，質(zhì)量為μ的粒子在區(qū)間0

(1)

滿足上式條件的勢(shì)就稱為一維無(wú)限深勢(shì)阱，也就是一維勢(shì)箱模型. 一維勢(shì)箱模型是一個(gè)抽象模型，可用來(lái)描述微觀體系的基本運(yùn)動(dòng)，如平動(dòng). 其模型及其對(duì)應(yīng)的勢(shì)箱函數(shù)示意圖，如圖1所示.

模型圖 函數(shù)示意圖圖1 一維勢(shì)箱函數(shù)示意圖及其模型

對(duì)于一維勢(shì)箱，阱內(nèi)(0

(2)

通過(guò)一系列簡(jiǎn)化及求解，并利用歸一化條件，得到一維勢(shì)箱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為

(3)

對(duì)應(yīng)的體系能量為

(4)

式中n表示的是量子數(shù)，n=1,2,3,….當(dāng)n=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的E1是粒子的基態(tài)，當(dāng)n>1時(shí)對(duì)應(yīng)的是粒子的激發(fā)態(tài). 同時(shí)，粒子在箱外出現(xiàn)的概率為零，則在箱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率的總和滿足歸一化條件：

(5)

1.2 二維勢(shì)箱函數(shù)及其特性

二維勢(shì)箱中，粒子在其中的運(yùn)動(dòng)滿足薛定諤方程，其表述為

(6)

通過(guò)分離變量法求解，得到了二維勢(shì)箱波函數(shù)及其能級(jí)，分別為：

(7)

(8)

1.3 量子力學(xué)中的三維勢(shì)箱函數(shù)

三維勢(shì)箱中，粒子滿足的的薛定諤方程為

(9)

利用分離變量法，得到了三維勢(shì)箱波函數(shù)及其能級(jí)，分別為：

(10)

(11)

2 仿真結(jié)果與討論

2.1 一維勢(shì)箱函數(shù)的MATLAB數(shù)值仿真

根據(jù)一維勢(shì)箱函數(shù)波函數(shù)的理論公式，運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與仿真，繪制了不同能級(jí)下一維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)圖像，得到了勢(shì)箱函數(shù)的8個(gè)本征波函數(shù)圖和8個(gè)對(duì)應(yīng)的概率密度圖，如圖2所示.

圖2 不同能級(jí)下一維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)和概率密度

另外，根據(jù)能級(jí)公式，我們也得到了長(zhǎng)度為a的一維勢(shì)箱函數(shù)的能級(jí)圖，如圖3所示.

圖3 一維勢(shì)箱函數(shù)的能級(jí)圖

從圖2和圖3我們可以看到：一維勢(shì)箱中粒子的能量是量子化的、不連續(xù)的；量子數(shù)n不能為零，且n越大對(duì)應(yīng)的能級(jí)越高，質(zhì)量m越大，對(duì)應(yīng)的能級(jí)越低；在一定的條件下，a越大(粒子運(yùn)動(dòng)范圍越大)，對(duì)應(yīng)的能級(jí)越低；節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1，節(jié)點(diǎn)越多，波長(zhǎng)越短，頻率越高，能級(jí)越高. 另外，圖形顯示這種可視化的結(jié)果與理論結(jié)果完全符合.

2.2 二維勢(shì)箱函數(shù)的MATLAB 數(shù)值仿真

根據(jù)式(7)，取a=b=2，運(yùn)用MATLAB軟件得到了9種情況下二維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)及其等值線圖，如圖4所示.

圖4 不同的nx、ny對(duì)應(yīng)的二維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)及其等值線分布

另外，結(jié)合圖4，利用波函數(shù)的理論公式，還得到二維勢(shì)箱函數(shù)的概率密度圖及其偽真彩圖，如圖5所示.

圖5 不同的nx、ny值對(duì)應(yīng)的波函數(shù)概率密度及其偽真彩圖

通過(guò)可視化的仿真圖，我們可以得到：二維勢(shì)箱函數(shù)的峰值的個(gè)數(shù)為nx×ny，且波函數(shù)與Ψ=0平面的交線數(shù)也為nx×ny；而且二維勢(shì)箱函數(shù)的概率密度分布的極大值個(gè)數(shù)也為nx×ny. 一般情況下，普通的二維勢(shì)箱模型下的微觀粒子的簡(jiǎn)并度是不確定的. 但對(duì)于二維正方勢(shì)箱函數(shù)模型，其箱內(nèi)微觀粒子的能級(jí)簡(jiǎn)并度分為2種情況：1) 一般情況：nx=ny時(shí)，粒子無(wú)簡(jiǎn)并；nx≠ny時(shí)，粒子二度簡(jiǎn)并; 2) 特殊情況：粒子可能是更高度簡(jiǎn)并，如nx=10、5，11、2，對(duì)應(yīng)的ny=5、10，2、11時(shí)，粒子的簡(jiǎn)并度是四. 圖示結(jié)果和理論結(jié)果完全吻合.

2.3 三維勢(shì)箱函數(shù)的MATLAB數(shù)值仿真

根據(jù)式(10)，取a=b=c=2，運(yùn)用MATLAB軟件得到了4種情況下三維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)圖，如圖6所示的是三維勢(shì)箱函數(shù)的四維空間切片圖.

根據(jù)以上理論和圖形，發(fā)現(xiàn)三維勢(shì)箱函數(shù)的公式能夠反映出波函數(shù)的相關(guān)特性，且三維勢(shì)箱函數(shù)粒子的量子數(shù)分別為nx、ny、nz，則簡(jiǎn)并度為nx+ny+nz. 同時(shí)，借助MATLAB軟件的色彩實(shí)現(xiàn)了四維圖示表現(xiàn)，得到了4種情況下的三維勢(shì)箱函數(shù)的四維空間切片圖.

圖6 不同nx、ny、nz值對(duì)應(yīng)的三維勢(shì)箱函數(shù)四維空間切片圖

3 結(jié)論

勢(shì)箱函數(shù)作為量子理論的最簡(jiǎn)單、最重要模型之一，在實(shí)際生活中非常重要，是學(xué)習(xí)量子理論的基礎(chǔ)和入門. 本文通過(guò)量子理論系統(tǒng)、全面地研究了量子力學(xué)中N維勢(shì)箱函數(shù)的波函數(shù)、能級(jí)和概率密度. 最后，運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)勢(shì)箱函數(shù)的所有特性進(jìn)行了仿真模擬，進(jìn)行了可視化研究. 結(jié)果表明：一維到N維勢(shì)箱中，粒子的能量是量子化的、不連續(xù)的；量子數(shù)n不能為零，且n越大對(duì)應(yīng)的能級(jí)越高，質(zhì)量m越大，對(duì)應(yīng)的能級(jí)越低. 一般情況下，一維勢(shì)箱函數(shù)的長(zhǎng)度a越長(zhǎng)(粒子運(yùn)動(dòng)范圍越大)，對(duì)應(yīng)的能級(jí)越低；節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1，節(jié)點(diǎn)越多，波長(zhǎng)越短，頻率越高，能級(jí)越高. 二維勢(shì)箱函數(shù)峰值的個(gè)數(shù)為nx×ny，且波函數(shù)與Ψ=0平面的交線數(shù)也為nx×ny；概率密度分布的極大值個(gè)數(shù)也為nx×ny. 對(duì)于簡(jiǎn)并度，一般情況下，普通的二維勢(shì)箱模型下的微觀粒子的簡(jiǎn)并度是不確定的. 但對(duì)于二維正方勢(shì)箱函數(shù)模型，其箱內(nèi)微觀粒子的能級(jí)簡(jiǎn)并度分為2種情況：1)一般情況：nx=ny時(shí)，粒子無(wú)簡(jiǎn)并；nx≠ny時(shí)，粒子二度簡(jiǎn)并; 2)特殊情況：粒子可能是更高度簡(jiǎn)并，如nx=10、5，11、2，對(duì)應(yīng)的ny=5、10，2、11時(shí)，粒子四度簡(jiǎn)并. 三維勢(shì)箱函數(shù)粒子的能量量子數(shù)分別為nx、ny、nz，簡(jiǎn)并度為nx+ny+nz. 最后，借助MATLAB軟件的色彩實(shí)現(xiàn)了四維表現(xiàn)，得到了4種情況下的三維勢(shì)箱函數(shù)的四維空間切片圖.

本文的這種可視化研究,從理論方法之外解決了勢(shì)箱函數(shù)在教學(xué)和科學(xué)研究的難題，尤其對(duì)于抽象性概念的理解具有重要意義，如能級(jí)的量子化、簡(jiǎn)并度、概率密度等概念和公式. 同時(shí)，也為用MATLAB數(shù)值仿真解決其他問(wèn)題提供了案例. 因此，本文的研究思路和方法有一定的價(jià)值和借鑒作用，尤其是首次運(yùn)用MATLAB軟件得到了較為抽象的四維圖形.