方尤樂，王天驍

(北京大學(xué) 地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871 )

硬幣(或圓盤)模型是實際應(yīng)用中一類常見而重要的模型[1]．在以往的文獻中，硬幣的許多典型問題已經(jīng)得到了很好的解決，如圓盤在理想粗糙平面上的繞圈轉(zhuǎn)動問題[2]、滾動與轉(zhuǎn)動的穩(wěn)定性問題[2]、圓盤在一般平面上運動過程中的能量耗散問題[3]、各種摩擦耗散模型下的運動規(guī)律問題[4]等．但大多是基于拉格朗日力學(xué)方法分析運動模式，少有用普通物理的方法求解運動方程和給出直觀運動表述．文獻[2]中對硬幣的特殊運動模式下穩(wěn)定性問題進行了較為詳細的討論，但它對于不同運動問題采取了不同的分析方法．為了能給出系統(tǒng)性討論，本文分析了硬幣在空中、地面上、冰面上的運動情況，討論了硬幣穩(wěn)定繞圈運動過程中的微小章動問題，并將其結(jié)果用于分析特殊運動模式．本文還利用解得的一般方程對硬幣的運動進行了數(shù)值模擬，傾角隨時間變化圖像有助于更加透徹地理解硬幣的運動，并有助于認識其他運動規(guī)律．

1 模型與基本方程的建立

我們約定，一枚硬幣是質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤形剛體，厚度忽略不計，與實際情況有一點差異．硬幣的中心(也是質(zhì)心)為O．令I(lǐng)1為硬幣繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，I2為硬幣繞其一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量．那么有

圖1 硬幣坐標系

(1)

ω=ωr+Ω=

(2)

(3)

由硬幣的對稱性可知，x1、x2、x3三個坐標軸是硬幣的一組慣性主軸．因此在坐標系Ox1x2x3中，硬幣的慣性張量為

所以硬幣相對于O點的角動量為

LO=Iω=I2ω1i+I2ω2j+I1ω3k

(4)

角動量隨時間的變化率為

(5)

設(shè)硬幣在相對于隨O點做平動的參考系中的轉(zhuǎn)動動能為Ekr，則

(6)

2 在空中轉(zhuǎn)動

(7)

由于硬幣只受到豎直方向的外力，硬幣相對于O點的角動量在ez方向上的分量不變．設(shè)這一分量為b，由式 (1)、(3)、(4)可得

(8)

硬幣的轉(zhuǎn)動動能守恒，Ekr為常量．將式 (7)、(8)代入式 (6)，整理得關(guān)于θ的一維運動方程.

(9)

(10)

積分可得

(11)

(12)

(13)

從另一個角度分析這個問題可以得到更直觀的運動描述[5]．如圖2所示，在硬幣坐標系中畫出角動量與角速度矢量．由ω×LO在k方向上無分量可知，ω、LO、x3軸共面(圖中的陰影部分)．x3軸上所有點的瞬時速度在每時每刻都垂直于該平面，而LO在質(zhì)心平動參考系中是不變的矢量．所以x3繞LO的方向勻角速轉(zhuǎn)動，同時，硬幣繞自身的軸勻角速轉(zhuǎn)動，所以ω在x3軸上的投影ω3不隨時間變化．設(shè)LO與k的夾角為θ1，則由式 (4)可得

(14)

圖2 角動量與角速度矢量

為了求硬幣繞LO的進動角速度ωpr，應(yīng)利用平行四邊形法則將ω沿x3軸和LO的方向分解．其中第一個分量不會使x3軸移動，所以第二個分量就是ωpr，計算可得

(15)

3 在地面上轉(zhuǎn)動

硬幣在真實的地面上運動時可能會有滑動摩擦，導(dǎo)致復(fù)雜的難以分析的運動．這里假設(shè)地面的摩擦系數(shù)充分大，硬幣與地面之間不會產(chǎn)生相對滑動，即硬幣與地面的接觸點P為速度瞬心，并且不計滾動摩擦．下面先求解特殊運動問題，再求出一般的運動方程，最后再利用一般方程深入分析特殊運動模式．

3.1 繞圈轉(zhuǎn)動問題

圖3 繞圈轉(zhuǎn)動的正視圖

-rω3=Rωpr

(16)

將式 (2)中的變量替換為ωpr、ω3，得硬幣的轉(zhuǎn)動角速度的新表達式

ω=ωprcosθi+ω3k

(17)

M=-Ffrcosθ+FNrsinθ=

(18)

將式 (4)、式(17)整理可以得到LO的表達式．LO的豎直分量不隨時間變化，其水平分量為

L=-I1ω3cosθ+I2ωprcosθsinθ

(19)

Lωpr=M

(20)

將式 (16)、(18)、(19)代入式 (20)化簡，即可求出ωpr的表達式

(21)

現(xiàn)對摩擦系數(shù)及繞圈運動半徑的范圍進行定量分析．設(shè)桌面的最大靜摩擦系數(shù)為μ，則

所以，當(dāng) tanθ≤μ(1+I1/mr2) 時，繞圈運動的半徑R可以是任意值．當(dāng) tanθ>μ(1+I1/mr2時，R應(yīng)滿足以下關(guān)系式

(22)

再定性分析該運動的穩(wěn)定性．若傾角為θ的硬幣在做勻速繞圈運動時，突然給硬幣一個微小的擾動使它的進動角速度ωpr減小，此時摩擦力大小減小，合力矩增大，同時式(19)中角動量的水平分量L在減小，所以角動量水平方向的矢量轉(zhuǎn)動的角速度會超過ωpr，這導(dǎo)致在下一時刻，圖3中硬幣的角動量有垂直紙面向外的分量，導(dǎo)致θ增大，這將使得ωpr恢復(fù)甚至超過原來的大小. 所以可以猜測，在一定條件下硬幣的繞圈運動是穩(wěn)定的，在微擾后可能會發(fā)生章動．

3.2 一般問題

由于硬幣繞O的角速度為ω，O在絕對參考系下的速度為

(23)

由此可以計算O的加速度：

(24)

由質(zhì)心運動定理可求出P點受力

FP=maO-mg=

mαO+mgcosθi+mgsinθk

(25)

(26)

比較i方向上的分量可得

(27)

再列出硬幣的機械能守恒式:

mgrcosθ=E

(28)

式(28)兩邊對時間t求導(dǎo)，再將式 (26)、(27)代入整理得

(29)

式(26)、(27)、(29)及式(3)就是硬幣在摩擦因數(shù)充分大的水平面上運動的基本方程．經(jīng)過對照，它與文獻[2]中推導(dǎo)的基本方程是一致的．該方程難以求解，但可以利用它做數(shù)值模擬以發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，還可以利用它驗證一些特殊情況的運動方程．

再將式 (16)代入消去ω3，就求出了與式 (21)相同的ωpr的表達式．

3.3 繞圈轉(zhuǎn)動中的微小章動

圖4 繞圈轉(zhuǎn)動的計算機模擬圖像

在ωpr、ω3、θ符合式 (21)且滿足另一些條件時，硬幣會做穩(wěn)定的勻速繞圈運動．當(dāng)硬幣受到微擾時，就會產(chǎn)生微小的章動，θ在小范圍內(nèi)“振動”．這一節(jié)主要利用上一節(jié)求出的基本方程 (26)、(27)、(29)來求解微小章動的周期及穩(wěn)定的條件．這里定義θ從極小值處隨時間增大，后又隨時間減小到極小值的過程為一個章動周期．

由式(26)、(27)可得

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

-k(θ-θ0)+o(θ-θ0)

因此，當(dāng)k>0 時，繞圈半徑為R，傾角為θ0的運動是穩(wěn)定的．若對其做小擾動，則將發(fā)生微小章動，周期為

(35)

其中k是有關(guān)R、θ0、m、r的常量，表達式為式(34)．將5.1節(jié)的硬幣數(shù)據(jù)代入 式(34)后，可得到與文獻[4]的式(5.22)類似的結(jié)果．

3.4 一些特殊的運動模式

利用上一節(jié)的結(jié)果可以分析一些特殊的運動模式的穩(wěn)定性．例如當(dāng)硬幣在做定點轉(zhuǎn)動時，當(dāng)轉(zhuǎn)速較高時，硬幣可以保持近似垂直且穩(wěn)定不倒．此時可以看成θ0≈0,R≈0 的繞圈運動，所以 式(34)近似為

因此，為了使硬幣的橫向轉(zhuǎn)動處于穩(wěn)定狀態(tài)，轉(zhuǎn)動角速度需滿足

(36)

這表明，以同樣的角速度轉(zhuǎn)動時，硬幣的半徑越大，轉(zhuǎn)動越穩(wěn)定．

我們用計算機程序?qū)τ矌诺臋M向轉(zhuǎn)動進行了數(shù)值模擬，并在開始時對硬幣的狀態(tài)進行微擾．利用5.1節(jié)中的硬幣數(shù)據(jù)，式(36)的計算結(jié)果為 |ωpr|>25.3 s-1．圖5中繪制了以4種角速度進行定點轉(zhuǎn)動的硬幣的θ關(guān)于時間的圖像，可見當(dāng)ωpr滿足條件時，θ能在某一個極小的范圍內(nèi)“振動”，所以是穩(wěn)定的．圖線的形狀近似于簡諧波，其周期與 式(34)、(35)的結(jié)果是一致的．

圖5 硬幣定點轉(zhuǎn)動時傾角關(guān)于時間的圖像(ωpr>25.3s-1)

圖6顯示了當(dāng) |ωpr|<25.3s-1時θ的變化圖像．可見當(dāng)ωpr小于 25.3s-1時，θ將大幅擺動，且隨著ωpr的減小，擺動幅度增大，趨向于π/2．從圖中還可以觀察到新的規(guī)律，傾角θ雖然不會在 0 附近穩(wěn)定振動，但仍存在周期性的變化，且周期隨著ωpr的減小而減小；傾角過極小值點后一段時間突然增大，到了極大值點后又突然“反彈”．這種周期性變化可以由能量守恒以及系統(tǒng)的時間反演不變性解釋．這種現(xiàn)象也在實驗過程中出現(xiàn)，但由于有能量損失，所以實驗中周期性變化幅度逐漸減?。?/p>

圖6 硬幣定點轉(zhuǎn)動時傾角關(guān)于時間的圖像(ωpr較小)

因此，為了使硬幣沿直線滾動處于穩(wěn)定狀態(tài)，滾動角速度需滿足：

(37)

我們也對這種情況進行了數(shù)值模擬，在不同的滾動角速度下，硬幣的θ關(guān)于時間的圖像如圖7和圖8所示．(37)式的計算結(jié)果為 |ω3|>16.3s-1，這與圖像的結(jié)果是一致的．當(dāng) |ω3|<16.3s-1時，硬幣的傾角將產(chǎn)生大幅度地擺動，且呈周期性變化，而此時硬幣不再沿直線滾動．

圖7 硬幣滾動時傾角關(guān)于時間的圖像(ω3>16.3s-1)

圖8 硬幣滾動時傾角關(guān)于時間的圖像(ω3較小)

從圖7中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) |ω3|>16.3s-1時,對于相同的 |ω3|，微小章動的周期是相同的，與初始的擾動無關(guān)．經(jīng)檢驗，章動的周期恰好符合 (34)(35)式推出的結(jié)果．

4 在冰面上轉(zhuǎn)動

這里假設(shè)冰面是理想光滑的平面，則硬幣在運動過程中受到重力以及冰面對它的支持力．由質(zhì)心系的牛頓第二定律，硬幣的質(zhì)心在水平方向上的運動速度為恒定的vxy．考察同樣以vxy運動的參考系，在此參考系中，硬幣質(zhì)心只做豎直方向上的運動，速度和加速度分別為

(38)

(39)

由質(zhì)心運動定理，硬幣在P點受到了向上的支持力FN=-mg+maO，由此可以計算力矩：

(40)

(41)

由于硬幣只受到豎直方向的外力，硬幣相對于O點的角動量的在ez方向上的分量不變. 設(shè)這一分量為b，則

I2ω1cosθ+I1ω3sinθ=b,

(42)

最后，由 (6)(38)式整理得能量守恒方程，設(shè)總能量為E，并將 (3)(41)式代入化簡，

E-mgrcosθ

(43)

聯(lián)立 (42)(43)式，消元后可得關(guān)于θ的一維運動方程．在解出θ(t) 后，就可以依次代入 (41)(42)式解出φ(t)、ψ(t)．

(44)

(45)

(46)

5 數(shù)值模擬

5.1 硬幣數(shù)據(jù)

我們使用的是第五套人民幣一元硬幣的數(shù)據(jù)：

半徑為r=12.5 mm．厚度為 1.85 mm(忽略不計)．質(zhì)量為m=6.1 g．計算可得I1=4.8×10-7kg·m2，I2=I1/2=2.4×10-7kg·m2．

5.2 數(shù)值模擬方法

6 總結(jié)：

本文采用普通物理的分析方法，推導(dǎo)了硬幣在3種環(huán)境下的一般運動方程，得到了硬幣進行繞圈運動所需滿足的條件，并進行了定性分析．在硬幣繞圈運動問題中，推導(dǎo)了穩(wěn)定運動的條件以及硬幣做微小章動的周期，進而分析了硬幣做定點轉(zhuǎn)動和沿直線滾動的穩(wěn)定性問題，最后用數(shù)值模擬的方法將這兩種運動可視化，驗證舊結(jié)論，并探索新規(guī)律．

致謝：本文撰寫過程中得到了北京大學(xué)物理學(xué)院張國輝教授的熱情指導(dǎo)，在此表示衷心感謝．