王緒碩，陳青山，夏潤秋

(北京信息科技大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

精密指向組件是對光束方向進行精確控制的一種高度集成的精密光學(xué)部件，具有速度快、精度高、體積小、重量輕等特點，廣泛應(yīng)用于激光通信、圖像精密跟蹤、激光武器等領(lǐng)域[1-2]。目前，精密指向組件正朝著高帶寬、大轉(zhuǎn)角范圍的方向發(fā)展。

精密指向組件是高階系統(tǒng)，其控制方式主要是優(yōu)化的PID控制。PID參數(shù)主要通過人工試湊的方法來實現(xiàn)，效率低下且難以達成最優(yōu)控制[3-4]。而且精密指向組件在工作過程中受環(huán)境溫度變化、周圍環(huán)境振動等影響，其特性可能會發(fā)生改變，增加人工整定的難度。而自整定算法就是對PID參數(shù)進行自動整定的一種技術(shù)，可以提高參數(shù)整定效率?；诰苤赶蚪M件的自整定技術(shù)的研究具有重要的意義[5]。

目前，常用的自整定算法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、模糊控制算法、遺傳算法等。繼電反饋算法也是一種自整定算法，不需要系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[6]，只需要得到系統(tǒng)極限環(huán)振蕩下的臨界信息，即可整定出PID參數(shù)。Astrom等[7-8]提出繼電反饋算法，Luyben等[9]通過理想繼電整定與關(guān)鍵點的幅相關(guān)系改進了經(jīng)驗整定公式，但這種方法忽略了高次諧波，存在一定的誤差。Yu[10]提出了一種飽和繼電反饋實驗的方法，減小了因只考慮一次諧波而產(chǎn)生的誤差。此外，還有帶滯環(huán)的繼電反饋控制克服測量噪聲的影響，帶附加環(huán)節(jié)的繼電反饋控制使得其應(yīng)用范圍更加廣泛等。

繼電反饋自整定技術(shù)研究雖然發(fā)展迅速，但多為基于理論的研究或進行仿真的分析，很少應(yīng)用于實際的控制系統(tǒng)[11]。在實際的控制過程中，由于對控制系統(tǒng)的要求不同，需要對整定公式進行調(diào)整,這是很多研究沒有關(guān)注的[12]。

本文提出了一種改進型繼電反饋自整定算法，附加積分環(huán)節(jié)，并對整定公式進行改進。以精密指向組件為研究對象，自動整定出PID參數(shù)，實現(xiàn)精密指向組件的優(yōu)化控制。

1 精密指向組件基本構(gòu)成和系統(tǒng)模型

精密指向組件由執(zhí)行機構(gòu)、支撐機構(gòu)、反饋部件等組成[13]。精密指向組件有壓電陶瓷驅(qū)動和音圈電機驅(qū)動兩大類，本文采用音圈電機作為執(zhí)行機構(gòu)。音圈電機是一種特殊形式的直流驅(qū)動電機，具有結(jié)構(gòu)簡單、體積小、響應(yīng)速度快等特性。音圈電機結(jié)構(gòu)如圖1所示。

若要對精密指向組件的控制參數(shù)自整定進行研究，首先需要建立其精確的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出傳遞函數(shù)。線圈回路的動態(tài)電壓平衡方程式為

(1)

式中：U為音圈電機線圈兩端電壓；E為電動勢；L為線圈在磁場中的長度；I為線圈上電流大?。籖為線圈電阻，L為電感。建立音圈電機的動力學(xué)模型：

G1(x)=

(2)

式中：Km為電機力矩系數(shù)；Ke為電機反電動勢系數(shù)；mc為音圈電機動子質(zhì)量；c為等效阻尼系數(shù)；k為彈性系數(shù)。

精密指向組件模型如圖2所示，其力矩平衡方程式為

圖2 精密指向組件結(jié)構(gòu)模型

(3)

式中：M為力矩；J為反射鏡轉(zhuǎn)動慣量；θ為偏轉(zhuǎn)角度；K為柔性支承軸向扭轉(zhuǎn)剛度；x為力作用點到轉(zhuǎn)軸的距離。

由此可得精密指向組件偏轉(zhuǎn)角度與控制力矩之間的傳遞函數(shù)為

(4)

其中：

由式(2)、(4)可得精密指向組件開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=

(5)

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

Φ(s)=

(6)

由其傳遞函數(shù)可知，精密指向組件是一個三階系統(tǒng)。實際用到的精密指向組件實物如圖3所示。其閉環(huán)帶寬為300 Hz，轉(zhuǎn)角范圍為±2 000″，分辨率為1 μrad，口徑為76 mm，負(fù)載為55 g，其傳遞函數(shù)為

圖3 精密指向組件實物

G(s)=

(7)

2 控制參數(shù)自整定

2.1 傳統(tǒng)繼電反饋自整定

傳統(tǒng)的繼電反饋自整定算法結(jié)構(gòu)如圖4所示，其包含調(diào)節(jié)模式和整定模式兩個過程，在整定模式下，給定一個目標(biāo)值和繼電器幅值d，閉環(huán)系統(tǒng)在繼電器的非線性環(huán)節(jié)作用下做周期振蕩運動，根據(jù)其振蕩曲線求出系統(tǒng)的臨界信息Ku、Tu，再根據(jù)整定公式，整定出系統(tǒng)的PID參數(shù)。然后，開關(guān)切換到調(diào)節(jié)模式，將整定出的PID參數(shù)寫入PID控制器，實現(xiàn)PID控制。

圖4 傳統(tǒng)繼電反饋自整定示意

2.2 改進型繼電反饋自整定

傳統(tǒng)的繼電反饋自整定技術(shù)適用于被控對象在高頻處具有至少-π的相位滯后的系統(tǒng)，對于一些高階系統(tǒng)則不適用，而精密指向組件就是一種典型的高階系統(tǒng)。為了擴大繼電反饋自整定算法的適用范圍，在被控對象的前面串聯(lián)一個積分環(huán)節(jié)1/s，如圖5所示。

圖5 改進型繼電反饋自整定示意

改進后，相當(dāng)于將被控對象人為地滯后一定的時間，被控對象只需要具有至少-π/2的相位滯后，就可以產(chǎn)生極限環(huán)振蕩[14]。

繼電反饋自整定的關(guān)鍵在于要使系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，用描述函數(shù)法來確定系統(tǒng)的臨界增益Ku以及臨界周期Tu。根據(jù)繼電特性，其描述函數(shù)為

(8)

式中：ε為滯環(huán)寬度；a為振蕩幅值；d為繼電輸出的幅值。當(dāng)ε=0時，式(8)可以簡化為

(9)

設(shè)振蕩能源為w0,

(10)

由于理想繼電的描述函數(shù)與實軸負(fù)實部重合，所以：

(11)

整定過程中，被控系統(tǒng)的運動曲線如圖6所示，其中

圖6 被控系統(tǒng)運動曲線

a=y1-y2，Tu=t2-t1

(12)

PID參數(shù)決定著系統(tǒng)的穩(wěn)定性，PID作用過程Nyquist圖如圖7所示，圖7中Im指復(fù)數(shù)的虛部，Re指實部。P值可以使系統(tǒng)Nyquist圖上的一點A沿著曲線徑向移動，I和D值使得A點垂直于徑向移動。最終使A點移動到同時滿足幅值裕度和相位裕度的位置。

圖7 PID作用過程Nyquist圖

設(shè)控制器的結(jié)構(gòu)形式為：

(13)

(14)

(15)

則有下列關(guān)系：

Kp=KusinΦm/Am，Ti=αTd

(16)

Astrom和Haggland推薦的幅值裕度為2～5，相角裕度為30～60°,α一般取4。

控制參數(shù)自動整定流程如圖8所示。在上位機整定工具包中選擇整定模式，設(shè)定反射鏡偏轉(zhuǎn)角度和繼電幅值。點擊自整定按鈕，上位機可以計算出PID參數(shù)并將其寫入控制器中。切換到調(diào)節(jié)模式，即可實現(xiàn)PID控制。若控制效果不理想，則可切換到整定模式重新整定。

圖8 自整定流程

3 可行性驗證

為了驗證自整定算法的可行性，采用Matlab軟件，建立精密指向組件的數(shù)學(xué)模型，并搭建改進型繼電反饋自整定算法。目標(biāo)θ值隨機取10″，繼電輸出d=4 V，系統(tǒng)產(chǎn)生可以極限環(huán)振蕩，振蕩曲線如圖9所示。

圖9 極限振蕩曲線

根據(jù)Matlab儲存的系統(tǒng)振蕩曲線(圖9)的數(shù)據(jù)，求出a=2.550，Tu=4.463 s,則Ku=1.997。幅值裕度Am取3.5，相位裕度Φm取45°，α=4，則根據(jù)式(16)可以得到的PID參數(shù)為：Kp=0.399,Ti=0.589,Td=0.147。為了適應(yīng)精密指向組件高帶寬、低超調(diào)量的要求，對式(16)進行改進，提高比例和積分系數(shù)提高速度，增大微分系數(shù)減少超調(diào)，改進后的PID參數(shù)與臨界信息的關(guān)系如表1所示。由此可以得到改進后的PID參數(shù)為：Kp=0.679,Ti=1.589,Td=0.544。將得到的PID參數(shù)寫入控制器中，得到平滑的階躍響應(yīng)曲線如圖10和圖11所示。

表1 改進型PID參數(shù)與臨界信息的關(guān)系

圖10 原始公式階躍響應(yīng)曲線

圖11 改進公式階躍響應(yīng)曲線

從圖中可以看出，改進的繼電反饋自整定算法應(yīng)用在三階系統(tǒng)中，可以使系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)振蕩，驗證了該算法的可行性，且上升時間相較原始整定方法得到的結(jié)果，減少了30 ms。

4 整定過程及實驗結(jié)果

為了對自整定算法的準(zhǔn)確性進行驗證，搭建實際的測試系統(tǒng)，如圖12所示。

圖12 測試系統(tǒng)

設(shè)計上位機整定工具包，建立精密指向組件控制板與上位機之間的串行通信。電渦流傳感器將反射鏡的位置信息反饋給控制板，控制板通過串口將該位置信息傳遞給上位機。

上位機中，設(shè)定反射鏡偏轉(zhuǎn)角度為100″，繼電環(huán)節(jié)輸出幅值為6 V。點擊自整定按鈕，上位機可以自動計算出PID參數(shù)并將其寫入控制器中。切換到調(diào)節(jié)模式，即可實現(xiàn)PID控制。

實驗得到的反射鏡振蕩曲線如圖13所示。

圖13 反射鏡振蕩曲線

上位機軟件顯示的振蕩曲線得出幅值a=4.12，計算臨界增益Ku=1.855，臨界周期Tu=0.008 3 s，在上位機軟件中，根據(jù)表1整定規(guī)則，計算出PID參數(shù)如表2所示。

表2 三種整定方法PID參數(shù)

將PID參數(shù)寫入控制器中，得到改進型算法階躍曲線、原始整定階躍曲線、人工整定階躍曲線如圖14所示。

圖14 三種方法階躍響應(yīng)曲線對比

對3種方法所得階躍響應(yīng)曲線的上升時間、穩(wěn)定時間、超調(diào)量等數(shù)據(jù)進行對比，如表3所示。

表3 三種整定方法數(shù)據(jù)對比

由表4可以看出，人工整定得到的階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量小，上升時間和穩(wěn)定時間都較短，但是整定過程花費了較多時間，效率低下，難以適應(yīng)大批量生產(chǎn)。原始整定的結(jié)果超調(diào)量較大，上升時間和穩(wěn)定時間都較長，難以滿足精密指向組件高帶寬的要求。而本文設(shè)計的上位機整定工具包可以自動整定出PID參數(shù)并將其寫入控制器中，得到的階躍響應(yīng)曲線上升時間明顯減小，且超調(diào)量更小，曲線更平穩(wěn)。

上述實驗是在光學(xué)平臺上進行的，工作環(huán)境穩(wěn)定。為了對改進型繼電反饋自整定算法的抗干擾和自適應(yīng)能力進行驗證，在振動平臺上模擬高速公路振動環(huán)境，如圖15所示。

圖15 振動環(huán)境測試

實驗后，得到正常環(huán)境與振動環(huán)境下階躍響應(yīng)曲線如圖16所示。

圖16 兩種環(huán)境下階躍曲線

振動環(huán)境下，階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量為10%，上升時間為5.1 ms；正常環(huán)境下，階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量為9%，上升時間為4.9 ms。兩組數(shù)據(jù)實驗結(jié)果極其接近，表明改進型繼電反饋自整定算法具有較強的抗干擾能力。

5 結(jié)束語

針對精密指向組件，依據(jù)繼電反饋理論，對自整定算法進行研究，并對整定公式進行改進。推導(dǎo)精密指向組件傳遞函數(shù)，建立改進型繼電反饋自整定算法的模型并搭建實際的精密指向組件系統(tǒng)。設(shè)計上位機整定工具包進行實驗，結(jié)果表明：與原始的整定算法相比，改進型自整定算法超調(diào)量更小，響應(yīng)速度更快。