羅 玲，李 桐，劉雪梅，王 博

(1.新疆大學(xué) 建筑工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047；2.新疆土木工程技術(shù)研究中心，新疆 烏魯木齊 830047)

0 引言

分形幾何學(xué)使用分?jǐn)?shù)維來刻畫分形集的復(fù)雜性[1]，與傳統(tǒng)歐氏幾何學(xué)的一維、二維及三維描述事物有所不同，分形維數(shù)越大，被描述對(duì)象越不規(guī)則越復(fù)雜。對(duì)于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，其表面裂縫的發(fā)育情況直接影響建筑結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能[2]。目前，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)混凝土表面裂縫進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[3]研究了鋼筋銹蝕對(duì)混凝土裂紋的產(chǎn)生及發(fā)展的影響，通過多向布筋改變了裂縫的發(fā)展方向。文獻(xiàn)[4]研究了不同種類不同尺寸纖維對(duì)鋼筋混凝土梁的抗剪性能影響及梁表面裂縫形態(tài)的發(fā)展規(guī)律。文獻(xiàn)[5]進(jìn)行了配筋混凝土單軸拉伸試驗(yàn)，研究了配筋參數(shù)及保護(hù)層厚度對(duì)混凝土裂縫寬度及間距的影響。但利用傳統(tǒng)的力學(xué)分析手段很難對(duì)混凝土裂縫損傷進(jìn)行精確判斷。目前，許多學(xué)者開始利用分形理論來定量描述混凝土表面裂縫的擴(kuò)展路徑以及發(fā)育情況。文獻(xiàn)[6-7]運(yùn)用分形理論對(duì)無腹筋混凝土梁受剪性能進(jìn)行定量描述，探討了剪跨、配筋率等指標(biāo)對(duì)分形維數(shù)的影響。文獻(xiàn)[8]對(duì)混凝土斷裂表面的研究表明，混凝土表面粗糙度與分形維數(shù)之間存在相關(guān)性。文獻(xiàn)[9]研究了新型膠凝復(fù)合材料力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)裂縫路徑的分形維數(shù)越大，斷裂能越高。文獻(xiàn)[10]利用立方體覆蓋法計(jì)算混凝土斷面分形維數(shù)來分析混凝土斷面的粗糙程度。文獻(xiàn)[11]將分形理論引入混凝土損傷本構(gòu)模型中，提出了鋼筋混凝土梁的抗彎計(jì)算方法。文獻(xiàn)[12]以體積摻量以及配筋率為變量進(jìn)行受彎試驗(yàn)，驗(yàn)證了玄武巖筋廢舊鋼纖維混凝土梁表面裂縫的分形特征。

目前，國內(nèi)外對(duì)于纖維混凝土已有大量的基礎(chǔ)性研究[13-16]，但沙漠砂混凝土(desert sand concrete，DSC)由于較差的力學(xué)性能與工作性能[17]，因而對(duì)其研究較少。本文以沙漠砂替代率、纖維摻量及纖維混雜比為變量制作9根深梁，利用分形理論對(duì)構(gòu)件加載全過程中產(chǎn)生的表面裂縫進(jìn)行定量分析，引入損傷變量研究構(gòu)件裂縫與損傷變量之間的關(guān)系，分析了混雜纖維深梁在剪切破壞下的裂縫發(fā)展趨勢(shì)及裂紋分布規(guī)律，研究了混雜纖維梁表面裂縫分形維數(shù)與分級(jí)荷載、極限荷載、跨中撓度、損傷變量之間的關(guān)系。

1 試驗(yàn)概況

1.1 試驗(yàn)原材料及配合比

本次試驗(yàn)所用水泥為烏魯木齊天山水泥廠生產(chǎn)的P·O42.5R普通硅酸鹽水泥，采用短切型玄武巖纖維、聚乙烯醇纖維，長(zhǎng)度均為12 mm，纖維性能指標(biāo)見表1。采用烏魯木齊本地中粗砂，細(xì)度模數(shù)2.97，粗骨料為天然卵石，直徑5～30 mm，級(jí)配良好。沙漠砂取自新疆塔克拉瑪干沙漠，平均粒徑0.963 mm，細(xì)度模數(shù)0.855，化學(xué)成分見表2。采用烏魯木齊中建西部建設(shè)公司的Ⅱ級(jí)粉煤灰。減水劑為聚羧酸型高性能減水劑，減水率為37%。根據(jù)本團(tuán)隊(duì)前期研究成果[18]，選取沙漠砂摻量20%，基體混凝土強(qiáng)度C40，配合比見表3。

表1 纖維性能指標(biāo)

表2 塔克拉瑪干沙漠砂化學(xué)成分 %

表3 沙漠砂混凝土基體配合比 kg/m3

圖1 深梁尺寸及配筋圖

1.2 試驗(yàn)方案

試驗(yàn)共制作9根深梁，根據(jù)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[19]設(shè)計(jì)深梁尺寸為1 800 mm×200 mm×500 mm。深梁底部縱筋為6根直徑16 mm的HRB400鋼筋，梁腹不設(shè)架立筋及箍筋，支座外設(shè)兩根箍筋，深梁尺寸及配筋見圖1。纖維體積摻量為0.05%、0.10%、0.15%，混雜比為2∶1、1∶1、1∶2。各試驗(yàn)梁試驗(yàn)參數(shù)如表4所示。表4中，PT為普通混凝土深梁，DSC為沙漠砂混凝土深梁，B為單摻玄武巖纖維深梁，P為單摻聚乙烯醇纖維深梁，BP為摻玄武巖-聚乙烯醇混雜纖維深梁。

表4 試驗(yàn)梁試驗(yàn)參數(shù)

1.3 試驗(yàn)加載

試驗(yàn)梁采用位移控制方式進(jìn)行加載，以0.1 mm/min速率進(jìn)行單調(diào)靜力加載。試驗(yàn)梁加載裝置如圖2所示。在正式試驗(yàn)前，先對(duì)深梁進(jìn)行預(yù)加載以檢查儀器設(shè)備的正常工作情況并進(jìn)行相關(guān)的調(diào)整，調(diào)整完成后卸載并將測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)置零以準(zhǔn)備正式加載。

圖2 試驗(yàn)梁加載裝置圖

2 裂縫分形特征

2.1 分形維數(shù)計(jì)算

繪制各試驗(yàn)梁在破壞狀態(tài)下的裂縫圖并利用分形維數(shù)計(jì)算中的盒計(jì)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算。利用網(wǎng)格邊長(zhǎng)為r×r正方形網(wǎng)格覆蓋梁裂縫分布區(qū)域，記N(r)為覆蓋住裂縫的網(wǎng)格數(shù)目。隨后改變網(wǎng)格邊長(zhǎng)r的長(zhǎng)度以統(tǒng)計(jì)lnN(r)，直至r趨近于零。統(tǒng)計(jì)各尺寸網(wǎng)格的數(shù)據(jù)并擬合繪制lnN(r)-ln(1/r)圖像，若所得曲線具有線性關(guān)系，則裂縫具有分形特征，斜率即分形維數(shù)，記為B。

(1)

其中：B為分形維數(shù)；r為網(wǎng)格尺寸；N(r)為覆蓋住裂縫的網(wǎng)格數(shù)目。為防止網(wǎng)格邊長(zhǎng)取值過小使裂縫失去被覆分形性而不具備解析性，根據(jù)文獻(xiàn)[20]的研究，確定網(wǎng)格最小尺寸為最大骨料粒徑，最大尺寸為平均裂縫間距。故本試驗(yàn)選定網(wǎng)格邊長(zhǎng)為30～130 mm，尺寸間隔10 mm。

2.2 深梁表面裂縫分形特征

以試驗(yàn)梁BP-1∶2-0.10為例，加載初期試驗(yàn)梁所受荷載較小，受彎區(qū)混凝土尚未開裂，試驗(yàn)梁主要以彈性變形為主，內(nèi)部不斷積蓄彈性勢(shì)能。荷載加載至300 kN附近，此時(shí)試驗(yàn)梁達(dá)到開裂荷載，試驗(yàn)梁純彎段底部混凝土達(dá)到極限強(qiáng)度，開始出現(xiàn)細(xì)微的豎直裂縫，裂縫寬度一般為0.02～ 0.05 mm，如圖3a所示。在開裂初期，試驗(yàn)梁表面裂縫發(fā)展主要為裂縫的延伸及新裂縫的出現(xiàn)，而裂縫寬度的增長(zhǎng)較為緩慢。此階段試驗(yàn)梁所積攢的彈性勢(shì)能釋放完全后，試驗(yàn)梁隨荷載增大而進(jìn)入塑性階段。此時(shí)，試驗(yàn)梁的變形速率較開裂初期要慢，試驗(yàn)梁表面裂縫進(jìn)入穩(wěn)定發(fā)展階段，如圖3b所示。當(dāng)試驗(yàn)梁加載至500 kN時(shí)，試驗(yàn)梁表面裂縫進(jìn)入迅速發(fā)展階段。剪壓區(qū)混凝土達(dá)到開裂荷載，在左支座上方出現(xiàn)數(shù)條斜裂縫，并迅速向試驗(yàn)梁頂部及底部延伸并發(fā)展成貫穿裂縫。純彎段及彎剪段雖仍不斷有新裂縫產(chǎn)生，但主要表現(xiàn)為裂縫的延伸及裂縫寬度的擴(kuò)展。此階段試驗(yàn)梁表面裂縫復(fù)雜程度較高，裂縫開展圖如圖3c所示。試驗(yàn)梁繼續(xù)加載，剪壓區(qū)斜裂縫充分發(fā)展，裂縫寬度達(dá)1.1 mm。純彎段裂縫只有少量延伸，裂縫高度在梁高1/3～2/3處。當(dāng)試驗(yàn)梁加載至900 kN附近時(shí)，加載點(diǎn)邊緣混凝土發(fā)生輕微壓碎，并不斷出現(xiàn)纖維拉斷聲響。同時(shí)，主斜裂縫發(fā)展至最大寬度時(shí)伴隨著一聲悶響，剪切段發(fā)生滑移，試驗(yàn)梁無法繼續(xù)承受荷載進(jìn)而試驗(yàn)結(jié)束，試驗(yàn)梁剪切破壞裂縫圖如圖3d所示。

(a) 初裂階段

圖4 各級(jí)荷載下BP-1∶2-0.1試驗(yàn)梁lnN(r)-ln(1/r)曲線

由圖3可以看出：受剪試驗(yàn)梁在荷載作用下梁表面裂縫不斷延伸擴(kuò)展，裂縫形狀隨荷載的增大而不斷趨于復(fù)雜曲折。利用Fractalfox軟件統(tǒng)計(jì)并擬合試驗(yàn)梁各荷載等級(jí)作用下的lnN(r)-ln (1/r)曲線，如圖4所示。由圖4可看出：試驗(yàn)梁表面裂縫擬合曲線具有良好的線性相關(guān)性，擬合系數(shù)為0.872～0.985。并且隨荷載的增大，試驗(yàn)梁分形維數(shù)也隨之增大，與圖3所描述的實(shí)際試驗(yàn)過程中深梁表面裂縫發(fā)展趨勢(shì)一致，說明裂縫分形維數(shù)可準(zhǔn)確描述深梁表面裂縫的演化趨勢(shì)。各試驗(yàn)梁裂縫分形維數(shù)變化見表5。

表5 各級(jí)荷載下試驗(yàn)梁表面裂縫分形維數(shù)

3 分形與荷載關(guān)系

3.1 分形維數(shù)與分級(jí)荷載

深梁裂縫分形維數(shù)隨荷載變化情況見圖5。由圖5a可看出：沙漠砂混凝土深梁(DSC)加載后期的分形維數(shù)明顯低于普通混凝土深梁(PT)，但極限荷載最低，裂縫并未充分發(fā)展即破壞。如圖5b所示，對(duì)比不同種類纖維構(gòu)件，混雜纖維深梁(BP-1∶1-0.1)分形維數(shù)明顯高于兩種單摻纖維深梁，在抑制裂縫發(fā)展方面，B-P混雜纖維表現(xiàn)為負(fù)混雜效應(yīng)。由于相較于玄武巖纖維，聚乙烯醇纖維彈性模量較小，在荷載作用下先于玄武巖纖維達(dá)到極限拉伸強(qiáng)度而破壞。如圖5c所示，對(duì)比不同纖維混雜比組，對(duì)構(gòu)件裂縫發(fā)展抑制作用最有效組為BP-2∶1-0.1深梁，其次為BP-1∶2-0.1深梁和BP-1∶1-0.1深梁。如圖5d所示，在不同纖維體積摻量下，深梁荷載-分形維數(shù)曲線相近，曲線差異性不夠明顯，說明纖維體積摻量對(duì)抑制深梁表面的裂縫發(fā)展影響較小。

基于圖5分形維數(shù)-分級(jí)荷載曲線進(jìn)行擬合，得到以下關(guān)系式：

B=a-bln(F+c)，

(2)

其中：a、b、c均為參數(shù)；F為荷載。深梁分形維數(shù)-分級(jí)荷載曲線擬合系數(shù)見表6，由表6可見分形維數(shù)與分級(jí)荷載成對(duì)數(shù)關(guān)系，且擬合程度較高，擬合系數(shù)均在0.94以上。

3.2 分形維數(shù)與極限荷載

繪制各深梁盒尺寸與盒計(jì)數(shù)圖，如圖6所示。lnN(r)-ln (1/r)保持良好的線性關(guān)系，說明深梁表面裂縫與加載階段一樣在極限荷載作用下仍具有分形特征。

(a) 對(duì)照組

表6 深梁分形維數(shù)-分級(jí)荷載曲線擬合參數(shù)

圖6 極限荷載作用下深梁表面裂縫ln N(r)-ln (1/r)圖

圖7為極限荷載作用下的各深梁分形維數(shù)。沙漠砂混凝土深梁(DSC)承載力較低，裂縫未充分發(fā)展即破壞，故其分形維數(shù)最低為1.117。相較于兩種單摻纖維構(gòu)件，B-P混雜纖維深梁分形維數(shù)最高。對(duì)比不同纖維混雜比深梁，BP-2∶1-0.10深梁分形維數(shù)最小，其次是BP-1∶2-0.10深梁，最后為BP-1∶1-0.10深梁，反映出不同混雜比深梁對(duì)裂縫發(fā)展的抑制作用，并且與上文結(jié)論一致。極限荷載狀態(tài)下，隨纖維體積摻量的增大，深梁的分形維數(shù)呈先增大后減小的趨勢(shì)，體積摻量0.05%時(shí)分形維數(shù)最小。

圖7 極限荷載作用下深梁表面裂縫分形維數(shù)

3.3 分形維數(shù)與跨中撓度

通過現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)采集的試驗(yàn)梁跨中撓度數(shù)據(jù)，計(jì)算并擬合各深梁分形維數(shù)-跨中撓度曲線，如圖8所示。從各深梁擬合圖發(fā)現(xiàn)分形維數(shù)與跨中撓度曲線呈現(xiàn)較好的對(duì)數(shù)關(guān)系。如圖8a所示，隨著深梁撓度的增加，深梁表面裂縫分形維數(shù)前期增長(zhǎng)速率較快，而后期增長(zhǎng)速率趨于平緩，相較于沙漠砂混凝土深梁(DSC)，各纖維混凝土深梁撓度均明顯增大，纖維的摻入有限地改善了受剪深梁的延性性能，并且比普通混凝土深梁(PT)曲線更趨于平滑。對(duì)于不同纖維種類的深梁(如圖8b)，混雜纖維組深梁分形維數(shù)均高于兩種單摻纖維深梁，但后期曲線曲率相對(duì)較低，破壞時(shí)跨中撓度均大于兩種單摻纖維深梁。如圖8c所示，在不同混雜比深梁中，在極限荷載相的情況下，BP-1∶2-0.10深梁分形維數(shù)高于BP-2∶1-0.10深梁，說明玄武巖纖維對(duì)裂縫抑制效果優(yōu)于聚乙烯醇纖維，構(gòu)件BP-1∶1-0.10分形維數(shù)最大，但其極限荷載比前兩者都大。由圖8c可知：不同纖維體積摻量構(gòu)件的曲線走勢(shì)基本相似，隨纖維體積摻量的增大，分形維數(shù)呈先增大后減小趨勢(shì)。 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到以下關(guān)系式：

B=d-eln (ω+f)，

(3)

其中：d、e、f為參數(shù)；ω為試驗(yàn)梁跨中撓度。各深梁分形維數(shù)-跨中撓度曲線擬合參數(shù)如表7所示，由表7可知：各深梁擬合程度較高，呈良好的對(duì)數(shù)關(guān)系，擬合系數(shù)均在0.94以上。

(a) 對(duì)照組

表7 各深梁分形維數(shù)-跨中撓度曲線擬合參數(shù)

4 分形維數(shù)與損傷變量

對(duì)于材料因裂縫而引起的損傷，可以借助材料彈性模量的降低來對(duì)其進(jìn)行定量分析。而對(duì)于鋼筋混凝土構(gòu)件來說，深梁剛度與材料的彈性模量一樣，均可表示物體的變形能力。因此，本試驗(yàn)深梁的損傷變量可表示為：

(4)

其中：D為損傷變量；K0為深梁開裂前的剛度，K0=F0/Δ0，Δ0為深梁開裂時(shí)的撓度；K為深梁開裂后的剛度，K=F-F0/Δ-Δ0；F、F0為荷載。

為研究深梁分形維數(shù)與損傷變量之間的關(guān)系，將深梁各級(jí)荷載下?lián)p傷變量隨分形維數(shù)的變化繪于圖9。

(a) 對(duì)照組

從圖9中可以看出：各組深梁分形維數(shù)B與損傷變量D之間成指數(shù)關(guān)系，對(duì)其數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到以下公式：

D=e(g+hB+iB2)，

(5)

其中：g、h、i均為參數(shù)；D為損傷變量。深梁分形維數(shù)-損傷變量曲線擬合參數(shù)見表8，由表8可知：深梁的損傷變量與分形維數(shù)具有良好的指數(shù)關(guān)系，且擬合程度較高。分形維數(shù)可定量表征深梁表面裂縫發(fā)育情況以及復(fù)雜程度，還可間接表征深梁內(nèi)部損傷程度。在加載的過程中，深梁表面裂縫的復(fù)雜程度與其內(nèi)部的損傷程度同步增大，且隨荷載的增大曲線曲率呈現(xiàn)不斷上升趨勢(shì)。因而，可以通過計(jì)算深梁表面裂縫分形維數(shù)對(duì)其內(nèi)部損傷程度進(jìn)行定量分析。

表8 深梁分形維數(shù)-損傷變量曲線擬合參數(shù)

5 結(jié)論

(1)纖維的摻入極大地影響了深梁表面裂縫的發(fā)展，在抑制裂縫發(fā)展、改善構(gòu)件破壞形式等方面起到積極作用。

(2)混雜纖維沙漠砂混凝土深梁表面裂縫在分級(jí)荷載、極限荷載狀態(tài)下都具有明顯的分形特征。可以利用分形維數(shù)對(duì)其表面裂縫的復(fù)雜程度與不規(guī)則性進(jìn)行定量分析。

(3)混雜纖維沙漠砂混凝土深梁表面裂縫分形維數(shù)與分級(jí)荷載、跨中撓度呈對(duì)數(shù)關(guān)系，且擬合程度較高。纖維種類對(duì)分形維數(shù)的影響較大，而纖維體積摻量對(duì)分形維數(shù)的影響較小。

(4)混雜纖維沙漠砂混凝土深梁表面裂縫分形維數(shù)與損傷變量間存在指數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系?？赏ㄟ^對(duì)深梁表面裂縫分形維數(shù)的分析，為結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷進(jìn)行定量分析。