高翻翻，丁正生

(西安科技大學 理學院，陜西 西安 710600)

0 引言

花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)[1]是一種模擬花朵授粉過程的優(yōu)化算法，該算法具有參數(shù)少、魯棒性好、易調(diào)節(jié)和易實現(xiàn)的優(yōu)點。

國內(nèi)外對FPA的研究主要分為算法的優(yōu)化[2-4]和應(yīng)用[5-7]兩大類。文獻[8]提出了融合正弦余弦算法和精英算子的花朵授粉算法，與FPA相比尋優(yōu)精度得到了改善，但缺乏應(yīng)用，該算法的可行性有待商榷。文獻[9]提出了一種求解置換流水車間調(diào)度問題的新型花朵授粉算法，但對測試函數(shù)的結(jié)果并未達到理論最優(yōu)值，還需改進。文獻[10]提出了一種求解旅行商問題的離散花朵授粉算法，雖得到了較好的尋優(yōu)效果，但其所花費的時間過長。

上述改進策略雖對FPA的性能有所提升，但仍存在收斂精度和跳出局部最優(yōu)能力偏低等不足，故許多學者通過各種改進方法來幫助FPA算法跳出局部最優(yōu)，如文獻[11]用霍爾頓(Halton)序列來初始種群質(zhì)量，文獻[12-13]增加了高斯(Gauss)變異算子，文獻[14-15]分別引入了定向變異策略和量子搜索機制，文獻[16-17]加入了柯西(Cauchy)變異等。雖然以上改進均提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力，卻導(dǎo)致優(yōu)化效果不明顯、無法收斂到0等問題，基于此，本文提出了一種融合動態(tài)收斂因子與黃金正弦的花朵授粉算法(flower pollination algorithm combining dynamic convergence factor and golden sine, DGSFPA)。借助仿真實驗和案例分析，驗證了DGSFPA能夠更有效地跳出局部最優(yōu)，同時提高了FPA的尋優(yōu)精度和收斂速度。

1 花朵授粉算法

花朵授粉算法是模擬顯花植物花朵傳粉的過程，要實現(xiàn)該算法需滿足以下幾個準則：

(Ⅰ)攜帶花粉的傳粉者(蜜蜂，鳥)利用Lévy飛行進行傳粉，這種生物異花授粉被認為是全局授粉。

(Ⅱ)通過風和水等自然因素進行傳粉的非生物自花授粉被認為是局部授粉。

(Ⅲ)花的恒定等于繁衍概率，其值與所涉及的兩種花的相似性成正比。

(Ⅳ)轉(zhuǎn)換概率p∈[0,1]調(diào)節(jié)全局授粉和局部授粉，由于自然因素的影響，使局部授粉具有更顯著的p值，在整個傳粉過程中占主導(dǎo)作用。

花朵授粉算法主要有兩個階段：

階段一：若轉(zhuǎn)換概率p>rand，rand是[0，1]的隨機數(shù)，則昆蟲通過攜帶花粉配子進行異花授粉(全局授粉)，此時花粉的位置更新方法為：

(1)

(2)

其中：縮放因子λ=1.5；Γ(λ)表示標準伽馬函數(shù)。

階段二：若轉(zhuǎn)換概率p

(3)

2 改進的花朵授粉算法

2.1 改進的異花授粉位置更新方法

鯨魚優(yōu)化算法[18]在全局搜索中加入動態(tài)收斂因子，可以改善算法的收斂精度，受此啟發(fā)，本文在異花授粉的位置更新處引入動態(tài)收斂因子，該因子通過結(jié)合傳粉者的Lévy飛行軌跡，不僅能提高算法的收斂精度，而且可以增強全局勘探的能力。

改進后的異花授粉位置更新方法為：

(4)

其中：a為動態(tài)收斂因子，其計算方式為：

(5)

其中：t為當前迭代次數(shù)；N_iter為最大迭代次數(shù)；由于迭代次數(shù)的增加，a值逐漸減小到0。

2.2 改進的自花授粉位置更新方法

傳統(tǒng)FPA在自花授粉過程中采用的位置更新方法，其搜索空間較廣泛，尋優(yōu)效果不佳，而文獻[19-20]提出了黃金正弦算法(golden sine algorithm，Golden-SA)，該算法中的參數(shù)R1和R2分別控制位置更新的距離和方向，有效指引花粉個體向最優(yōu)個體靠近，并增加了種群之間的信息交流。因此，在自花授粉中嵌入黃金正弦算法，即在位置更新階段引入黃金比例系數(shù)，極大程度縮減了搜索空間，有利于跳出局部最優(yōu)，達到提升尋優(yōu)能力的目的。

改進后的自花授粉位置更新方法為：

(6)

其中：r1,r2是隨機數(shù)，且r1∈[0,2π],r2∈[0,π]，它們所代表的含義同R1和R2一致；x1=-π+(1-τ)2π和x2=-π+2πτ是通過黃金分割法得到的系數(shù)，τ為黃金分割數(shù)。

2.3 DGSFPA步驟

本文提出的DGSFPA的操作流程如圖1所示，具體的計算步驟如下：

圖1 DGSFPA流程圖

步驟1：初始化。n為種群規(guī)模，d為搜索空間的維數(shù)，p為轉(zhuǎn)換概率，t為迭代次數(shù)，N_iter為最大迭代次數(shù)。

步驟2：適應(yīng)度值的評價。計算n個種群的適應(yīng)度值，通過比較，將最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的花朵確定為當前最優(yōu)花粉個體(當前最優(yōu)解)。

步驟3：授粉形式的轉(zhuǎn)換。

(Ⅰ)若轉(zhuǎn)換概率p>rand成立，執(zhí)行異花授粉階段，該階段采用改進后的異花授粉來進行花粉位置的更新，如式(4)所示，隨后進行越界處理。

(Ⅱ)若p

步驟4：判斷是否更新當前最優(yōu)花粉個體。若步驟3得到的新解比當前最優(yōu)解還好，則將此新解設(shè)為當前最優(yōu)解，更新花粉個體，否則，將不發(fā)生任何改變。

步驟5：判斷循環(huán)是否結(jié)束。若已達到最大迭代次數(shù)N_iter，則循環(huán)結(jié)束，否則返回步驟3繼續(xù)進行循環(huán)，直到滿足條件為止。

步驟6：輸出最優(yōu)花粉個體g*及全局最優(yōu)解。

3 仿真實驗

采用10個測試函數(shù)對DGSFPA進行仿真實驗，將DGSFPA與FPA、粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)[21-22]及人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)[23]作對比，用來驗證DGSFPA的尋優(yōu)能力。

3.1 實驗參數(shù)設(shè)定

為了實驗的公平性，本文將4種算法的共有參數(shù)設(shè)定一致，即種群容量20，最大迭代次數(shù)2 000，F(xiàn)PA、DGSFPA涉及的轉(zhuǎn)換概率p=0.8，PSO中c1=c2=1.5。

3.2 測試函數(shù)

本文選取10個標準測試函數(shù)，即Sphere(f1)、Schwefel1.2(f2)、Schwefel2.21(f3)、Rosenbrock(f4)、Step(f5)、Quartic(f6)、Rastrigin(f7)、Ackley(f8)、Griewank(f9)和Schaffer(f10)，其中函數(shù)f1～f9的維數(shù)是30，f10的維數(shù)是2。

3.3 實驗結(jié)果分析

用4種算法分別對每個測試函數(shù)獨立運行50次，并記錄它們的最優(yōu)值、平均值和方差，其尋優(yōu)結(jié)果如表1所示。

由表1可知：對于函數(shù)f1，f2，f7，f9，f10，DGSFPA的3個評價指標均達到了理論最優(yōu)值0，說明DGSFPA的尋優(yōu)能力在這5個函數(shù)上是最好的。對于函數(shù)f3，f4，f5，f6，f8，DGSFPA雖未達到理論最優(yōu)值0，但其尋優(yōu)結(jié)果與理論最優(yōu)值非常接近，如函數(shù)f3，相比于FPA、ABC、PSO，DGSFPA，在平均值指標上均提高了69個數(shù)量級。DGSFPA在函數(shù)f1，f2，f4，f6，f7，f8，f9，f10上的方差均達到了0，其他3種算法在所有函數(shù)上的方差均未達到0，說明DGSFPA的穩(wěn)定性更強。綜上所述，相比于其他3種算法，DGSFPA無論在低維還是高維函數(shù)中，尋優(yōu)能力都更強。

表1 4種算法的尋優(yōu)結(jié)果

為更直觀地表明改進算法的尋優(yōu)能力，給出4種算法在函數(shù)f4，f6，f7上的收斂曲線圖，如圖2所示。

(a) 函數(shù)f4收斂曲線圖 (b) 函數(shù)f6收斂曲線圖(c) 函數(shù)f7收斂曲線圖

從圖2可以看出：4種算法中，DGSFPA的收斂曲線下降速度最快，PSO次之。圖2a和圖2b中FPA的曲線在規(guī)定迭代次數(shù)內(nèi)還未找到全局最優(yōu)，而DGSFPA的曲線未到100次迭代就已經(jīng)取得了全局最優(yōu)解，這表明改進算法的尋優(yōu)效果更強。圖2c中FPA和ABC的曲線在后期迭代中跳出了局部最優(yōu)，但又陷入另一個局部最優(yōu)中，而DGSFPA的曲線下降速度最快，且在1 500次迭代左右跳出了局部最優(yōu)，找到了全局最優(yōu)解，這說明FPA在自花授粉階段中引入黃金正弦算子后，能夠提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。

4 案例分析

壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題[24]是經(jīng)典的工程設(shè)計優(yōu)化問題，由容器厚度Ts、封頭厚度Th、內(nèi)半徑R和圓柱形長度L共4個設(shè)計變量構(gòu)成，其目標是在滿足一定的約束條件下優(yōu)化這4個設(shè)計變量來最小化總成本(材料、成型和焊接的成本)，相當于求有約束條件的目標函數(shù)最小值問題。

壓力容器設(shè)計問題的目標函數(shù)為：

x=[x1,x2,x3,x4]=[Ts,Th,R,L]；

s.t.g1(x)=-x1+0.019 3x3≤0；

g2(x)=-x2+0.009 54x3≤0；

g4(x)=x4-240≤0；

1×0.062 5≤x1,x2≤99×0.062 5,10≤x3,x4≤200。

(7)

為了驗證本文算法在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中的有效性，采用FPA、ABC、PSO及DGSFPA 這4種算法分別對該問題進行求解，并將所得實驗結(jié)果進行對比分析。算法參數(shù)設(shè)置與第3節(jié)仿真實驗中相似，種群容量為20，最大迭代次數(shù)為1 000，4種算法分別獨立運行50次，并分別記錄其最優(yōu)值、平均值和方差，具體實驗結(jié)果如表2所示。

表2 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題總成本的實驗結(jié)果 元

由表2可知：在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中，DGSFPA得到的總成本是最小的，ABC次之。DGSFPA平均值比FPA減少5 270.82元，與ABC相比減少876.72元，再次說明改進算法的尋優(yōu)能力最好。DGSFPA的方差為0，其他算法的方差均不是0，這表明DGSFPA在尋找全局最優(yōu)解時穩(wěn)定性最好。

表3是4種算法在分別解決壓力容器設(shè)計問題時，所得最優(yōu)結(jié)果對應(yīng)的各個變量值。由表3可知：DGSFPA所得壓力容器中4個設(shè)計變量值是最小的，因而其總成本也最小。

表3 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題的各個變量結(jié)果對比

圖3是4種算法求壓力容器總成本的收斂曲線圖。從圖4中可知：4種算法中，DGSFPA所得到的目標函數(shù)值是最小的，ABC次之。DGSFPA的曲線下降速度較快，更早地跳出局部最優(yōu)到達最優(yōu)解附近，降低適應(yīng)度值直到穩(wěn)定；而FPA的曲線在前期迭代時易陷入局部最優(yōu)，且收斂緩慢，表明DGSFPA的尋優(yōu)能力更強。綜上所述，從實際應(yīng)用的實驗結(jié)果可以證明，本文提出的DGSFPA在解決工程設(shè)計優(yōu)化問題時，求最優(yōu)解的效果更好。

圖3 4種算法求總成本的收斂曲線圖

5 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)FPA的異花授粉和自花授粉兩階段中分別引入了動態(tài)收斂因子和黃金正弦算法，來提高算法的收斂精度和跳出局部最優(yōu)的能力，并將4種算法在10個測試函數(shù)上進行比較分析，結(jié)果表明改進算法具有良好的尋優(yōu)能力。將DGSFPA應(yīng)用到壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中，與FPA、PSO、ABC 3種優(yōu)化算法相比，改進算法在求最優(yōu)解質(zhì)量方面得到了更好的效果。今后研究重點是如何將DGSFPA應(yīng)用到其他領(lǐng)域。